| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Периодические меры Гиббса и их экстремальность для модели Н. М. Хатамовa  a Институт математики им. В. И. Романовского АН РУз, г. Ташкент, Узбекистан
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010085 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОсновной задачей теории мер Гиббса является описание всех мер Гиббса для данного гамильтониана. Известно, что каждой предельной мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Поэтому в теории мер Гиббса одной из важных задач является существование фазового перехода, т.е. когда физическая система меняет свое состояние при изменении температуры. Это происходит, когда количество мер при изменении температуры меняется. При этом температура, при которой меняется состояние физической системы, обычно называется критической. Кроме того, известно, что множество всех предельных мер Гиббса образует непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех вероятностных мер и каждая точка этого выпуклого множества однозначно разлагается по его экстремальным точкам. В связи с этим особый интерес представляет описание всех экстремальных точек этого выпуклого множества, т.е. экстремальных мер Гиббса (см. [1]–[4]). В работе Мазеля и Сухова была введена и изучена модель “hard core” ($\mathrm{HC}$-модель) на $d$-мерной решетке $Z^d$ (см. [5]). Работы [6]–[11] посвящены изучению мер Гиббса для $\mathrm{HC}$-модели с двумя состояниями на дереве Кэли. В частности, в работе [9] дано полное описание слабо периодических мер Гиббса для $\mathrm{HC}$-модели при любых значениях параметров в случае нормального делителя индекса $2$. В работе [12] выделены плодородные $\mathrm{HC}$-модели, соответствующие графам “петля”, “свисток”, “жезл” и “ключ”. Работы [13]–[16] посвящены изучению мер Гиббса для плодородных $\mathrm{HC}$-моделей с тремя состояниями на дереве Кэли порядка $k>1$. В частности, в работах [14] и [15] в случаях графов “петля” и “жезл” дано полное описание трансляционно-инвариантных мер Гиббса (ТИМГ) на дереве Кэли порядка $k=2$ и $k=3$ соответственно, а в работе [16] в этих случаях доказано существование не менее трех ТИМГ на дереве Кэли произвольного порядка и изучена экстремальность ТИМГ при $k=2$. В многочисленных работах (см., например, [13], [14]) изучены периодические меры Гиббса на дереве Кэли для различных моделей статистической механики. Эти меры в основном трансляционно-инвариантные, либо периодические с периодом два. Модель Блюма–Капеля – эта двумерная спиновая система, где спин может принимать три значения: $-1,0,1$. Первоначально он был введен для изучения $He^3-He^4$ фазового перехода (см. [17]). Можно думать о ней как о системе частиц со спином. Значение $\sigma(x)=0$ спина на узле решетки (или на узле дерева) $x$ будет соответствовать отсутствию частиц (вакансия), в то время как значения $\sigma(x)=-1,1$ будут соответствовать присутствию на узле $x$ частицы со спином $-1,1$ соответственно (см.[17]–[19]). По поводу других результатов по модели Блюма–Капеля смотрите, например [20]–[26]. В частности, в работе [20] рассмотрены ТИМГ для модели Блюма–Капеля на дереве Кэли порядка $k$. Найдено приближенное критическое значение температуры $T_{\mathrm{cr}}$ такое, что при $T\geqslant T_{\mathrm{cr}}$ существует единственная ТИМГ, а при $T< T_{\mathrm{cr}}$ существуют ровно три ТИМГ. В работе [21] рассмотрены ТИМГ для модели Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли порядка $k=2$. Найдено точное критическое значение $\theta_{\mathrm{cr}}=1$ такое, что при $\theta\geqslant\theta_{\mathrm{cr}}$ существует единственная ТИМГ, а при $0<\theta<\theta_{\mathrm{cr}}$ существуют ровно три ТИМГ. В работе [24] изучены ТИМГ для модели $\mathrm{HC}$-Блюма-Капеля в случае “жезл” с химическим потенциалом параметрами $(\theta,\eta)$ на дереве Кэли порядка $k=2$. Доказано, что при $\eta\leqslant\theta^3$ существует единственная ТИМГ, а при $\eta>\theta^3$ существуют ровно три ТИМГ. В [25] рассмотрены ТИМГ для модели $\mathrm{HC}$-Блюма–Капеля в случае “обобщенный жезл” на дереве Кэли второго порядка. Найдено приближенное критическое значение $\theta_{\mathrm{cr}}$ такое, что при $\theta\geqslant\theta_{\mathrm{cr}}$ существует единственная ТИМГ, а при $0<\theta<\theta_{\mathrm{cr}}$ существуют ровно три ТИМГ. В работе [26] изучены периодические меры Гиббса