| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Область существования суммы ряда экспоненциальных мономов А. С. Кривошеевa, О. А. Кривошееваb a Институт математики с вычислительным центром — обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа b Уфимский университет науки и технологий
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090213 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность различных комплексных чисел $\lambda_k$ и их кратностей $n_k$. Считаем, что $|\lambda_k|$ не убывает и $|\lambda_k|\to\infty$, $k\to\infty$. Рассмотрим ряд
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=0}^{n_k-1} d_{k,n} z^n e^{\lambda_k z}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Пусть $d=\{d_{k,n}\}_{k=1,n=0}^{\infty,n_k-1}$ и $g_{d,\Lambda}$ – сумма ряда (1.1). Символом $D(\Lambda,d)$ обозначим “область сходимости” ряда (1.1). Другими словами, $D(\Lambda,d)$ – открытое ядро множества всех точек $z\in\mathbb{C}$, в которых сходится ряд (1.1) (он сходится в каждой точке “области” $D(\Lambda,d)$ и расходится в каждой точке ее внешности). Символом $\mathcal{U}(\Lambda)$ обозначим совокупность всех последовательностей коэффициентов $d=\{d_{k,n}\}$ ряда (1.1), для которых $D(\Lambda,d)\neq \varnothing$, и $g_{\Lambda,d}$ – аналитическая функция в $D(\Lambda,d)$. Пусть $d\in \mathcal{U}(\Lambda)$. Точка $z\in\partial D(\Lambda,d)$ называется особой для $g_{\Lambda,d}$, если не существует функции, аналитической в объединении $D(\Lambda,d)$ и какого-либо круга с центром в точке $z$, совпадающей с функцией $g_{\Lambda,d}$ на множестве $D(\Lambda,d)$. В работе исследуется проблема распределения особых точек суммы ряда (1.1) на границе его области сходимости $\partial D(\Lambda,d)$. Первые результаты в этом направлении были получены еще в позапрошлом веке. Они были связаны с частными случаями рядов (1.1) – степенными рядами. История вопроса изложена в работе [1]. Здесь отметим, что исследования в случае степенных рядов проводились в работах Адамара [2], Фабри [3], Полиа [4], Фукса [5], Мальявена [6] и др. Параллельно с исследованиями степенных рядов изучались и более общие ряды Дирихле. Особые точки таких рядов изучались в работах Полиа [7], [8], Карлсона и Ландау [9; гл. II, § 5.2], Бернштейна [10] и др. В работе [11] (теорема 1) получен окончательный результат по особым точкам суммы ряда Дирихле, который содержит в себе как частные случаи все указанные выше результаты. Доказано, что эквивалентны следующие утверждения: 1) каждая сумма ряда Дирихле (т.е. ряда (1.1), где $\lambda_k<0$ и $n_k=1$), не являющаяся целой функцией, на любом отрезке длины $2\pi\tau$, $\tau\geqslant 0$, прямой сходимости имеет хотя бы одну особую точку; 2) $S_\Lambda=0$ и $\overline{n}_0 (\Lambda)\leqslant \tau$. Здесь $S_\Lambda$ – индекс конденсации последовательности $\Lambda$, введенный в работе [12] (он будет определен в следующем пункте), и $\overline{n}_0 (\Lambda)$ – максимальная плотность последовательности $\Lambda$:
$$
\begin{equation}
\overline{n}_0 (\Lambda) =\varlimsup_{\delta\to 0}\varlimsup_{r\to\infty} \frac{n(r,\Lambda)-n((1-\delta)r,\Lambda)}{\delta r},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $n(r,\Lambda)$ – число точек $\lambda_k$ из открытого круга $B(0,r)$ с центром в нуле и радиуса $r$. Отметим, что индекс $S_\Lambda$ в этом результате нельзя заменить известным индексом конденсации Бернштейна [10]. Последний индекс подходит в основном для последовательностей, имеющих плотность, в то время как индекс $S_\Lambda$ эффективен для любой последовательности (соответствующий пример имеется в конце работы [11]). Леонтьев [13] обобщил результаты Бернштейна, Фабри и Полиа и на случай рядов экспонент (т.е. рядов вида (1.1), где $n_k\equiv 1$) с последовательностью показателей, имеющей нулевую плотность. Он доказал, что при условии $\gamma(\Lambda)=0$ ($\gamma(\Lambda)$ – индекс конденсации Бернштейна–Леонтьева) область сходимости ряда экспонент совпадает с областью существования функции $g_{d,\Lambda}$ (т.е. все точки границы $\partial D(\Lambda,d)$ являются особыми для функции $g_{d,\Lambda}$). В работах [14]–[16] исследовалась проблема распределения особых точек суммы ряда (1.1) на границе $\partial D(\Lambda,d)$. В частности, в теореме 5.1 работы [14] доказывается, что эквивалентны следующие утверждения:
Этот результат содержит в себе указанный выше результат Леонтьева. В работе [1] также исследуется задача распределения особых точек суммы общего ряда (1.1). Получены достаточные и необходимые условия наличия особых точек на фиксированной дуге границы области $D=D(\Lambda,d)$. Эти условия формулируются в терминах взаимосвязи между простыми геометрическими характеристиками последовательности $\Lambda$ (максимальная и минимальная плотность) и области $D$ (длина дуги). Полученные результаты содержат в себе как частные случаи все отмеченные выше результаты за исключением результатов из теоремы 5.1 работы [14] и теоремы 1 работы [11], которые являются окончательными. Пусть $D$ – выпуклая область и $\mathbb{A}(\Lambda,D)$ – множество всех последовательностей $d=\{d_{k,n}\}$ коэффициентов ряда (1.1), при которых он сходится равномерно на компактах в области $D$, и его область сходимости $D(\Lambda,d)$ совпадает с $D$. В данной работе изучаются условия, при которых для любой последовательности коэффициентов $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$ область существования функции $g_{\Lambda,d}$ совпадает с областью сходимости $D(\Lambda,d)=D$ ряда (1.1). Рассматриваются последовательности $\Lambda$, имеющие угловую плотность (измеримые) и нулевой индекс конденсации $S_\Lambda$. Получены различные критерии, связанные с распределением особых точек суммы ряда (1.1) на границе его области сходимости (теоремы 4 и 5). В частности, в классе указанных последовательностей получен критерий того, что все граничные точки области $D$ являются особыми для любой функции $g_{\Lambda,d}$ такой, что $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$ (теорема 6). Критерии формулируются при помощи простых геометрических характеристик последовательности $\Lambda$ и области $D$ (угловая плотность и длина дуги границы $\partial D$). Показывается также, что условие равенства нулю индекса конденсации $S_\Lambda$ является существенным. Доказывается, что в случае, когда область существования каждой функции $g_{\Lambda,d}$, где $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$, совпадает с областью $D$, в любом угле есть луч такой, что часть последовательности $\Lambda$, которая сосредоточена в некотором смысле вдоль этого луча, имеет нулевой индекс конденсации (теорема 7). 