| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об алгебре двойных классов смежности симметрической группы по юнговской подгруппе Ю. А. Неретинabc a University of Vienna, Austria b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090262 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $G$ – локально компактная группа, $K\subset G$ – компактная подгруппа. Рассмотрим соответствующую алгебру Гекке–Ивахори, т.е. сверхточную алгебру $\mathcal{M}(G,K)$ комплекснозначных мер на $G$ с компактным носителем, инвариантных относительно левых и правых сдвигов на элементы группы $K$ (см., например, [1]). Такие меры можно рассматривать как меры на пространстве двойных классов смежности $K\setminus G/K$. Легко убедиться, что для любого унитарного представления группы $G$ алгебра $\mathcal{M}(G,K)$ действует в пространстве всех $K$-инвариантных векторов. Это делает алгебры Гекке–Ивахори инструментом изучения представлений групп. Они используется во многих ситуациях и по многим причинам, начиная с работы Гельфанда [2], который ввел понятие сферических подгрупп и показал, что феномен сферичности связан с коммутативностью алгебры $\mathcal{M}(G,K)$. Такие алгебры сами могут оказываться интересными объектами и дальше жить своей жизнью как алгебра Гекке, аффинная алгебра Гекке (оба объекта введены Ивахори, см., [3]), алгебра Йоконумы [4]. С другой стороны, такие алгебры могут оказываться сложными объектами в случаях, априори кажущихся простыми. Например, если $G=\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$, $K=\operatorname{SO}(2)$ (или, более общо, $G$ – вещественная простая группа Ли ранга 1, $K$ – максимальная компактная подгруппа), то произведение в $\mathcal{M}(G,K)$ определяется гипергеометрическим ядром типа $_2F_1$; см., например, [5; § 7]. В этом случае $\mathcal{M}(G,K)$ – интересный полезный объект; см. Фленстед-Йенсен, Коорнвиндер [6]. Но обобщения упомянутой гипергеометрической формулы на классические группы ранга $>1$, по-видимому, не известно (о некоторых продолжениях этого предмета см. [7], [8]). Сложным объектом, допускающим нетривиальные описания, является алгебра классов сопряженных элементов симметрической группы $S_n$; см. Иванов, Керов [9]. Об алгебре классов сопряженности для группы $\operatorname{GL}$ над конечным полем см. Мелио [10]. Ольшанский [11] обнаружил, что алгебры $\mathcal{M}(G_n,K_n)$ при переходе к бесконечному пределу (например, $\mathcal{M}(\operatorname{U}(n),\operatorname{O}(n))$ или $\mathcal{M}(S_{2n},S_n\times S_n)$) часто вырождаются, на самом множестве $K_\infty\setminus G_\infty/K_\infty$ появляется естественное умножение, что в свою очередь создает средство для изучения представлений бесконечномерных групп. Автор (например, [12]) показал, что такие умножения являются массовым явлением и допускают явные описания в большой степени общности (явно описываются и сами пространства $K_\infty\setminus G_\infty/K_\infty$). Настоящая заметка, наряду с [13], является своего рода экспериментом – попыткой спуска с относительно понятного бесконечного предела к допредельным объектам. Наш объект, очевидно, очень сложен; выбран он потому, что для него предельная бесконечномерная ситуация выглядит наиболее прозрачной, см. [15], [12; § 8]. 2. Алгебра двойных классов смежности по юнговской подгруппеОбозначим группу всех перестановок множества $\Omega$ из $N$ элементов через $S_N$. Пусть Разобьем $\Omega$ в несвязное объединение $\Omega=\coprod P_j$, где число элементов $\# P_j$ множества $P_j$ равно $n_j$. Обозначим через $Y\{n_j\}$ соответствующую подгруппу Юнга, т.е. подгруппу в $S_N$, состоящую из перестановок, переводящих каждое множество $P_j$ в себя. Очевидно, $Y\{n_j\}\simeq \prod_j S_{n_j}$. Каждому двойному классу смежности $ Y\{n_j\}\cdot g \cdot Y\{n_j\}$ ставится в соответствие целочисленная матрица Легко видеть (см., например, [14; раздел 1.3]), что матрица $\{a_{ij}\}$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\sum_i a_{ij}=n_j, \quad \sum_j a_{ij}=n_i, \qquad a_{ij}\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