для модели $\mathrm{HC}$-Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли второго порядка. Доказано, что в этом случае при $0<\theta<1$ существуют ровно три периодические меры Гиббса, являющиеся трансляционно-инвариантными, а при $\theta>1$ существуют ровно три периодические меры Гиббса, одна из которых является трансляционно-инвариантной, две другие периодическими (не трансляционно-инвариантными) с периодом два. Кроме того, изучена задача (не) экстремальности этих мер. В настоящей работе изучены периодические меры Гиббса для модели $\mathrm{HC}$-Блюма–Капеля в случае “жезл” с химическим потенциалом на дереве Кэли. Здесь обобщены все результаты из работы [26], т.е. область существования единственных и неединственных периодических мер Гиббса и область (не)экстремальности этих мер расширена. Структура работы такова: во п. 2 даны предварительные замечания; в п. 3 при $\theta^3\leqslant\eta$ доказано существование трех периодических мер Гиббса, являющихся трансляционно-инвариантными, и при $\theta^3>\eta$ доказано существование ровно трех периодических мер Гиббса, одна из которых является трансляционно- инвариантной, а две другие два-периодическими (не трансляционно-инвариантными); в п. 4 изучена задача экстремальности этих двух два-периодических мер Гиббса. 2. Предварительные замечанияДерево Кэли $\Gamma^k=(V,L)$ порядка $k\geqslant 1$ – это бесконечное дерево, т.е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно $k+1$ ребер, где $V$ есть множество вершин $\Gamma^k$, $L$ – его множество ребер. Пусть $i$ – функция инцидентности, сопоставляющая каждому ребру $l\in L$ его концевые точки $x,y\in V$. Если $i(l)=\{x,y\}$, то вершины $x$ и $y$ называются ближайшими соседями и обозначаются через $\langle x,y\rangle$. Для фиксированной $x^0\in V$ положим
$$
\begin{equation*}
W_n=\{x\in V\mid d(x,x^0)=n\},\qquad V_n=\bigcup_{m=0}^nW_m,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d(x,y)$ есть расстояние между вершинами $x$ и $y$ на дереве Кэли, т.е. количество ребер кратчайшего пути, соединяющего вершины $x$ и $y$. Будем писать $x\prec y$, если путь от $x^0$ до $y$ проходит через $x$. Вершину $y$ назовем прямым потомком вершины $x$, если $y\succ x$ и $x$, $y$ являются ближайшими соседями. Заметим, что в $\Gamma^k$ всякая вершина $x\ne x^0$ имеет $k$ прямых потомков, а вершина $x^0$ имеет $k+1$ потомков. Множество прямых потомков вершины $x$ обозначим через $S(x)$, т.е. если $x\in W_n$, то
$$
\begin{equation*}
S(x)=\{y_i\in W_{n+1}\mid d(x,y_i)=1,\,i=1,2,\dots,k \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим модель, где спин принимает значения из множества $\Phi=\{-1,0,1\}$. Тогда конфигурация $\sigma$ на $V$ определяется как функция $x\in V\to\sigma(x)\in\Phi$; множество всех конфигураций совпадает с $\Omega=\Phi^V$. Пусть $A\subset V$. Обозначим через $\Omega_A$ пространство конфигураций, определенных на множестве $A$. Рассмотрим граф с тремя вершинами $-1,0,1$ (на множестве значений $\sigma(x)$), который имеет следующий вид (см. [4], [21]):
$$
\begin{equation*}
\textit{жезл}:\qquad \{0,-1\},\{0,1\},\{-1,-1\},\{1,1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Гамильтониан модели Блюма–Капеля определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
H(\sigma)=J\sum_{\langle x,y\rangle,\,x,y\in V}(\sigma(x)-\sigma(y))^2 +\alpha\sum_{x\in V}\sigma^2(x),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $J\in \mathbb R$ и $\alpha\in \mathbb R$ – химический потенциал. Пусть $O=\{\text{жезл}\}$, $G\in O$. Конфигурация $\sigma$ называется $G$-допустимой конфигурацией на дереве Кэли (в $V_n$), если $\{\sigma(x),\sigma(y)\}$ – ребро $G$ для любой ближайшей пары соседей $x$, $y$ из $V$ (из $V_n$). Обозначим множество $G$-допустимых конфигураций через $\Omega^G(\Omega_{V_n}^G)$. Пусть $h\colon x\mapsto h_x=(h_{-1,x},h_{0,x},h_{1,x})\in \mathbb R^3$ – вещественная векторнозначная функция относительно переменной $x\in V\setminus\{x^0\}$. Рассмотрим вероятностное распределение $\mu^{(n)}$ на $\Omega_{V_n}^G$:
$$
\begin{equation}
\mu^{(n)}(\sigma_n)=Z_n^{-1}\exp\biggl\{-\beta H(\sigma_n) +\sum_{x\in W_n}\widetilde h_{\sigma(x),x}\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\sigma_n\in\Omega_{V_n}^G$, $Z_n=\sum_{\overline\sigma_n\in\Omega_{V_n}^G}\exp\bigl\{-\beta H(\overline\sigma_n) +\sum_{x\in W_n}h_{\overline\sigma(x),x}\bigr\}$ и $h_ {\overline\sigma,x}\in \mathbb R$. Говорят, что вероятностное распределение $\mu^{(n)}$, $n\geqslant 1$, согласованно, если
