| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Экстремальная интерполяция в среднем в пространстве В. Т. Шевалдин  Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010097 
Реферативные базы данных:
  ВведениеЧерез Ln=Ln(D), n∈N, D – символ дифференцирования, обозначим произвольный линейный дифференциальный оператор порядка n с постоянными действительными коэффициентами, у которого коэффициент при старшей степени равен 1. Оператор Ln может быть записан в следующем виде: где αs,βj,γs∈R, причем в случае k≠0 можно считать, что αs>0. Линейному дифференциальному оператору Ln поставим в соответствие разностный оператор с шагом h>0 определенный на пространстве бесконечных в обе стороны последовательностей y={ym}∞m=−∞. Здесь Tym=ym+1 и E – тождественный оператор. Разностный оператор ΔLnh выбран таким образом, что для любого решения f линейного однородного уравнения Ln(D)f=0 при любом x∈R имеет место равенство Введем класс последовательностей Норма в пространстве последовательностей y определяется, как обычно, при помощи равенства
\begin{equation*}
\|y\|_{l_p}= \begin{cases} \displaystyle \biggl(\sum_{m\in \mathbb Z}|y_m|^p \biggr)^{1/p},& 1\leqslant p<\infty, \\ \displaystyle \sup_{m}|y_m|,& p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Пусть \mathrm{AC} – класс локально абсолютно непрерывных функций f\colon \mathbb R\to \mathbb R, C[a,b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a,b], L_p(\mathbb R), 1\leqslant p<\infty, – пространство абсолютно интегрируемых на \mathbb R функций f с нормой
\begin{equation*}
\|f\|_{L_p(\mathbb R)}=\biggl(\int_{\mathbb R}|f(t)|^p\,dt \biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
и L_{\infty}(\mathbb R) – пространство существенно ограниченных на \mathbb R функций с нормой
\begin{equation*}
\|f\|_{L_{\infty}(\mathbb R)}=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in \mathbb R}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
В случае оператора \mathcal L_n(D)=D^n задача о связи конечных разностей \Delta_h^{D^n}=\Delta_h^{n} (а также разделенных разностей) порядка n и производной функции n-го порядка хорошо известна (см., например, [1]). Фавар [2] (см. также [3]–[5]) в 1940 г. рассматривал эту задачу в экстремальной постановке на отрезке для неравномерной сетки узлов и соответствующих разделенных разностей. В начале 60-х годов прошлого века Яненко и Стечкин в частном случае для оператора \mathcal L_n(D)=D^n n-кратного дифференцирования поставили задачу, которую сейчас принято называть задачей экстремальной функциональной интерполяции. Эта задача возникла в исследованиях Яненко при обосновании им разностных методов решения дифференциальных уравнений, а Стечкину принадлежит ее формулировка в форме экстремальной задачи. Пусть h_1>0. Для любой последовательности y\in Y_{h,p} рассмотрим класс функций
\begin{equation*}
F_{h,h_1,p}(y)=\biggl\{f\colon f^{(n-1)}\in \mathrm{AC},\ \mathcal L_n(D)f\in L_p(\mathbb R), \ \frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}\!f(mh+t)\,dt=y_m,\ m\in \mathbb Z \biggr\}
\end{equation*}
\notag
(при h_1=0 полагаем f(mh)=y_m). Для любой последовательности y\in Y_{h,p} требуется доказать непустоту класса F_{h,h_1,p}(y) и вычислить (или эффективно оценить снизу и сверху) следующую величину:
\begin{equation}
A_p=A_p(\mathcal L_n,h,h_1)=\sup_{y\in Y_{h,p}}\inf_{f\in F_{h,h_1,p}(y)}\|\mathcal L_n(D)f\|_{L_p(\mathbb R)}.