и двойной класс смежности однозначно определяется такой матрицей. Мы будем использовать следующие три обозначения для этого класса смежности:
Замечание 1. Число двойных классов смежности (т.е. число целочисленных матриц $\{a_{ij}\}$, удовлетворяющих (1)) – сложная комбинаторная величина, изучавшаяся, например, в [16], [17]. Рассмотрим групповую алгебру $\mathbb{C}[S_N]$ и в ней элемент Очевидно, $\Pi^2=\Pi$, а подпространство
$$
\begin{equation*}
\Delta\{n_j\}:=\Pi\,\mathbb{C}[S_N]\,\Pi\subset \Pi[S_N]
\end{equation*}
\notag
$$
совпадает с алгеброй функций на $S_N$, инвариатных относительно левых и правых сдвигов на элементы $Y\{n_j\}$. Естественный базис в этой алгебре образуют элементы вида
$$
\begin{equation*}
\Xi\{a_{ij}\}=\frac{1}{\mu\{a_{ij}\}} \sum_{g\in \xi\{a_{ij}\}}g.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы используем для базисных векторов $\Xi$ три вида обозначений аналогично обозначениям (1)–(3) для $\xi$. Предложение 1. Умножение базисных элементов алгебры $\Delta\{n_j\}$ задается формулой Доказательство. Посчитаем число пар $g\in\xi\{a_{ij}\}$, $h\in\xi\{b_{jk}\}$ таких, что $hg\in \xi\{c_{ik}\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
T_{ijk}:=g(P_i)\cap P_j\cap h^{-1} (P_k),\qquad t_{ijk}:=\#T_{ijk}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем числа $t_{ijk}$. Они удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
a_{ij} =\#(g(P_i)\cap P_j)=\#\biggl(\coprod_{k}T_{ijk}\biggr) =\sum_{k} t_{ijk},
\end{equation}
\tag{4}
$$
По построению $P_j=\coprod_{ik} T_{ijk}$, и набор таких разбиений можно выбрать способами. С другой стороны, $P_i=\coprod_{jk} g^{-1}T_{ijk}$, и набор таких разбиений можно выбрать способами; это число совпадает с (7). Набор преобразований $g\colon g^{-1} T_{ijk}\to T_{ijk}$ может быть выбран $\prod_{ijk} t_{ijk}!$ способами. Аналогично мы выбираем множества $h T_{ijk}$ и преобразования $h\colon T_{ijk}\to T_{ijk}$. В итоге искомое число пар $g$, $h$ с фиксированным набором $t_{ijk}$ равно
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\prod_j n_j!}{\prod_{ijk} t_{ijk}!}\biggr)^3 \prod_{ijk} (t_{ijk}!)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы получить коэффициент в (3), эти числа надо просуммировать по всевозможным наборам $t_{ijk}$, удовлетворяющим (4)–(6), и поделить на нормировочный множитель $\mu\{a_{ij}\}\mu\{b_{jk}\}$, см. (2). Пример 1. Рассмотрим случай $\nu=2$, $N=n_1+n_2$. Известно, что в этом случае алгебра $\Delta(n_1,n_2)$ коммутативна, а пара $S_N\supset S_{n_1}\times S_{n_2}$ сферична; см., например, [18; § 6.2], сферические функции выражаются через ортогональные гипергеометрические многочлены Хана типа $_3F_2(1)$. Базис алгебры $\Delta(n_1,n_2)$ образуют функции Отметим, что при всей простоте этого случая тождество для структурных констант $\sum_\gamma s^\gamma_{ab} s^\delta_{\gamma c}= \sum_\gamma s^\delta_{a\gamma}s^\gamma_{bc}$, означающее ассоциативность алгебры $\Delta(n_1,n_2)$, – это тождество необычного типа для функций $_4F_3(1)$. 