| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Ортогональные криволинейные системы координат и пучки без кручения над приводимыми спектральными кривыми А. Е. Мироновab, А. Сеннинджерa, И. А. Таймановab a Новосибирский государственный университет b Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090250 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеОртогональные криволинейные системы координат в евклидовом пространстве играют важную роль в геометрии, дифференциальных уравнениях, математической физике и других разделах математики. Построение и классификация криволинейных координат – классическая задача дифференциальной геометрии. Этой задачей занимались Гаусс, Дарбу, Бианки и др. В общем случае построение координат сводится к нахождению координатных функций $x^j=x^j(u)$ из переопределенной системы дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\partial_{u^i}x^1\partial_{u^j}x^1+ \dots+\partial_{u^i}x^n\partial_{u^j}x^n=0,\qquad i\ne j.
\end{equation*}
\notag
$$
В [1] Захаров инициировал применение методов теории солитонов к этой задаче, используя при этом метод одевания. Вскоре после этой работы Кричевер нашел процедуру построения таких координат методами конечнозонного интегрирования [2]. В работе Кричевера даны явные тэта-функциональные формулы для координат, которые, как обычно, включают параметры, связанные трансцендентными соотношениями. При этом тэта-функции отвечают гладким спектральным кривым. Задача эффективизации, которая была поставлена Новиковым для тэта-функциональных решений солитонных уравнений, в этом случае пока не исследовалась. В то же время, если рассмотреть предельную конструкцию, когда спектральная кривая (двумерная риманова поверхность) вырождается в приводимую кривую с компонентами малого рода, мы можем получить явные формулы. Это заведомо имеет место, когда все неприводимые компоненты – рациональные кривые, т.е. замкнутые римановы поверхности рода нуль. Такая конструкция была получена в [3], где, в частности, было указано, как с ее помощью получить полярные и сферические координаты. В [4] этот подход был применен к построению новых примеров многообразий Фробениуса. Другие примеры применения сингулярных спектральных кривых для построения точных решений указаны в [5]. В [3] был рассмотрен случай, когда спектральная кривая строится по нормализации $\Gamma_{\mathrm{nm}}$, дизъюнктному объединению несингулярных кривых, отождествлением пар точек на них. Функция Бейкера–Ахиезера $\psi$ задается как функция на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$, удовлетворяющая дополнительным соотношениям вида где точки $a$ и $b$ склеиваются и при проекции $\Gamma_{\mathrm{nm}} \to \Gamma$ переходят в двойную точку на $\Gamma$.В этой заметке мы показываем, что результаты работы [3] можно обобщить на приводимые сингулярные спектральные кривые, снабженные пучками ранга один без кручения. В этом случае функция Бейкера–Ахиезера, задающая координаты, становится не функцией, как в случае гладкой спектральной кривой, а сечением такого пучка. На языке сечений Бейкера–Ахиезера это выглядит как замена соотношения (1.1) на более общее где параметр $\lambda$ может быть отличен от единицы.В разделе 2 изложены конструкция Кричевера и основные наши результаты. В разделе 3 мы укажем спектральные данные в случае приводимых спектральных кривых, наделенных пучками ранга один без кручения для метрик Дарбу–Егорова. В разделе 4 мы приведем некоторые заключительные замечания, касающихся интересных задач, связанных с этими конструкциями. 2. Функция Бейкера–Ахиезера и ортогональные криволинейные координаты2.1. Конструкция Кричевера [2]Пусть $\Gamma$ – гладкая замкнутая риманова поверхность рода $g$. Предположим, что на $\Gamma$ задан набор дивизоров