\end{equation}
\tag{0.3}
Решению этой задачи (а также ее обобщениям) посвящено значительное число работ (см. работы Субботина [6]–[8] для оператора \mathcal L_n(D)=D^n и большой обзор [9]). Основным моментом точного решения задачи (0.3) у Субботина в случае оператора n-кратного дифференцирования было построение интерполяционных полиномиальных сплайнов (с “правильными” узлами “склейки”) и их обобщений, которые оказались экстремальными функциями в данной задаче. Его исследования нашли многочисленные применения, как в экстремальных задачах теории приближения функций (например, при вычислении поперечников соболевских классов функций), так и в вычислительной математике, при моделировании различных процессов в науке и технике (см. [9] и имеющиеся там ссылки). В данной работе мы изучаем только задачу интерполяции в среднем, т.е. при h_1\ne 0. В случае интерполяции в среднем решение задачи (0.3) оказалось очень трудным, и результатов в этом направлении немного. Для оператора \mathcal L_n(D)=D^n величину (0.3) при 1<p\leqslant \infty, 0<h<\infty, 0\leqslant h_1\leqslant 2h (а также при p=1, 0<h<\infty, h_1=0) вычислил Субботин [6]–[8], [10]–[12]. Надо заметить, что промежуток времени между первой и последней работами Субботина на эту тему составляет 32 года, причем случай h<h_1\leqslant 2h (пересекающиеся интервалы усреднения) оказался для исследования наиболее трудным. Им [10] было доказано, что при любом r\in \mathbb N имеет место равенство A_p(D^n,h,2rh)=+\infty, 1<p\leqslant \infty. Шарма и Цимбаларио [13] для оператора \mathcal L_n(D)=\prod_{j=1}^n(D-\beta_j) при условии его формальной самосопряженности (т.е. при \mathcal L_n(-D)=(-1)^n\mathcal L_n(D)) вычислили величину (0.3) в случае h_1=0 и p=\infty. Автор [14] в 1983 г. вычислил величину A_p при 1\leqslant p\leqslant \infty, 0<h<h_0=\pi/(\max \alpha_s) для произвольного линейного дифференциального оператора вида (0.1) для непересекающихся интервалов усреднения, т.е. в случае 0\leqslant h_1\leqslant h. Позже в 1998 г. в [15] автору удалось найти величину (0.3) при 0<h<h_0, h<h_1\leqslant 2h (пересекающиеся интервалы усреднения) также в общем случае для произвольного линейного дифференциального оператора \mathcal L_n вида (0.1), но только при p=\infty, причем оказалось, что A_{\infty}(\mathcal L_n,h,2h)=\infty, и интерес к задаче экстремальной интерполяции на долгое время утих. Недавно автор (см. [16]), используя идеи предыдущих работ Субботина и собственные результаты [14], [15], обобщил свой отмеченный результат 1998 г. на случай 1<p<\infty, но только при дополнительных предположениях, что оператор \mathcal L_n является формально самосопряженным, и число n нечетно. В настоящей работе мы, продолжая исследования Субботина и автора, указываем значение величины A_p(\mathcal L_n,h,h_1) при p=1 и 0<h<h_0, h<h_1\leqslant 2h, если оператор \mathcal L_n(D) – формально самосопряжен (т.е. удовлетворяет равенству \mathcal L_n(-D)=(-1)^n\mathcal L_n(D)). Полученный результат является новым, в частности, для оператора \mathcal L_n(D)=D^n n-кратного дифференцирования. Решение этой задачи приводит к исследованию свойств большого числа вспомогательных функций, и при их доказательстве в основном применяются методы Субботина из работ [10]–[12] и результаты автора [14]–[18]. Для формулировки основного утверждения настоящей работы введем вспомогательные функции из работ автора [14], [15]. Пусть
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_n(t)=C(\mathcal L_n,h)\sum_{s\in \mathbb Z}\frac{e^{i(2s+1)\pi(1-t)}\sin\bigl((2s+1)\pi h_1/(2h)\bigr)}{\pi(2s+1)h_1p_n\bigl((2s+1)\pi i/h\bigr)}, \\ C(\mathcal L_n,h)=2(-1)^{n+1}h\prod_{s=1}^{k}(1+2e^{\gamma_sh} \cos\alpha_sh+e^{2\gamma_sh})\prod_{j=1}^{n-2k}(1+e^{\beta_jh}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{0.4}
где p_n(\lambda)=\prod_{s=1}^{k}(\lambda^2-2\gamma_s\lambda+\gamma_s^2+\alpha_s^2)\prod_{j=1}^{n-2k}(\lambda-\beta_j) – характеристический многочлен оператора \mathcal L_n. Основным результатом работы является следующее утверждение. Теорема 1. Пусть \mathcal L_n=\mathcal L_n(D) – произвольный линейный дифференциальный оператор n-го порядка вида (0.1), удовлетворяющий условию Тогда при любых 0<h<h_0=\pi/\max\alpha_s, h<h_1<2h имеет место равенствоИдея доказательства теоремы 1 состоит в следующем. Мы покажем, что при 0<h<h_0, h<h_1<2h для любой последовательности y\in Y_{h,1} для достаточно малого числа \delta >0 существует функция f_{\delta}\in F_{h,h_1,p}(y) такая, что
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0}\|\mathcal L_n(D)f_{\delta}\|_{L_1(\mathbb R)}=(\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
Кроме того, будет указана последовательность y^*\in Y_{h,1} такая, что для любой функции f\in F_{h,h_1,1}(y^*) имеет место неравенство \|\mathcal L_n(D)f\|_{L_1(\mathbb R)}\geqslant (\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1}.