3. Гомоморфизм алгебры Ли группы косНапомним, что согласно Мальцеву [19] любая нильпотентная конечно порожденная группа без кручения вкладывается каноническим образом в качестве кокомпактной решетки в нильпотентную группу Ли и, тем самым, такая дискретная группа определяет алгебру Ли. Конструкция продолжается на аппроксимативно нильпотентные группы [20], и, в частности, она работает для группы крашеных кос. Соответствующая алгебра Ли $\operatorname{Br}_\nu$ была построена Коно [21] (см. другой способ построения в [22]), она имеет генераторы $L_{ij}$, где $i,j=1,\dots,\nu$, причем $i\ne j$ и $L_{ij}=L_{ji}$, и соотношения (“infinitesimal braid relations”, “соотношения инфинитизимальных кос”)
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} [L_{ij},L_{jk}+L_{ki}]&=0,&&\qquad \text{где } i,j,k \text{ попарно различны;} \\ [L_{ij},L_{kl}]&=0,&&\qquad \text{где } i,j,k,l \text{ попарно различны.} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим (см., например, [22]), что генераторы $L_{\nu 1},L_{\nu 2},\dots,L_{\nu (\nu-1)}$ порождают свободную алгебру Ли $\operatorname{Free}_{\nu-1}$, она является идеалом в $\operatorname{Br}_\nu$. Алгебра $\operatorname{Br}_\nu$ является полупрямым произведением подалгебры $\operatorname{Br}_{\nu-1}$, порожденной $L_{ij}$ с $i,j<\nu$, и идеала $\operatorname{Free}_{\nu-1}$. Коно также отметил [24], [25], что если алгебра $\operatorname{Br}_\nu$ действует в некотором конечномерном линейном пространстве, то там с помощью связности Книжника–Замолодчикова автоматически строится и представление группы крашеных кос. Алгебра $\operatorname{Br}_\nu$ градуирована степенями $1,2,3,\dots$ (степени образующих равны 1), что дает возможность определить соответствующую бесконечномерную группу Ли как некоторое “подмногообразие” в пополненой универсальной обертывающей алгебре; эти пополнения можно выбирать разными способами. В частности, есть пополнение [23], которое действует в любых конечномерных представлениях алгебры $\operatorname{Br}_\nu$ и которое содержит группу крашеных кос. У алгебры Коно известно много нетривиальных дeйствий, см., например, [26]–[28], [23]; в частности, она действует в различных пространствах кратностей представлений. В силу двойственности Фробениуса следующая теорема показывает, что алгебра $\operatorname{Br}_\nu$ и соответствующая “группа Ли” действуют естественным образом в кратностях квазирегулярного представления $S_N$ в функциях на $S_N/ Y\{n_i\}$. Пусть $i\ne j$. Рассмотрим транспозицию $r_{ij}$, переставляющую элемент из $P_i$ c элементом из $P_j$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{r}_{ij}:=\Pi\, r_{ij}\,\Pi= \Xi\biggl(\sum_{k\colon k\ne i,j} n_k E_{kk}+ (n_i-1)E_{ii}+(n_j-1)E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Элементы $\widetilde{\mathfrak{r}}_{ij}:=n_i n_j\mathfrak{r}_{ij}$ удовлетворяют соотношениям Доказательство. При проверке (8) без ограничения общности можно положить, что $ijk=123$ и что $\nu=3$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{r}_{23}\mathfrak{r}_{12}&=\Xi\begin{bmatrix} n_1&0&0\\ 0&n_2-1&1\\ 0&1&n_3-1 \end{bmatrix}\Xi\begin{bmatrix} n_1-1&1&0\\ 1&n_2-1&0\\ 0&0&n_3-1 \end{bmatrix} \\ &=\frac{n_2-1}{n_2}\cdot\Xi\begin{bmatrix} n_1-1&1&0\\ 1&n_2-2&1\\ 0&1&n_3-1 \end{bmatrix}+\frac{1}{n_2}\cdot\Xi\begin{bmatrix} n_1-1&0&1\\ 1&n_2-1&0\\ 0&1&n_3-1 \end{bmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
[\mathfrak{r}_{23},\mathfrak{r}_{12}]=\frac{1}{n_2}\cdot \Xi\begin{bmatrix} n_1-1&0&1\\ 1&n_2-1&0\\ 0&1&n_3-1 \end{bmatrix}-\frac{1}{n_2}\cdot\Xi\begin{bmatrix} n_1-1&1&0\\ 0&n_2-1&1\\ 1&0&n_3-1 \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и это влечет (8).