$$
\begin{equation}
\sum_{\sigma^{(n)}}\mu^{(n)}(\sigma_{n-1},\sigma^{(n)})=\mu^{(n-1)}(\sigma_{n-1})
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
для всех $n\geqslant 1$ и $\sigma_{n-1}\in\Omega_{V_{n-1}}^G$. В этом случае существует единственная мера $\mu$ на $\Omega_V^G$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\mu(\{\sigma\mid_{V_n}=\sigma_{n}\})=\mu^{(n)}(\sigma_n)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\geqslant 1$ и $\sigma_n\in\Omega_{V_n}^G$. Следующее утверждение описывает условие на $\widetilde h_x$, обеспечивающее согласованность $\mu^{(n)}(\sigma_n)$ для модели Блюма–Капеля. Теорема 1 [24]. Пусть $k\geqslant 2$. Последовательность вероятностных распределений $\mu^{(n)}(\sigma_n)$, $n=1,2,\dots$, в (2.2) является согласованной тогда и только тогда, когда для любого $x\in V$ имеет место следующее функциональное уравнение: где $\theta=\exp\{-J\beta\}$, $\eta=\exp\{-\alpha\beta\}$, $\beta=1/T$, вектор $h_x=(\widetilde h_{1,x}-\widetilde h_{0,x},\widetilde h_{-1,x}-\widetilde h_{0,x})$ и функция $F(\,\cdot\,,\theta,\eta)\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$, где $F(h,\theta,\eta)=(F_1(h,\theta,\eta),F_{-1}(h,\theta,\eta))$ определяется следующим образом: $h=(h_1,h_{-1})$, $i=-1,1$.3. Периодические меры ГиббсаИзвестно, что дерево Кэли представляется как группа $G_k$, являющаяся свободным произведением $k+1$ циклических групп второго порядка с образующими $a_1,a_2,\dots,a_{k+1}$ [4]. Пусть $\widehat G_k-$ подгруппа группы $G_k$. Определение 1. Совокупность векторов $h=\{h_x,\,x\in G_k\}$ называется $\widehat G_k$-периодической, если $h_{yx}=h_x$, для всех $ x\in G_k$, $y\in\widehat G_k$. $G_k$-периодические совокупности называются трансляциионно-инвариантными. Определение 2. Мера $\mu$ называется $\widehat G_k$-периодической, если она соответствует $\widehat G_k$-периодической совокупности векторов $h$. Для функции $F(h,\theta,\eta)$ справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть $\theta\ne 1$ и $\eta>0$. Равенство $F(h,\theta,\eta)=F(u,\theta,\eta)$ выполняется тогда и только тогда, когда $h=u$. Доказательство. То, что из $h=u$ следует $F(h,\theta,\eta)=F(u,\theta,\eta)$, очевидно. Докажем обратное, т.е. покажем, что равенство $F(h,\theta,\eta)=F(u,\theta,\eta)$ влечет за собой $h=u$. Значения $F_i$ при $h$ и $u$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_i(h) &=\ln\frac{\theta^{(-1-i)^2}\eta e^{h_{-1}}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta e^{h_1}} {\theta\eta e^{h_{-1}}+1+\theta\eta e^{h_1}}\,, \\ F_i(u) &=\ln\frac{\theta^{(-1-i)^2}\eta e^{u_{-1}}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta e^{u_1}} {\theta\eta e^{u_{-1}}+1+\theta\eta e^{u_1}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения $e^{h_i}=z_i$, $e^{u_i}=t_i$, $e^{F_i(h)}=K_i(h)$, $i=-1,1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_i(h) &=\frac{\theta^{(-1-i)^2}\eta z_{-1}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta z_1} {\theta\eta z_{-1}+1+\theta\eta z_1}\,, \\ K_i(u) &=\frac{\theta^{(-1-i)^2}\eta t_{-1}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta t_1} {\theta\eta t_{-1}+1+\theta\eta t_1}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Надо показать, что из $K_i(h)-K_i(u)=0$ следует, что $h-u=0$. Действительно, рассмотрим разность
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_i(h)-K_i(u) &=\frac{\theta^{(-1-i)^2}\eta z_{-1}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta z_1} {\theta\eta z_{-1}+1+\theta\eta z_1} -\frac{\theta^{(-1-i)^2}\eta t_{-1}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta t_1} {\theta\eta t_{-1}+1+\theta\eta t_1} \\ &=\frac{1}{(\theta\eta z_{-1}+1+\theta\eta z_1)(\theta\eta t_{-1}+1+\theta\eta t_1)} \\ &\qquad{}\times\bigl((\theta^{(-1-i)^2}\eta z_{-1}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta z_1) (\theta\eta t_{-1}+1+\theta \eta t_1) \\ &\qquad\qquad{}-(\theta^{(-1-i)^2}\eta t_{-1}+\theta+\theta^{(-1+i)^2}\eta t_1) (\theta \eta z_{-1}+1+\theta \eta z_1)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_i(h)-K_i(u) &=M\cdot\bigl((\eta(\theta^{(-1-i)^2}-\theta^2) +\eta^2\theta(\theta^{(-1-i)^2}-\theta^{(-1+i)^2})t_1)(z_{-1}-t_{-1}) \\ &\qquad{}+(\eta(\theta^{(-1+i)^2}-\theta^2) -\eta^2\theta(\theta^{(-1-i)^2}-\theta^{(-1+i)^2})t_{-1})(z_1-t_1)\bigr)=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M=\frac{1}{(\theta\eta z_{-1}+1+\theta\eta z_1)(\theta\eta t_{-1}+1+\theta \eta t_1)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, введя обозначения $b_i=z_i-t_i$, $i=-1,1$, получим систему уравнений относительно переменных $b_i$, $i=-1,1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} K_1(h)-K_1(u) \\ \quad=M\eta(\theta^2-1)\bigl[(\theta^2+\eta\theta(\theta^2+1)t_1)b_{-1} -(1+\eta\theta(\theta^2+1)t_{-1})b_1\bigr]=0, \\ K_{-1}(h)-K_{-1}(u) \\ \quad=M\eta(\theta^2-1)\bigl[-(1+\eta\theta(\theta^2+1)t_1)b_{-1} +(\theta^2+\eta\theta(\theta^2+1)t_{-1})b_1\bigr]=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. при $\theta\ne1$ и $\eta>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \bigl(\theta^2+\eta\theta(\theta^2+1)t_1\bigr)b_{-1} -\bigl(1+\eta\theta(\theta^2+1)t_{-1}\bigr)b_1=0, \\ -\bigl(1+\eta\theta(\theta^2+1)t_1\bigr)b_{-1} +\bigl(\theta^2+\eta\theta(\theta^2+1)t_{-1}\bigr)b_1=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
которая, как известно, имеет нулевое решение, если определитель отличен от нуля, где $A-$ матрица данной системы. Данный определитель равен Ясно, что $\det A\ne 0$, так как $\theta>0$, $\theta\ne 1$, $\eta>0$, $t_i>0$, $i=-1,1$. Это значит, что $b_i=z_i-t_i=0$, т.е. $h=u$. Теорема доказана. Справедлива следующая теорема. Теорема 3. Пусть $H$ – нормальный делитель конечного индекса в $G_k$. Тогда для модели Блюма–Капеля с химическим потенциалом все $H$-периодические меры Гиббса являются либо $G_k^{(2)}$-периодическими, либо трансляционно-инвариантными, где $G_k^{(2)}=\{x\in G_k\colon |x| -\text{четное число}\}$. Доказательство. С использованием этой теоремы доказательство аналогично доказательству теоремы 2 в [13]. В силу теоремы 3 для рассматриваемой модели имеются только $G_k^{(2)}$-периодические меры Гиббса, которые соответствуют совокупности векторов $h=\{h_x\in \mathbb R^2\!: x\in G_k\}$ вида
$$
\begin{equation*}
h_x=\begin{cases} h^1, &\text{если }x\in G_k^{(2)}, \\ h^2, &\text{если }x\in G_k\setminus G_k^{(2)}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $h^1=(h_1^1,h_2^1)$, $h^2=(h_1^2,h_2^2)$. Тогда в силу (2.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} h^1=kF(h^2,\theta,\eta), \\ h^2=kF(h^1,\theta,\eta), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} h_1^1=kln\dfrac{\theta^4\eta\exp(h_2^2)+\theta+\eta\exp(h_1^2)} {\theta\eta\exp(h_2^2)+1+\theta\eta\exp(h_1^2)}\,, \\ h_1^2=kln\dfrac{\theta^4\eta\exp(h_2^1)+\theta+\eta\exp(h_1^1)} {\theta\eta\exp(h_2^1)+1+\theta\eta\exp(h_1^1)}\,, \\ h_2^1=kln\dfrac{\eta\exp(h_2^2)+\theta+\theta^4\eta\exp(h_1^2)} {\theta\eta\exp(h_2^2)+1+\theta\eta\exp(h_1^2)}\,, \\ h_2^2=kln\dfrac{\eta\exp(h_2^1)+\theta+\theta^4\eta\exp(h_1^1)} {\theta\eta\exp(h_2^1)+1+\theta\eta\exp(h_1^1)}\,, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения $\exp(h_1^1)=z_1$, $\exp(h_2^1)=z_2$, $\exp(h_1^2)=z_3$, $\exp(h_2^2)=z_4$. Тогда последнюю систему уравнений можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z_1=\biggl(\dfrac{\theta^4\eta z_4+\theta+\eta z_3} {\theta\eta z_4+1+\theta\eta z_3}\biggr)^k, \\ z_2=\biggl(\dfrac{\eta z_4+\theta+\theta^4\eta z_3} {\theta\eta z_4+1+\theta\eta z_3}\biggr)^k, \\ z_3=\biggl(\dfrac{\theta^4\eta z_2+\theta+\eta z_1} {\theta\eta z_2+1+\theta\eta z_1}\biggr)^k, \\ z_4=\biggl(\dfrac{\eta z_2+\theta+\theta^4\eta z_1} {\theta\eta z_2+1+\theta\eta z_1}\biggr)^k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
В случае “жезл” система уравнений (3.1) примет вид (см. [24]):
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z_1=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_3}{\theta\eta z_4+\theta\eta z_3}\biggr)^k, \\ z_2=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_4}{\theta\eta z_4+\theta\eta z_3}\biggr)^k, \\ z_3=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1}{\theta\eta z_2+\theta\eta z_1}\biggr)^k, \\ z_4=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_2}{\theta\eta z_2+\theta\eta z_1}\biggr)^k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Доказательство. 1. Пусть $z_1=z_2$. Тогда из третьего и четвертого уравнений системы (3.2) получим, что $z_3=z_4$, а при $z_3=z_4$ из первого и второго уравнений указанной системы, аналогично, получим, что $z_1=z_2$.