1. Свойства вспомогательных функцийПри исследовании задачи экстремальной интерполяции (0.3) для линейного дифференциального оператора \mathcal L_n вида (0.1) в предыдущих работах автора [14]–[18] возникли некоторые вспомогательные функции, которые нам понадобятся в дальнейшем при доказательстве теоремы 1. Оператору \mathcal L_n поставим в соответствие оператор \mathcal L_{n+1}^0(D)=D\mathcal L_n(D). Пусть \varphi_n=\varphi_n(t) (соответственно \varphi_{n+1}^0=\varphi_{n+1}^0(t))– единственное решение уравнения \mathcal L_n(D)f=0 (соответственно \mathcal L_{n+1}^0(D)f= 0) удовлетворяющее условию \varphi_n^{(j)}(0)=\delta_{j,n-1} (соответственно (\varphi_{n+1}^0)^{(j)}(0)=\delta_{j,n}). Здесь \delta_{j,n-1} и \delta_{j,n} – символы Кронекера. Дифференциальному оператору \mathcal L_{n+1}^0 поставим в соответствие разностный оператор (см. (0.2)), определенный на пространстве последовательностей y=\{y_m\}_{m=-\infty}^{\infty}.Операторы \Delta_h^{\mathcal L_{n}} и \Delta_h^{\mathcal L_{n+1}^0} легко привести к виду
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_{n}}y_m=\sum_{s=0}^{n}(-1)^{n-s}\mu_sy_{m+s}, \qquad \Delta_h^{\mathcal L_{n+1}^0}y_m=\sum_{s=0}^{n+1}(-1)^{n+1-s}\mu_s^0y_{m+s},
\end{equation*}
\notag
где \mu_s=\mu_s(\mathcal L_n,h)>0, \mu_s^0=\mu_s^0(\mathcal L_{n+1}^0,h)>0 и не зависят от y_m, причем \mu_s^0=\mu_s+\mu_{s-1}, s=0,1,\dots,n+1 (числа \mu_{-1} и \mu_{n+1} полагаем равными нулю). Следуя [14], 0\leqslant t\leqslant 1, h>0 и h_1>0 определим функции
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_{n+1}^0(t)=\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^j\sum_{s=j}^{n+1}(-1)^{n+1-s}\mu_s^0\varphi_{n+1}^0((s-j+1-t)h), \\ a_{j,n}(t,h,h_1)=\frac{h^2}{h_1}\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{n}(-1)^{n-l}\mu_l\varphi_n((l+x+1-j-t)h_+)\,dx, \\ H_n(t)=\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^ja_{j,n}(t,h,h_1). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
Здесь, как обычно, u_+ означает \max\{0,u\}. В силу равенств P_{n+1}^0(1)=-P_{n+1}^0(0), H_n(1)=-H_n(0) эти функции можно продолжить на всю числовую ось с помощью формул В [14] автором доказано, что при таком продолжении этих функций имеют место включения P_{n+1}^0\in C^{(n-1)}(\mathbb R), H_n\in C^{(n)}(\mathbb R). Кроме того, справедливо равенство
\begin{equation*}
H_n(t)=\frac{h}{2h_1}\biggl(P_{n+1}^0\biggl(t+\frac{h_1}{2h}\biggr) -P_{n+1}^0\biggl(t-\frac{h_1}{2h}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
Поскольку период построенной функции H_n(t) равен 2, то ее можно разложить в ряд Фурье, и при этом справедливо представление (0.4) (см. [14], [15]). Свойства функции H_n(t) представлены в [14; лемма 7], [15; лемма 5] и в [16; лемма 5 и замечание 4]. В силу того, что в данной работе мы считаем, что оператор \mathcal L_n(D) является формально самосопряженным (т.е. удовлетворяет равенству \mathcal L_n(-D)=(-1)^n\mathcal L_n(D)), то нули и точки экстремума отмеченных функций вычисляются явно, и имеет место следующее утверждение. Лемма 1 [16]. Пусть оператор \mathcal L_n(D) формально самосопряжен. При 0<h<h_0=\pi/\max \alpha_s, h<h_1<2h и любом r\in \mathbb N имеют место следующие свойства функции H_n(t). 1. H_{2r-1}(s)=0, s\in \mathbb Z. График функции |H_{2r-1}(t)| симметричен относительно прямых x=s и x=s+1/2, s\in \mathbb Z, причем точки x=s+1/2, s\in \mathbb Z, являются единственными точками максимума этой функции на отрезке [s,s+1], и в них она принимает одно и то же значение. 2. H_{2r}(s+1/2)=0, s\in \mathbb Z. График функции |H_{2r}(t)| симметричен относительно прямых x=s и x=s+1/2, s\in \mathbb Z, причем точки x=s, s\in \mathbb Z, являются единственными точками максимума этой функции на отрезке [s-1/2,s+1/2], и в них она принимает одно и то же значение. При доказательстве теоремы 1 нам также потребуются свойства нулей некоторых алгебраических многочленов, ранее возникших в работах Субботина и автора. Сформулируем их в общем случае, т.