2. Предварительные сведенияПусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $d=\{d_{k,n}\}$. Символом $\Xi(\Lambda)$ обозначим совокупность пределов всех сходящихся последовательностей вида $\{\overline{\lambda}_{k_p}/|\lambda_{k_p}|\}_{p=1}^\infty$. Множество $\Xi(\Lambda)$ является замкнутым подмножеством единичной окружности $S(0,1)$. В общем случае, когда
$$
\begin{equation*}
m(\Lambda)=\varlimsup_{k\to\infty} \frac{n_k}{|\lambda_k|}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
множество $D(\Lambda,d)$ может быть невыпуклым [17] и не является даже связным [18]. Пусть $\{\xi_j\}$ – неубывающая по модулю последовательность, которая составлена из точек $\lambda_k$, причем каждая $\lambda_k$ встречается в ней ровно $n_k$ раз. Если
$$
\begin{equation*}
\sigma(\Lambda)=\varlimsup_{j\to\infty}\frac{\ln j}{|\xi_j|}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
то в некоторых точках $z\in D(\Lambda,d)$ (а возможно, и на всем множестве $D(\Lambda,d)$) ряд (1.1), вообще говоря, не сходится абсолютно [13; гл. II, § 1, п. 4]. С другой стороны, если $m(\Lambda)=\sigma(\Lambda)=0$, то по теореме Коши–Адамара для рядов экспоненциальных мономов [18] множество $D(\Lambda,d)$ будет выпуклой областью (возможно, пустой), которая описывается при помощи коэффициентов $\{d_{k,n}\}$. При этих же условиях по теореме Абеля [18] в области $D(\Lambda,d)$ ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте. В частности, это означает, что его сумма $g_{\Lambda,d}$ – аналитическая функция в области $D(\Lambda,d)$. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Лемма 1. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $d=\{d_{k,n}\}$. Предположим, что верны равенства $m(\Lambda)=\sigma(\Lambda)=0$ и $D(\Lambda,d)\neq\varnothing$. Тогда верно представление Здесь
$$
\begin{equation*}
h(\varphi,\Lambda,d)=\inf\varliminf_{j\to\infty} \min_{0\leqslant n\leqslant n_{k_j}-1} \frac{\ln(1/|d_{k_j,n}|)}{|\lambda_{k_j}|}, \qquad e^{i\varphi}\in\Xi(\Lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем подпоследовательностям $\{\lambda_{k_j}\}$ таким, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\overline{\lambda}_{k_j}}{|\lambda_{k_j}|}\to e^{i\varphi}, \qquad j\to\infty
\end{equation*}
\notag
$$
($\ln(1/|d_{k,n}|)=+\infty$, если $d_{k,n}=0$). Функция $h(\varphi,\Lambda,d)$ является полунепрерывной снизу. Если $m(\Lambda)=\sigma(\Lambda)=0$, то по лемме 1 множество $\mathcal{U}(\Lambda)$ состоит из всех $d=\{d_{k,n}\}$ таких, что $D(\Lambda,d)\neq\varnothing$. Пусть $\Xi$ – замкнутое подмножество единичной окружности $S(0,1)$. Множество вида
$$
\begin{equation*}
D=\bigl\{z\in\mathbb{C}\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<h(\varphi),\,e^{i\varphi}\in\Xi\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
называется $\Xi$-выпуклым множеством. Если $\Xi$ – конечное множество или $h(\varphi)$ – полунепрерывная снизу функция, то $D$ является открытым множеством и, следовательно, выпуклой областью. В случае, когда $\Xi$ совпадает с окружностью $S(0,1)$, а
$$
\begin{equation*}
h(\varphi)=H(\varphi,M)=\sup_{z\in M} \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})
\end{equation*}
\notag
$$
– опорная функция некоторого множества $M\subset\mathbb{C}$, класс $\Xi$-выпуклых областей совпадает с классом обычных выпуклых областей. Если $\Xi$ – одноточечное множество, то $\Xi$-выпуклыми областями являются полуплоскости. Углы и полосы также являются $\Xi$-выпуклыми областями при $\Xi=\{e^{i\varphi_1},e^{i\varphi_2}\}$. Если $\Xi=\{e^{i\varphi_1},e^{i\varphi_2},e^{i\varphi_3}\}$ и точки $e^{i\varphi_1},e^{i\varphi_2},e^{i\varphi_3}$ не лежат в одной (замкнутой) полуплоскости, то класс $\Xi$-выпуклых областей совпадает с классом треугольников с фиксированными нормалями к их сторонам. Таким образом, в условиях леммы 1 множество $D(\Lambda,d)$ является $\Xi(\Lambda)$-выпуклой областью. Положим $J(D)=\{e^{i\varphi}\colon H_D (\varphi)=+\infty\}$. Если $D$ – неограниченная область, которая не является полосой, то $J(D)$ – дуга раствора не меньше чем $\pi$. Если $D$ – полоса, то множество $S(0,1)\setminus J(D)$ состоит из двух симметричных (относительно начала) точек. Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
D=\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H_D (\varphi),\,e^{i\varphi}\in \Xi\setminus J(D)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
если $D$ – $\Xi$-выпуклая область. Пусть $D$ – выпуклая область и $\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга ее границы, соединяющая точки $z_1$ и $z_2\neq z_1$, движение по которой от $z_1$ к $z_2$ осуществляется в отрицательном направлении. Каждая точка $z\in\partial D$ принадлежит пересечению $L(\psi,D)$ границы $\partial D$ и опорной прямой $l(\psi,D)$ хотя бы для одного $\psi$:
$$
\begin{equation*}
