| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О линейной форме от ординат нулей дзета-функции Римана Е. Д. Юделевич  Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010103 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОпределим класс функций $\mathscr H_a\subseteq L^1(\mathbb R)$, $a\geqslant 1$, удовлетворяющих следующим трем условиям:
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)\,dx=0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}|xh(x)|\,dx<+\infty, \qquad |\widehat h'(\xi)|\ll\frac{1}{(|\xi|+1)^{a+1}}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\xi\in\mathbb R$. Здесь, как и обычно,
$$
\begin{equation*}
\widehat h(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает преобразование Фурье функции $h$. Пусть $\Lambda(n)$ обозначает функцию Мангольдта:
$$
\begin{equation*}
\Lambda(n)=\begin{cases} \log p, &\text{если}\quad n=p^m,\quad \text{где }p-\text{простое, а }m\geqslant 1-\text{целое}, \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В 2015 г. Фордом и Захареску в работе [1] была доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть $h\in\mathscr H_4$, и при этом точка $x=0$ не принадлежит носителю функции $h$. Тогда при $T\to+\infty$ имеем где функция $K_2(s)$ определяется рядом и аналитическим продолжением в область $\operatorname{Re}s=1$, $s\ne 1$; $\gamma$, $\gamma'$ пробегают мнимые части нетривиальных нулей дзета-функции Римана с учетом кратности, а постоянная в знаке $O$ зависит лишь от функции $h$.Отметим, что сумма $\sum_{\gamma,\gamma'}h(\gamma-\gamma')$ изучалась ранее. Так, в работе [2] была получена асимптотическая формула для этой суммы при иных предположениях о функции $h$. Мотивацией к результату выше служит один эффект, обнаруженный Марко [3], и получивший в последствии название “явление отталкивания” (“repulse phenomenon”). Составляя попарные разности ординат нулей дзета-функции Римана, можно заметить, что эти разности в некотором смысле “избегают” значений ординат нулей дзета-функции Римана. Иллюстрацией к этому эффекту может служить график функции $K_2(1+it)+K_2(1-it)$ (см. [1]), имеющий “провалы” в ординатах нулей дзета функции Римана. В данной работе мы изучаем более сложную комбинацию ординат, и обнаруживаем для нее аналог явления отталкивания. Следуя схеме доказательства теоремы Форда и Захареску, мы устанавливаем следующий результат. Теорема 2. Пусть $h\in\mathscr H_6$,
$$
\begin{equation*}
H=H(T;h)=\sum_{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4}h(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4),
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть функция $K_4(s)$ определяется рядом Тогда при $T\to+\infty$ справедливо равенство где константа в знаке $O$ зависит лишь от функции $h$. В качестве иллюстрации мы приводим график функции $K_4(2+it)+K_4(2- it)$, которая, как и $K_2(1+it)+K_2(1-it)$ имеет провалы в ординатах нулей дзета-функции Римана (рис. 1). Наличие провалов объясняется следующим образом. Определим последовательность $b_m$ из равенства где $l$, $m$ и $k$ – целые положительные числа. Отсюда будем иметь Применяя формулу обращения Мебиуса, получим Отсюда для $K_4(s)$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_4(s) &=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Lambda^4(n)}{n^s} =\sum_{p}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(\log p)^4}{p^{ks}} =\sum_{p}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(\log p)^4}{p^{ks}}\sum_{lm=k}l^3b_m \\ &=\sum_{m=1}^{+\infty}b_m\sum_{l=1}^{+\infty} \sum_p\frac{(\log p^l)^3\log p}{p^{lms}} =\sum_{m=1}^{+\infty}b_m\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)(\log n)^3}{n^{ms}}=\sum_{m=1}^{+\infty}b_mG(ms), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
G(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Lambda(n)(\log n)^3}{n^s} =\biggl(\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\biggr)^{(3)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как (см. [4; гл. II, § 4, теорема 3])
$$
\begin{equation*}
\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} =-\frac{1}{s-1}+\sum_{\rho}\biggl(\frac{1}{s-\rho}+\frac{1}{\rho}\biggr)+B_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_0$ – некоторая постоянная, а $\rho$ пробегает все нули дзета-функции Римана (включая тривиальные), то
$$
\begin{equation*}
G(s)=\frac{6}{(s-1)^4}-\sum_\rho\frac{6}{(s-\rho)^4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $G(\sigma+it)=O(2^{-\sigma})$ при $\sigma\geqslant 2$ и $|b_m|\leqslant m^3$, при $\operatorname{Re}s>1/2$ и $M\geqslant 4$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_4(s)&=\sum_{m\leqslant M}b_m G(ms)+O(M^32^{-M\sigma}) \\ &=6\sum_{m\leqslant M}\frac{b_m}{m^4}\biggl(\frac{1}{(s-1/m)^4} -\sum_\rho\frac{1}{(s-\rho/m)^4}\biggr)+O(M^32^{-M\sigma}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s=2+it$, то наибольшее по модулю отрицательное слагаемое в сумме выше получается при $m=1$, $t\approx\operatorname{Im}\rho_0$ и $\rho=\rho_0$, где $\rho_0$ – некоторый нетривиальный нуль дзета-функции Римана. При этом это слагаемое равно
$$
\begin{equation*}
-\frac{6b_m}{m^4}\,\frac{1}{(s-\rho/m)^4}\approx -\frac{6}{(3/2)^4}\approx -1.18.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, игнорируя вклад по $m\geqslant 2$ и $\rho\ne\rho_0$, получаем, что при $t\approx\operatorname{Im}\rho_0$. Тем самым вблизи ординат нулей дзета-функции Римана функция $K_4(2+it)+K_4(2-it)$ будет иметь локальные минимумы и принимать значение, близкое к $-2.36$, что можно наблюдать на графике выше. В работе приняты следующие обозначения.