е. если оператор \mathcal L_n(D) имеет вид (0.1), а затем конкретизируем эти свойства в случае формально самосопряженного оператора. Пусть \mathcal L_n – произвольный линейный оператор вида (0.1) и 0<h<h_0, h<h_1<2h. При 0\leqslant t\leqslant 1 рассмотрим три многочлена по переменной x:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_{n-1}(x,t)=\sum_{l=0}^{n-1}x^l\sum_{s=0}^{l}(-1)^{n-1-s}\mu_s\varphi_{n}((s-l-t)h), \\ R_n^0(x,t)=\sum_{l=0}^{n}c_lx^l, \qquad c_l=\sum_{s=0}^{l}(-1)^{n-1}\mu_s^{0}\varphi_{n+1}^0((s-l-t)h), \\ \widetilde R_{n+1}(x,t)=\sum_{l=0}^{n+1}x^l \sum_{s=0}^{l}(-1)^{n+1-s}\widetilde\mu_s\widetilde\varphi_{n+2}((s-l-t)h), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
где \widetilde\mu_s=\mu_s^0+\mu_{s-1}^0 (числа \mu_{-1}^0 и \mu_{n+2}^0 полагаем равными нулю), и \widetilde\varphi_{n+1}(t) – решение линейного однородного дифференциального уравнения D^2\mathcal L_n(D)f=0, удовлетворяющее условию: \widetilde\varphi_{n+2}(0)=\delta_{j,n+1}. Все n нулей многочлена R_{n}^0(x,t) по переменной x при 0<t<1 являются отрицательными и простыми (см. [14]), и справедливо следующее утверждение. Лемма 2 [14]. Пусть 0<h<h_0. 1. При 0<t<1 имеют место неравенства c_0>0, c_n>0. 2. Пусть 0<t<1 и \eta_j(t), j=1,2,\dots,n, – нули многочлена R_n^0(x,t), расположенные в порядке убывания, а \eta_1=0, \eta_j<0, j=2,3,\dots,n, – нули многочлена R_n^0(x,0), расположенные в порядке убывания. Тогда Лемма 3. Пусть 0<h<h_0, и оператор \mathcal L_{2r}(D) формально самосопряжен. Тогда имеют место следующие утверждения: Доказательство. Из определения функций P_{n+1}^0(t) и R_n^0(x,t) при x=-1 (см. [17], [18]) следует равенство R_{2r}^0(-1,t)=-P_{2r+1}^0(t), 0<t<1. Кроме того, из [17; равенство (1.19)] имеем \operatorname{sign} P_{2r+1}^0(t)=(-1)^{r}, 1/2<t<1. Отсюда следует первое утверждение леммы 3.
Для доказательства второго утверждения вначале заметим, что при t=0 имеем c_0=0 (поэтому \eta_1=0), и нам требуется доказать равенство c_{2r+1-l}=c_l, l=1,2,\dots,2r. Данный факт следует, например, из [17; равенство (2.9)]. Третье утверждение леммы 3 следует из второго и леммы 2. Лемма 3 полностью доказана. 2. \mathcal L-сплайныПусть 0<h<h_0, h<h_1<2h и \mathcal L_n(D) – произвольный линейный дифференциальный оператор порядка n вида (0.1). Любое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения \mathcal L_n(D)f=u, где u\in L_1(\mathbb R), может быть записано в виде
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{j=1}^{n}C_jv_j(x)+\int_{0}^{x}\varphi_n(x-t)u(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
Здесь \{C_j\}_{j=1}^n – произвольные константы, функция \varphi_n определена в разделе 1 и \{v_j(x)\}_{j=1}^n – произвольная линейно независимая система функций из ядра \operatorname{Ker}\mathcal L_n оператора \mathcal L_n. Пусть
\begin{equation*}
y_m=\frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}f(mh+t)\,dt,\qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
В [14] для \Delta_h^{\mathcal L_n}y_m (см. (0.2)) доказано равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta_h^{\mathcal L_n}y_m &=\frac{h^2}{h_1}\int_{0}^{1}\sum_{j=0}^{n+1}u((t+m-1+j)h)\,dt \\ &\qquad \times\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^n (-1)^{n-l}\mu_l\varphi_n((l+x+1-j-t)h_+)\,dx, \qquad m\in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
Для получения оценки сверху для величины A_1(\mathcal L_n,h,h_1) мы будем использовать \mathcal L-сплайны f_{\delta}\in F_{h,h_1,1}(y) (зависящие от положительного параметра \delta, который мы затем устремим к нулю). Эти сплайны строятся по-разному в зависимости от четности числа n. Поэтому рассмотрим два случая. Пусть сначала n=2r-1, r\in \mathbb N. Положим
\begin{equation*}
u(t)=\mathcal L_{2r-1}(D)f_{\delta}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{Z_m}{\delta},& t\in \bigl[(m-0.5)h,(m-0.5+\delta)h\bigr), \\ 0,& t\not\in \bigl[(m-0.5)h,(m-0.5+\delta)h\bigr), \end{cases} \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
