А. Е. Миронов, А. Сеннинджер, И. А. Тайманов, “Ортогональные криволинейные системы координат и пучки без кручения над приводимыми спектральными кривыми”, Матем. заметки, 114:4 (2023), 579–590; Math. Notes, 114:4 (2023), 573

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 4, страницы 579–590
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13961 (Mi mzm13961)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Ортогональные криволинейные системы координат и пучки без кручения над приводимыми спектральными кривыми

А. Е. Миронов^ab, А. Сеннинджер^a, И. А. Тайманов^ab

^a Новосибирский государственный университет
^b Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск

PDF полного текста (583 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13961

Аннотация: Методами конечнозонного интегрирования построены ортогональные криволинейные системы координат в евклидовом пространстве, отвечающие пучкам ранга один без кручения над приводимыми сингулярными спектральными кривыми.
Библиография: 10 названий.

Ключевые слова: ортогональные криволинейные координаты, конгечнозонное интегрирование, спектральная кривая, пучки без кручения.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	19-11-00044-П
Работа поддержана РНФ, грант № 19-11-00044-П.

Поступило: 25.03.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages 573–582
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090250

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.957

MSC: 37K20 (14H70 37K25)

1. Введение

Ортогональные криволинейные системы координат в евклидовом пространстве играют важную роль в геометрии, дифференциальных уравнениях, математической физике и других разделах математики. Построение и классификация криволинейных координат – классическая задача дифференциальной геометрии. Этой задачей занимались Гаусс, Дарбу, Бианки и др. В общем случае построение координат сводится к нахождению координатных функций $x^j=x^j(u)$ из переопределенной системы дифференциальных уравнений

$\begin{equation*} \partial_{u^i}x^1\partial_{u^j}x^1+ \dots+\partial_{u^i}x^n\partial_{u^j}x^n=0,\qquad i\ne j. \end{equation*} \notag$

В [1] Захаров инициировал применение методов теории солитонов к этой задаче, используя при этом метод одевания. Вскоре после этой работы Кричевер нашел процедуру построения таких координат методами конечнозонного интегрирования [2]. В работе Кричевера даны явные тэта-функциональные формулы для координат, которые, как обычно, включают параметры, связанные трансцендентными соотношениями. При этом тэта-функции отвечают гладким спектральным кривым. Задача эффективизации, которая была поставлена Новиковым для тэта-функциональных решений солитонных уравнений, в этом случае пока не исследовалась.

В то же время, если рассмотреть предельную конструкцию, когда спектральная кривая (двумерная риманова поверхность) вырождается в приводимую кривую с компонентами малого рода, мы можем получить явные формулы. Это заведомо имеет место, когда все неприводимые компоненты – рациональные кривые, т.е. замкнутые римановы поверхности рода нуль.

Такая конструкция была получена в [3], где, в частности, было указано, как с ее помощью получить полярные и сферические координаты. В [4] этот подход был применен к построению новых примеров многообразий Фробениуса.

Другие примеры применения сингулярных спектральных кривых для построения точных решений указаны в [5].

В [3] был рассмотрен случай, когда спектральная кривая строится по нормализации $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ , дизъюнктному объединению несингулярных кривых, отождествлением пар точек на них. Функция Бейкера–Ахиезера $\psi$ задается как функция на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ , удовлетворяющая дополнительным соотношениям вида

$\begin{equation} \psi(a)=\psi(b), \end{equation} \tag{1.1}$

где точки

$a$ и

$b$ склеиваются и при проекции

$\Gamma_{\mathrm{nm}} \to \Gamma$ переходят в двойную точку на

$\Gamma$ .

В этой заметке мы показываем, что результаты работы [3] можно обобщить на приводимые сингулярные спектральные кривые, снабженные пучками ранга один без кручения. В этом случае функция Бейкера–Ахиезера, задающая координаты, становится не функцией, как в случае гладкой спектральной кривой, а сечением такого пучка. На языке сечений Бейкера–Ахиезера это выглядит как замена соотношения (1.1) на более общее

$\begin{equation} \psi(a)=\lambda \psi(b), \end{equation} \tag{1.2}$

где параметр

$\lambda$ может быть отличен от единицы.

В разделе 2 изложены конструкция Кричевера и основные наши результаты. В разделе 3 мы укажем спектральные данные в случае приводимых спектральных кривых, наделенных пучками ранга один без кручения для метрик Дарбу–Егорова. В разделе 4 мы приведем некоторые заключительные замечания, касающихся интересных задач, связанных с этими конструкциями.

2. Функция Бейкера–Ахиезера и ортогональные криволинейные координаты

2.1. Конструкция Кричевера [2]

Пусть $\Gamma$ – гладкая замкнутая риманова поверхность рода $g$ . Предположим, что на $\Gamma$ задан набор дивизоров

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, P=P_1+\dots+P_n, \qquad Q=Q_1+\dots+Q_n, \\ R=R_1 +\dots+ R_l, \qquad \gamma=\gamma_1 +\dots+\gamma_{g+l-1}, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

а также локальные параметры

$k_j^{-1}$ в окрестностях точек

$P_j$ . Мы предполагаем, что все точки из этих дивизоров различны.