2. Вспомогательные утверждения Доказательство. Докажем сначала первое неравенство. Не ограничивая общности, можно считать, что $\xi\geqslant 1$. В силу леммы Римана справедливо равенство $\widehat h(+\infty)=0$, откуда
$$
\begin{equation*}
\widehat h(\xi)=-(\widehat h(+\infty)-\widehat h(\xi)) =-\int_\xi^{+\infty}\widehat h'(t)\,dt, \qquad |\widehat h(\xi)|\ll\int_\xi^{+\infty}\,\frac{dt}{t^{a+1}}\ll\frac{1}{\xi^a}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем второе неравенство. Так как существует интеграл
$$
\begin{equation*}
\widehat h'(0)=-2\pi i\int_{-\infty}^{+\infty}xh(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
существует и предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{\xi\to 0}\frac{\widehat h(\xi)-\widehat h(0)}{\xi}=\widehat h'(0).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как найдется такое $\delta>0$, что при $|\xi|<\delta$ выполнено откуда
Если же $\delta\leqslant|\xi|\leqslant 1$, то Следовательно, при $0\leqslant|\xi|\leqslant 1$ выполнено где что и требовалось доказать. Доказательство. Разобьем $S(T;K)$ на две суммы в зависимости от значения величины $|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(T;K) &=K\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T,\ 1\leqslant i\leqslant 4\\|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|\leqslant 1/K}}1 +\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T,\ 1\leqslant i\leqslant 4\\|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|>1/K}} \frac{1}{|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|} \\ &=S_1(T;K)+S_2(T;K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сумму $S_1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(T;K) &=K\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 3}} \sum_{\substack{0\leqslant\gamma_4\leqslant T\\|\gamma_4-(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)|\leqslant 1/K}}1 =K\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 3}} \sum_{\substack{0\leqslant\gamma_4\leqslant T\\\gamma_4\geqslant\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-1/K\\ \gamma_4\leqslant\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3+1/K}}1 \\ &\leqslant K\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 3}} \biggl(N\biggl(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3+\frac{1}{K}\biggr) -N\biggl(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\frac{1}{K}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $N(t+a)-N(t)\ll\log T$ при $a=O(1)$ и $t\leqslant 2T$, то
Оценим теперь $S_2(T;K)$. Как и выше, мы представим $S_2(T;K)$ в виде суммы двух слагаемых в зависимости от значения $|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|$. Имеем где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_2^{(1)}(T;K) &=\sum_{\substack{1/K<|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|\leqslant 1,\\ 0<\gamma_i\leqslant T,\,1\leqslant i\leqslant 4}} \frac{1}{|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|}\,, \\ S_2^{(2)}(T;K) &=\sum_{\nu\geqslant 1}\sum_{\substack{\nu<|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|\leqslant\nu+1 \\ 0<\gamma_i\leqslant T,\,1\leqslant i\leqslant 4}} \frac{1}{|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сумма $S_2^{(1)}(T;K)$ оценивается также, как и $S_1(T;K)$:
$$
\begin{equation*}
S_2^{(1)}(T;K)\leqslant K\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 3}} \sum_{\substack{0\leqslant\gamma_4\leqslant T\\ |\gamma_4-(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)|\leqslant 1}}1\ll T^3K(\log T)^4.
\end{equation*}
\notag
$$
Для суммы $S_2^{(2)}(T;K)$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_2^{(2)}(T;K) &\leqslant 2\sum_{\nu\geqslant 1}\frac{1}{\nu}\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 3}} \sum_{\substack{0\leqslant\gamma_4\leqslant T\\ \nu<|\gamma_4-(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)|\leqslant\nu+1\\ \gamma_4-(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)>0}}1 \\ &\leqslant 2\sum_{1\leqslant\nu\leqslant T}\frac{1}{\nu} \sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 3}} \bigl(N(\nu+1+(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3))-N(\nu+\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)\bigr) \\ &\ll N(T)^3\log T\sum_{\substack{1\leqslant\nu\leqslant T}}\frac{1}{\nu}\ll T^3(\log T)^5. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Складывая оценки для сумм $S_1(T;K)$ и $S_2(T;K)$, получаем требуемое. Лемма 3. Для произвольных $a_1,a_2,a_3,a_4$ и $r\in\{2,4,6\}$ справедливо тождество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &8(a_1^r+a_2^r+a_3^r+a_4^r)-4\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 4}((a_i+a_j)^r+(a_i-a_j)^r) \\ &\quad{}+2\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant 4}\bigl((a_i+a_j+a_k)^r+(a_i+a_j-a_k)^r+(a_i-a_j+a_k)^r+(a_i-a_j-a_k)^r\bigr) \\ &\quad{}-\sum_{\substack{\varepsilon_i\in\{-1,+1\}\\ 2\leqslant i\leqslant 4}} (a_1+\varepsilon_2a_2+\varepsilon_3a_3+\varepsilon_4a_4)^r=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4. Пусть $\xi\geqslant 0$. Определим сумму $D(\xi)$ равенством и положим Тогда при $1\leqslant U\leqslant\log T/(64\pi)$ и $T\geqslant 3$ справедливо неравенство где константа в знаке $\ll$ абсолютная. Доказательство. Величины $\rho=\beta+i\gamma$ и $1-\bar\rho=1-\beta+i\gamma$ одновременно пробегают все нули $\zeta(s)$ с условием $0<\beta<1$, $0<\gamma\leqslant T$; следовательно,
$$
\begin{equation*}
D(\xi)=\frac{1}{2}\sum_{0<\gamma\leqslant T}e^{2\pi i\gamma\xi} (2-e^{2\pi\xi(\beta-1/2)}-e^{2\pi\xi(1/2-\beta)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |D(\xi)|^4=\frac{1}{16}\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 4}} e^{2\pi i\xi(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4)} \prod_{k=1}^4(2-e^{2\pi\xi(\beta_k-1/2)}-e^{2\pi\xi(1/2-\beta_k)}), \\ J(U)=\frac{1}{16}\sum_{0<\gamma_i\leqslant T}\int_0^UI(\xi)\,d\xi, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
Положим $a=\max_{1\leqslant k\leqslant 4}|\beta_k-1/2|$ и разобьем интеграл $J$ на четыре слагаемых в зависимости от значений $|\Delta|$ и $a$. Именно, где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} J_1 &=\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ |\Delta|\leqslant 1, \ a\leqslant 1/U}} \int_0^UI(\xi)\,d\xi, &\qquad J_2 &=\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ |\Delta|\leqslant 1,\ a>1/U}} \int_0^UI(\xi)\,d\xi, \\ J_3 &=\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ |\Delta|>1,\ a\leqslant 1/U}} \int_0^UI(\xi)\,d\xi, &\qquad J_4 &=\sum_{\substack{0<\gamma_i\leqslant T\\ |\Delta|>1,\ a>1/U}} \int_0^UI(\xi)\,d\xi. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сначала интеграл $J_1$. Заметим, что так как $a\leqslant U^{-1}$, для $1\leqslant k\leqslant 4$ выполнено $|2\pi\xi(\beta_k-1/2)|\leqslant 2\pi UU^{-1}=2\pi$. Далее, при $|x|\leqslant 2\pi$ выполнено следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |2-e^{2\pi\xi(\beta_k-1/2)}-e^{2\pi\xi(1/2-\beta_k)}| &\ll\xi^2a^2, \\ \prod_{k=1}^4|2-e^{2\pi\xi(\beta_k-1/2)}-e^{2\pi\xi(1/2-\beta_k)}| &\ll\xi^8a^8\ll a^8U^8, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим Итак,
$$
\begin{equation*}
J_1\ll U^9\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ |\Delta|\leqslant 1}} \max_{1\leqslant k\leqslant 4}\biggl|\beta_k-\frac 12\biggr|^8=U^9S.