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P=P_1+\dots+P_n, \qquad Q=Q_1+\dots+Q_n, \\ R=R_1 +\dots+ R_l, \qquad \gamma=\gamma_1 +\dots+\gamma_{g+l-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а также локальные параметры $k_j^{-1}$ в окрестностях точек $P_j$. Мы предполагаем, что все точки из этих дивизоров различны. Существует единственная $n$-точечная функция Бейкера–Ахиезера $\psi (u,P)$, обладающая следующими свойствами: 1) в окрестности $P_j$ имеет место разложение
$$
\begin{equation*}
\psi=e^{k_j u^j} \biggl( h_{j} (u)+\frac{\xi_{j} (u)}{k_j} +\dotsb \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
2) на $\Gamma \setminus \{ \cup P_j \}$ функция $\psi (u,P)$ имеет простые полюсы в $\gamma$, 3) $\psi (R_j)=d_j$ (числа $d_j$ не обращаются одновременно в $0$).1 Функцию $\psi$ можно явно выразить через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой $\Gamma$. Теорема A [2]. Предположим, что на $\Gamma$ существует голоморфная инволюция $\sigma \colon \Gamma \to \Gamma$ с неподвижными точками $P_j$ и $Q_j$, причем $\sigma (k_j)=- k_j$. Предположим также, что на $\Gamma$ существует мероморфная 1-форма $\Omega$ такая, что ее дивизор нулей и полюсов имеет вид 2.2. Ортогональные криволинейные координаты, отвечающие функциям Бейкера–Ахиезера на сингулярных спектральных кривых [3]В [3] конструкция Кричевера построения ортогональных криволинейных координат была обобщена на случай приводимых спектральных кривых. А именно, пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая, состоящая из неприводимых компонент $\Gamma_1,\dots,\Gamma_m$. Предположим, что на $\Gamma$ задан набор дивизоров
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P=P_1+\dots+P_n, \qquad Q=Q_1+\dots+Q_n, \\ R=R_1 +\dots+ R_l, \qquad\gamma=\gamma_1 +\dots+\gamma_{g_a+l-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а также локальные параметры $k_j^{-1}$ в окрестностях точек $P_j$. В отличие от п. 2.1 вместо рода $g$ спектральной кривой $\Gamma$ мы рассматриваем арифметический род $g_a$ сингулярной спектральной кривой. Он отличается от геометрического рода (для гладких поверхностей оба рода совпадают), но именно он входит в теорему Римана–Роха для сингулярных поверхностей. Определим функцию $\psi$ теми же условиями 1)–3), что и в случае несингулярной спектральной кривой. Функция Бейкера–Ахиезера $\psi$ на приводимой кривой $\Gamma$ задается функциями $\psi_j$ на каждой компоненте $\Gamma_j$. Объединение нормализаций этих компонент образует нормализацию спектральной кривой: (необходимые для конечнозонного интегрирования факты о сингулярных спектральных кривых можно найти в [6], см. также [5]).Выделим один частный, но важный случай. Пусть на $\Gamma$ имеется двойная точка, которой на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ отвечают точки $a$ и $b$, и $\widetilde{\psi}$ – подъем функции $\psi$ на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$. Тогда Имеет место Теорема B [3]. Для сингулярной спектральной кривой теорема А остается верной, если заменить род $g$ на арифметический род $g_a$, предполагать, что точки $P_1,\dots,P_n$ и $Q_1,\dots,Q_n$ являются несингулярными точками. В определении дивизора полюсов формы $\Omega$ мы не включаем те сингулярные точки, в которых форма регулярна. Объясним этот момент подробнее. Мероморфная форма на сингулярной кривой $\Gamma$ задается как мероморфная форма на ее нормализации $\Gamma_{\mathrm{nm}}$. Форма называется регулярной в точке $P \in \Gamma$, если либо точка $P$ не является сингулярной и в ее прообразе на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ форма $\Omega$ не имеет особенности, либо $P$ сингулярна и для всех мероморфных функций на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$, которые опускаются до функций на $\Gamma$ и не имеют полюсов в прообразах $P$, выполняется соотношение Например, если $P$ – двойная точка, которой на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ отвечают точки $a$ и $b$, то условие регулярности в этой точке записывается как