Существует единственная $n$ -точечная функция Бейкера–Ахиезера $\psi (u,P)$ , обладающая следующими свойствами:

1) в окрестности $P_j$ имеет место разложение

$\begin{equation*} \psi=e^{k_j u^j} \biggl( h_{j} (u)+\frac{\xi_{j} (u)}{k_j} +\dotsb \biggr), \end{equation*} \notag$

2) на $\Gamma \setminus \{ \cup P_j \}$ функция $\psi (u,P)$ имеет простые полюсы в $\gamma$ ,

3) $\psi (R_j)=d_j$ (числа $d_j$ не обращаются одновременно в $0$ ).¹

Функцию $\psi$ можно явно выразить через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой $\Gamma$ .

Теорема A [2]. Предположим, что на $\Gamma$ существует голоморфная инволюция $\sigma \colon \Gamma \to \Gamma$ с неподвижными точками $P_j$ и $Q_j$ , причем $\sigma (k_j)=- k_j$ . Предположим также, что на $\Gamma$ существует мероморфная 1-форма $\Omega$ такая, что ее дивизор нулей и полюсов имеет вид

$\begin{equation*} (\Omega)=P_1 +\dots+P_n+\gamma+\sigma(\gamma)-Q_1 -\dots-Q_n-R-\sigma(R), \end{equation*} \notag$

причем

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega=\dots =\operatorname*{Res}_{Q_n} \Omega. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \partial_{u^i} x^1 \partial_{u^j} x^1 +\dots+ \partial_{u^i} x^n \partial_{u^j} x^n=0, \qquad i \neq j, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} x^j (u)=\psi (u,Q_j). \end{equation*} \notag$

2.2. Ортогональные криволинейные координаты, отвечающие функциям Бейкера–Ахиезера на сингулярных спектральных кривых [3]

В [3] конструкция Кричевера построения ортогональных криволинейных координат была обобщена на случай приводимых спектральных кривых. А именно, пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая, состоящая из неприводимых компонент $\Gamma_1,\dots,\Gamma_m$ . Предположим, что на $\Gamma$ задан набор дивизоров

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, P=P_1+\dots+P_n, \qquad Q=Q_1+\dots+Q_n, \\ R=R_1 +\dots+ R_l, \qquad\gamma=\gamma_1 +\dots+\gamma_{g_a+l-1}, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

а также локальные параметры

$k_j^{-1}$ в окрестностях точек

$P_j$ . В отличие от п. 2.1 вместо рода

$g$ спектральной кривой

$\Gamma$ мы рассматриваем арифметический род

$g_a$ сингулярной спектральной кривой. Он отличается от геометрического рода (для гладких поверхностей оба рода совпадают), но именно он входит в теорему Римана–Роха для сингулярных поверхностей.

Определим функцию $\psi$ теми же условиями 1)–3), что и в случае несингулярной спектральной кривой.

Функция Бейкера–Ахиезера $\psi$ на приводимой кривой $\Gamma$ задается функциями $\psi_j$ на каждой компоненте $\Gamma_j$ . Объединение нормализаций этих компонент образует нормализацию спектральной кривой:

$\begin{equation*} \Gamma_{\mathrm{nm}}=\bigcup \Gamma_{j,\mathrm{nm}} \end{equation*} \notag$

(необходимые для конечнозонного интегрирования факты о сингулярных спектральных кривых можно найти в [6], см. также [5]).

Выделим один частный, но важный случай. Пусть на $\Gamma$ имеется двойная точка, которой на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ отвечают точки $a$ и $b$ , и $\widetilde{\psi}$ – подъем функции $\psi$ на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ . Тогда

$\begin{equation} \widetilde{\psi}(a)=\widetilde{\psi}(b). \end{equation} \tag{2.1}$

Имеет место

Теорема B [3]. Для сингулярной спектральной кривой теорема А остается верной, если заменить род $g$ на арифметический род $g_a$ , предполагать, что точки $P_1,\dots,P_n$ и $Q_1,\dots,Q_n$ являются несингулярными точками.

В определении дивизора полюсов формы $\Omega$ мы не включаем те сингулярные точки, в которых форма регулярна. Объясним этот момент подробнее.

Мероморфная форма на сингулярной кривой $\Gamma$ задается как мероморфная форма на ее нормализации $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ . Форма называется регулярной в точке $P \in \Gamma$ , если либо точка $P$ не является сингулярной и в ее прообразе на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ форма $\Omega$ не имеет особенности, либо $P$ сингулярна и для всех мероморфных функций на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ , которые опускаются до функций на $\Gamma$ и не имеют полюсов в прообразах $P$ , выполняется соотношение

$\begin{equation*} \sum_{\pi^{-1}(P)} \operatorname{Res} (f \Omega)=0. \end{equation*} \notag$

Например, если

$P$ – двойная точка, которой на

$\Gamma_{\mathrm{nm}}$ отвечают точки

$a$ и

$b$ , то условие регулярности в этой точке записывается как

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_a \Omega+\operatorname*{Res}_b \Omega=0. \end{equation*} \notag$

Если для $1$ -формы (дифференциала) $\Omega$ все точки регулярны, то мы говорим, что $\Omega$ регулярна на $\Gamma$ . Размерность пространства регулярных $1$ -форм равна арифметическому роду кривой $\Gamma$ .

