Аннотация:
Пусть задана конечная подгруппа G⊂SL2(C). Тогда естественно рассмотреть фактор C2 по её действию; такой фактор будет комплексно-двумерен, но не будет многообразием: начало координат будет особой точкой. К этой особой точке можно применить (стандартную) процедуру разрешения особенностей.
Простейший пример получается при G=Z/2, которая действует на C2 по формуле (x,y)↦(−x,−y).
При этом факторпространство X=C2/G оказывается квадратичным конусом u2+v2+w2=0 в C3
(так называемая особенность типа A1), а разрешение особенности Y→X раздувает вершину
этого конуса, вклеивая вместо неё одну рациональную кривую.
Когда разрешение особенностей требует несколько шагов, вклеиваемые кривые могут пересекаться,
задавая граф (в простейшем случае выше это одноточечный граф A1). С другой стороны, по
представлениям группы G можно построить граф Маккея. Оказывается, эти два графа изоморфны; более
того, между ними есть явный изоморфизм — который и называется соответствием Маккея.
Соответствие Маккея находится на пересечении коммутативной алгебры, алгебраической геометрии, теории особенностей и теории представлений и является элементарным и увлекательным введением в каждую из этих областей.
Предполагаются известными основы алгебры, то есть векторные пространства, кольца, группы, алгебры над полем, факторгруппы и факторкольца, максимальные и простые идеалы в кольце, а также что такое линейное действие конечной группы на векторном пространстве. Также хорошо (но необязательно) знать теорему Гильберта о нулях и что такое многообразие (алгебраическое или хотя бы гладкое).
План лекций Лекция 1. Алгебраические многообразия. Соответствие между идеалами кольца функций и подмногообразиями. Особые и неособые точки многообразий. Факторы аффинных многообразий по действию конечной группы. Особенности типа An: фактор комплексной плоскости по циклической группе, уравнение для особенности An.
Лекция 2. Общие слова про диаграммы Дынкина типа ADE. Классификация конечных подгрупп в SL2(C).
Особенности Dn, E6, E7, E8: задание как фактор по бинарным группам и уравнение особенности.
Если останется время: случай конечных подгрупп GL2(C). Лекция 3. Раздутие поверхностей. Диаграммы Дынкина и разрешение особенностей An, Dn, E6, E7, E8.
Соответствие Маккея.