Здесь числа \{Z_m\}_{m=-\infty}^{\infty} подлежат дальнейшему определению. Тогда равенство (2.1) переписывается в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta_h^{\mathcal L_{2r-1}}y_m &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0}^{0.5+\delta}\sum_{j=0}^{2r} Z_{m-1+j}\,dt \\ &\qquad \times\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r-1} (-1)^{2r-1-l}\mu_l\varphi_{2r-1}((l+x+1-j-t)h_+)\,dx, \qquad m\in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
Характеристический многочлен разностного уравнения (2.2) для определения чисел \{Z_m\}_{m=-\infty}^{\infty} имеет вид где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_0&=0, \\ B_j&=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0.5}^{0.5+\delta}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{2r-1} (-1)^{2r-1-l} \\ &\qquad \times\mu_l\varphi_{2r-1}((l+z+2-j-t)h_+)\,dz, \qquad j=1,2,\dots,2r+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Изучим нули многочлена U_{2r+1,\delta}(x) при \delta\to +0. Пусть
\begin{equation*}
Q_{2r}(x,z)= \begin{cases} x^2R_{2r-2}(x,-z+1),& 0\leqslant z<1, \\ xR_{2r-2}(x,-z),& -1\leqslant z<0, \\ R_{2r-2}(x,-z-1),& -2\leqslant z<-1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где функция R_{2r-2}(x,t) определена равенством (1.2) при n=2r-1. Тогда формула (2.3) переписывается в виде
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{2r+1,\delta}(x) &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0.5}^{0.5+\delta-t+h_1/2h}dt \int_{-t-h_1/2h}^{-t+h_1/2h}xQ_{2r}(x,z)\,dz \\ &=\int_{0.5}^{0.5+\delta}\biggl[\int_{-t-h_1/2h}^{-1}xR_{2r-2}(x,-z-1)\,dz \int_{-1}^0 x^2R_{2r-2}(x,-z)\,dz \\ &\qquad +\int_0^{-t+h_1/2h}x^3R_{2r-2}(x,-z+1)\,dz\biggr]\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее, используя (1.2), упростим выписанные интегралы с помощью формул, доказанных в [14] для произвольного линейного дифференциального оператора \mathcal L_n(D) вида (0.1):
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (R_n^0(x,t))_t'=h(1-x)R_{n-1}(x,t), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1, \\ xR_n^0(x,t+1)=R_n^0(x,t), \qquad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
Получим
\begin{equation*}
U_{2r+1,\delta}(x)=\frac{h}{h_1(1-x)\delta}\int_{0.5}^{0.5+\delta} \biggl[xR_{2r-1}^0\biggl(x,t+\frac{h_1}{2h}-1\biggr)-x^3 R_{2r-1}^0\biggl(x,t+1-\frac{h_1}{2h}\biggr)\biggr]\,dt.
\end{equation*}
\notag
Лемма 4. 1. Все 2r нулей многочлена U_{2r+1}(x)/x, U_{2r+1}(x)\,{=}\,\lim_{\delta\to +0}U_{2r+1,\delta}(x), являются отрицательными и простыми. 2. |U_{2r+1}(-1)|=\|H_{2r-1}\|_{C[0,1]}=|H_{2r-1}(1/2)|. Доказательство. Воспользуемся равенством (см. (1.2))
\begin{equation}
(\widetilde{R}_{n+1}(x,t))_t'=h(1-x)R_n^0(x,t), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.5}
которое доказывается аналогично (2.4). При n=2r получим, что
\begin{equation*}
U_{2r+1,\delta}(x)=\frac{1}{h_1(1-x)^2}[xA_{1,\delta}(x)-x^3A_{2,\delta}(x)],
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{1,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\bigl(\widetilde{R}_{2r}(x,t_1+\delta) -\widetilde{R}_{2r}(x,t_1)\bigr), \\ A_{2,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\bigl(\widetilde{R}_{2r}(x,t_2+\delta) -\widetilde{R}_{2r}(x,t_2)\bigr), \\ 0<t_1=\frac{h_1}{2h}-\frac12<\frac12, \qquad \frac12<t_2=\frac{3}{2}-\frac{h_1}{2h}<1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Из этих равенств следует, что
\begin{equation*}
U_{2r+1}(x)=\lim_{\delta\to +0}U_{2r+1,\delta}(x)=\frac{h}{h_1(1-x)}\bigl[xR_{2r-1}^0(x,t_1)-x^3R_{2r-1}^0(x,t_2)\bigr].
\end{equation*}
\notag
Многочлен, стоящий в квадратных скобках в последнем выражении, имеет степень 2r+2 и нули в точках x=0 и x=1. Покажем с помощью леммы 2, что остальные 2r корней этого многочлена отрицательны и просты.
Выберем произвольное число \xi\in (t_1,t_2) (например, можно взять \xi=0.5). Из леммы 2 вытекают неравенства \eta_j(t_2)< \eta_j(\xi)<\eta_j(t_1), j=1,2,\dots,2r-1, а также равенства
\begin{equation*}
\operatorname{sign}R_{2r-1}^0(\eta_j(\xi),t_1)=(-1)^j, \quad \operatorname{sign}R_{2r-1}^0(\eta_j(\xi),t_2)=(-1)^{j+1}, \qquad j=1,2,\dots,2r-1.