2. При $z_1=z_3$ первое и третье уравнения (3.2) можно переписать
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} z_1=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1}{\theta\eta z_1+\theta\eta z_4}\biggr)^k, \\ z_1=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1}{\theta\eta z_1+\theta\eta z_2}\biggr)^k, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получим $z_2=z_4$.
3. Доказывается аналогично. Лемма доказана. Рассмотрим отображение $W\colon \mathbb R^4\to \mathbb R^4$, определенное следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z'_1=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_3}{\theta\eta z_3+\theta\eta z_4}\biggr)^k, \\ z'_2=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_4}{\theta\eta z_3+\theta\eta z_4}\biggr)^k, \\ z'_3=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1}{\theta\eta z_1+\theta\eta z_2}\biggr)^k, \\ z'_4=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_2}{\theta\eta z_1+\theta\eta z_2}\biggr)^k. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Заметим, что (3.2) есть уравнение $z=W(z)$. Чтобы решить систему уравнений (3.2), надо найти неподвижные точки отображения $z'=W(z)$. Справедлива Лемма 2. Отображение $W$ имеет инвариантные множества следующих видов:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} I_1 &=\{z\in \mathbb R^4\colon z_1=z_2=z_3=z_4\}, &\qquad I_2 &=\{z\in \mathbb R^4\colon z_1=z_3,\, z_2=z_4\}, \\ I_3 &=\{z\in \mathbb R^4\colon z_1=z_4,\,z_2=z_3\}, &\qquad I_4 &=\{z\in \mathbb R^4\colon z_1=z_2,\,z_3=z_4\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Инвариантность множеств $I_1$ и $I_2$ очевидна. Покажем инвариантность $I_3$ (инвариантность $I_4$ доказывается аналогично). Для любого $z^\ast=(z_1^\ast,z_2^\ast,z_3^\ast,z_4^\ast)\in I_3$ из (3.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} z_1'=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_3^\ast}{\theta\eta z_3^\ast+\theta\eta z_4^\ast}\biggr)^k =\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_2^\ast}{\theta\eta z_1^\ast+\theta\eta z_2^\ast}\biggr)^k, \\ z_2'=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_4^\ast}{\theta\eta z_3^\ast+\theta\eta z_4^\ast}\biggr)^k =\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1^\ast}{\theta\eta z_1^\ast+\theta\eta z_2^\ast}\biggr)^k, \\ z_3'=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1^\ast}{\theta\eta z_1^\ast+\theta\eta z_2^\ast}\biggr)^k =\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1^\ast}{\theta\eta z_1^\ast+\theta\eta z_2^\ast}\biggr)^k, \\ z_4'=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_2^\ast}{\theta\eta z_1^\ast+\theta\eta z_2^\ast}\biggr)^k =\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_2^\ast}{\theta\eta z_1^\ast+\theta\eta z_2^\ast}\biggr)^k, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $z_1'=z_4'$, $z_2'=z_3'$, а значит $z'=W(z^\ast)\in I_3$. Лемма доказана. Замечание 1. В работе [24] рассмотрены инвариантные множества $I_i$, $i=1,2$. Заметим, что на инвариантных множествах $I_i$, $i=1,2$, найденная $G_k^{(2)}$-периодическая мера Гиббса является трансляционно-инвариантной. Теорема 4. Пусть $k=2$ и $\theta_{\mathrm{cr}}=\sqrt[3]{\eta}$. Тогда для модели HC-Блюма–Капеля с химическим потенциалом справедливы следующие утверждения:
Доказательство. Случай $I_3$. Рассмотрим инвариантное множество $I_3$ при $\theta>0$, $\eta>0$ и $k=2$. Тогда система уравнений (3.2) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z_1=\dfrac{1}{(\theta\eta)^2}\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_2}{z_1+z_2}\biggr)^2, \\ z_2=\dfrac{1}{(\theta\eta)^2}\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1}{z_1+z_2}\biggr)^2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Вычитая второе уравнение этой системы из первого уравнения, получаем
$$
\begin{equation*}
(z_1-z_2)\biggl(1+\frac{\eta}{(\theta\eta)^2} \frac{2\theta+\eta(z_1+z_2)}{(z_1+z_2)^2}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $z_1=z_2$. Тогда система уравнений (3.4) имеет единственное решение $(z^*,z^*)$ при любых $\theta>0$ и $\eta>0$. Таким образом, решение системы уравнений (3.2) при $\theta>0$, $\eta>0$ и $k=2$ на инвариантном множестве $I_3$ имеет вид т.е. соответствующая $G_k^{(2)}$-периодическая мера Гиббса $\mu_0$ является трансляционно-инвариантной.