\end{equation*}
\notag
$$
Сумма $S$ преобразуется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &=8\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U\\ |\Delta|\leqslant 1}} \int_0^a\alpha^7\,d\alpha=8\int_0^{1/U}\alpha^7 \biggl\{\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ \alpha\leqslant a\leqslant 1/U,\,|\Delta|\leqslant 1}}1\biggr\}\,d\alpha \\ &\leqslant 8\int_0^{1/U}\alpha^7 \biggl\{\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ \max_k\beta_k\geqslant 1/2+\alpha,\ |\Delta|\leqslant 1}}1\biggr\}\,d\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая подынтегральную сумму через $N^*(\alpha,T)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N^*(\alpha;T) &\leqslant 4\sum_{\substack{0<\gamma_1\leqslant T\\ \beta_1\geqslant 1/2+\alpha}} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T\\ 2\leqslant k\leqslant 4\\ |\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|\leqslant 1}}1 =4\sum_{\substack{0 <\gamma_1\leqslant T\\ \beta_1\geqslant 1/2+\alpha}} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T\\ 2\leqslant k\leqslant 3}} \sum_{\substack{0<\gamma_4\leqslant T\\|\gamma_4-(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)|\leqslant 1}}1 \\ &=4\sum_{\substack{0<\gamma_1\leqslant T\\ \beta_1\geqslant 1/2+\alpha}} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T\\ 2\leqslant k\leqslant 3}} \bigl(N(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3+1)-N(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь (2) и (3), находим
$$
\begin{equation*}
N^*(\alpha;T)\ll(N(T)^2\log T)N\biggl(\frac{1}{2}+\alpha;T\biggr) \ll T^3(\log T)^4T^{-\alpha/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, будем иметь
$$
\begin{equation*}
J_1\ll T^3U^9(\log T)^4\int_0^{+\infty}\alpha^7e^{-\alpha\log T/4}\,d\alpha \ll\frac{T^3U^9}{(\log T)^4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке интеграла $J_2$. Так как $|2-e^x-e^{-x}|\ll e^x$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |I(\xi)|=\prod_{k=1}^4|2-e^{2\pi\xi(\beta_k-1/2)}-e^{2\pi\xi(1/2-\beta_k)}| \ll e^{8\pi\xi a}\leqslant e^{8\pi aU}, \\ \int_0^UI(\xi)\,d\xi\ll Ue^{8\pi aU}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
J_2\ll\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a>1/U,\ |\Delta|\leqslant 1}} Ue^{8\pi Ua}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь равенством
$$
\begin{equation*}
e^{8\pi Ua}=8\pi U\int_{1/U}^ae^{8\pi U\alpha}\,d\alpha+e^{8\pi},
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
J_2\ll\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a>1/U,\ |\Delta|\leqslant 1}} \biggl(U^2\int_{1/U}^ae^{8\pi U\alpha}\,d\alpha+U\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад второго слагаемого по порядку не превосходит
$$
\begin{equation*}
UN^*\biggl(\frac{1}{U}\,;T\biggr)\ll UT^3(\log T)^4T^{-1/(4U)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад первого слагаемого оценится как
$$
\begin{equation*}
U^2\int_{1/U}^{1/2}e^{8\pi U\alpha}N^*(\alpha;T)\,d\alpha \ll U^2T^3(\log T)^4\int_{1/U}^{+\infty}e^{8\pi U\alpha}T^{-\alpha/4}\,d\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $U\leqslant\log T/(64\pi$), то
$$
\begin{equation*}
\int_{1/U}^{+\infty}e^{\alpha(8\pi U-\log T/4)}\,d\alpha =\frac{1}{(\log T)/4-8\pi U} \int_{(\log T/4-8\pi U)/U}^{+\infty}e^{-v}\,dv \ll\frac{T^{-1/(4U)}}{\log T}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
J_2\ll UT^3(\log T)^4T^{-1/(4U)}+U^2T^3(\log T)^3T^{-1/(4U)} \ll UT^3(\log T)^4T^{-1/(4U)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим интеграл $J_3$. Для краткости положим
$$
\begin{equation*}
A_k(\xi)=e^{2\pi\xi a_k}+e^{-2\pi\xi a_k},\qquad a_k=\beta_k-\frac{1}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^U I(\xi)\,d\xi &=\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\prod_{k=1}^4(2-A_k(\xi))\,d\xi \\ &=\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\biggl(16-8\sum_{1\leqslant k\leqslant 4}A_k(\xi) +4\sum_{1\leqslant k<l\leqslant 4}A_k(\xi)A_l(\xi) \\ &\qquad\qquad{}-2\sum_{1\leqslant k<l<m\leqslant 4}A_k(\xi)A_l(\xi)A_m(\xi) +\prod_{k=1}^4A_k(\xi)\biggr)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, введем обозначение
$$
\begin{equation*}
g(z)=\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}(e^{2\pi\xi z}+e^{-2\pi\xi z})\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда непосредственным вычислением находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\,d\xi =\frac{g(0)}{2}\,, \qquad \int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}A_k(\xi)\,d\xi =g(a_k),\quad 1\leqslant k\leqslant 4, \\ \int_0^U e^{2\pi i\xi\Delta}A_k(\xi)A_l(\xi)\,d\xi =g(a_k+a_l)+g(a_k-a_l),\qquad 1\leqslant k<l\leqslant 4, \\ \begin{split} &\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}A_k(\xi)A_l(\xi)A_m(\xi)\,d\xi =g(a_k+a_l+a_m)+g(a_k+a_l-a_m) \\ &\qquad\qquad{}+g(a_k-a_l+a_m)+g(a_k-a_l-a_m),\qquad 1\leqslant k<l<m\leqslant 4, \end{split} \\ \int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\prod_{k=1}^4A_k(\xi)\,d\xi =\sum_{\varepsilon_i\in\{-1,+1\},\ 2\leqslant i\leqslant 4} g(a_1+\varepsilon_2a_2+\varepsilon_3a_3+\varepsilon_4a_4). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^UI(\xi)\,d\xi =8g(0)-8\sum_{1\leqslant k\leqslant 4}g(a_k)+4\sum_{1\leqslant k<l\leqslant 4}(g(a_k+a_l)+g(a_k-a_l)) \nonumber \\ &\qquad{}-2\sum_{1\leqslant k<l<m\leqslant 4}\bigl(g(a_k+a_l+a_m)+g(a_k+a_l-a_m) +g(a_k-a_l+a_m) \nonumber \\ &\qquad{} +g(a_k-a_l-a_m)\bigr) +\sum_{\varepsilon_i\in\{-1,+1\},\ 2\leqslant i\leqslant 4} g(a_1+\varepsilon_2a_2+\varepsilon_3a_3+\varepsilon_4a_4). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Разложим теперь $g(z)$ в степенной ряд по степеням $z$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g(z) &=2\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\operatorname{ch}(2\pi\xi z)\,d\xi \\ &=2\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\biggl(\sum_{0\leqslant k\leqslant 3}\frac{(2\pi\xi z)^{2k}}{(2k)!} +\sum_{k\geqslant 4}\frac{(2\pi\xi z)^{2k}}{(2k)!}\biggr)\,d\xi=F(z)+R(z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(z) &=\sum_{0\leqslant k\leqslant 3}\varkappa_kz^{2k},\qquad R(z)=\sum_{k\geqslant 4}\varkappa_kz^{2k}, \\ \varkappa_k &=\varkappa_k(U;\xi,\Delta)=2\frac{(2\pi)^{2k}}{(2k)!} \int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\xi^{2k}\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что вклад $F(z)$ в (4) равен нулю. Действительно, вклад от слагаемоего, содержащего $\varkappa_0$, равен $\varkappa_0\cdot(8-8\cdot 4+4\cdot 6\cdot 2-2\cdot 4\cdot 4+8)=0$. Вклад остальных слагаемых $F(z)$ равен нулю в силу леммы 3. Оценим теперь вклад $R(z)$ в (4). Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^Ue^{2\pi i\xi\Delta}\xi^{2k}\,d\xi =\frac{U^{2k}e^{2\pi iU\Delta}}{2\pi i\Delta}-\frac{k}{\pi i\Delta} \int_0^U e^{2\pi i\xi\Delta}\xi^{2k-1}\,d\xi\ll\frac{U^{2k}}{|\Delta|}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая последовательно $z=a_k$, $z=a_k\pm a_l$, $z=a_k\pm a_l\pm a_m$ и $z=a_1\pm a_2\pm a_3\pm a_4$, получим $|z|\leqslant 4a $. Так как $a\leqslant 1/U$, то для таких $z$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
R(z)\ll\sum_{k\geqslant 4}\frac{(2\pi)^{2k}|z|^{2k}}{(2k)!}\,\frac{U^{2k}}{|\Delta|} \ll\frac{(a U)^8}{|\Delta|}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Таким образом, получаем
$$
\begin{equation*}
J_3\ll U^8\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ |\Delta|>1}} \frac{1}{|\Delta|}\max_{1\leqslant k\leqslant 4}\biggl|\beta_k-\frac{1}{2}\biggr|^8.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_3 &\ll U^8\sum_{0\leqslant j\leqslant\log 4T/\log 2-1}2^{-j} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ 2^j<|\Delta|\leqslant 2^{j+1}}} \max_{1\leqslant k\leqslant 4}\biggl|\beta_k-\frac{1}{2}\biggr|^8 \nonumber \\ &=8U^8\sum_{0\leqslant j\leqslant \log 4T/\log 2-1}2^{-j} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ 2^j<|\Delta|\leqslant 2^{j+1}}} \int_0^a\alpha^7\,d\alpha \nonumber \\ &=8U^8\sum_{0\leqslant j\leqslant\log 4T/\log 2-1}2^{-j} \int_0^{1/U}\alpha^7N_j(\alpha;T)\,d\alpha, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $N_j(\alpha;T)$ обозначает сумму
$$
\begin{equation*}
N_j(\alpha;T)=\sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ 2^j<|\Delta|\leqslant 2^{j+1}}}1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для нее последовательно получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_j(\alpha;T) &\leqslant 4\sum_{\substack{0<\gamma_1\leqslant T\\ \beta_1\geqslant 1/2+\alpha}} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T\\ 2\leqslant k\leqslant 3}} \sum_{\substack{0<\gamma_4\leqslant T\\ 2^j<|\Delta|\leqslant 2^{j+1}}}1 \nonumber \\ &\leqslant 4\sum_{\substack{0<\gamma_1\leqslant T\\ \beta_1\geqslant 1/2+\alpha}} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T \\ 2\leqslant k\leqslant 3}} \sum_{\nu=1}^{2^{j+1}} \sum_{\substack{0<\gamma_4\leqslant T\\ \nu<|\gamma_4-(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3)|\leqslant\nu+1}}1 \nonumber \\ &\ll (2^j\log T)N(T)^2 N\biggl(\frac{1}{2}+\alpha;T\biggr) \ll 2^j T^3(\log T)^4T^{-\alpha/4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Из (5) и оценки (6) находим
$$
\begin{equation*}
J_3\ll U^8T^3(\log T)^5\int_0^{+\infty}\alpha^7T^{-\alpha/4}\,d\alpha \ll\frac{T^3U^8}{(\log T)^3}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, оценим интеграл $J_4$. При $|z|\leqslant 4\alpha$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|g(z)|\ll\frac{e^{2\pi U|z|}+1}{\sqrt{\Delta^2+z^2}} \leqslant\frac{e^{8\pi U\alpha}}{|\Delta|}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, пользуясь (4), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_4 &\ll\sum_{0\leqslant j\leqslant \log 4T/\log 2-1}2^{-j} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ 2^j<|\Delta|\leqslant 2^{j+1}}}e^{8\pi Ua} \\ &=\sum_{0\leqslant j\leqslant\log 4T/\log 2-1}2^{-j} \sum_{\substack{0<\gamma_k\leqslant T,\,1\leqslant k\leqslant 4\\ a\leqslant 1/U,\ 2^j<|\Delta|\leqslant 2^{j+1}}} \biggl(8\pi U\int_{1/U}^ae^{8\pi U\alpha}\,d\alpha+e^{8\pi}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу оценки (6) вклад от второго слагаемого в сумме выше не превзойдет