L(\psi,D)=\partial D\cap l(\psi,D), \qquad l(\psi,D)=\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\psi})=H_D (\psi)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае неограниченной области $L(\psi,D)\neq\varnothing$ может быть отрезком, лучом или прямой. Пусть $\Phi(D)$ – множество всех $\psi$, для которых множество $L(\psi,D)$ не является точкой. Если $\psi\notin \Phi(D)$, то $L(\psi,D)$ – одноточечное множество: $L(\psi,D)=\{z(\psi,D)\}$. Точки вида $z(\psi,D)$ называются выступающими. Символами $z_+ (\psi,D)$ и $z_- (\psi,D)$ обозначим граничные точки (если они есть) прямолинейного участка $L(\psi,D)\subset\partial D$ ($z_+ (\psi,D)=z_- (\psi,D)=z(\psi,D)$, когда $\psi\notin\Phi(D)$). Движение от точки $z_+ (\psi,D)$ по участку границы $L(\psi,D)$ осуществляется в положительном направлении. Точки вида $z_+ (\psi,D)$, $z_- (\psi,D)$ называются крайними. Пусть $z\in\partial D$. Множество всех направлений $e^{i\psi}$, для которых $z\in L(\psi,D)$, обозначим $E(z,D)$. Оно замкнуто на $S(0,1)$ и является точкой или дугой. В первом случае $z$ называется гладкой, а во втором – угловой точкой области $D$. Имеется не более чем счетное число угловых точек. Раствор дуги $E(z,D)$ строго меньше $\pi$ (в противном случае $D$ не была бы областью). Пусть $e_- (z,D)$ и $e_+ (z,D)$ – граничные точки дуги $E(z,D)$ ($e_- (z,D)=e_+ (z,D)$, если $z$ – гладкая точка). Движение от точки $e_- (z,D)$ по дуге $E(z,D)$ осуществляется в отрицательном направлении. Символом $E^0 (z,D)$ обозначим внутренность дуги $E(z,D)$. Пусть $E^0 (D)$ – объединение открытых дуг $E^0 (z,D)$, взятое по всем угловым точкам $z\in\partial D$ области $D$. Направления $e^{i\varphi}$, составляющие множество $E^0 (D)\cup J(D)$, не являются определяющими для области $D$. Нетрудно показать, что верно представление
$$
\begin{equation}
D=\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H(\varphi,D),\,e^{i\varphi}\in\Xi(D)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\Xi(D)=S(0,1)\setminus (E^0 (D)\cup J(D))$. Таким образом, любая выпуклая область $D$ является $\Xi(D)$-выпуклой областью. Нетрудно показать также, что $D$ будет $\Xi$-выпуклой областью тогда и только тогда, когда $\Xi(D)$ является подмножеством замыкания $\overline{\Xi}$ множества $\Xi$. Таким образом, $\Xi(D)$ – это минимальное среди множеств, при помощи которых можно определить область $D$ в форме (2.1). Другими словами, если $\nu\subset S(0,1)$ – открытая дуга, то $D$ строго вложена в область
$$
\begin{equation*}
\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H(\varphi,D),\,e^{i\varphi} \in\Xi(D)\setminus\nu\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что множество $\Xi(D)$ вместе с граничными точками дуги $J(D)$ является замкнутым. Будем говорить, что $\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга класса один, если для некоторых $\psi_1,\psi_2$ верны равенства $z_1=z_+(\psi_1,D)$, $z_2=z_-(\psi_2,D)$ и угол между векторами $e_-(z_1,D)$ и $e_+(z_2,D)$ (отсчитываемый в отрицательном направлении) строго меньше $\pi$. Пусть $z=z_+(\psi,D)$. Тогда $e^{i\psi}\in E(z,D)$. Если $z$ – угловая точка, то $z$ совпадает с $z_+(\alpha,D)$ для любого вектора $e^{i\alpha}\in E(z,D)\setminus \{e_+(z,D)\}$. Если же $e_+(z,D)=e^{i\alpha}$ и $\alpha\notin\Phi(D)$, то также верно равенство $z=z_+(\alpha,D)$. Аналогичная ситуация имеет место в случае $z=z_-(\psi,D)$. Пусть $\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга класса один. Тогда для точек $w=z_1,z_2$ выполнено хотя бы одно из следующих условий:
Будем говорить, что $\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга класса два, если она совпадает с отрезком $[z_1,z_2]$, соединяющим точки $z_1$ и $z_2$. Дуга $\gamma(z_1,z_2,D)$ будет одновременно дугой класса один и класса два тогда и только тогда, когда $z_1$, $z_2$ являются угловыми точками и $e_+(z_1,D)=e_-(z_2,D)$. Пусть $\gamma(z_1,z_2,D)$ не является дугой класса один или два. Тогда $\gamma(z_1,z_2,D)$ содержит отрезок, один из концов которого совпадает с $z_1$. Пусть $[z_1,y]$ – максимальный из таких отрезков. Если $\gamma(y,z_2,D)$ содержит отрезок $[y,w_1]$, то $[z_1,y]$ и $[y,w_1]$ лежат на разных опорных прямых к области $D$. Следовательно, $y$ – угловая точка, т.е. удовлетворяет условию а). В противном случае $y$ удовлетворяет условию б). Аналогично рассматривается точка $z_2$. Таким образом, любая дуга $\gamma=\gamma(z_1,z_2,D)$ распадается не более чем на три дуги рассмотренных выше классов. Пусть $\varphi_1,\varphi_2\in [-2\pi,2\pi)$, $\varphi_2-\varphi_1\in(0,2\pi]$. Такие значения $\varphi_1,\varphi_2$ будем называть допустимыми. Пусть $\varphi_1,\varphi_2\notin\Phi(D)$ – допустимые значения такие, что $e^{i\varphi_1},e^{i\varphi_2}\notin \overline{J(D)}$. Символом $\Upsilon_D (\varphi_1,\varphi_2)$ обозначим длину дуги $\gamma(z(\varphi_2,D),z(\varphi_1,D),D)$. Пусть $-\varphi_0,-\varphi\notin\Phi(D)$, $e^{-i\varphi_0}\notin\overline{J(D)}$. Определим функцию $\omega_D(\varphi)=\omega_D(\varphi,\varphi_0)$:
$$
\begin{equation*}
\omega_D (\varphi) = \begin{cases} 0, & \varphi=\varphi_0, \\ \Upsilon_D (-\varphi_0,-\varphi),& \varphi>\varphi_0, \\ -\Upsilon_D (-\varphi,-\varphi_0 ), & \varphi<\varphi_0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\{e^{i\psi}\colon \psi\in(-\varphi_0,-\varphi)\}\subset S(0,1)\setminus \overline{J(D)}$, если $\varphi>\varphi_0$, и $\{e^{i\psi}\colon \psi\in(-\varphi,-\varphi_0)\}\subset S(0,1)\setminus \overline{J(D)}$, если $\varphi<\varphi_0$. Функция $\omega_D (\varphi)$ является неубывающей. Множество ее точек разрыва лежит в $\Phi(D)$. В точках $\varphi\in\Phi(D)$ определим функцию $\omega_D$ так, чтобы она стала непрерывной слева. В случае ограниченной области функция $\omega_D$ определяется на отрезке $[\varphi_0-\pi,\varphi_0+\pi]$. Ее можно продолжить на всю прямую при помощи равенства
$$
\begin{equation*}
\omega_D (\varphi_2)-\omega_D (\varphi_1)=\omega_D(\varphi_2+2\pi)-\omega_D(\varphi_1+2\pi).