Формулу (9) достаточно проверить при $ijkl=1234$ и $\nu=4$. Тогда 4. Универсализация алгебр $\Delta\{n_j\}$Фиксируем $\nu$. Обозначим через $\mathcal{B}$ множество всех целочисленных наборов $\{a_{ij}\}$, где $i$, $j\leqslant \nu$ и $i\ne j$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation*}
a_{ij}\geqslant 0, \qquad \sum_{i\colon i\ne j} a_{ij}=\sum_{i\colon i\ne j} a_{j i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим числа
$$
\begin{equation*}
a^*_{jj}:=\sum_{i\colon i\ne j} a_{j i}=\sum_{i\colon i\ne j} a_{ij}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем формальные переменные $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\nu$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
(\!(p,q;\varepsilon_j)\!):= \prod_{m=p}^{q-1}(1-m\varepsilon_j), \qquad\text{в частности},\quad (\!(p,p;\varepsilon_j)\!):=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждому набору $\{a_{ij}\}\in \mathcal{B}$ мы ставим в соответствие формальный базисный элемент $\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\}$. Фиксируем три таких элемента $\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\}$, $\boldsymbol{\Xi}\{b_{jk}\}$, $\boldsymbol{\Xi}\{c_{ik}\}$. Рассмотрим множество $\mathcal{T}=\mathcal{T}(\{a_{ij}\},\{b_{jk}\},\{c_{ik}\})$ всевозможных наборов $\{t_{ijk}\}$ неотрицательных целых чисел таких, что не все индексы $i$, $j$, $k$ совпадают, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation}
\sum_{i} t_{ijk} =b_{jk}\qquad\text{при}\quad j\ne k,
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{j} t_{ijk} =c_{ik}\qquad\text{при}\quad i\ne k,
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k} t_{ijk} =a_{ij}\qquad\text{при}\quad i\ne j,
\end{equation}
\tag{12}
$$
а также
$$
\begin{equation}
a_{jj}^*+\sum_{k\colon k\ne j} t_{jjk}=b_{jj}^*+\sum_{i\colon i\ne j} t_{ijj}= c_{jj}^*+\sum_{m\colon m\ne j} t_{jmj}=:t_{jjj}^*
\end{equation}
\tag{13}
$$
(мы обозначили три равных величины (13) через $t_{jjj}^*$). Отметим, что в силу этих равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{j,k\colon (j,k)\ne (i,i)} t_{ijk}=t^*_{iii}, \qquad \sum_{i,k\colon (i,k)\ne (j,j)} t_{ijk}=t^*_{jjj}, \qquad \sum_{i,j\colon (i,j)\ne (k,k)} t_{ijk}=t^*_{kkk}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что множества $\mathcal{T}(\{a_{ij}\},\{b_{jk}\},\{c_{ik}\})$ ограничены в силу (10)–(12) и $t_{ijk}\geqslant 0$, а поэтому конечны. Более того, при фиксированных $\{a_{ij}\}$, $\{b_{jk}\}$ конечно множество
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\{c_{ik}\}\in \mathcal{B}}\mathcal{T}(\{a_{ij}\},\{b_{jk}\},\{c_{ik}\});
\end{equation}
\tag{14}
$$
действительно, равенства (10), (12) достаточны для ограниченности. Поэтому при фиксированных $\{a_{ij}\}$, $\{b_{jk}\}$ лишь конечное число множеств $\mathcal{T}(\{a_{ij}\},\{b_{jk}\},\{c_{ik}\})$ непусто. Определим величины (структурные константы)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{s}_{\{a_{ij}\}, \{b_{jk}\}}^{ \{c_{ik}\}}&= \sum_\mathcal{T} \frac{\prod_{i,j\colon i\ne j} a_{ij}!\, \prod_{j,k\colon j\ne k} b_{jk}!}{\prod_{\substack{i,j,k\colon \\\text{$i\ne j$ или $i\ne k$, или $j\ne k$}}}t_{ijk}!} \\ &\qquad\times\prod_j \varepsilon_j^{a_{jj}^*+b_{jj}^*-t_{jjj}^*} \frac{(\!(a_{jj}^*,t_{jjj}^*;\varepsilon_j)\!) (\!(b_{jj}^*,t_{jjj}^*;\varepsilon_j )\!)} {(\!(0,t_{jjj}^*;\varepsilon_j )\!)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно следующей лемме это выражение является корректно определенным степенным рядом по $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\nu$. Лемма 3. a) Для любых точек из $\mathcal{T}(\{a_{ij}\},\{b_{jk}\},\{c_{ik}\})$ выполнено b) Если $a_{jj}^*+b_{jj}^*-t_{jjj}^*=0$ для всех $j$, то $a_{ij}+b_{ij}=c_{ij}$ для всех пар с $i\ne j$. Доказательство. Поэтому Все слагаемые в правой части неотрицательны, поэтому сумма неотрицательна. Это дает утверждение a).