\end{equation*}
\notag
Поэтому \operatorname{sign}U_{2r+1}(\eta_j(\xi))=(-1)^{j+1}, j=1,2,\dots,2r-1, и многочлен U_{2r+1}(x) имеет 2r-2 отрицательных нулей на интервале (\eta_{2r-1}(\xi),\eta_1(\xi)). Неравенства c_0>0, c_{2r-1}>0 (см. первое утверждение леммы 2 при n=2r-1) и U_{2r+1}(\eta_{2r-1}(\xi))> 0, U_{2r+1}(\eta_1(\xi))>0 позволяют утверждать о наличии у многочлена U_{2r+1}(x) еще двух корней, одного на полуоси (-\infty, \eta_{2r-1}(\xi)), а другого – на интервале (\eta_1(\xi),0). Поэтому первая часть леммы 4 полностью доказана. Далее из равенства (2.3) и определения (1.1) функции H_{2r-1}(t) с учетом леммы 1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |U_{2r+1,\delta}(-1)| &=\biggl|\frac{h^2}{h_1\delta}\sum_{j=0}^{2r+1}(-1)^j\int_{0.5}^{0.5+\delta}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r-1} (-1)^{2r-1-l}\mu_l \\ &\qquad \times\varphi_{2r-1}((l+z+2-j-t)h_+)\,dz \biggr| \\ &=\biggl|\frac{1}{\delta} \int_{0.5}^{0.5+\delta}H_{2r-1}(t)\,dt\biggr|\underset{\delta\to +0}{\longrightarrow} \biggl|H_{2r-1}\biggl(\frac12\biggr)\biggr|=\|H_{2r-1}\|_{C[0,1]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 4 доказана. Следствие 1. Существует такое положительное число \delta_{0,2r-1}, что при любом \delta\colon 0<\delta<\delta_{0,2r-1} все 2r нулей многочлена U_{2r+1,\delta}(x)/x являются отрицательными и простыми. Пусть теперь n=2r, r\in \mathbb N. Для построения \mathcal L-сплайна положим
\begin{equation*}
u(t)=\mathcal L_{2r}(D)f_{\delta}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{Z_m}{\delta},& \displaystyle t\in \biggl[\biggl(m-\frac{\delta}{2}\biggr)h,\biggl(m+\frac{\delta}{2}\biggr)h\biggr), \\ \displaystyle 0,& \displaystyle t\not\in \biggl[\biggl(m-\frac{\delta}{2}\biggr)h,\biggl(m+\frac{\delta}{2}\biggr)h\biggr), \end{cases} \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
Здесь снова число \delta\,{>}\,0, которое в дальнейшем устремим к нулю, и числа \{Z_m\}_{m=-\infty}^{\infty} подлежат дальнейшему определению. При этом равенство (2.1) переписывается в виде
\begin{equation}
\Delta_h^{\mathcal L_{2r}}y_m=\sum_{j=0}^{2r+2}\overline{B}_jZ_{m-1+j}, \qquad m\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{2.6}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \overline{B}_0 &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0}^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r} ((l+z+1-t)h_+)\,dz, \\ \notag \overline{B}_j &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0}^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r} ((l+z+1-j-t)h_+)\,dz \\ \notag &\qquad +\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{1-\delta/2}^{1}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r} ((l+z+2-j-t)h_+)\,dz, \\ \notag j&=1,2,\dots,2r+1, \\ \overline{B}_{2r+2} &=\frac{h^2}{h_1\delta} \int_{1-\delta/2}^{1}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l+z-2r-t)h_+)\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
Лемма 5. Характеристический многочлен U_{2r+2,\delta}(x)=\sum_{j=0}^{2r+2}\overline{B}_jx^j разностного уравнения (2.6) является возвратным. Доказательство. Нетрудно заметить, что для достаточно малых положительных чисел \delta имеют место равенства \overline{B}_0=\overline{B}_{2r+2}=0. Для доказательства леммы 5 требуется проверить равенство \overline{B}_j=\overline{B}_{2r+2-j}, j=1,2,\dots,2r+1. После замен 1-t=t', z=-z' (опуская штрихи) из (2.7) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{B}_j &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{1-\delta/2}^{1}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+t)h_+)\,dz \\ &\qquad +\frac{h^2}{h_1\delta}\int_0^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+1+t)h_+)\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из индуктивного определения функции \varphi_n (см. [14; равенство (2.33)]) следует, что функция \varphi_{2r} является нечетной (например, для оператора \mathcal L_{2r}(D)=D^{2r} функция \varphi_{2r}(t)=t^{2r-1}/(2r-1)!). Теперь, применяя равенства u_++u_-=u и
\begin{equation*}
\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l f(x+mh)=0,\qquad x\in \mathbb R, \quad m\in \mathbb Z
\end{equation*}
\notag