Случай $I_4$. Рассмотрим инвариантное множество $I_4$ при $\theta>0$, $\eta>0$ и $k=2$. Тогда система уравнений (3.2) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} z_1=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_3}{2\theta\eta z_3}\biggr)^2, \\ z_3=\biggl(\dfrac{\theta+\eta z_1}{2\theta\eta z_1}\biggr)^2 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\begin{cases} z_1=f(z_3), \\ z_3=f(z_1), \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(z)=\biggl(\frac{\theta+\eta z}{2\theta\eta z}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.5) получим
Ясно, что корни уравнения $z_1=f(z_1)$ также являются корнями уравнения (3.6). Поэтому, чтобы найти корни (3.6), отличные от корней уравнений $z_1=f(z_1)$, рассмотрим уравнение Разделив в левой части этого уравнения числитель на знаменатель, получим квадратное уравнение Дискриминант этого уравнения имеет вид Тогда при $\theta>\theta_{\mathrm{cr}}=\sqrt[3]{\eta}$ уравнение (3.7) имеет два положительных решения
$$
\begin{equation}
z_1^{(1)} =\frac{\theta(2\theta^3-\eta)+2\theta^2\sqrt{\theta(\theta^3-\eta)}}{\eta^2},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
$$
\begin{equation}
z_1^{(2)} =\frac{\theta(2\theta^3-\eta)-2\theta^2\sqrt{\theta(\theta^3-\eta)}}{\eta^2}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
У нас $z_1\ne z_3$. Тогда решение системы уравнений (3.5) имеет вид
$$
\begin{equation*}
(z_1^{(1)},z_3^{(1)})=(z_1^{(1)},z_1^{(2)}), \qquad (z_1^{(2)},z_3^{(2)})=(z_1^{(2)},z_1^{(1)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, система уравнений (3.5) при $\theta\leqslant\theta_{\mathrm{cr}}$ имеет единственное решение вида $z_1=z_3=z^\ast$, а при $\theta>\theta_{\mathrm{cr}}$ она, кроме решения $(z^\ast,z^\ast)$, имеет два положительные решения $(z_1^{(1)},z_1^{(2)})$ и $(z_1^{(2)},z_1^{(1)})$.
Таким образом, решения системы уравнений (3.2) при $\theta>\theta_{\mathrm{cr}}$ на инвариантном множестве $I_4$ имеют вид т.е. для решения $(z^\ast,z^\ast,z^\ast,z^\ast)$ соответствующая $G_k^{(2)}$-периодическая мера Гиббса $\mu_0$ является трансляционно-инвариантной и для решений соответствующие $G_k^{(2)}$-периодические меры Гиббса $\mu_1$, $\mu_2$ не трансляционно-инвариантны. Теорема доказана.4. Условия экстремальности мер $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$Экстремальность трансляционно-инвариантной меры Гиббса изучена в работе [24]. Поэтому будем рассматривать задачу экстремальности периодических (не трансляционно-инвариантных) мер Гиббса. Чтобы изучить (не)экстремальность $\mu_1$ и $\mu_2$, воспользуемся методами из работ [27]–[29] для трансляционно-инвариантных мер Гиббса и методами из работы [30] для периодических (не трансляционно-инвариантных) мер Гиббса с периодом два. Для каждой трансляционно-инвариантной меры рассматривается цепь Маркова с состояниями $\{-1,0,1\}$, индексированная на дереве Кэли, т.е. предположим, что нам даны дерево Кэли с множеством вершин $V$, вероятностная мера $\nu$ и матрица вероятностных переходов на множестве $\{-1,0,1\}$. Мы можем построить дерево, индексированное цепью Маркова $X\colon V\to\{-1,0,1\}$, путем выбора $X(x^0)$ в соответствии с $\nu$ и выбором $X(\upsilon)$ для каждой вершины $\upsilon\ne x^0$, используя вероятности перехода с учетом значения его родителя, независимо от всего остального. Так как трансляционно-инвариантные меры получаются при $z_1=z_2$, а матрица $\mathbb P$ зависит только от $z_1$, более точно (см. [24]) имеем
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}\equiv\mathbb{P}_{z_1}=\begin{pmatrix} \dfrac{\eta z_1}{\eta z_1+\theta} &\dfrac{\theta}{\eta z_1+\theta} &0 \\ \dfrac{1}{2} &0 &\dfrac{1}{2} \\ 0 &\dfrac{\theta}{\eta z_1+\theta} &\dfrac{\eta z_1}{\eta z_1+\theta} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Но в случае периодических мер матрица $\mathbb P$ зависит от $z_1$ и $z_2$, где $z_1\ne z_2$, $(z_1,z_1,z_2,z_2)$ – решение системы уравнений (3.2) и его компоненты имеют явный вид (3.8) и (3.9), т.