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{Res}_a \Omega+\operatorname*{Res}_b \Omega=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если для $1$-формы (дифференциала) $\Omega$ все точки регулярны, то мы говорим, что $\Omega$ регулярна на $\Gamma$. Размерность пространства регулярных $1$-форм равна арифметическому роду кривой $\Gamma$. 2.3. Криволинейные координаты и пучки ранга один без кручения на спектральных кривыхПерейдем к нашей конструкции. Предположим, что $\Gamma$ распадается на неприводимые несингулярные компоненты $\Gamma_j$, которые пересекаются по двойным точкам. Сечение Бейкера–Ахиезера $\psi$ представляется как набор функций $\psi_j$ на компонентах, эти функции могут быть функциями Бейкера–Ахиезера с существенными особенностями или мероморфными функциями. В двойных точках эти функции удовлетворяют соотношениям Коэффициент $\lambda$ зависит от пары точек $a$ и $b$: $\lambda= \lambda_{ab}$, но в дальнейшем ради краткости мы по возможности будем это опускать.Так построенная функция $\psi$ (на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$) задает глобальное сечением некоторого пучка без кручения $L$ над $\Gamma$. Пучок $L$ получается из $\Gamma_1\times{\mathbb C},\dots,\Gamma_m\times{\mathbb C}$ склеиванием слоев над точками пересечений компонент. А именно, если компоненты $\Gamma_p$ и $\Gamma_q$ пересекаются по точкам $a \in \Gamma_p$ и $b \in \Gamma_q$, то слои $a\times {\mathbb C}$ и $b\times {\mathbb C}$ отождествляются с помощью подходящего автоморфизма ${\mathbb C}$ (умножение на константу $\lambda$). Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть на $\Gamma$ существует голоморфная инволюция $\sigma \colon \Gamma \to \Gamma$ такая, что $\sigma (\Gamma_s)=\Gamma_{\sigma(s)}$, точки $P_j$ и $Q_j$ являются неподвижными относительно $\sigma$, причем $\sigma (k_j)=- k_j$, и в точках пересечения компонент кривой $\Gamma$ выполнены равенства вида где $\lambda$, $\lambda_{\sigma}$ – некоторые ненулевые константы. Предположим также, что на $\Gamma$ существует мероморфная 1-форма $\Omega$, заданная мероморфными 1-формами $\Omega_j$ на компонентах $\Gamma_j$, дивизор нулей $\Omega$ имеет вид дивизор полюсов $\Omega$ содержит дивизор и, кроме того, $\Omega$ допускает простые полюсы в точках пересечения компонент, причем в этих точках выполняются равенства вида
$$
\begin{equation}
\lambda \lambda_{\sigma} \operatorname*{Res}_a \Omega_p+\operatorname*{Res}_b \Omega_q=0, \qquad \lambda \lambda_{\sigma} \operatorname*{Res}_{\sigma(a)} \Omega_{\sigma(p)}+\operatorname*{Res}_{\sigma(q)} \Omega_{\sigma(q)}=0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Тогда если
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega=\dots=\operatorname*{Res}_{Q_n} \Omega=1,
\end{equation*}
\notag
$$
то где Доказательство. Рассмотрим форму
$$
\begin{equation*}
\omega_{ij}=\partial_{u^i} \psi (u,P) \partial_{u^j} \psi (u, \sigma (P)) \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Форма $\omega_{ij}$ задается на каждой компоненте $\Gamma_k$ формой
$$
\begin{equation*}