Если для всех $j$ величины $a_{jj}^*+b_{jj}^*-t_{jjj}^*$ равны нулю, то ненулевыми могут быть лишь $t_{\dots}$ вида $t_{ijj}$ или $t_{jjk}$. Но тогда и это доказывает утверждение b).Рассмотрим следующие два кольца:
Структурные константы $\mathfrak{s}^{\dots}_{\dots}$ могут рассматриваться как элементы любого из этих колец. Теорема 4. a) Формула определяет структуру ассоциативной алгебры над кольцом $\mathbb{Q}[[\{\varepsilon_j\}]]$ или кольцом $\mathbb{Q}[\{\varepsilon_j\},\{(1-m\varepsilon_j)^{-1}\}]$; обозначим эту алгебру через $\Delta$. b) Фиксируем $n_1,\dots,n_\nu$. Пусть Положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{s}_{\{a_{ij}\},\{b_{jk}\}}^{\{c_{ik}\}}(\{n_j^{-1}\}):= \mathfrak{s}_{\{a_{ij}\},\{b_{jk}\}}^{\{c_{ik}\}} |_{\varepsilon_1=1/n_1,\dots,\varepsilon_\nu=1/n_\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда При этом алгебра $\Delta^\circ\{n_j\}$ с базисом $\boldsymbol{\Xi}^\circ\{a_{ij}\}$, где $a_{jj}^*\leqslant n_j$, и соотношениями совпадает с $\Delta\{n_j\}$. Доказательство. Мы переписываем структурные константы в формуле (3) как
$$
\begin{equation*}
\prod_{i,j\colon i\ne j} a_{ij}! \,\prod_{j,k\colon j\ne k} b_{jk}!\, \sum \biggl(\frac{1}{\prod_{\substack{i,j,k\colon \\ i\ne j \text{ или } i\ne k,\text{ или } j\ne k}}t_{ijk}!}\cdot \prod_{j} \frac{a_{jj}!\,b_{jj}!}{n_j!\, t_{jjj}!}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы полагаем $n_j-a_{jj}=:a_{jj}^*$, $1/n_j=\varepsilon_j$ и преобразуем множитель $\prod_j$ как
$$
\begin{equation*}
\prod_j \frac{(n_j-a_{jj}^*)!\,(n_j-b_{jj}^*)!}{n_j! \, (n_j- t_{jjj}^*)!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, n_j!&=n_j^{n_j}\cdot 1\cdot \biggl(1-\frac{1}{n_j}\biggr) \biggl(1-\frac{2}{n_j}\biggr)\cdots\biggl(1-\frac{n_j-1}{n_j}\biggr) \\ &=\varepsilon_j^{-n_j} 1\cdot (1-\varepsilon_j)(1-2\varepsilon_j) \cdots (1-(n_j-1)\varepsilon_j) =\varepsilon_j^{-n_j}(\!(0,t_{jjj}^*;\varepsilon_j)\!) (\!(t_{jjj}^*, n_j;\varepsilon_j)\!). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, Сокращая на $(\!(t_{jjj}^*, n_j;\varepsilon_j)\!)^2$, мы приходим к выражению для $\mathfrak{s}_{\dots}^{\dots}$.
Далее, пусть все $a_{ll}^*,b_{ll}^*\leqslant n_l$, а какое-нибудь $t_{jjj}^*>n_j$. Тогда каждый из трех множителей выражения
$$
\begin{equation*}
\frac{(\!(a_{jj}^*,t_{jjj}^*;\varepsilon_j)\!) (\!(b_{jj}^*,t_{jjj}^*;\varepsilon_j )\!)} {(\!(0,t_{jjj}^*;\varepsilon_j )\!)}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит $(1-n_j\varepsilon_j)$, и в итоге подстановка $\varepsilon_j=1/n_j$ дает нуль. С другой стороны, если какое-то $t_{kkk}^*\leqslant n_k$, то множитель $(1-n_k\varepsilon_k)$ отсутствует и в числителе, и в знаменателе и, тем самым, у нас нет полюса в $\varepsilon_k=1/n_k$. Поэтому любое слагаемое, где некоторое $t_{jjj}^*>n_j$, зануляется.