е. $z_1=z_1^{(1)}$ и $z_2=z_1^{(2)}$. Точнее, имеем матрицу $\mathbb P\equiv\mathbb P_{z_1},_{z_2}=\mathbf P_{\mu_1}$ (соответственно $\mathbf P_{\mu_2}$) вероятностных переходов $P_{il}$, определенную данной периодической мерой Гиббса $\mu_1$ (соответственно $\mu_2$) (см. [30]). Заметим, что $\mathbf P_{\mu_1}$ – произведение двух матриц вероятностных переходов:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathbf P_{\mu_1} &=\mathbb P_{z_1}\mathbb P_{z_2}=\begin{pmatrix} \dfrac{z_1}{z_1+\theta} &\dfrac{\theta}{z_1+\theta} &0 \\ \dfrac{1}{2} &0 &\dfrac{1}{2} \\ 0 &\dfrac{\theta}{z_1+\theta} &\dfrac{z_1}{z_1+\theta} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \dfrac{z_2}{z_2+\theta} &\dfrac{\theta}{z_2+\theta} &0 \\ \dfrac{1}{2} &0 &\dfrac{1}{2} \\ 0 &\dfrac{\theta}{z_2+\theta} &\dfrac{z_2}{z_2+\theta} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \dfrac{2\eta^2z_1z_2+\theta(\eta z_2+\theta)}{2(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)} &\dfrac{\theta\eta z_1}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)} &\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\theta}{\eta z_1+\theta} \\ \dfrac{1}{2}\,\dfrac{\eta z_2}{\eta z_2+\theta} &\dfrac{\theta}{\eta z_2+\theta} &\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\eta z_2}{\eta z_2+\theta} \\ \dfrac{1}{2}\,\dfrac{\theta}{\eta z_1+\theta} &\dfrac{\theta\eta z_1}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)} &\dfrac{2\eta^2z_1z_2+\theta(\eta z_2+\theta)}{2(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Таким образом, матрица $\mathbf P_{\mu_1}$ определяет марковскую цепь на дереве Кэли порядка $k^2$, которое состоит из вершин исходного дерева в четных местах. Достаточное условие Кестена–Стигума неэкстремальности меры Гиббса $\mu_1$, соответствующей матрице $\mathbf P_{\mu_1}$: $k^2t_2^2>1$, где $t_2$ – второе по модулю максимальное собственное значение матрицы $\mathbf P_{\mu_1}$. Найдем собственные значения этой матрицы:
$$
\begin{equation*}
t_1=1,\qquad t_2=\frac{\eta^2z_1z_2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,,\qquad t_3=\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $k=2$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
z_1=\frac{\theta(2\theta^3-\eta)+2\theta^2\sqrt{\theta(\theta^3-\eta)}}{\eta^2}\,,\qquad z_2=\frac{\theta(2\theta^3-\eta)-2\theta^2\sqrt{\theta(\theta^3-\eta)}}{\eta^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу симметрии решений достаточно проверить условие неэкстремальности меры $\mu_1$ при $k=2$. Для этого вычислим $z_1z_2$ и $z_1+z_2$:
$$
\begin{equation*}
z_1z_2=\frac{\theta^2}{\eta^2}\,,\qquad z_1+z_2=\frac{4\theta^{4}-2\theta\eta}{\eta^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
t_2=t_3=\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}
\end{equation*}
\notag
$$
и, используя выражения для $z_1$ и $z_2$, Из $4t_2^2>1$ получим неравенство эквивалентное неравенству $\theta^3/\eta<1/2$. Но меры $\mu_1$ и $\mu_2$ существуют при $\theta^3/\eta>1$. Значит, эти меры заведомо являются экстремальными. Для исследования экстремальности применимы методы из работы [28]. Приведем необходимые определения из работы [28]. Если удалить произвольное ребро $\langle x^0,x^1\rangle =l\in L$ из дерева Кэли $\Gamma^k$, то оно разбивается на две компоненты: $\Gamma_{x^0}^k$ и $\Gamma_{x^1}^k$, каждая из которых называется полубесконечным деревом или полудеревом Кэли. Рассмотрим конечное полное поддерево $\Im$, которое содержит все начальные точки полудерева $\Gamma_{x^0}^k$. Граница $\partial\operatorname{Im}$ поддерева $\Im$ состоит из ближайших соседей его вершин, которые лежат в $\Gamma_{x^0}^k\setminus\Im$. Мы отождествляем поддерево $\Im$ с множеством его вершин. Через $E(A)$ обозначим множество всех ребер $A$ и $\partial A$. В работе [28] введены две ключевые величины $\kappa$ и $\gamma$, которые играют важную роль для исследования экстремальности трасляционно-инвариантных гиббсовских мер. Эти величины являются свойствами множества мер Гиббса $\{\mu_{\Im}^\tau\}$, где граничное условие $\tau$ фиксировано и $\Im$ является произвольным, начальным, полным, конечным поддеревом $\Gamma_{x^0}^k$. Для данного начального поддерева $\Gamma_{x^0}^k$ и вершины $x\in\Im$ мы будем писать $\Im_x$ для (максимального) поддерева $\Im$ с начальной точкой в $x$. Если же $x$ не является начальной точкой $\Im$, через $\{\mu_{\Im}^s\}$ обозначим меру Гиббса, в которой “предок” $x$ имеет спин $s$ и конфигурация на нижней границе $\Im_x$, (т.е. на $\partial\Im\setminus\{$“предок” $x\}$) задается через $\Gamma$. Для двух мер на $\Omega$ $\mu_1$ и $\mu_2$ введем расстояние по норме