\omega^k_{ij}= \partial_{u^i} \psi (u,P) \partial_{u^j} \psi (u, \sigma (P)) \Omega_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Форма $\omega_{ij}$ имеет простые полюсы в точках $Q_j$, а также простые полюсы в точках пересечения компонент кривой $\Gamma$, причем
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{Res}_{Q_s} \omega_{ij}=\partial_{u^i} x_s \partial_{u^j} x_s \operatorname*{Res}_{Q_s} \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, как и выше, компоненты $\Gamma_p$ и $\Gamma_q$ пересекаются по точкам $a\in\Gamma_p$ и $b\in\Gamma_q$. Тогда имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname*{Res}_{a} \omega^p_{ij}=\partial_{u^i} \psi_p (a) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(p)} ( \sigma (a) ) \operatorname*{Res}_{a} \Omega_p, \\ \operatorname*{Res}_{b} \omega^q_{ij}=\partial_{u^i} \psi_q (b) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \operatorname*{Res}_{b} \Omega_q. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу (2.2), (2.3)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname*{Res}_{a} \omega^p_{ij}+\operatorname*{Res}_{b} \omega^q_{ij} &=\lambda \partial_{u^i} \psi_q (b) \lambda_{\sigma} \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \operatorname*{Res}_{a} \Omega_p \\ &\qquad\qquad + \partial_{u^i} \psi_q (b) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \operatorname*{Res}_{b} \Omega_q \\ &= \partial_{u^i} \psi_q (b) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \bigl( \lambda \lambda_{\sigma} \operatorname*{Res}_{a} \Omega_p +\operatorname*{Res}_{b} \Omega_q \bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда сумма всех вычетов $\omega_{ij}$ по всем компонентам и всем полюсам равна $0$. Это дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname*{Res}_{Q_1} \omega_{ij}+\dots+\operatorname*{Res}_{Q_n} \omega_{ij} &=\operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega \partial_{u^i} x^1 \partial_{u^j} x^1 +\dots+ \operatorname*{Res}_{Q_n} \Omega \partial_{u^i} x^n \partial_{u^j} x^n \\ & =\operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega(\partial_{u^i} x^1 \partial_{u^j} x^1 +\dots+ \partial_{u^i} x^n \partial_{u^j} x^n)= 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Укажем спектральные данные, отвечающие вещественным координатам. Теорема 2. Пусть на спектральной кривой существует антиголоморфная инволюция $\tau \colon \Gamma \to \Gamma$, $\tau\colon \Gamma_j=\Gamma_{\tau(j)}$ такая, что Теорема следует из того, что функции Бейкера–Ахиезера $\psi(u,P)$ и $\overline{\psi(u,\tau(P))}$ отвечают одним и тем же спектральным данным, следовательно, в силу единственности они совпадают. Пример 1. Пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая, состоящая из двух неприводимых компонент $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, изоморфных ${\mathbb C}P^1$ с аффинными координатами $z_1,z_2$ и пересекающихся по точкам $a,-a\in\Gamma_1$, $b,-b\in\Gamma_2$ (рис. 1). Выберем следующие спектральные данные:
$$
\begin{equation*}
P_1=\infty, \qquad P_2=0, \qquad R=r\in\Gamma_1, \qquad Q_1=\infty, \qquad Q_2=0, \qquad \gamma\in\Gamma_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кривая $\Gamma$ допускает инволюцию $\sigma\colon z_j=-z_j$. Положим
$$
\begin{equation*}
\psi_{1}=e^{u^1z_{1}+u^2/z_{1} }f(u), \qquad \psi_{2}=\biggl( g(u)+ \frac{h(u)}{z_{2}-\gamma} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Условия согласованности в точках пересечения и нормировки имеют вид
$$
\begin{equation*}