(которое справедливо для любой функции f\in \operatorname{Ker}\mathcal L_{2r}), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{B}_j &=-\frac{h^2}{h_1\delta}\int_0^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+1+t)h_-)\,dz \\ &\qquad -\frac{h^2}{h_1\delta}\int^1_{1-\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+t)h_-)\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку оператор \mathcal L_{2r} является формально самосопряженным, то \mu_{2r-l}=\mu_l, l=0,1,\dots,2r. Поэтому из равенства (-u)_-=-u_+ после замены переменных 2r-l=l', опуская штрихи, окончательно получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{B}_j &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_0^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-2r+z+j-1-t)h_+)\,dz \\ &\qquad +\frac{h^2}{h_1\delta}\int^1_{1-\delta/2}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-2r+z+j-t)h_+)\,dz=\overline{B}_{2r+2-j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 5 доказана. Применяя равенства (2.4) при n=2r, аналогично случаю n=2r-1 для многочлена U_{2r+2,\delta}(x) получаем следующее представление:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{2r+2,\delta}(x) &=\frac{h}{h_1\delta(1-x)}\biggl[\int_0^{\delta/2}\biggl(xR^0_{2r}\biggl( x,t+\frac{h_1}{2h}\biggr)-x^2R_{2r}^0\biggl( x,1-\frac{h_1}{2h}+t\biggr)\biggr)\,dt \\ &\qquad +\int_{1-\delta/2}^1\biggl(xR^0_{2r}\biggl( x,\frac{h_1}{2h}-1+t\biggr)-x^2R_{2r}^0\biggl( x,t-\frac{h_1}{2h}\biggr)\biggr)\,dt\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Используя (2.5) при n=2r, отсюда получим
\begin{equation*}
U_{2r+2,\delta}(x)=\frac{1}{h_1(1-x)^2} \bigl[x\overline{A}_{1,\delta}(x)-x^2\overline{A}_{2,\delta}(x) +x\overline{A}_{3,\delta}(x)-x^2\overline{A}_{4,\delta}(x) \bigr],
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{A}_{1,\delta}(x)=\frac{1}{\delta} \biggl(\widetilde{R}_{2r+1}\biggl(x,\overline{t}_1 +\frac{\delta}{2}\biggr)-\widetilde{R}_{2r+1}(x,\overline{t}_1)\biggr), \\ \overline{A}_{2,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\biggl(\widetilde{R}_{2r+1} \biggl(x,\overline{t}_2+\frac{\delta}{2}\biggr)-\widetilde{R}_{2r+1}(x,\overline{t}_2)\biggr), \\ \overline{A}_{3,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\biggl(\widetilde{R}_{2r+1} (x,\overline{t}_1)-\widetilde{R}_{2r+1} \biggl(x,\overline{t}_1-\frac{\delta}{2}\biggr)\biggr), \\ \overline{A}_{4,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\biggl(\widetilde{R}_{2r+1} (x,\overline{t}_2)-\widetilde{R}_{2r+1} \biggl(x,\overline{t}_2-\frac{\delta}{2}\biggr)\biggr) \\ 0<\overline{t}_2=1-\frac{h_1}{2h}<\frac12, \qquad \frac12<\overline{t}_1=\frac{h_1}{2h}<1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Из полученных равенств и равенства (2.5) при n=2r имеем
\begin{equation}
U_{2r+2}(x)=\lim_{\delta\to +0}U_{2r+2,\delta}(x)=\frac{h}{h_1(1-x)} \bigl[xR_{2r}^0(x,\overline{t}_1)-x^2R_{2r}^0(x,\overline{t}_2)\bigr].
\end{equation}
\tag{2.8}
Лемма 6. 1. Многочлен U_{2r+2}(x) является возвратным многочленом степени 2r+1, и U_{2r+2}(0)=0. Остальные 2r нулей этого многочлена являются отрицательными и простыми. 2. |U_{2r+2}(-1)|=\|H_{2r}\|_{C[0,1]}=|H_{2r}(0)|. Доказательство. Первая часть утверждения 1 леммы 6 следует из равенства \overline{B}_0=\overline{B}_{2r+2}=0. Таким образом, для доказательства второй части утверждения 1 достаточно установить, что многочлен U_{2r+2}(x) имеет на интервале (0,1) ровно r отрицательных простых корней, поскольку в силу леммы 5 он также является возвратным.
Пусть \xi – любое число из интервала (\overline{t}_1,1). Из леммы 2 при n=2r имеем \eta_j(\xi)<\eta_j(\overline{t}_1)<\eta_j(\overline{t}_2), j=1,2,\dots,2r. При этом, поскольку \eta_{r+1}=-1 (лемма 3), то \eta_r(\xi)>-1=\eta_{r+1}. Снова из леммы 2 имеем
\begin{equation*}
\operatorname{sign}R_{2r}^0(\eta_j(\xi),\overline{t}_1)=(-1)^{j+1}, \quad \operatorname{sign}R_{2r}^0(\eta_j(\xi),\overline{t}_2)=(-1)^{j+1}, \qquad j=1,2,\dots,r.
\end{equation*}
\notag
Тогда из (2.8) выводим, что \operatorname{sign}U_{2r+2}(\eta_j(\xi))=(-1)^{j}, j=1,2,\dots,r. Поэтому на интервале (\eta_r(\xi),(\eta_1(\xi)))\subset (-1,0) многочлен U_{2r+2}(x) имеет по меньшей мере r-1 отрицательных корней. В силу первого утверждения леммы 3 \operatorname{sign} R_{2r}^0(-1,t)=(-1)^r, 0<t<1, и, следовательно, из (2.8) получим, что \operatorname{sign}U_{2r+2}(-1)=(-1)^{r+1}. Но \operatorname{sign} U_{2r+2}(\eta_r(\xi))=(-1)^r. Отсюда следует наличие еще одного отрицательного корня у многочлена U_{2r+2}(x) на интервале (-1,\eta_r(\xi)). Поскольку многочлен является возвратным, у него еще имеется ровно r отрицательных корней на полуоси (-\infty,-1). Таким образом, утверждение леммы 6 о нулях многочлена U_{2r+2}(x) полностью доказано. Далее из определения многочлена U_{2r+2,\delta}(x), равенства (2.7) и леммы 1 с учетом равенства H_{2r}(t+1)=-H_{2r}(t) (см. раздел 1) имеем
\begin{equation*}
|U_{2r+2,\delta}(-1)|=\biggl| \frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta/2}H_{2r}(t)\,dt- \frac{1}{\delta}\int_{1-\delta/2}^1 H_{2r}(t)\,dt\biggr|\underset{\delta\to +0}{\longrightarrow} |H_{2r}(0)|=\|H_{2r}\|_{C[0,1]}.