Если при тех же $a_{ll}^*$, $b_{ll}^*$ какое-нибудь $c_{jj}^*>n_j$, то во всех слагаемых $\mathfrak{s}_{\dots}^{\dots}$ мы имеем $t_{jjj}^*\geqslant c_{jj}^*>n_j$ и поэтому все слагаемые равны нулю. Таким образом, мы проверили утверждение b). Теперь рассмотрим алгебру над кольцом $\mathbb{Q}[\{\varepsilon_j\},\{(1-m\varepsilon_j)^{-1}\}]$, введенную в утверждении a). В силу конечности множеств (14) обе части предполагаемого тождества означающего ассоциативность, разлагаются в конечные суммы по базису $\boldsymbol{\Xi}\{\,\cdot\,\}$ с рациональными коэффициентами. При подстановке $\varepsilon_j=1/n_j$ с достаточно большими $n_j$ мы получаем тождество в алгебре $\Delta\{n_j\}$. Поэтому выполнено и тождество для коэффициентов $\in\mathbb{Q}[\{\varepsilon_j\},\{(1-m\varepsilon_j)^{-1}\}]$. Поэтому совпадают и их разложения в ряды по $\varepsilon_j$.Замечание 2. При подстановке $\varepsilon_j\mapsto 1/n_j$ в части структурных констант $\mathfrak{s}_{\dots}^{\dots}$ мы получим полюса (как показывает пример чуть ниже). То есть мы не получаем при такой подстановке корректно определенной бесконечномерной алгебры (по крайней мере, при нашей нормировке базисных элементов). Отметим, что эти полюса не возникают при условии (15) теоремы 4.b. Отметим также, что при подстановке $\varepsilon_j\mapsto \alpha_j$, где $\alpha_j\ne 1,1/2,1/3,\dots$ для всех $j$, мы не попадаем в полюса структурных констант и получаем корректно определенную бесконечномерную алгебру. Пример 2. Вернемся к случаю $\nu=2$, обсуждавшемуcя в п. 2. Базис $\boldsymbol{\Xi}_a$ теперь нумеруется числами $a\geqslant 0$, а структурные константы задаются формулами 5. Коммутативный предел и алгебра ПуассонаРассмотрим алгебру $\Delta$ как алгебру над $\mathbb{Q}[[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\nu]]$. Наша алгебра имеет убывающую фильтрацию по степеням $\varepsilon,\dots,\varepsilon_\nu$. В силу леммы 3 соответствующая градуированная алгебра $\operatorname{gr}(\Delta)$ коммутативна, умножение задается формулой
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\}\boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\}= \boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}+b_{ij}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть мы получаем коммутативную алгебру над $\mathbb{Q}$ с базисом $\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\}$. Этот предел фактически участвует в построениях [15], [12; § 8]. Легко написать и следующий член разложения по степеням $\varepsilon_j$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\}\boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\}= \boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}+b_{ij}\} \\ &\qquad+\sum_j \varepsilon_j \sum_{\alpha,\gamma} a_{\alpha j} b_{j \beta}\boldsymbol{\Xi}\biggl(\sum_{i,k\colon i\ne k}(a_{ik}+ b_{ik})E_{ik}+E_{\alpha \gamma}-E_{\alpha j}-E_{j\gamma}\biggr)+ \sum_j O(\varepsilon_j), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sum_j O(\varepsilon_j)$ обозначает формальный ряд по одночленам $\prod_j \varepsilon_j^{m_j}$ с $\sum m_j\geqslant 2$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\}\boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\}- \boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\}\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\} =\sum_j \varepsilon_j \sum_{\alpha,\gamma} (a_{\alpha j} b_{j\beta}-a_{\beta j}b_{j \alpha}) \\ &\qquad\times \boldsymbol{\Xi}\biggl(\sum_{i,k\colon i\ne k}(a_{ik}+b_{ik})E_{ik}+ E_{\alpha\gamma}-E_{\alpha j}-E_{j\gamma}\biggr)+ \sum_j O(\varepsilon_j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, полагая $\varepsilon_1=\dots=\varepsilon_\nu=\varepsilon$, мы получаем скобку Пуассона на алгебре $\operatorname{gr}(\Delta)$:
$$
\begin{equation*}
\{\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\},\boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\}\}:= \biggl(\frac{1}{\varepsilon}(\boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\} \boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\}-\boldsymbol{\Xi}\{b_{ij}\} \boldsymbol{\Xi}\{a_{ij}\})\biggr)\bigg|_{\varepsilon=0},
\end{equation*}
\notag
$$
явный вид которой ясен из предыдущей формулы.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ner23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|