2.3. Криволинейные координаты и пучки ранга один без кручения на спектральных кривых

Перейдем к нашей конструкции.

Предположим, что $\Gamma$ распадается на неприводимые несингулярные компоненты $\Gamma_j$ , которые пересекаются по двойным точкам.

Сечение Бейкера–Ахиезера $\psi$ представляется как набор функций $\psi_j$ на компонентах, эти функции могут быть функциями Бейкера–Ахиезера с существенными особенностями или мероморфными функциями. В двойных точках эти функции удовлетворяют соотношениям

$\begin{equation*} \psi_j (a)=\lambda \psi_k(b), \qquad\lambda \ne 1. \end{equation*} \notag$

Коэффициент

$\lambda$ зависит от пары точек

$a$ и

$b$ :

$\lambda= \lambda_{ab}$ , но в дальнейшем ради краткости мы по возможности будем это опускать.

Так построенная функция $\psi$ (на $\Gamma_{\mathrm{nm}}$ ) задает глобальное сечением некоторого пучка без кручения $L$ над $\Gamma$ . Пучок $L$ получается из $\Gamma_1\times{\mathbb C},\dots,\Gamma_m\times{\mathbb C}$ склеиванием слоев над точками пересечений компонент. А именно, если компоненты $\Gamma_p$ и $\Gamma_q$ пересекаются по точкам $a \in \Gamma_p$ и $b \in \Gamma_q$ , то слои $a\times {\mathbb C}$ и $b\times {\mathbb C}$ отождествляются с помощью подходящего автоморфизма ${\mathbb C}$ (умножение на константу $\lambda$ ).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть на $\Gamma$ существует голоморфная инволюция $\sigma \colon \Gamma \to \Gamma$ такая, что $\sigma (\Gamma_s)=\Gamma_{\sigma(s)}$ , точки $P_j$ и $Q_j$ являются неподвижными относительно $\sigma$ , причем $\sigma (k_j)=- k_j$ , и в точках пересечения компонент кривой $\Gamma$ выполнены равенства вида

$\begin{equation} \psi_p (a)=\lambda \psi_q (b), \qquad \psi_{\sigma(p)} (\sigma (a))= \lambda_{\sigma} \psi_{\sigma(q)} (\sigma(b)), \end{equation} \tag{2.2}$

где

$\lambda$ ,

$\lambda_{\sigma}$ – некоторые ненулевые константы.

Предположим также, что на $\Gamma$ существует мероморфная 1-форма $\Omega$ , заданная мероморфными 1-формами $\Omega_j$ на компонентах $\Gamma_j$ , дивизор нулей $\Omega$ имеет вид

$\begin{equation*} (\Omega)_{0}=P_1+\dots+P_n+\gamma+\sigma \gamma, \end{equation*} \notag$

дивизор полюсов

$\Omega$ содержит дивизор

$\begin{equation*} Q_1+\dots+Q_n+R+\sigma R \end{equation*} \notag$

и, кроме того,

$\Omega$ допускает простые полюсы в точках пересечения компонент, причем в этих точках выполняются равенства вида

$\begin{equation} \lambda \lambda_{\sigma} \operatorname*{Res}_a \Omega_p+\operatorname*{Res}_b \Omega_q=0, \qquad \lambda \lambda_{\sigma} \operatorname*{Res}_{\sigma(a)} \Omega_{\sigma(p)}+\operatorname*{Res}_{\sigma(q)} \Omega_{\sigma(q)}=0. \end{equation} \tag{2.3}$

Тогда если

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega=\dots=\operatorname*{Res}_{Q_n} \Omega=1, \end{equation*} \notag$

то

$\begin{equation*} \partial_{u^i} x^1 \partial_{u^j} x^1 +\dots+ \partial_{u^i} x^n \partial_{u^j} x^n=0, \qquad i \neq j, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} x^j (u)=\psi (u,Q_j). \end{equation*} \notag$

Доказательство. Рассмотрим форму

$\begin{equation*} \omega_{ij}=\partial_{u^i} \psi (u,P) \partial_{u^j} \psi (u, \sigma (P)) \Omega. \end{equation*} \notag$

Форма

$\omega_{ij}$ задается на каждой компоненте

$\Gamma_k$ формой

$\begin{equation*} \omega^k_{ij}= \partial_{u^i} \psi (u,P) \partial_{u^j} \psi (u, \sigma (P)) \Omega_k. \end{equation*} \notag$

Форма

$\omega_{ij}$ имеет простые полюсы в точках

$Q_j$ , а также простые полюсы в точках пересечения компонент кривой

$\Gamma$ , причем

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_{Q_s} \omega_{ij}=\partial_{u^i} x_s \partial_{u^j} x_s \operatorname*{Res}_{Q_s} \Omega. \end{equation*} \notag$