\end{equation*}
\notag
Лемма 6 полностью доказана. Следствие 2. Существует такое положительное число \delta_{0,2r}, что при любом \delta\colon 0<\delta<\delta_{0,2r} все 2r нулей многочлена U_{2r+2,\delta}(x)/x степени 2r являются отрицательными и простыми. 3. Оценки сверху и снизу величины A_1(\mathcal L_n,h,h_1)Теорема A. Если все нули многочлена U_n(x)=\sum_{j=0}^n \widetilde{B}_jx^j, \widetilde{B}_j\in \mathbb R, \widetilde{B}_n\ne 0, отрицательны и просты, U_{n}(-1)\ne 0, то разностное уравнение
\begin{equation*}
\sum_{j=0}^n\widetilde{B}_jZ_{m+j}= K_m, \qquad m\in \mathbb Z, \quad K=\{K_m\}_{m=-\infty}^{\infty}\in l_p, \quad 1\leqslant p\leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
имеет единственное решение Z^0=\{Z_m^0\}_{m=-\infty}^{\infty}\in l_p, выражаемое формулой Z_m^0=\sum_{s=-\infty}^{\infty}a_{-s-m}K_s, где \sum_{s=-\infty}^{\infty}a_s x^s=1/U_n(x), для которого справедлива оценка \|Z^0\|_{l_p}\leqslant \|K\|_{l_p}/|U_n(-1)|. Существование решения разностного уравнения в теореме A доказано Крейном [19], а оценка сверху нормы этого решения получена Субботиным [8]. В силу доказанного в предыдущем разделе (леммы 4, 6 и следствия 1, 2) характеристические многочлены U_{2r+1,\delta}(x)/x и U_{2r+2,\delta}(x)/x разностных уравнений (2.2) и (2.6) при \delta\to +0 удовлетворяют всем условиям теоремы A, которую применим при p=1. Поэтому каждое из этих разностных уравнений при любом фиксированном достаточно малом положительном числе \delta для любой последовательности y\in Y_{h,1} имеет единственное решение Z_{\delta}^0=\{ Z_{m,\delta}^0\}_{m=-\infty}^{\infty}\in l_1, и для каждого из этих решений справедлива единообразно записываемая оценка
\begin{equation}
\lim_{\delta\to +0}\|Z_{\delta}^0\|_{l_1}\leqslant \frac{1}{|U_{n+2}(-1)|}, \qquad n=2r-1,2r.
\end{equation}
\tag{3.1}
Данное утверждение, в частности, означает, что при 0<h<h_0, h<h_1<2h для любой последовательности y\in Y_{h,1} существует последовательность функций f_{\delta}\in F_{h,h_1,1}(y), и в силу (3.1), лемм 4 и 6 справедлива оценка но при этом существование экстремальной функции f\in F_{h,h_1,1}(y), реализующей равенство в этом неравенстве, доказать на удается. Для полноты изложения следует отметить, что последовательность функций f_{\delta}\in F_{h,h_1,1}(y) мы строили (см. (2.1)), полагая
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_n}y_m=\Delta_h^{\mathcal L_n}\biggl(\frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}f(mh+t)\,dt\biggr), \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
При этом требуется обосновать, что функция f_{\delta} удовлетворяет не только этим условиям, а самим условиям интерполяции в среднем, т.е.
\begin{equation*}
y_m=\frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}f(mh+t)\,dt, \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
Этот факт при 0<h_1\leqslant h<h_0 доказан автором в [14] для любого линейного дифференциального оператора вида (0.1). В случае h<h_1<2h доказательство [14] отмеченного утверждения полностью сохраняется. Получим теперь оценку снизу величины A_1(\mathcal L_n,h,h_1). Рассмотрим любую последовательность y^*=\{y_m^*\}_{m=-\infty}^{\infty}\in Y_{h,1}, удовлетворяющую условию
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_n}y_m^*= \begin{cases} 1,& m=0, \\ 0,& m\ne 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Для любой функции f\in F_{h,h_1,1}(y^*) в [14; с. 230–231] при 0<h_1<h<h_0 для любого линейного дифференциального оператора \mathcal L_n вида (0.1) (не обязательно, формально самосопряженного) доказано неравенство \|\mathcal L_n(D)f\|_{L_1(\mathbb R)}\geqslant (\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1}. При h<h_1<2h доказательство в работе [14] отмеченного утверждения (случай \mathcal L_n(D)= D^n см. в [12]) полностью сохраняется. Поэтому при h<h_1<2h для величины A_1(\mathcal L_n,h,h_1) справедлива оценка снизу совпадающая с оценкой сверху (3.1). Теорема 1 полностью доказана. Следствие 3. Пусть 0<h<h_0=\pi/\max \alpha_s, и \mathcal L_n(D) – произвольный линейный дифференциальный формально самосопряженный оператор вида (0.1). Тогда Доказательство этого утверждения следует из того факта, что при h_1=2h функция H_n(t)\equiv 0 (см. (0.4)) и предельного перехода при h_1\to 2h в теореме 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{She24}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|