$$
\begin{equation*}
\sum_{0\leqslant j\leqslant\log 4T/\log 2-1}2^{-j} N_j\biggl(\frac{1}{U}\,;T\biggr)\ll T^3(\log T)^5T^{-1/(4U)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад первого слагаемого не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{0\leqslant j\leqslant\log 4T/\log 2-1}2^{-j} \int_{1/U}^{1/2}e^{8\pi U\alpha}N_j(\alpha;T)\,d\alpha \\ &\qquad\qquad\qquad\ll UT^3(\log T)^5\int_{1/U}^{+\infty}e^{\alpha(8\pi U-\log T/4)}\,d\alpha \ll UT^3(\log T)^4T^{-1/(4U)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для $J_4$ получаем Собирая полученные оценки для интегралов $J_1$, $J_2$, $J_3$, $J_4$, получаем требуемое. Лемма 5. Пусть $x\geqslant 1$ и $T\geqslant 2$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ имеем где $n_x$ – ближайшее целое к $x$, суммирование ведется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана $\rho=\beta+i\gamma$ с учетом кратности, а выражение при $x=n_x$ полагается равным $T$.3. Доказательство теоремыРазобьем доказательство на несколько шагов. Шаг 1. Положим $Q(\xi)=Q(\xi;T)=\sum_{0<\gamma\leqslant T}e^{2\pi i\gamma \xi}$; тогда пользуясь равенством
$$
\begin{equation*}
h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat h(\xi)e^{2\pi i\xi x}\,d\xi
\end{equation*}
\notag
$$
и равномерной сходимостью данного интеграла, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H &=\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 4}} \int_{-\infty}^{+\infty}\widehat h(\xi)e^{2\pi i\xi(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4)}\,d\xi \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat h(\xi)\sum_{0<\gamma_1\leqslant T} e^{2\pi i\xi\gamma_1}\sum_{0<\gamma_2\leqslant T} e^{2\pi i\xi\gamma_2}\sum_{0<\gamma_3\leqslant T} e^{-2\pi i\xi\gamma_3}\sum_{0<\gamma_4\leqslant T}e^{-2\pi i\xi\gamma_4} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat h(\xi)Q^2(\xi)\overline Q^2(\xi)\,d\xi \\ &=2\operatorname{Re}\int_0^U\widehat h(\xi)Q^2(\xi)\overline Q^2(\xi)\,d\xi +2\operatorname{Re} \int_U^{+\infty}\widehat h(\xi)Q^2(\xi)\overline Q^2(\xi)\,d\xi =H_1+H_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $U=(\log T)/(100\log\log T)$, а смысл обозначений $H_1$ и $H_2$ очевиден. Оценим интеграл $H_2$. С помощью интегрирования по частям будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |H_2| &\leqslant 2\biggl|\int_U^{+\infty}\widehat h(\xi)Q^2(\xi)\overline Q^2(\xi)\,d\xi\biggr| =2\biggl|\int_U^{+\infty}\widehat h(\xi)\,d \biggl(\int_0^\xi Q^2(t)\overline Q^2(t)\,dt\biggr)\biggr| \nonumber \\ &=2\biggl|\lim_{\xi\to+\infty}\widehat h(\xi) \int_0^\xi Q^2(t)\overline Q^2(t)\,dt -\widehat h(U)\int_0^UQ^2(t)\overline Q^2(t)\,dt \nonumber \\ &\qquad{}-\int_U^{+\infty} \biggl(\int_0^\xi Q^2(t)\overline Q^2(t)\,dt\biggr)\widehat h'(\xi)\,d\xi\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
В силу леммы 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\xi Q^2(t)\overline Q^2(t)\,dt &=\int_0^\xi\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 4}} e^{2\pi t(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4)}\,dt =\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 4}} \int_0^\xi e^{2\pi t(\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4)}\,dt \\ &\ll\sum_{\substack{0\leqslant\gamma_i\leqslant T\\ 1\leqslant i\leqslant 4}} \min\biggl(\xi,\frac{1}{|\gamma_1+\gamma_2-\gamma_3-\gamma_4|}\biggr) \ll T^3(\xi+\log T)(\log T)^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat h(\xi)\int_0^\xi Q^2(t)\overline Q^2(t)\,dt &\ll\frac{1}{\xi^6}(T^3(\xi+\log T)\log^4 T)\to 0,\qquad \xi\to+\infty, \\ \widehat h(U)\int_0^UQ^2(t)\overline Q^2(t)\,dt &\ll\frac{T^3(U+\log T)(\log T)^4}{U^6} \ll\frac{T^3(\log\log T)^6}{\log T}, \\ \int_U^{+\infty} \biggl(\int_0^\xi Q^2(t)\overline Q^2(t)\,dt\biggr)\widehat h'(\xi)\,d\xi &\ll\int_U^{+\infty}\frac{T^3(\xi+\log T)(\log T)^4}{\xi^{7}}\,d\xi \\ &\ll T^3(\log T)^4\int_U^{+\infty}\,\frac{d\xi}{\xi^6} +T^3(\log T)^5\int_U^{+\infty}\,\frac{d\xi}{\xi^7} \\ &\ll\frac{T^3(\log T)^4}{U^5}+\frac{T^3(\log T)^5}{U^6} \ll\frac{T^3(\log\log T)^6}{\log T}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (7) будем иметь $H_2\ll T^3(\log\log T)^6/\log T$ и
$$
\begin{equation*}
H=H_1+O\biggl(\frac{T^3(\log\log T)^6}{\log T}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. Разобьем $Q(\xi)$ на несколько сумм. Положим $x=e^{2\pi\xi}$; тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(\xi) &=\sum_{0<\gamma\leqslant T}e^{2\pi i\gamma\xi} =\sum_{0<\gamma\leqslant T} (e^{2\pi\xi(\rho-1/2)}+e^{2\pi i\gamma\xi}-e^{2\pi\xi(\rho-1/2)}) \\ &=\frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{0<\gamma\leqslant T}x^\rho +\sum_{0<\gamma\leqslant T}e^{2\pi i\gamma\xi}(1-e^{2\pi\xi(\beta-1/2)}) =\frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{0<\gamma\leqslant T}x^\rho+D(\xi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 5 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(\xi) &=-\frac{\Lambda(n_x)}{2\pi\sqrt{n_x}}\,\frac{e^{iT\log x/_x}-1}{i\log x/n_x} +\frac{\Lambda(n_x)}{2\pi}\,\frac{e^{iT\log x/n_x}-1}{i\log x/n_x} \biggl(\frac{1}{\sqrt{n_x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\biggr) \\ &\qquad{}+O\biggl(x^{1/2+\varepsilon}\log T +\min\biggl(\frac{\log T}{\log X}\,,T\log T\biggr)\biggr)+D(\xi) =M(\xi)+E(\xi)+D(\xi), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