$$
\begin{equation*}
\|\mu_1-\mu_2\|_x=\frac{1}{2}\sum_{i\in\{-1,0,1\}}|\mu_1(\sigma(x)=i)-\mu_2(\sigma(x)=i)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\zeta^{x,s}$ – конфигурация $\zeta$ со спином в $x$, установленная в $s$. Следуя [28], определим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa &\equiv\kappa(\mu)=\sup_{x\in\Gamma^k}\max_{x,s,s'}\|\mu_{\Im_x}^s-\mu_{\Im_x}^{s'}|_x, \\ \gamma &\equiv\gamma(\mu)=\sup_{A\subset\Gamma^k}\max\|\mu_A^{\zeta^{y,s}}-\mu_A^{\zeta^{y,s'}}\|_x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где максимум берется по всем граничным условиям $\zeta$, всем $y\in\partial A$, всем соседям $x\in A$ вершины $y$ и всем спинам $s$, $s'\in\{-1,0,1\}$. Достаточным условием экстремальности меры Гиббса $\mu$ является $k\kappa(\mu)\gamma(\mu)<1$, но для рассматриваемых $G_k^{(2)}$-периодических мер это условие выглядит (см. [30]) следующим образом: $k^2\kappa(\mu)\gamma(\mu)<1$. Заметим, что $\kappa$ имеет особенно простую формулу
$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{1}{2}\max{\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{il}-P_{jl}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ясно, что $|P_{il}-P_{jl}|=0$ при $i=j$. Используя (4.2), при $i\ne j$ вычислим Если $i=-1, j=0$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{-1l}-P_{0l}| =\frac{|\theta^2-\eta^2z_1z_2|+3\theta^2+\eta^2z_1z_2}{2(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}
\end{equation*}
\notag
$$
и, используя $z_1z_2=\theta^2/\eta^2$, получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{-1l}-P_{0l}| =\frac{2\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $i=-1, j=1$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{-1l}-P_{1l}| =\frac{2\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $i=0$, $j=1$, то и в этом случае получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{0l}-P_{1l}| =\frac{2\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, при $\theta^3>\eta$ имеем
$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценку для $\gamma$, подобно оценке в работе [28; с. 15], будем искать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\gamma=\max\bigl\{\bigl\|\mu_A^{\zeta^{y,0}}-\mu_A^{\zeta^{y,-1}}\bigr\|_x,\, \bigl\|\mu_A^{\zeta^{y,1}}-\mu_A^{\zeta^{y,-1}}\bigr\|_x,\, \bigl\|\mu_A^{\zeta^{y,1}}-\mu_A^{\zeta^{y,0}}\bigr\|_x\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\|\mu_A^{\zeta^{y,1}}-\mu_A^{\zeta^{y,0}}\bigr\|_x &=\frac{1}{2}\sum_{s\in\{-1,0,1\}} \bigl|\mu_A^{\zeta^{y, 1}}(\sigma(x)=s)-\mu_A^{\zeta^{y,0}}(\sigma(x)=s)\bigr| \\ &=\frac{1}{2}\bigl(|P_{1,-1}-P_{0,-1}|+|P_{1,0}-P_{0,0}|+|P_{1,1}-P_{0,1}|\bigr) \\ &=\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}, \\ \bigl\|\mu_A^{\zeta^{y,1}}-\mu_A^{\zeta^{y,-1}}\bigr\|_x &=\frac{1}{2}\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{1,l}-P_{-1,l}| =\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,, \\ \bigl\|\mu_A^{\zeta^{y,0}}-\mu_A^{\zeta^{y,-1}}\bigr\|_x &=\frac{1}{2}\sum_{l\in\{-1,0,1\}}|P_{0,l}-P_{-1,l}| =\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при $\theta^3>\eta$ получим
$$
\begin{equation*}
\gamma=\frac{\theta^2}{(\eta z_1+\theta)(\eta z_2+\theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $k=2$ для мер $\mu_1$ и $\mu_2$, соответствующих решениям $z_1$ и $z_2$, имеем $\kappa=\gamma=\eta/(4\theta^3)$. Тогда из условия $4\kappa\gamma<1$ получим неравенство эквивалентное неравенству $\theta^3>(1/2)\eta$. Следовательно, в случае $k=2$ условие экстремальности мер $\mu_1$ и $\mu_2$ выполняется при любых значениях $\theta^3>\eta$, т.е. всюду в области существования этих мер.Итак, доказана следующая теорема. Теорема 5. Пусть $k=2$. Тогда для модели $\mathrm{HC}$-Блюма–Капеля с химическим потенциалом $G_k^{(2)}$-периодические меры Гиббса $\mu_1$ и $\mu_2$ при $\theta^3>\eta$ являются экстремальными. Замечание 2. Все полученные результаты обобщают результаты работы [26]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|