Пусть, как и выше, компоненты

$\Gamma_p$ и

$\Gamma_q$ пересекаются по точкам

$a\in\Gamma_p$ и

$b\in\Gamma_q$ . Тогда имеют место равенства

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname*{Res}_{a} \omega^p_{ij}=\partial_{u^i} \psi_p (a) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(p)} ( \sigma (a) ) \operatorname*{Res}_{a} \Omega_p, \\ \operatorname*{Res}_{b} \omega^q_{ij}=\partial_{u^i} \psi_q (b) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \operatorname*{Res}_{b} \Omega_q. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Заметим, что в силу (2.2), (2.3)

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname*{Res}_{a} \omega^p_{ij}+\operatorname*{Res}_{b} \omega^q_{ij} &=\lambda \partial_{u^i} \psi_q (b) \lambda_{\sigma} \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \operatorname*{Res}_{a} \Omega_p \\ &\qquad\qquad + \partial_{u^i} \psi_q (b) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \operatorname*{Res}_{b} \Omega_q \\ &= \partial_{u^i} \psi_q (b) \partial_{u^j} \psi_{\sigma(q)} ( \sigma (b) ) \bigl( \lambda \lambda_{\sigma} \operatorname*{Res}_{a} \Omega_p +\operatorname*{Res}_{b} \Omega_q \bigr)=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тогда сумма всех вычетов

$\omega_{ij}$ по всем компонентам и всем полюсам равна

$0$ . Это дает

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname*{Res}_{Q_1} \omega_{ij}+\dots+\operatorname*{Res}_{Q_n} \omega_{ij} &=\operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega \partial_{u^i} x^1 \partial_{u^j} x^1 +\dots+ \operatorname*{Res}_{Q_n} \Omega \partial_{u^i} x^n \partial_{u^j} x^n \\ & =\operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega(\partial_{u^i} x^1 \partial_{u^j} x^1 +\dots+ \partial_{u^i} x^n \partial_{u^j} x^n)= 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теорема доказана.

Укажем спектральные данные, отвечающие вещественным координатам.

Теорема 2. Пусть на спектральной кривой существует антиголоморфная инволюция $\tau \colon \Gamma \to \Gamma$ , $\tau\colon \Gamma_j=\Gamma_{\tau(j)}$ такая, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \tau(Q_j)=Q_j, \qquad \tau(P_j)=P_j, \qquad \tau(k_i^{-1})= \overline{k_i^{-1}}, \qquad \tau^{*} (\Omega)=\overline{\Omega}, \\ \tau(\gamma)=\gamma, \qquad \tau(R)=R. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

При этом

$\begin{equation*} \psi(R_j)=d_j, \qquad \psi (\tau (R_j))=d_{\tau (j)}, \qquad \overline{d}_j=d_{\tau (j)}, \end{equation*} \notag$

а также в точках пересечения компонент выполнено

$\begin{equation*} \psi_p (a)=\lambda \psi_q (b), \qquad \psi_{\tau(p)} (\tau (a))= \lambda_{\tau} \psi_{\tau(q)} (\tau(b)), \qquad \overline{\lambda}=\lambda_{\tau}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \psi(u,P)=\overline{\psi(u,\tau(P))}, \end{equation*} \notag$

в частности,

$x^j(u)=\psi(u,Q_j)$ – вещественные функции.

Теорема следует из того, что функции Бейкера–Ахиезера $\psi(u,P)$ и $\overline{\psi(u,\tau(P))}$ отвечают одним и тем же спектральным данным, следовательно, в силу единственности они совпадают.

Пример 1. Пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая, состоящая из двух неприводимых компонент $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ , изоморфных ${\mathbb C}P^1$ с аффинными координатами $z_1,z_2$ и пересекающихся по точкам $a,-a\in\Gamma_1$ , $b,-b\in\Gamma_2$ (рис. 1).

Рис. 1

Выберем следующие спектральные данные:

$\begin{equation*} P_1=\infty, \qquad P_2=0, \qquad R=r\in\Gamma_1, \qquad Q_1=\infty, \qquad Q_2=0, \qquad \gamma\in\Gamma_2. \end{equation*} \notag$

Кривая

$\Gamma$ допускает инволюцию

$\sigma\colon z_j=-z_j$ . Положим

$\begin{equation*} \psi_{1}=e^{u^1z_{1}+u^2/z_{1} }f(u), \qquad \psi_{2}=\biggl( g(u)+ \frac{h(u)}{z_{2}-\gamma} \biggr). \end{equation*} \notag$

Условия согласованности в точках пересечения и нормировки имеют вид

$\begin{equation*} \psi_{1}(a) =\lambda \psi_{2}(b), \qquad \psi_{1}(-a) =\mu \psi_{2}(-b), \qquad \psi_{1}(r)=d. \end{equation*} \notag$