M(\xi) =-\frac{\Lambda(n_x)}{2\pi\sqrt{n_x}}\, \frac{e^{iT\log x/n_x}-1}{i\log x/n_x}
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
E(\xi) =\frac{\Lambda(n_x)}{2\pi}\,\frac{e^{iT\log x/n_x}-1}{i\log x/n_x} \biggl(\frac{1}{\sqrt{n_x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}+O\biggl(x^{1/2+\varepsilon}\log T +\min\biggl(\frac{\log T}{\log X}\,,T\log T\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^U\widehat h(\xi)Q^2(\xi)\overline Q^2(\xi)\,d\xi &=\int_0^U\widehat h(\xi)M^2(\xi)\overline M^2(\xi)\,d\xi \\ &\qquad{}+\int_0^U\widehat h(\xi)(Q^2(\xi)\overline Q^2(\xi) -M^2(\xi)\overline M^2(\xi))\,d\xi=H_1^{(1)}+H_1^{(2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем $H_1^{(1)}$ даст вклад в главный член, а $H_1^{(2)}$ – в остаток. Оценим величину $H_1^{(2)}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(M+E+D)^2(\overline M+\overline E+\overline D)^2-M^2\overline M^2 \\ &\qquad\ll |M|(|E|+|D|)^3+|M|^2 (|E|+|D|)^2+|M|^3(|E|+|D|)+(|E|+|D|)^4 \\ &\qquad\ll |M|(|E|^3+|D|^3)+|M|^2(|E|^2+|D|^2)+|M|^3(|E|+|D|)+|E|^4+|D|^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1^{(2)} &\ll\int_0^U|\widehat h(\xi)|\bigl(|M|(|E|^3+|D|^3) \\ &\qquad{}+|M|^2(|E|^2+|D|^2)+|M|^3(|E|+|D|)+|E|^4+|D|^4\bigr)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\mathscr E=\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|E|^4\,d\xi,\qquad \mathscr D=\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|D|^4\,d\xi, \qquad \mathscr M=\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|^4\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из неравенства Гёльдера находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|\,|E|^3\,d\xi &=\int_0^U|\widehat h(\xi)|^{1/4}|M|\,|\widehat h(\xi)|^{3/4}|E|^3\,d\xi \\ &\leqslant\biggl(\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|^4\,d\xi\biggr)^{1/4} \biggl(\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|E|^4\,d\xi\biggr)^{3/4} =\mathscr M^{1/4}\mathscr E^{3/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Точно также получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|\,|D|^3\,d\xi \leqslant\mathscr M^{1/4}\mathscr D^{3/4},\qquad \int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|^3|E|\,d\xi \leqslant\mathscr E^{1/4}\mathscr M^{3/4}, \\ \int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|^3|D|\,d\xi \leqslant\mathscr D^{1/4}\mathscr M^{3/4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства Коши–Буняковского находим
$$
\begin{equation*}
\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M|^2|E|^2\,d\xi =\int_0^U\sqrt{|\widehat h(\xi)|}\,|M|^2\sqrt{|h(\xi)|}\,|E|^2\,d\xi \leqslant\sqrt{\mathscr M\mathscr E}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично получаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^U|\widehat h(\xi)| \,|M|^2|D|^2\,d\xi \leqslant\sqrt{\mathscr M\mathscr D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation}
H_1^{(2)}\ll\mathscr E+\mathscr D+\mathscr M^{1/4} (\mathscr E^{3/4}+\mathscr D^{3/4}) +\mathscr M^{1/2}(\mathscr E^{1/2}+\mathscr D^{1/2}) +\mathscr M^{3/4}(\mathscr E^{1/4}+\mathscr D^{1/4}),
\end{equation}
\tag{10}
$$
и оценка $H_1^{(2)}$ сводится к оценке интегралов $\mathscr M$, $\mathscr E$ и $\mathscr D$. Сначала оценим интеграл $\mathscr E$. Докажем сначала неравенство
$$
\begin{equation*}
|E(\xi)|\ll e^{2\pi\xi}\log T+\min\biggl(\frac{\log T}{\xi}\,,T\log T\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При нецелом $x$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log\frac{x}{n_x} =\log\biggl(1+\frac{x-n_x}{n_x}\biggr) &=\frac{x-n_x}{n_x}\biggl(1+O\biggl(\frac{|x-n_x|}{n_x}\biggr)\biggr), \\ \biggl(\log\frac{x}{n_x}\biggr)^{-1} &\ll\frac{n_x}{|x-n_x|}\,, \\ \frac{1}{\sqrt{n_x}}-\frac{1}{\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{x}-\sqrt{n_x}}{\sqrt{n_xx}} &=\frac{x-n_x}{\sqrt{n_xx}(\sqrt{x}+\sqrt{n_x})} \ll\frac{|x-n_x|}{n_x^{3/2}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда беря $\varepsilon=1/2$ и пользуясь тем, что $x=e^{2\pi\xi}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E(\xi) &=\frac{\Lambda(n_x)}{2\pi}\frac{e^{iT\log x/n_x}-1}{i\log x/n_x} \biggl(\frac{1}{\sqrt{n_x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\biggr) \\ &\qquad{}+O\biggl(x^{1/2+\varepsilon}\log T +\min\biggl(\frac{\log T}{\log x}\,,T\log T\biggr)\biggr) \\ &\ll\frac{\log n_x}{\sqrt{n_x}}+x\log T +\min\biggl(\frac{\log T}{\log x}\,,T\log T\biggr) \ll e^{2\pi\xi}\log T+\min\biggl(\frac{\log T}{\xi}\,,T\log T\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При целом $x$ согласно (9) при $\varepsilon=1/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