\end{equation*}
\notag
$$
Для неограниченной выпуклой области $D$ функция $\omega_D$ определяется лишь на интервале $(\varphi_1,\varphi_2)\ni \varphi_0$ (его длина не превосходит $\pi$) таком, что
$$
\begin{equation*}
S(0,1)\setminus \overline{J(D)}=\bigl\{e^{-i\varphi}\colon \varphi\in(\varphi_1,\varphi_2)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $\omega_D (\varphi,\varphi_0)$ для разных значений $\varphi_0$ отличаются друг от друга на константу. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $\Lambda(\varphi_1,\varphi_2)$ – множество всех пар $\lambda_k$, $n_k$ таких, что $\lambda_k$ лежит в угле
$$
\begin{equation*}
\Gamma(\varphi_1,\varphi_2)=\bigl\{z=te^{i\varphi}\colon \varphi\in(\varphi_1,\varphi_2),\,t>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть последовательность $\Lambda$ имеет конечную верхнюю плотность
$$
\begin{equation*}
\overline{n} (\Lambda)=\varlimsup_{r\to\infty} \frac{n(r,\Lambda)}{r},
\end{equation*}
\notag
$$
где $n(r,\Lambda)$ – число точек $\lambda_k$ с учетом их кратностей $n_k$ из круга $B(0,r)$. Отсюда следует, в частности, что $\sigma(\Lambda)=0$. Символом $\Phi_\Lambda$ обозначим множество всех $\varphi$, для которых
$$
\begin{equation*}
\inf_{\alpha>0} \lim_{r\to+\infty} \frac{n(r,\Lambda(\varphi-\alpha,\varphi+\alpha))}{r}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\Phi_\Lambda$ является не более чем счетным множеством. Говорят [19; гл. II], что последовательность $\Lambda$ имеет угловую плотность (или измерима), если для всех $\varphi_1,\varphi_2\notin\Phi_\Lambda$, $\varphi_1<\varphi_2$, существует предел
$$
\begin{equation*}
n_\Lambda (\varphi_1,\varphi_2)=\lim_{r\to+\infty} \frac{n(r,\Lambda(\varphi_1,\varphi_2))}{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если последовательность $\Lambda$ измерима, то, как нетрудно заметить, верны равенства Пусть $\varphi_0,\varphi\notin\Phi_\Lambda$. Для измеримой последовательности $\Lambda$ определим функцию $\omega_\Lambda (\varphi)$:
$$
\begin{equation*}
\omega_\Lambda (\varphi) = \begin{cases} 0, & \varphi=\varphi_0, \\ n_\Lambda (\varphi_0,\varphi), & \varphi>\varphi_0, \\ -n_\Lambda (\varphi,\varphi_0), & \varphi<\varphi_0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\omega_\Lambda$ является неубывающей. Множество ее точек разрыва совпадает с $\Phi_\Lambda$. В точках $\varphi\in\Phi_\Lambda$ определим функцию $\omega_\Lambda$ так, чтобы она стала непрерывной слева. Символом $\tau(\omega_\Lambda,\varphi)$ обозначим величину разрыва функции $\omega_\Lambda$ в точке $\varphi$. Следуя работе [12], введем величину, которая является аналогом индекса конденсации Бернштейна. Рассмотрим функции
$$
\begin{equation*}
q_\Lambda (z,w,\delta)=\prod_{\lambda_k\in B(w,\delta|w|)} \biggl(\frac{z-\lambda_k}{3\delta|\lambda_k|}\biggr)^{n_k}, \qquad q_\Lambda^k (z,\delta)=q_\Lambda (z,\lambda_k,\delta) \biggl(\frac{z-\lambda_k}{3\delta|\lambda_k|}\biggr)^{-n_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда круг $B(w,\delta|w|)$ не содержит ни одной $\lambda_k$, полагаем $q_\Lambda (\lambda,w,\delta)\equiv 1$. Модуль функции $q_\Lambda (z,w,\delta)$ можно интерпретировать как меру сгущения точек $\lambda_k\in B(w,\delta|w|)$ около $z$. Величина $\ln|q_\Lambda(z,w,\delta)|/|w|$ аналогична по смыслу логарифму среднего геометрического (среднему арифметическому логарифмов) нормированных расстояний от $\lambda_k\in B(w,\delta|w|)$ до $z$. Если $\delta\in(0,1)$, то модуль каждого сомножителя функции $q_\Lambda$ в круге $B(w,\delta|w|)$ оценивается сверху величиной $2(3(1-\delta))^{-1}$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\frac{|\lambda-\lambda_k|}{3\delta|\lambda_k|}\leqslant 1, \qquad \lambda,\lambda_k\in B(w,\delta|w|), \quad \delta\in \biggl(0,\frac13\biggr).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Кроме того, очевидно, верно неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{|\lambda-\lambda_k|}{3\delta|\lambda_k|}\geqslant 1, \qquad \lambda\in B(w,5\delta|w|), \quad \lambda_k\in B(w,\delta|w|), \quad \delta\in \biggl(0,\frac13\biggr).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Определим индекс конденсации
$$
\begin{equation*}
S_\Lambda=\lim_{\delta\to 0} \varliminf_{k\to\infty} \frac{\ln|q_\Lambda^k (\lambda_k,\delta)|}{|\lambda_k|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.3) следует, что предел по $\delta$ существует и $S_\Lambda\leqslant 0$. Индекс $S_\Lambda$ играет важную роль при исследовании задач интерполяции и фундаментального принципа [12], а также при решении задачи о распределении особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов, расположенных на границе его области сходимости [14]. Различные свойства последовательности $\Lambda$, связанные с индексом $S_\Lambda$, и примеры его вычисления имеются в работах [14] и [20]. Сформулируем теперь три результата из работ [1; теоремы 5.1 и 3.3] и [16; теорема 4.3], которые необходимы нам в дальнейшем. Эти результаты будут сформулированы для частного случая, когда $\Lambda$ – измеримая последовательность. При этом учитываются равенства (2.2). Теорема 1. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область, $\gamma=\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга класса один, $\varphi_1$, $\varphi_2$ – допустимые значения такие, что $z_1=z_+(-\varphi_1,D)$, $z_2=z_-(-\varphi_2,D)$. Следующие утверждения эквивалентны: Теорема 2. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $d=\{d_{k,n}\}$ такова, что $D(\Lambda,d)=D\neq \varnothing$, $-\varphi\in\Phi(D)$ и $[z_1,z_2 ]\subseteq L(-\varphi,D)$. Предположим, что $|z_2-z_1 |>2\pi\tau(\omega_\Lambda,\varphi)$. Тогда функция $g_{\Lambda,d}$ имеет на интервале $(z_1,z_2)$ хотя бы одну особую точку. Теорема 3. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $D\neq\varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область, $-\varphi\in\Phi(D)$ и $[z_1,z_2]\subseteq L(-\varphi,D)$. Предположим, что Тогда существует $d\in\mathcal{U}(\Lambda,D)$ такая, что $g_{\Lambda,d}$ не имеет особых точек на интервале $(z_1,z_2)$. 3. Область существованияСимволом $-\Phi(D)$ обозначим множество всех чисел $-\varphi$ таких, что $\varphi\in \Phi (D)$. Пусть $\mathcal{L}(D)$ – замыкание объединения Если $D$ – выпуклый многоугольник (с конечным или бесконечным числом вершин, ограниченный или неограниченный), то $\mathcal{L}(D)=\partial D$. Если же $D$ – строго выпуклая область, то $\mathcal{L}(D)=\varnothing$ (т.е. $\Phi(D)=\varnothing$). Теорема 4. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область. Следующие утверждения эквивалентны: Доказательство. Пусть верно 1). Предположим, что $\Phi_\Lambda\cap(-\Phi(D))\neq\varnothing$. Пусть $\psi_0\in\Phi_\Lambda\cap(-\Phi(D))$. Согласно определению множества $\Phi_\Lambda$ найдем $b>0$ такое, что