Отсюда получаем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, f(u)=d e^{-ru^1-u^2/r}, \\ g(u)=\frac{d e^{-(a+r)(aru^1+u^2)/(ar)}\bigl(\gamma(\lambda-\mu e^{2au^1+2u^2/a}) +b(\lambda+\mu e^{2au^1+2u^2/a})\bigr)}{2b\lambda\mu},\ \\ h(u)=-\frac{de^{-(a+r)(aru^1+u^2)/(ar)}(b^2-\gamma^2)(\lambda-\mu e^{2au^1+2u^2/a})}{2b\lambda\mu}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Дифференциал

$\Omega$ задается следующими дифференциалами на компонентах

$\Gamma_1$ ,

$\Gamma_2$ :

$\begin{equation*} \Omega_1=\frac{sz_1dz_1}{(z_1^2-a^2)(z_1^2-r^2)}, \qquad \Omega_2=\frac{(z_2^2-\gamma^2)dz_2}{z_2(z_2^2-b^2)}, \end{equation*} \notag$

$s$ – некоторая константа. Условие

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega_2=\operatorname*{Res}_{Q_2} \Omega_2 \end{equation*} \notag$

дает

$b=i\gamma$ . Условия

$\begin{equation*} \lambda\mu\operatorname*{Res}_{a} \Omega_1+ \operatorname*{Res}_{b} \Omega_2=0, \qquad \lambda\mu\operatorname*{Res}_{-a} \Omega_1+ \operatorname*{Res}_{-b} \Omega_2=0 \end{equation*} \notag$

выполнены при

$\begin{equation*} s=\frac{(r^2-a^2)(b^2-\gamma^2)}{b^2\lambda\mu}. \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} a=i, \qquad d=1, \qquad r=1, \qquad \lambda=\overline{\mu}=\lambda_1+i\lambda_2. \end{equation*} \notag$

Тогда получим следующие криволинейные ортогональные координаты на плоскости:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, x=\psi_2(Q_1)=\frac{e^{-u^1-u^2}((\lambda_1-\lambda_2) \cos(u^1-u^2)+(\lambda_1+\lambda_2)\sin(u^1-u^2))} {|\lambda|^2}, \\ y=\psi_2(Q_2)=\frac{e^{-u^1-u^2}((\lambda_1+\lambda_2) \cos(u^1-u^2)-(\lambda_1-\lambda_2)\sin(u^1-u^2))} {|\lambda|^2}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Пример 2. Пусть спектральная кривая выглядит точно так же, как и в примере 1. Выберем следующие спектральные данные:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, P=P_1+P_2, \qquad Q=Q_1+Q_2, \qquad R=R_1+R_2, \qquad\gamma=\gamma_1+\gamma_2, \\ P_1=\infty, \qquad P_2=0, \qquad R_1=r, \qquad R_2=-r, \\ \gamma_1\in\Gamma_1, \qquad Q_1=\infty, \qquad Q_2=0, \qquad \gamma_2\in\Gamma_2. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} \psi_{1}=e^{u^1z_{1}+u^2/z_{1} }\biggl( f_1(u)+\frac{f_2(u)}{z_{1}- \gamma_1} \biggr), \qquad \psi_{2}=\biggl( g(u)+\frac{h(u)}{z_{2}-\gamma_2} \biggr). \end{equation*} \notag$

Условия согласованности в точках пересечения и нормировки имеют вид

$\begin{equation*} \psi_{1}(a) =\lambda \psi_{2}(b), \qquad \psi_{1}(-a) =\mu \psi_{2}(-b), \qquad \psi_{1}(r)=1, \qquad \psi_{1}(-r)=1. \end{equation*} \notag$

Дифференциал

$\Omega$ задается следующими дифференциалами на компонентах

$\Gamma_1$ ,

$\Gamma_2$ :

$\begin{equation*} \Omega_1=\frac{sz_1(z_1^2-\gamma_1^2)dz_1}{(z_1^2-a^2)(z_1^2-r^2)^2}, \qquad \Omega_2=\frac{(z_2^2-\gamma_2^2)dz_2}{z_2(z_2^2-b^2)}, \end{equation*} \notag$

$s$ – некоторая константа. Условие

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega_2=\operatorname*{Res}_{Q_2} \Omega_2 \end{equation*} \notag$

дает

$b=i\gamma_2$ . Условия

выполнены при

$\begin{equation*} s=-\frac{2(a^2-r^2)^2}{(a^2-\gamma_1^2)\lambda\mu}. \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} \lambda=\overline{\mu}=\lambda_1+i\lambda_2. \end{equation*} \notag$

Для упрощения формул положим также

$\begin{equation*} a=i, \qquad r=\frac i2, \qquad \gamma_1=1. \end{equation*} \notag$