E(\xi)\ll x^{1/2+\varepsilon}\log T +\min\biggl(\frac{\log T}{\log x}\,,T\log T\biggr) \ll e^{2\pi\xi}\log T+\min\biggl(\frac{\log T}{\xi}\,,T\log T\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|E(\xi)|^4\ll e^{8\pi\xi}(\log T)^4 +\min\biggl(\frac{(\log T)^4}{\xi^4}\,,T^4(\log T)^4\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду неравенства $|\widehat h(\xi)|\ll|\xi|$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr E &=\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|E(\xi)|^4\,d\xi \ll\int_0^U\xi\biggl(e^{8\pi\xi}(\log T)^4 +\min\biggl(\frac{(\log T)^4}{\xi^4}\,,T^4(\log T)^4\biggr)\biggr)\,d\xi \\ &\ll Ue^{8\pi U}(\log T)^4 +\int_0^U\xi\min\biggl(\frac{(\log T)^4}{\xi^4}\,,T^4(\log T)^4\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr E &\ll Ue^{8\pi U}(\log T)^4+T^4(\log T)^4\int_0^{1/T}\xi\,d \xi +(\log T)^4\int_{1/T}^U\,\frac{d\xi}{\xi^3} \\ &\ll Ue^{8\pi U}(\log T)^4+T^2(\log T)^4\ll T^2(\log T)^4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке интеграла $\mathscr D$. В силу неравенства $\widehat h(\xi)\ll 1$ выполненно при $0\leqslant\xi\leqslant 1$, и из леммы 4 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr D &=\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|D(\xi)|^4\,d\xi =\int_1^U|\widehat h(\xi)|\,|D(\xi)|^4\,d\xi +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^3}\biggr) \\ &=\int_0^{U-1}|\widehat h(\xi+1)|\,|D(\xi+1)|^4\,d\xi +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^3}\biggr) \\ &=\int_0^{U-1}|\widehat h(\xi+1)|\,d\biggl(\int_0^{\xi+1}|D(t)|^4\,dt\biggr) +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^3}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, в силу выбора $U$, для $0\leqslant\xi\leqslant U-1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\xi+1}|D(t)|^4\,dt \ll\frac{T^3}{(\log T)^3}(\xi+1)^8+T^{3-1/(4(1+\xi))}(\log T)^5 \ll\frac{T^3}{(\log T)^3}(\xi+1)^8.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя оценку $\widehat h(\xi)\ll|\xi|^{-6}$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr D &\ll\int_0^{U-1}\frac{1}{(\xi+1)^6}\,d\biggl(\int_0^{\xi+1}|D(t)|^4\,dt\biggr) +\frac{T^3}{(\log T)^3} \\ &\ll\frac{1}{U^6}\int_0^U|D(t)|^4\,dt +\int_0^{U-1}\frac{1}{(\xi+1)^7}\biggl(\int_0^{\xi+1}|D(t)|^4\,dt\biggr)\,d\xi +\frac{T^3}{(\log T)^3} \\ &\ll\frac{T^3}{(\log T)^3}\,U^2\ll\frac{T^3}{\log T}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем, наконец, к оценке интеграла $\mathscr M$. В силу (8) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathscr M=\int_0^U|\widehat h(\xi)|\,|M(\xi)|^4\,d\xi =\frac{1}{16\pi^4}\int_0^U|\widehat h(\xi)|\frac{\Lambda^4(n_x)}{n_x^2} \biggl|\frac{e^{iT\log x/n_x-1}}{i\log x/n_x}\biggr|^4\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Разобьем отрезок интегрирования на промежутки вида
$$
\begin{equation*}
\Delta_n=\biggl(\frac{1}{2\pi}\log\biggl(n-\frac{1}{2}\biggr), \frac{1}{2\pi}\log\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr)\biggr),\qquad 1\leqslant n\leqslant e^{2\pi U}+1,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда так как $\xi\in\Delta_n$ выполнено тогда и только тогда, когда $n_x=n$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr M &\leqslant\frac{1}{16\pi^4}\sum_{2\leqslant n\leqslant e^{2\pi U}+1} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \int_{(1/(2\pi))\log(n-1/2)}^{(1/(2\pi))\log(n+1/2)}|\widehat h(\xi)| \biggl|\frac{e^{iT\log x/n-1}}{i\log x/n}\biggr|^4\,d\xi \\ &=\frac{1}{16\pi^4}\sum_{2\leqslant n\leqslant e^{2\pi U}+1} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \int_{\log(1-1/(2n))}^{\log(1+1/(2n))} \biggl|\widehat h\biggl(\frac{u+\log n}{2\pi}\biggr)\biggr|\, \biggl|\frac{e^{iTu}-1}{iu}\biggr|^4\,du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{e^{iTu}-1}{iu}\biggr|\leqslant\frac{2}{u}, \qquad \biggl|\frac{e^{iTu}-1}{iu}\biggr|=\biggl|\int_0^Te^{iu\xi}\,d\xi\biggr|\leqslant T,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\mathscr M\ll\sum_{2\leqslant n\leqslant e^{2\pi U}+1}\!\frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \int_{\log(1-1/(2n))}^{\log(1+1/(2n))}\!\operatorname{min}^4\biggl(T,\frac{1}{|u|}\biggr)\,du \ll\int_0^{1/T}\!T^4\,du+\int_{1/T}^{+\infty}\frac{du}{u^4}\ll T^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученные оценки для интегралов $\mathscr M$, $\mathscr E$ и $\mathscr D$ в неравенство (10), получим $H_1^{(2)}\ll T^3/(\log T)^{1/4}$; следовательно,
$$
\begin{equation}
H=2\operatorname{Re}H_1^{(1)}+O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{1/4}}\biggr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Шаг 3. Имеем
$$
\begin{equation*}