\psi_{1}(a) =\lambda \psi_{2}(b), \qquad \psi_{1}(-a) =\mu \psi_{2}(-b), \qquad \psi_{1}(r)=d.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(u)=d e^{-ru^1-u^2/r}, \\ g(u)=\frac{d e^{-(a+r)(aru^1+u^2)/(ar)}\bigl(\gamma(\lambda-\mu e^{2au^1+2u^2/a}) +b(\lambda+\mu e^{2au^1+2u^2/a})\bigr)}{2b\lambda\mu},\ \\ h(u)=-\frac{de^{-(a+r)(aru^1+u^2)/(ar)}(b^2-\gamma^2)(\lambda-\mu e^{2au^1+2u^2/a})}{2b\lambda\mu}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференциал $\Omega$ задается следующими дифференциалами на компонентах $\Gamma_1$, $\Gamma_2$:
$$
\begin{equation*}
\Omega_1=\frac{sz_1dz_1}{(z_1^2-a^2)(z_1^2-r^2)}, \qquad \Omega_2=\frac{(z_2^2-\gamma^2)dz_2}{z_2(z_2^2-b^2)},
\end{equation*}
\notag
$$
$s$ – некоторая константа. Условие
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega_2=\operatorname*{Res}_{Q_2} \Omega_2
\end{equation*}
\notag
$$
дает $b=i\gamma$. Условия
$$
\begin{equation*}
\lambda\mu\operatorname*{Res}_{a} \Omega_1+ \operatorname*{Res}_{b} \Omega_2=0, \qquad \lambda\mu\operatorname*{Res}_{-a} \Omega_1+ \operatorname*{Res}_{-b} \Omega_2=0
\end{equation*}
\notag
$$
выполнены при Положим
$$
\begin{equation*}
a=i, \qquad d=1, \qquad r=1, \qquad \lambda=\overline{\mu}=\lambda_1+i\lambda_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим следующие криволинейные ортогональные координаты на плоскости:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x=\psi_2(Q_1)=\frac{e^{-u^1-u^2}((\lambda_1-\lambda_2) \cos(u^1-u^2)+(\lambda_1+\lambda_2)\sin(u^1-u^2))} {|\lambda|^2}, \\ y=\psi_2(Q_2)=\frac{e^{-u^1-u^2}((\lambda_1+\lambda_2) \cos(u^1-u^2)-(\lambda_1-\lambda_2)\sin(u^1-u^2))} {|\lambda|^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 2. Пусть спектральная кривая выглядит точно так же, как и в примере 1. Выберем следующие спектральные данные: 3. Метрики Дарбу–ЕгороваДиагональная метрика в некоторой области евклидова пространства называется метрикой Дарбу–Егорова, если коэффициенты вращения
$$
\begin{equation*}
\beta_{ij}=\frac{\partial_{u^i}H_j}{H_i}, \qquad i\ne j,
\end{equation*}
\notag
$$
симметричны $\beta_{ij}=\beta_{ji}$. Метрики Дарбу–Егорова играют важную роль в теории фробениусовых многообразий [7]. Укажем ограничения на спектральные данные в теореме 2, которые приводят к метрикам Дарбу–Егорова. Пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая, каждая компонента которой изоморфна ${\mathbb C}P^1$, $k_j=z_j$ – аффинная координата на $\Gamma_j$. Пусть форма $\Omega$ в окрестности точки $P_j$ имеет следующее разложение:
$$
\begin{equation*}
\Omega=\biggl(\frac{\varepsilon^2_j}{k_j} +O\biggl(\frac{1}{k^2_j}\biggr)\biggr)dk_j^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место следующая теорема. Теорема 3. Пусть каждая компонента $\Gamma_j$, $j=1,\dots,n$, содержит точки $P_j= \infty$ и $Q_j=0$. Предположим, что каждая точка пересечения $q\in\Gamma_i\cap\Gamma_j$ имеет одинаковые координаты на каждой из компонент $\Gamma_i$, $\Gamma_j$ Тогда плоская метрика имеет вид и является метрикой Дарбу–Егорова. Доказательство. Покажем, что в координатах $u^1,\dots,u^n$ метрика имеет вид (3.2). Для этого рассмотрим форму
$$
\begin{equation*}
\omega_{ii}=\partial_{u^i}\psi(u,P)\partial_{u^i}\psi(u,\sigma(P))\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта форма имеет простые полюсы в точках $P_i,Q_1,\dots,Q_n$, а также в точках пересечения компонент спектральной кривой. Просуммируем вычеты всех форм, задающих $\omega_{ii}$ по всем компонентам. Вычеты, отвечающие точкам пересечения компонент сокращаются (см. доказательство теоремы 1). Получим
$$
\begin{equation*}
(\partial_{u^j}x^1)^2+\dots+(\partial_{u^j}x^n)^2=\varepsilon_j^2h_j^2(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим на $\Gamma$ функцию $f\colon \Gamma\to {\mathbb C}$ следующим образом. Если $P\in\Gamma_j$, то положим $f(P)=z_j(P)$. Эта функция корректно определена в силу условия (3.1) на точки пересечения компонент.