На множестве $L(-\psi_0,D)$ выберем отрезок $[z_1,z_2]$ такой, что $|z_2-z_1|\leqslant 2\pi b$. Тогда по теореме 3 существует $d\in \mathbb{A}(\Lambda,D)$ такое, что $g_{\Lambda,d}$ не имеет особых точек на интервале $(z_1,z_2)$. Это противоречит утверждению 1). Таким образом, $\Phi_\Lambda\cap (-\Phi(D))=\varnothing$. Пусть теперь верно 2), $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$, $-\varphi\in\Phi(D)$ и $(z_1,z_2)$ – произвольный интервал на $L(-\varphi,D)$, $z_1\neq z_2$. Так как $\Phi_\Lambda\cap (-\Phi(D))=\varnothing$, то функция $\omega_\Lambda$ непрерывна в точке $\varphi$, т.е. $\tau(\omega_\Lambda,\varphi)=0$. Тогда по теореме 2 функция $g_{\Lambda,d}$ имеет на интервале $(z_1,z_2)$ хотя бы одну особую точку. Поскольку интервал $(z_1,z_2)\subset L(-\varphi,D)$ – любой, то все точки множества $L(-\varphi,D)$ являются особыми для функции $g_{\Lambda,d}$. Отсюда следует, что особыми для функции $g_{\Lambda,d}$ являются все точки множества $\mathcal{L}(D)$. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область такая, что $\partial D=\mathcal{L}(D)$. Следующие утверждения эквивалентны: Лемма 2. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область, $\gamma=\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга класса один, $\varphi_1,\varphi_2$ – допустимые значения такие, что $z_1=z_+(-\varphi_1,D)$, $z_2=z_-(-\varphi_2,D)$. Следующие утверждения эквивалентны: Доказательство. Нетрудно заметить, что (3.1) имеет место тогда и только тогда, когда функция $2\pi\omega_\Lambda-\omega_D$ не является неубывающей на интервале $(\varphi_1,\varphi_2)$. Остается применить теорему 1. Лемма доказана. Теорема 5. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область. Следующие утверждения эквивалентны: Доказательство. Пусть верно утверждение 1) и $\varphi_1$, $\varphi_2$ удовлетворяют (3.2). Положим $z_1=z_+(-\varphi_1,D)$, $z_2=z_-(-\varphi_2,D)$. Так как $e^{-i\varphi_1}$, $e^{-i\varphi_2}\notin \overline{J(D)}$, то это определение корректно. Поскольку $\varphi_1,\varphi_2\notin (-\Phi(D))$, то $z_+(-\varphi_1,D)=z(-\varphi_1,D)$ и $z_-(-\varphi_2,D)=z(-\varphi_2,D)$ – выступающие точки. В силу соотношения $e^{-i\varphi_1}$, $e^{-i\varphi_2}\notin\overline{E^0 (D)}$ точки $z_1$ и $z_2$ – разные и $E(z_1,D)=\{e^{-i\varphi_1}\}$, $E(z_2,D)=\{e^{-i\varphi_2}\}$. Таким образом, учитывая еще неравенство в (3.2), находим, что $\gamma=\gamma(z_1,z_2,D)$ – дуга класса один. Тогда по лемме 2 утверждение 2) выполнено.
Пусть теперь верно 2), $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$ и $z_0\in\partial D\setminus \mathcal{L}(D)$. Отметим, что некоторая окрестность $V$ точки $z_0$ не пересекает множество $\mathcal{L}(D)$. Рассмотрим произвольную дугу $\gamma=\gamma(z_1,z_2,D)\subset V$ такую, что $z_1$, $z_2$ – гладкие точки и $z_0$ лежит внутри $\gamma$. Для некоторых допустимых значений $\varphi_1,\varphi_2\notin(-\Phi(D))$ имеем $E(z_1,D)=\{e^{-i\varphi_1}\}$, $E(z_2,D)=\{e^{-i\varphi_2}\}$. При этом
$$
\begin{equation*}
z_1=z_+(-\varphi_1,D)=z(-\varphi_1,D), \qquad z_2=z_-(-\varphi_2,D)=z(-\varphi_2,D).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $z_1$ ($z_2$) сходится к $z_0$, то
$$
\begin{equation*}
e^{-i\varphi_1}\to e_+(z_0,D) \qquad (e^{-i\varphi_2}\to e_- (z_0,D)).
\end{equation*}
\notag
$$
Раствор дуги $E(z_0,D)$ строго меньше $\pi$. Поэтому $\varphi_2-\varphi_1<\pi$, если точки $z_1$, $z_2$ достаточно близки к $z_0$. В этом случае $\gamma$ – дуга класса один. Тогда по лемме 2 функция $g_{\Lambda,d}$ имеет внутри дуги $\gamma$ хотя бы одну особую точку. Поскольку $\gamma$ может быть сколь угодно малой, то $z_0$ – особая точка функции $g_{\Lambda,d}$. Теорема доказана. Следствие 2. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область такая, что $\Phi(D)=\varnothing$ (т.е. $D$ – строго выпуклая область). Следующие утверждения эквивалентны: Из теорем 4 и 5 получаем следующий результат. Теорема 6. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $S_\Lambda=0$, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область. Следующие утверждения эквивалентны: Пусть $\Xi,\Sigma\subset S(0,1)$. Будем говорить, что $\Sigma$ – редкое по отношению к $\Xi$ множество, если для любой открытой дуги $v\subset S(0,1)$ такой, что $v\cap\Xi\neq \varnothing$, множество $v\cap\Xi$ не лежит в $\Sigma$. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $\mu=e^{i\varphi}\in S(0,1)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_\Lambda (\mu)=\varlimsup_{\alpha\to 0} S_\Lambda (\varphi-\alpha,\varphi+\alpha), \\ \Sigma(\Lambda,\beta)=\bigl\{\mu\in\Xi(\Lambda)\colon S_\Lambda (\mu)\leqslant -\beta\bigr\}, \qquad \Sigma(\Lambda)=\bigcup_{\beta>0} \overline{\Sigma(\Lambda,\beta)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область. Предположим, что для каждого $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$ область существования функции $g_{\Lambda,d}$ совпадает с $D$. Тогда множество $\Sigma(\Lambda)$ – редкое по отношению к $\Xi(D)$. Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. существует открытая дуга $\widetilde{\nu}\subset S(0,1)$ такая, что $\varnothing\neq\widetilde{\nu}\cap\Xi(D)\subset\Sigma(\Lambda)$. Если $\widetilde{\nu}\cap\Xi(D)\subset\overline{J(D)}$, то положим $\widetilde{\nu}=\nu_0$. При этом множество $\widetilde{\nu}\cap\Xi(D)$ необходимо состоит из одной или двух точек. Поэтому существует число $p_0\in\mathbb{N}$ такое, что $\nu_0\cap\Xi(D)\subset \overline{\Sigma(\Lambda,(p_0 )^{-1})}$.