H_1^{(1)}=\int_0^U\widehat h(\xi)M^2(\xi)\overline M^2(\xi)\,d\xi =\frac{1}{16\pi^4}\sum_{\substack{n\leqslant e^{2\pi U}+1/2}} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2}\int_{\alpha_n}^{\beta_n}\widehat h(\xi) \biggl|\frac{e^{iT\log x/n}-1}{i\log x/n}\biggr|^4\,d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_n=\frac{1}{2\pi}\biggl(\log n-\frac{1}{2}\biggr),\qquad \beta_n=\min\biggl(U,\frac{1}{2\pi}\biggl(\log n+\frac{1}{2}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад от слагаемоего $n>e^{2\pi U}-1/2$ не превосходит
$$
\begin{equation*}
\frac{U^4}{e^{4\pi U}}\int_{-\infty}^{+\infty} \biggl|\frac{e^{iTu}-1}{iu}\biggr|^4\,du \ll\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1^{(1)} &=\frac{1}{16\pi^4}\sum_{\substack{n\leqslant e^{2\pi U}-1/2}}\frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \int_{1/(2\pi)\log(n-1/2)}^{1/(2\pi)\log(n+1/2)}\widehat h(\xi) \biggl|\frac{e^{iT\log x/n}-1}{i\log x/n}\biggr|^4\,d\xi \\ &\qquad\qquad +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\biggr) \\ &=\frac{1}{32\pi^5}\sum_{\substack{n\leqslant e^{2\pi U}-1/2}}\frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \int_{\log(1-1/(2n))}^{\log(1+1/(2n))}\widehat h \biggl(\frac{u+\log n}{2\pi}\biggr) \biggl|\frac{e^{iTu}-1}{iu}\biggr|^4\,du \\ &\qquad\qquad +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\widehat h\biggl(\frac{u+\log n}{2\pi}\biggr) -\widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr) =\int_{\log n/(2\pi)}^{(u+\log n)/(2\pi)}\widehat h'(t)\,dt \ll|u|,
\end{equation*}
\notag
$$
то ошибка от замены $\widehat h((u+\log n)/(2\pi))$ на $\widehat h(\log n/(2\pi))$ не превзойдет
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant e^{2\pi U}}\frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \int_{\log(1-1/(2n))}^{\log(1+1/(2n))}|u|\operatorname{min}^4\biggl(\frac{1}{|u|}\,,T\biggr)\,du \ll T^4\int_0^{1/T}u\,du+\int_{1/T}^{+\infty}\,\frac{du}{u^3}\ll T^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, будем иметь
$$
\begin{equation*}
H_1^{(1)}=\frac{1}{32\pi^5}\sum_{\substack{n\leqslant e^{2\pi U}-1/2}} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2}\widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr) \int_{\log(1-1/(2n))}^{\log(1+1/(2n))} \biggl|\frac{e^{iuT}-1}{iu}\biggr|^4\,du +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим последний интеграл несобственным. В силу неравенств
$$
\begin{equation*}
\int_{\log(1+1/(2n))}^{+\infty}\,\frac{du}{u^4}\ll n^3,\qquad \int_{-\infty}^{\log(1-1/(2n))}\,\frac{du}{u^4}\ll n^3,\qquad \widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr) \ll\frac{1}{(\log n)^6}
\end{equation*}
\notag
$$
ошибка от такой замены по порядку не превышает Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
H_1^{(1)}=\frac{1}{32\pi^5}\sum_{\substack{n\leqslant e^{2\pi U}-1/2}} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2}\widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr) \int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\frac{e^{iuT}-1}{iu}\biggr|^4\,du +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\frac{e^{iuT}-1}{iu}\biggr|^4\,du &=\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\frac{e^{iuT/2}-e^{-iuT/2}}{iu}\biggr|^4\,du \\ &=\frac{T^3}{8}\int_{-\infty}^{+\infty} \biggl|\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{iw}\biggr|^4\,dw =2T^3\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(\sin w)^4}{w^4}\,dw =\frac{4\pi T^3}{3}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1^{(1)} &=\frac{T^3}{24\pi^4}\sum_{n\leqslant e^{2\pi U}} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2}\widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr) +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\biggr) \\ &=\frac{T^3}{24\pi^4}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Lambda^4(n)}{n^2} \widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr)+O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{10}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя получившееся выражение для $H_1^{(1)}$ в (11), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H &=\frac{T^3}{12\pi^4}\operatorname{Re}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2}\widehat h\biggl(\frac{\log n}{2\pi}\biggr) +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{1/4}}\biggr) \\ &=\frac{T^3}{12\pi^4}\operatorname{Re}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda^4(n)}{n^2}\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-it\log n}\,dt +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{1/4}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду равномерной сходимости соответствующего интеграла и ряда, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H &=\operatorname{Re}\frac{T^3}{12\pi^4}\int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Lambda^4(n)}{n^{2+it}}\,dt +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{1/4}}\biggr) \\ &=\frac{T^3}{24\pi^4}\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)(K_4(2+it)+K_4(2-it))\,dt +O\biggl(\frac{T^3}{(\log T)^{1/4}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $K_4(s)$ определена в (1). Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iud24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|