Тогда координатные функции принимают вид

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, x &=\psi_2(Q_1)=\frac{-(2\lambda_1+\lambda_2)\cos(\frac{3}{2}(u^1-2u^2))+ 3(2\lambda_1-\lambda_2)\cos(u^1/2+u^2)}{4|\lambda|^2} \\ &\qquad+\frac{(\lambda_1-2\lambda_2) \sin(\frac{3}{2}(u^1-2u^2))+3(\lambda_1+2\lambda_2) \sin(u^1/2+u^2)}{4|\lambda|^2} , \\ y&=\psi_2(Q_2)=\frac{(\lambda_1-2\lambda_2)\cos(\frac{3}{2}(u^1-2u^2))+ 3(\lambda_1+2\lambda_2)\cos(u^1/2+u^2)}{4|\lambda|^2} \\ &\qquad +\frac{(2\lambda_1+\lambda_2)\sin(\frac{3}{2}(u^1-2u^2))+ 3(-2\lambda_1+\lambda_2)\sin(u^1/2+u^2)}{4|\lambda|^2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

3. Метрики Дарбу–Егорова

Диагональная метрика

$\begin{equation*} ds^2=H_1^2(u)(du^1)^2+\dots+H_n^2(u)(du^n)^2 \end{equation*} \notag$

в некоторой области евклидова пространства называется метрикой Дарбу–Егорова, если коэффициенты вращения

$\begin{equation*} \beta_{ij}=\frac{\partial_{u^i}H_j}{H_i}, \qquad i\ne j, \end{equation*} \notag$

симметричны

$\beta_{ij}=\beta_{ji}$ . Метрики Дарбу–Егорова играют важную роль в теории фробениусовых многообразий [7].

Укажем ограничения на спектральные данные в теореме 2, которые приводят к метрикам Дарбу–Егорова. Пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая, каждая компонента которой изоморфна ${\mathbb C}P^1$ , $k_j=z_j$ – аффинная координата на $\Gamma_j$ .

Пусть форма $\Omega$ в окрестности точки $P_j$ имеет следующее разложение:

$\begin{equation*} \Omega=\biggl(\frac{\varepsilon^2_j}{k_j} +O\biggl(\frac{1}{k^2_j}\biggr)\biggr)dk_j^{-1}. \end{equation*} \notag$

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Пусть каждая компонента $\Gamma_j$ , $j=1,\dots,n$ , содержит точки $P_j= \infty$ и $Q_j=0$ . Предположим, что каждая точка пересечения $q\in\Gamma_i\cap\Gamma_j$ имеет одинаковые координаты на каждой из компонент $\Gamma_i$ , $\Gamma_j$

$\begin{equation} z_i(q)=z_j(q). \end{equation} \tag{3.1}$

Тогда плоская метрика имеет вид

$\begin{equation} ds^2=\varepsilon_1^2h_1^2(u)(du^1)^2+\dots+\varepsilon_n^2h_n^2(u)(du^n)^2 \end{equation} \tag{3.2}$

и является метрикой Дарбу–Егорова.

Доказательство. Покажем, что в координатах

$u^1,\dots,u^n$ метрика имеет вид (3.2). Для этого рассмотрим форму

$\begin{equation*} \omega_{ii}=\partial_{u^i}\psi(u,P)\partial_{u^i}\psi(u,\sigma(P))\Omega. \end{equation*} \notag$

Эта форма имеет простые полюсы в точках

$P_i,Q_1,\dots,Q_n$ , а также в точках пересечения компонент спектральной кривой. Просуммируем вычеты всех форм, задающих

$\omega_{ii}$ по всем компонентам. Вычеты, отвечающие точкам пересечения компонент сокращаются (см. доказательство теоремы 1). Получим

$\begin{equation*} (\partial_{u^j}x^1)^2+\dots+(\partial_{u^j}x^n)^2=\varepsilon_j^2h_j^2(u). \end{equation*} \notag$

Определим на

$\Gamma$ функцию

$f\colon \Gamma\to {\mathbb C}$ следующим образом. Если

$P\in\Gamma_j$ , то положим

$f(P)=z_j(P)$ . Эта функция корректно определена в силу условия (3.1) на точки пересечения компонент.

Далее рассмотрим форму

$\begin{equation*} \omega_{ij}=f(P)\frac{\partial_{u^i}\psi(u,z)}{h_i(u)}\, \frac{\partial_{u^j}\psi(u,\sigma(z))}{h_j(u)}\Omega. \end{equation*} \notag$

Эта форма имеет простые полюсы в

$P_i$ ,

$P_j$ и в точках пересечения компонент. Просуммируем сумму вычетов, получим

$\begin{equation*} \frac{\partial_{u^j}h_i(u)\varepsilon_i^2}{h_j(u)} -\frac{\partial_{u^i}h_j(u)\varepsilon_j^2}{h_i(u)}=0, \end{equation*} \notag$

т.е.

$\beta_{ij}=\beta_{ji}$ . Теорема доказана.