Пусть $\widetilde{\nu}\cap\Xi(D)$ не лежит в множестве $\overline{J(D)}$. Тогда существует открытая дуга $\nu$ такая, что $\overline{\nu}\subset\widetilde{\nu}$, $\overline{J(D)}\cap\overline{\nu}\neq\varnothing$ и $\nu\cap\Xi(D)\neq\varnothing$. Покажем, что для некоторой открытой дуги $\nu_0\subset\nu$ такой, что $\nu_0\cap\Xi(D)\neq\varnothing$, и некоторого $p_0\in\mathbb{N}$ верно вложение $\nu_0\cap\Xi(D)\subset\overline{\Sigma(\Lambda,(p_0 )^{-1})}$. Предположим, что это не так. Тогда найдутся последовательности открытых дуг $\{\nu_p\}$ и точек $\{\mu_p\}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_p\in\nu_p\cap\Xi(D), \quad \nu_p\subset\nu, \quad \nu_p\cap\overline{\Sigma(\Lambda,p^{-1})}=\varnothing, \quad \nu_p\subset\nu_{p+1}, \qquad p\geqslant 1, \\ s(\nu_p)\to 0, \qquad p\to\infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $s(\nu_p)$ – длина дуги $\nu_p$. Пусть $\mu_0=\lim_{p\to\infty}\mu_p$. Тогда $\mu_0\in\widetilde{\nu}\cap\Xi(D)$ и $\mu_0\notin \overline{\Sigma(\Lambda,p^{-1})}$, $p\geqslant 1$. Так как $\Sigma(\Lambda)=\bigcup_{p\geqslant 1}\overline{\Sigma(\Lambda,p^{-1})}$, то $\mu_0\in \widetilde{\nu}\cap \Xi(D)\setminus \Sigma(\Lambda)$. Получили противоречие.
Таким образом, $\nu_0\cap \Xi(D)\subset \overline{\Sigma(\Lambda,(p_0 )^{-1})}$. Рассмотрим область
$$
\begin{equation*}
D_0=\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H(\varphi,D), \, e^{i\varphi}\in\Xi(D)\setminus \nu_0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Она строго содержит в себе область $D$. При этом $L(\psi,D)\subset D_0$ для всех $e^{i\psi}\in \nu_0.$
Пусть $Z_0=\{\mu_{0,p}\}\subset \Xi(D)\setminus \nu_0$ – не более чем счетное всюду плотное множество на $\Xi(D)\setminus \nu_0$. По условию $D$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область. Следовательно, $\Xi(D)\subset\Xi(\Lambda)$. Согласно определению $\Xi(\Lambda)$ найдется подпоследовательность $\{\lambda_{k(0,1,j)}\}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\overline{\lambda_{k(0,1,j)}}}{|\lambda_{k(0,1,j)}|}\to \mu_{0,1}, \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что мы уже построили подпоследовательности $\{\lambda_{k(0,l,j)}\}$, $l=1,\dots, p-1$. Тогда также согласно определению множества $\Xi(\Lambda)$ выберем
$$
\begin{equation*}
\{\lambda_{k(0,p,j)}\}\subset\{\lambda_k\}\setminus \bigcup_{l=1}^{p-1} \{\lambda_{k(0,l,j)}\}, \qquad \frac{\overline{\lambda_{k(0,p,j)}}}{|\lambda_{k(0,p,j)}|}\to\mu_{0,p}, \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $d^0=\{d_{k,n}^0\}$,
$$
\begin{equation*}
d_{k,n}^0=\exp(-|\lambda_k|H(\varphi_{0,p},D)), \qquad \mu_{0,p}=e^{i\varphi_{0,p}}, \quad n=0,\dots,n_m-1,
\end{equation*}
\notag
$$
если $\lambda_k=\lambda_{k(0,p,j)}$, и $d_{k,n}^0=0$, если $\lambda_k\neq \lambda_{k(0,p,j)}$, $p,j\geqslant 1$. По условию $\Lambda$ – измеримая последовательность. Поэтому $m(\Lambda)=\sigma(\Lambda)=0$. Тогда по лемме 1
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D(\Lambda,d^0 )=\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<h(\varphi,\Lambda, d^0),\,e^{i\varphi}\in\Xi(\Lambda)\bigr\}, \\ h(\varphi,\Lambda, d^0)=\inf\varliminf_{l\to\infty} \min_{0\leqslant n\leqslant n_{k_l}-1}\frac{\ln(1/|d_{k_l,n}^0 | )}{|\lambda_{k_l}|}, \qquad e^{i\varphi}\in \Xi(\Lambda), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем подпоследовательностям $\{\lambda_{k_l}\}$ таким, что $\overline{\lambda_{k_l}}/|\lambda_{k_l}| \mspace{-1mu} \to \mspace{-1mu} e^{i\varphi}$.
Пусть $e^{i\varphi}\in\Xi(\Lambda)$. Если $e^{i\varphi}\in\Xi(\Lambda)\setminus \overline{\Xi(D)\setminus \nu_0}$, то в силу определения чисел $d_{k,n}^0$ и выбора множества $Z_0$ имеем: $h(\varphi,\Lambda, d^0)=+\infty$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
D(\Lambda,d^0 )=\bigl\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<h(\varphi,\Lambda,d^0),\, e^{i\varphi}\in\overline{\Xi(D)\setminus \nu_0}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $e^{i\varphi}\in\overline{\Xi(D)\setminus \nu_0}$. Поскольку множество $Z_0$ плотно в $\Xi(D)\setminus \nu_0$, то существуют подпоследовательности $\lambda_{k(l)} =\lambda_{k(0,p(l),j(l) )}$, $l\geqslant 1$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\overline{\lambda_{k(0,p(l),j(l))}}}{|\lambda_{k(0,p(l),j(l))}|}\to e^{i\varphi}, \qquad l\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $d_{k,n}^0=0$, если $\lambda_k\neq \lambda_{k(0,p,j)}$, то при вычислении величины $h(\varphi,d^0,\Lambda)$ имеет смысл рассматривать лишь подпоследовательности такого вида. Пусть $\{\lambda_{k(l)}\}$ – любая из них. Имеем $\mu_{0,p(l)}\to e^{i\varphi}$, $l\to\infty$. Так как $\mu_{0,p(l)}\notin J(D)$, то $H(\varphi_{0,p(l)},D)\to H(\varphi,D)$, $l\to\infty$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{l\to\infty} \min_{0\leqslant n\leqslant n_{k_l}-1} \frac{\ln(1/|d_{\lambda_{k(0,p(l),j(l))},n}^0|)}{|\lambda_{{k(0,p(l),j(l))}} |} =\varliminf_{l\to\infty} H(\varphi_{0,p(l)},D)=H(\varphi,D).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $h(\varphi,\Lambda,d^0) \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} H(\varphi,D)$, $e^{i\varphi} \mspace{-1mu} \in \mspace{-1mu} \overline{\Xi(D) \mspace{-1mu} \setminus \mspace{-1mu} \nu_0}$. Следовательно, $D(\Lambda,d^0) \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} D_0$.
