Теневое исчисление. Лекция вторая

Бином Ньютона
$$(x+y)^n=\binom n0x^n+\binom n1x^{n-1}y+\binom n2x^{n-2}y^2+\dots+\binom nny^n$$
(здесь $\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ это биномиальный коэффициент, обозначаемый также через $C_n^k$) можно интерпретировать как свойство последовательности степеней $x^0,x^1,x^2,\dots$ . Оказывается, эта последовательность — не единственная последовательность с таким свойством. Например, если мы рассмотрим последовательность многочленов
$$(x)_n=x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)$$
(«нисходящие факториалы»), то для нее также
$$(x+y)_n=\binom n0(x)_n+\binom n1(x)_{n-1}(y)_1+\binom n2(x)_{n-2}(y)_2+\dots+\binom nn(y)_n$$
(проверьте!). Такие последовательности многочленов называются биномиальными, их много, и многие из них оказываются очень интересными. Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление. Работы Рота в 60-х годах прошлого века сорвали с теневого исчисления покров тайны, однако не уменьшили интерес к биномиальным последовательностям, поскольку они регулярно возникают в самых разных областях математики. На занятиях мы обсудим, как выписывать все биномиальные последовательности и какие у них свойства. Все необходимые для этого выходящие за рамки школьной (а изредка и университетской) программы сведения будут сообщены.