Пример 3. Пусть $\Gamma$ – приводимая спектральная кривая такая же, как в примере 1. Мы считаем, что компоненты $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ пересекаются по точкам $a,-a\in\Gamma_1$ , $a,-a\in\Gamma_2$ . Выберем следующие спектральные данные:

$\begin{equation*} P_1=\infty, \qquad Q_1=0\in\Gamma_1, \qquad P_2=\infty, \qquad Q_2=0, \qquad R=r, \qquad \gamma\in\Gamma_2. \end{equation*} \notag$

Кривая

$\Gamma$ допускает инволюцию

$\sigma\colon z_j=-z_j$ . Положим

$\begin{equation*} \psi_{1}=e^{u^1z_{1}}f(u), \qquad \psi_{2}=e^{u^2z_{2}}\biggl( g(u)+ \frac{h(u)}{z_{2}-\gamma} \biggr). \end{equation*} \notag$

Условия согласованности в точках пересечения и нормировки имеют вид

$\begin{equation*} \psi_{1}(a) =\lambda \psi_{2}(a), \qquad \psi_{1}(-a) =\mu \psi_{2}(-a), \qquad \psi_{2}(r)=1. \end{equation*} \notag$

Дифференциал

$\Omega$ задается следующими дифференциалами на компонентах

$\Gamma_1$ ,

$\Gamma_2$ :

$\begin{equation*} \Omega_1=\frac{sdz_1}{z_1(z_1^2-a^2)}, \qquad \Omega_2=\frac{(z_2^2-\gamma^2)dz_2}{z_2(z_2^2-a^2)(z_2^2-r^2)}, \end{equation*} \notag$

где

$s$ – некоторая константа. Условие

$\begin{equation*} \operatorname*{Res}_{Q_1} \Omega_2=\operatorname*{Res}_{Q_2} \Omega_2 \end{equation*} \notag$

дает

$s=\gamma^2/r^2$ . Условия

$\begin{equation*} \lambda\mu\operatorname*{Res}_{a} \Omega_1+ \operatorname*{Res}_{a} \Omega_2=0, \qquad \lambda\mu\operatorname*{Res}_{-a} \Omega_1+ \operatorname*{Res}_{-a} \Omega_2=0 \end{equation*} \notag$

выполнены при

$\begin{equation*} r=\frac{a \gamma\sqrt{\lambda\mu}}{\sqrt{\gamma^2(1+\lambda\mu)-a^2}}. \end{equation*} \notag$

Далее для простоты формул положим

$a=1$ ,

$\mu=5/(3\lambda)$ ,

$\gamma=2/3$ . Получим

$\begin{equation*} x^1=\frac{8e^{u^1-u^2}\lambda}{3(e^{2u^1}+e^{2u^2}\lambda^2)}, \qquad x^2=-\frac{2e^{2u^1-2u^2}-6\lambda^2}{3(e^{2u^1}+e^{2u^2}\lambda^2)}. \end{equation*} \notag$

При этом диагональная метрика является метрикой Дарбу–Егорова

$\begin{equation*} ds^2=\frac{64e^{2u^1-2u^2}\lambda^2}{9(e^{2u^1}+e^{2u^2}\lambda^2)^2}(du^1)^2+ \frac{16e^{-4u^2}(e^{2u^1}+3e^{2u^2}\lambda^2)^2}{9(e^{2u^1} +e^{2u^2}\lambda^2)^2}(du^2)^2. \end{equation*} \notag$

4. Заключительные замечания

В [3] были найдены спектральные данные для полярных и сферических координат и тем самым показано, как они вкладываются в предложенную схему. Для эллиптических координат на плоскости эта задача остается открытой.

Согласно [2; лемма 3.1] функция $\psi(u^1,\dots,u^n,Q)$ в каждой точке $Q\in \Gamma$ спектральной кривой удовлетворяет уравнениям

$\begin{equation} \frac{\partial^2 \psi}{\partial u^i \partial u^j}=\frac{\partial \log h_i}{\partial u^j}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^i} + \frac{\partial \log h_j}{\partial u^i}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^j}, \qquad i \neq j, \end{equation} \tag{4.1}$

где

$\begin{equation*} ds^2=\sum_i \varepsilon^2_i h_i^2(u) (du^i)^2, \qquad \varepsilon_i= \mathrm{const}, \end{equation*} \notag$

и есть плоская метрика, для которой

$u^1,\dots,u^n$ являются ортогональными криволинейными координатами. Так как координатные функции

$x^j(u)$ имеют вид

$x^j(u)=\psi(u,Q_j)$ ,

$j=1,\dots,n$ , то все координатные функции должны удовлетворять этим уравнениям.

Для эллиптических координат $(u^1,u^2)$ на плоскости c евклидовыми координатами $(x,y)$ мы имеем

$\begin{equation*} x^2=\frac{(u^1+a)(u^2+a)}{a-b}, \qquad y^2=\frac{(u^1+b)(u^2+b)}{b-a}, \end{equation*} \notag$

где

$a$ и

$b$ – такие постоянные, что

$a>b$ . Координаты удовлетворяют неравенствам

$\begin{equation*} -a < u^1 < -b < u^2, \end{equation*} \notag$

метрика принимает вид

$\begin{equation*} dx^2+dy^2=\frac{1}{4}\,\frac{u^1-u^2}{(u^1+a)(u^1+b)} (du^1)^2 + \frac{1}{4}\,\frac{u^2-u^1}{(u^2+a)(u^2+b)} (du^2)^2 \end{equation*} \notag$

и уравнение (4.1) сводится к уравнению Эйлера–Пуассона–Дарбу

$E(1/2,1/2)$ :

$\begin{equation*} \frac{\partial^2 \psi}{\partial u^1 \,\partial u^2}= A\frac{1}{u^1-u^2}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^1} - B\frac{1}{u^1-u^2}\,\frac{\partial \psi}{\partial u^2}, \qquad A=B=\frac{1}{2}. \end{equation*} \notag$

Уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу

$E(A,B)$ хорошо изучены и для них найдено общее решение, зависящее от пары функциональных параметров [8]. Для построения эллиптических координат по схеме конечнозонного интегрирования следует найти в нем ветвь, описываемую функцией (или сечением) Бейкера–Ахиезера.