Пусть $Z_1=\{\mu_{1,p}\}\subset\Xi(D)\cap \nu_0$ – не более чем счетное всюду плотное множество на $\Xi(D)\cap \nu_0$, и $\beta\in (0,(p_0 )^{-1})$. Поскольку $\nu_0\cap \Xi(D)\subset \overline{\Sigma(\Lambda,(p_0 )^{-1})}$, то найдется точка $\lambda_{k(1,1)}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\overline{\lambda_{k(1,1)}}}{|\lambda_{k(1,1)}|} -\mu_{1,1}\biggr|<1, \qquad \frac{\ln|q_\Lambda^{k(1,1)} (\lambda_{k(1,1)},4^{-1})|}{|\lambda_{k(1,1)}|}\leqslant -\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что мы уже построили точки $\lambda_{k(j,p)}$, $j=1,\dots,m-1$, $p=1,\dots,j-1$. Тогда для каждого $p=1,\dots,m$ выберем точку $\lambda_{k(m,p)}$ такую, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\overline{\lambda_{k(m,p)}}}{|\lambda_{k(m,p)}|} -\mu_{1,p}\biggr|<\frac{1}{m}, \qquad \frac{\ln|q_\Lambda^{k(m,p)} (\lambda_{k(m,p)},(4m)^{-1})|}{|\lambda_{k(m,p)}|}\leqslant -\beta,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
|\lambda_{k(m,1)}|\geqslant 2|\lambda_{k(m-1,m-1)}|, \quad |\lambda_{k(m,p)}|\geqslant 2|\lambda_{k(m,p-1)}|, \qquad p=2,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Рассмотрим круги $B_{m,p}=B(\lambda_{k(m,p)},\delta_m |\lambda_{k(m,p)}|)$, где $\delta_m=(4m)^{-1}$, $m\geqslant 1$, $p=1,\dots,m$. В силу (3.4) и определения $\delta_m$ круги $B_{m,p}$ попарно не пересекаются. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g(z)=\sum_{m=1}^\infty \sum_{l=1}^m c_{m,p} g_{m,p}(z), \\ \notag g_{m,p}(z)=\frac{a_{m,p}}{2\pi i} \int_{S_{m,p}}\frac{e^{\lambda z} d\lambda}{q_\Lambda^{k(m,p)} (\lambda,\delta_m)(\lambda-\lambda_{k(m,p)})}, \qquad m\geqslant 1, \quad l=1,\dots,m, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $S_{m,p}$ – граничная окружность круга $B(\lambda_{k(m,p)},5\delta_m |\lambda_{k(m,p)}|)$, а числа $a_{m,p}\leqslant 1$ мы определим ниже. Получим оценки сверху на функции $|g_{m,p}|$. В силу (2.4) имеем $|q_\Lambda^{k(m,p)} (\lambda,\delta_m)|\geqslant 1$, $\lambda\in S_{m,p}$. Поскольку $a_{m,p}\leqslant 1$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |g_{m,p}(z)| &=\biggl|\frac{a_{m,p}}{2\pi i} \int_{S_{m,p}}\frac{e^{\lambda z} d\lambda}{(\lambda-\lambda_{k(m,p)}) q_\Lambda^{k(m,p)} (\lambda,\delta_m)}\biggr| \\ \notag &\leqslant\frac{10\pi|\lambda_{k(m,p)}| \delta_m}{2\pi} \sup_{\lambda\in S_{m,p}}\biggl|\frac{e^{\lambda z}}{\lambda-\lambda_{k(m,p)}}\biggr| \\ &=\sup_{\lambda\in S_{m,p}} |e^{\lambda z}|\leqslant \exp (\operatorname{Re}(\lambda_{k(m,p)}z)+5\delta_m |\lambda_{k(m,p)}||z|), \qquad z\in\mathbb{C}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Определим теперь коэффициенты $c_{m,p}$. Положим
$$
\begin{equation*}
c_{m,p}=\exp (-(H(\varphi_{1,p},D)+\beta)|\lambda_{k(m,p)}|), \quad \mu_{1,p}=e^{i\varphi_{1,p}}, \qquad m\geqslant 1, \quad p=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что ряд (3.5) сходится равномерно на компактах в области
$$
\begin{equation*}
D_1=\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H(\varphi,D) +\beta,e^{i\varphi}\in\Xi(D)\cap\nu_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем компакт $K\subset D_1$, и пусть В силу первого неравенства в (3.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re}(\lambda_{k(m,p)}z) &=|\lambda_{k(m,p)}| \operatorname{Re}\biggl(\frac{\lambda_{k(m,p)}}{|\lambda_{k(m,p)}|} z\biggr) \\ &=|\lambda_{k(m,p)}|\biggl(\operatorname{Re} \biggl(\biggl(\frac{\lambda_{k(m,p)}}{|\lambda_{k(m,p)}|} -\overline{\mu_{1,p}}\biggr)z\biggr) \biggr) \\ &\qquad +|\lambda_{k(m,p)}|\operatorname{Re}(\overline{\mu_{1,p}} z)\leqslant |\lambda_{k(m,p)}|\biggl(\frac{B}{m}+H(\varphi_{1,p},K) \biggr), \qquad z\in K. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $K$ – компакт в области $D_1$, то найдется $\alpha>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
H(\varphi,K)+2\alpha\leqslant H(\varphi,D)+\beta, \qquad \varphi\in [0,2\pi].
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу (3.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |c_{m,p} g_{m,p} (z)| &\leqslant \exp \biggl(-\biggl(H(\varphi_{1,p},D)+\beta-H(\varphi_{1,p},K) -\frac{B}{m}-\frac{5B}{4m}\biggr)|\lambda_{k(m,p)}|\biggr) \\ &\leqslant\exp \biggl(-\biggl(2\alpha-\frac{B}{m}-\frac{5B}{4m}\biggr)| \lambda_{k(m,p)}|\biggr)\leqslant \exp(-\alpha|\lambda_{k(m,p)}|), \\ &\qquad\qquad z\in K, \qquad m\geqslant m_0, \qquad p=1,\dots,m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (3.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=m_0}^\infty \sum_{l=1}^m \max_{z\in K} |c_{m,p} g_{m,p} (z)|\leqslant \sum_{m=m_0}^\infty \sum_{l=1}^m \exp (-\alpha|\lambda_{k(m,p)}|) <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, ряд (3.5) сходится равномерно на компактах в области $D_1$. Поэтому функция $g$ является аналитической в области $D_1$. Отметим, что она строго содержит в себе область $D$. При этом $L(\psi,D)\subset D_0$ для всех $e^{i\psi}\in \nu_0$. Все проведенные рассуждения верны при любом выборе чисел $a_{m,p}\leqslant 1$, $m\geqslant 1$, $p=1,\dots,m$. Покажем теперь, что при подходящем выборе чисел $a_{m,p}\leqslant 1$ функция $g$ раскладывается в ряд вида (1.1) в области
$$
\begin{equation*}
D_2=\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H(\varphi,D),e^{i\varphi}\in \Xi(D)\cap \nu_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя вычеты, для всех $m\geqslant 1$ и $p=1,\dots,m$ получаем
$$
\begin{equation*}
g_{m,p} (z)=a_{m,p} \biggl(b_{k(m,p),0} e^{\lambda_{k(m,p)}z}+\sum_{\lambda_k\in B_{m,p},\, \lambda_k\neq\lambda_{k(m,p)}} \sum_{n=0}^{n_k-1} b_{k,n} z^n e^{\lambda_k z}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
b_{k(m,p),0}=\bigl(q_\Lambda^{k(m,p)} (\lambda_{k(m,p)},\delta_m)\bigr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $d^1=\{d_{k,n}^1\}$,