Далее рассмотрим форму Эта форма имеет простые полюсы в $P_i$, $P_j$ и в точках пересечения компонент. Просуммируем сумму вычетов, получим т.е. $\beta_{ij}=\beta_{ji}$. Теорема доказана. Пример 3. Пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая такая же, как в примере 1. Мы считаем, что компоненты $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ пересекаются по точкам $a,-a\in\Gamma_1$, $a,-a\in\Gamma_2$. Выберем следующие спектральные данные: 4. Заключительные замечанияВ [3] были найдены спектральные данные для полярных и сферических координат и тем самым показано, как они вкладываются в предложенную схему. Для эллиптических координат на плоскости эта задача остается открытой. Согласно [2; лемма 3.1] функция $\psi(u^1,\dots,u^n,Q)$ в каждой точке $Q\in \Gamma$ спектральной кривой удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \psi}{\partial u^i \partial u^j}=\frac{\partial \log h_i}{\partial u^j}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^i} + \frac{\partial \log h_j}{\partial u^i}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^j}, \qquad i \neq j,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
ds^2=\sum_i \varepsilon^2_i h_i^2(u) (du^i)^2, \qquad \varepsilon_i= \mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
и есть плоская метрика, для которой $u^1,\dots,u^n$ являются ортогональными криволинейными координатами. Так как координатные функции $x^j(u)$ имеют вид $x^j(u)=\psi(u,Q_j)$, $j=1,\dots,n$, то все координатные функции должны удовлетворять этим уравнениям. Для эллиптических координат $(u^1,u^2)$ на плоскости c евклидовыми координатами $(x,y)$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
x^2=\frac{(u^1+a)(u^2+a)}{a-b}, \qquad y^2=\frac{(u^1+b)(u^2+b)}{b-a},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a$ и $b$ – такие постоянные, что $a>b$. Координаты удовлетворяют неравенствам метрика принимает вид
$$
\begin{equation*}
dx^2+dy^2=\frac{1}{4}\,\frac{u^1-u^2}{(u^1+a)(u^1+b)} (du^1)^2 + \frac{1}{4}\,\frac{u^2-u^1}{(u^2+a)(u^2+b)} (du^2)^2
\end{equation*}
\notag
$$
и уравнение (4.1) сводится к уравнению Эйлера–Пуассона–Дарбу $E(1/2,1/2)$:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \psi}{\partial u^1 \,\partial u^2}= A\frac{1}{u^1-u^2}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^1} - B\frac{1}{u^1-u^2}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^2}, \qquad A=B=\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу $E(A,B)$ хорошо изучены и для них найдено общее решение, зависящее от пары функциональных параметров [8]. Для построения эллиптических координат по схеме конечнозонного интегрирования следует найти в нем ветвь, описываемую функцией (или сечением) Бейкера–Ахиезера. В [9] была предложена интегрируемая дискретизация схемы Кричевера, состоящая в построении аналогичной функции Бейкера–Ахиезера $\psi(k,l,Q)$, где целочисленные параметры $k,l \in {\mathbb Z}$ задают узлы решетки на плоскости. В этой работе был выделен дискретный аналог координат Дарбу–Егорова. В середине 2010-х годов один из авторов (Тайманов) предложил построить дискретные эллиптические координаты по аналогичной схеме, исходя из уравнения $E(1/2,1/2)$. Это частично было реализовано в [10], где была использована некоторая дискретизация уравнения $E(1/2,1/2)$, не связанная с интегрируемыми системами. Однако хотелось бы построить дискретные эллиптические координаты в рамках теории интегрируемых систем. Возможно они будут обладать очень интересными свойствами, что привычно для точных решений интегрируемых уравнений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MirSenTai23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|