В [9] была предложена интегрируемая дискретизация схемы Кричевера, состоящая в построении аналогичной функции Бейкера–Ахиезера $\psi(k,l,Q)$ , где целочисленные параметры $k,l \in {\mathbb Z}$ задают узлы решетки на плоскости. В этой работе был выделен дискретный аналог координат Дарбу–Егорова.

В середине 2010-х годов один из авторов (Тайманов) предложил построить дискретные эллиптические координаты по аналогичной схеме, исходя из уравнения $E(1/2,1/2)$ . Это частично было реализовано в [10], где была использована некоторая дискретизация уравнения $E(1/2,1/2)$ , не связанная с интегрируемыми системами. Однако хотелось бы построить дискретные эллиптические координаты в рамках теории интегрируемых систем. Возможно они будут обладать очень интересными свойствами, что привычно для точных решений интегрируемых уравнений.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	V. E. Zakharov, “Zakharov, Vladimir E.(RS-AOS-L) Description of the $n$ -orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type. I. Integration of the Lamé equations”, Duke Math. J., 94:1 (1998), 103–139
2.	И. М. Кричевер, “Алгебро-геометрические n-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности”, Функц. анализ и его прил., 31:1 (1997), 32–50
3.	А. Е. Миронов, И. А. Тайманов, “Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие сингулярным спектральным кривым”, Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, Сборник статей, Труды МИАН, 255, Наука, М., 2006, 180–196
4.	А. Е. Миронов, И. А. Тайманов, “О некоторых алгебраических примерах фробениусовых многообразий”, ТМФ, 151:2 (2007), 195–206
5.	И. А. Тайманов, “Сингулярные спектральные кривые в конечнозонном интегрировании”, УМН, 66:1 (397) (2011), 111–150
6.	Ж.-П. Серр, Алгебраические группы и поля классов, Мир, М., 1968
7.	B. Dubrovin, “Geometry of 2D topological field theories”, Integrable Systems and Quantum Groups (Montecatini Terme, 1993), Lect. Notes in Math., 1620, Springer-Verlag, Berlin, 1996, 120–348
8.	Ж.-Г. Дарбу, Лекции по общей теории поверхностей, т. 2, ИКИ, Ижевск, 2013
9.	А. А. Ахметшин, Ю. С. Вольвовский, И. М. Кричевер, “Дискретные аналоги метрик Дарбу–Егорова”, Солитоны, геометрия, топология – на перекрестках, Труды МИАН, 225, Наука, М., 1999, 21–45
10.	A. I. Bobenko, W. K. Schief, Yu. B. Suris, J. Techter, “On a discretization of confocal quadrics. I. An integrable systems approach”, J. Integrable Syst., 1:1 (2016), 34

Образец цитирования: А. Е. Миронов, А. Сеннинджер, И. А. Тайманов, “Ортогональные криволинейные системы координат и пучки без кручения над приводимыми спектральными кривыми”, Матем. заметки, 114:4 (2023), 579–590; Math. Notes, 114:4 (2023), 573–582

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{MirSenTai23}

\by А.~Е.~Миронов, А.~Сеннинджер, И.~А.~Тайманов

\paper Ортогональные~криволинейные~системы~координат и~пучки~без~кручения над~приводимыми~спектральными~кривыми

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 4

\pages 579--590

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13961}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13961}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 4

\pages 573--582

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623090250}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174582212}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13961

https://doi.org/10.4213/mzm13961

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i4/p579

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

A. Senninger, “On Discrete Orthogonal Coordinates Corresponding to Torsion-Free Sheaves over Reducible Spectral Curves”, Sib Math J, 65:5 (2024), 1201
А. Сеннинджер, “О дискретных ортогональных координатах, отвечающих пучкам без кручения над приводимыми спектральными кривыми”, Сиб. матем. журн., 65:5 (2024), 1029–774

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	285
PDF полного текста:	41
HTML русской версии:	167
Список литературы:	32
Первая страница:	10

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Функция Бейкера–Ахиезера и ортогональные криволинейные координаты

2.1. Конструкция Кричевера [2]

2.2. Ортогональные криволинейные координаты, отвечающие функциям Бейкера–Ахиезера на сингулярных спектральных кривых [3]

2.3. Криволинейные координаты и пучки ранга один без кручения на спектральных кривых

3. Метрики Дарбу–Егорова

4. Заключительные замечания

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