$$
\begin{equation*}
d_{k,0}^1=c_{m,p} a_{m,p} b_{k(m,p),0}, \qquad d_{k,n}^1=b_{k,n}=0, \quad n=1,\dots,n_{k(m,p)}-1,
\end{equation*}
\notag
$$
если $k=k(m,p)$,
$$
\begin{equation*}
d_{k,n}^1=c_{m,p} a_{m,p} b_{k,n}, \qquad n=0,\dots,n_k-1,
\end{equation*}
\notag
$$
если $\lambda_k\in B_{m,p}$, $\lambda_k\neq\lambda_{k(m,p)}$, и $d_{k,n}^1=0$, $n=0,\dots,n_k-1$, если $\lambda_k\in B_{m,p}$. Поскольку круги $B_{m,p}$ попарно не пересекаются, то такое определение последовательности $d^1$ корректно. Подберем теперь числа $a_{m,p}$, $m\geqslant 1$, $p=1,\dots,m$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\rho_{m,p}=\max_{\lambda_k\in B_{m,p}} \max_{0\leqslant n\leqslant n_k-1}\frac{\ln|b_{k,n}|}{|\lambda_{k(m,p)}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу второго неравенства в (3.3)
$$
\begin{equation*}
\rho_{m,p}\geqslant\beta, \qquad m\geqslant 1, \quad p=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\rho_{m,p}=\beta$, то полагаем $a_{m,p}=1$, в противном случае выберем $a_{m,p}\leqslant 1$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\rho_{m,p}+\frac{\ln a_{m,p}}{|\lambda_{k(m,p)}|} =\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы имеем
$$
\begin{equation}
\max_{\lambda_k\in B_{m,p}} \max_{0\leqslant n\leqslant n_k-1}\frac{\ln|d_{k,n}|-\ln|c_{m,p}|}{|\lambda_{k(m,p)}|} =\beta, \qquad m\geqslant 1, \quad p=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Используя лемму 1, покажем, что $D(\Lambda,d^1)=D_2$. В силу определения чисел $d_{k,n}^1$ и выбора множества $Z_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
h(\varphi,d^0,\Lambda)=+\infty, \qquad e^{i\varphi}\in \Xi(\Lambda)\setminus \overline{\Xi(D)\cap\nu_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $e^{i\varphi}\in \overline{\Xi(D)\cap\nu_0}$ и последовательность $\{\lambda_{k(l)}\}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\overline{\lambda_{k(l)}}}{|\lambda_{k(l)}|}\to e^{i\varphi}, \qquad l\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $d_{k,n}^1=0$, $n=0,\dots,n_k-1$, если $\lambda_k\in B_{m,p}$, то можно считать, что $\lambda_{k(l)}\in B_{m(l),p(l)}$, $l\geqslant 1$. Так как $\delta_m\to 0$, $m\to\infty$, то $|\lambda_{k(m(l),p(l))}|/|\lambda_{k(l)}|\to 1$. Следовательно, с учетом (3.7), того, что $\mu_{1,p(l)}\notin J(D)$, и определения $c_{m,p}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varliminf_{l\to\infty} \min_{0\leqslant n\leqslant n_{k(l)}-1}\frac{\ln(1/|d_{k(l),n}|)}{|\lambda_{k(l)}|} = \varliminf_{l\to\infty} \min_{0\leqslant n\leqslant n_{k(l)}-1} \frac{\ln(1/|d_{k(l),n}|)}{|\lambda_{k(m(l),p(l))}|} \\ &\qquad =\varliminf_{l\to\infty} \biggl(-\max_{0\leqslant n\leqslant n_{k(l)}-1} \frac{\ln|d_{k(l),n}|}{|\lambda_{k(m(l),p(l))}|}\biggr)\geqslant -\beta+\varliminf_{l\to\infty} \biggl(-\frac{\ln|c_{m(l),p(l)}|}{|\lambda_{k(m(l),p(l))}|} \biggr) \\ &\qquad =\varliminf_{l\to\infty} H(\varphi_{1,p(l)},D)=H(\varphi,D). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $h(\varphi,\Lambda,d)\geqslant H(\varphi,D)$.
Если для каждого $l\geqslant 1$ выбрать точку $\lambda_{k(l)}\in B_{m(l),p(l)}$, которая реализует максимум в (3.7), то соответствующий нижний предел будет в точности равен $H(\varphi,D)$. Следовательно, $h(\varphi,\Lambda,d)=H(\varphi,D)$, $e^{i\varphi}\in \overline{\Xi(D)\cap\nu_0}$. Поэтому $D(\Lambda,d^1)=D_2$. По лемме 1 ряд (1.1) сходится абсолютно. Поэтому функции $g$ и $g_{\Lambda,d^1}$ совпадают. Это означает, что функция $g_{\Lambda,d^1}$ является аналитической в области $D_1$ и, в частности, в окрестностях точек $z\in L(\psi,D)\subset\partial D$ для всех $e^{i\psi}\in\nu_0$. Напомним, что функция $g_{\Lambda,d^0}$ также является аналитической в окрестностях точек $z\in L(\psi,D)\subset\partial D$ для всех $e^{i\psi}\in \nu_0$. Положим $d=\{d_{k,n}\}$, где $d_{k,n}=d_{k,n}^1+d_{k,n}^0$. Тогда $g_{\Lambda,d}=g_{\Lambda,d^0}+g_{\Lambda,d^1}$, и функция $g_{\Lambda,d}$ является аналитической в окрестностях точек $z\in L(\psi,D)\subset\partial D$ для всех $e^{i\psi}\in \nu_0$. По построению с учетом леммы 1 имеем
$$
\begin{equation*}
D(\Lambda,d)=\{z\colon \operatorname{Re}(ze^{-i\varphi})<H(\varphi,D),e^{i\varphi}\in\Xi(D)\}=D,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$. Получили противоречие с условием, согласно которому область существования функции $g_{\Lambda,d}$ должна совпадать с $D$.
Таким образом, множество $\Sigma(\Lambda)$ – редкое по отношению к $\Xi(D)$. Теорема доказана. Следствие 3. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ измерима, $D\neq \varnothing$ – $\Xi(\Lambda)$-выпуклая область, $\mu$ – изолированная точка множества $\Xi(D)$. Предположим, что для каждого $d\in\mathbb{A}(\Lambda,D)$ область существования функции $g_{\Lambda,d}$ совпадает с $D$. Тогда $S_\Lambda (\mu)=0$. Доказательство. Пусть $\mu$ – изолированная точка множества $\Xi(D)$. Тогда существует открытая дуга $\nu\subset S(0,1)$ такая, что $\nu\cap\Xi(D)=\{\mu\}$. В силу теоремы 7 множество $\Sigma(\Lambda)$ редкое по отношению к $\Xi(D)$. Отсюда следует, что $\mu\notin\Sigma(\Lambda)$, т.е. $S_\Lambda (\mu)=0$. Следствие доказано. Замечание 1. Пусть $\mu=e^{i\varphi}$. Если $\varphi\in\Phi(D)$ и точки $z_+(\varphi,D)$ и $z_-(\varphi,D)$ (если они есть) являются угловыми, то $\mu$ – изолированная точка множества $\Xi(D)$. Пусть $D$ – выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный, т.е. допускается бесконечное число сторон у $D$), длины сторон которого ограничены снизу одним и тем же числом. Тогда все точки множества $\Xi(D)$ являются изолированными. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KriKri23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|