| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О решениях одномерной задачи Гольдштика О. В. Басков  , Д. К. Потапов Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010024 
Реферативные базы данных:
  1. Введение. Постановка задачиДифференциальные уравнения с разрывными правыми частями изучаются достаточно давно. В монографии Филиппова [1] приводится системное изложение теории обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Отметим также монографию [2], посвященную дифференциальным уравнениям с многозначными и разрывными правыми частями. В последнее время исследованию таких уравнений также уделяется большое внимание. Дифференциальные уравнения рассматриваемого класса вызывают интерес как в теоретических исследованиях, так и при решении многих прикладных задач. Математические модели ряда прикладных задач сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с разрывными правыми частями (см., например, [3]–[6]). В последние годы такие уравнения изучались в работах [7]–[19]. В данной статье рассмотрим одномерный аналог математической модели отрывных течений несжимаемой жидкости Гольдштика [20]–[22]. В [21] показано, что такая одномерная задача эквивалентна решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с разрывной правой частью следующего вида: где
$$
\begin{equation*}
g(x,u)=\begin{cases} \omega, &u<x-1, \\ 0, &u\geqslant x-1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Параметр $\omega$ в данной модели играет роль завихренности. Из физического смысла имеем $\omega>0$. Ранее задача (1.1), (1.2) была решена аналитически (см. [21]). В настоящей работе установим свойства полученных решений и найдем приближенное решение задачи (1.1), (1.2). 2. Аналитическое решение задачи. Свойства решенийДля любого $\omega\,{>}\,0$ задача (1.1), (1.2) имеет тривиальное решение, при $\omega\in(0,8)$ других решений нет. В [21] установлено, что если $\omega\geqslant 8$, то, кроме тривиального, задача (1.1), (1.2) имеет два решения
$$
\begin{equation*}
u_\pm(x)=\begin{cases} \biggl(1-\dfrac{1}{x_0^\pm}\biggr)x, &0\leqslant x\leqslant x_0^\pm, \\ \dfrac{\omega}{2}\biggl(x-x_0^\pm+\dfrac{2}{\omega}\biggr)(x-1), &x_0^\pm \leqslant x\leqslant 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_0^\pm=1/2\pm(1/2)\sqrt{1-8/\omega}$, которые при $\omega=8$ совпадают. Отметим, что
$$
\begin{equation*}
u'_\pm(x)=\begin{cases} 1-\dfrac{1}{x_0^\pm}\,, &0\leqslant x\leqslant x_0^\pm, \\ \dfrac{\omega}{2}\biggl(2x-x_0^\pm-1+\dfrac{2}{\omega}\biggr), &x_0^\pm\leqslant x\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим некоторые свойства полученных решений. $1^\circ$. Монотонность: если $\omega_2>\omega_1$, то $u_{2-}(x)<u_{1-}(x)$ и $u_{2+}(x)>u_{1+}(x)$ для всех $x\in(0,1)$. Здесь при значении параметра $\omega_1$ решения задачи (1.1), (1.2) обозначены через $u_{1\pm}(x)$, а при $\omega_2$ – через $u_{2\pm}(x)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_{i\pm}(x)=\begin{cases} \biggl(1-\dfrac{1}{x_{0i}^\pm}\biggr)x, &0\leqslant x\leqslant x_{0i}^\pm, \\ \dfrac{\omega_i}{2}\biggl(x-x_{0i}^\pm+\dfrac{2}{\omega_i}\biggr)(x-1), &x_{0i}^\pm\leqslant x\leqslant 1, \end{cases} \\ x_{0i}^\pm=\frac12\pm\frac12\sqrt{1-\frac{8}{\omega_i}}, \qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства свойства $1^\circ$ сначала заметим, что
$$
\begin{equation*}
x_{02}^-=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{8}{\omega_2}} <\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{8}{\omega_1}}=x_{01}^-.
\end{equation*}
\notag
$$
На полуинтервале $(0,x_{02}^-]$ имеем
$$
\begin{equation*}
u_{2-}(x)=\biggl(1-\frac{1}{x_{02}^-}\biggr)x <\biggl(1-\frac{1}{x_{01}^-}\biggr)x=u_{1-}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
При $x_{02}^-<x<x_{01}^-$ справедливо $u_{2-}(x)<x-1<u_{1-}(x)$. Наконец, из явных выражений для решений на полуинтервале $[x_{01}^-,1)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_{2-}(x)-u_{1-}(x) &=\frac{1}{2}(x-1)\bigl((\omega_2-\omega_1)x-\omega_2x_{02}^-+\omega_1x_{01}^-\bigr) \\ &<\frac{1}{2}\,t(x-1)(\omega_2-\omega_1)(x-x_{01}^-)\leqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Симметричное свойство решений $u_{1+}(x)$ и $u_{2+}(x)$ доказывается аналогично. $2^\circ$. $u_+(x)\rightrightarrows 0$ на $[0,1]$ при $\omega\to+\infty$. Докажем, что $\lim_{\omega\to+\infty}\sup_{x\in[0,1]}|u_+(x)|=0$. Из аналитического выражения для решения $u_+(x)$ очевидно, что его минимум достигается при $(1+x_0^+)/2-1/\omega$ и равен
$$
\begin{equation*}
-\frac{\omega}{2}\biggl(\frac{1-x_0^+}{2}+\frac{1}{\omega}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{\omega\to +\infty}\sup_{x\in[0,1]}|u_+(x)| &=\lim_{\omega\to+\infty}\frac{\omega}{2} \biggl(\frac{1-\sqrt{1-8/\omega}}{4}+\frac{1}{\omega}\biggr)^2 \\ &=\lim_{\omega\to +\infty}\frac{\omega}{2} \biggl(\frac{1-(1-4/\omega+o(1/\omega))}{4}+\frac{1}{\omega}\biggr)^2 \\ &=\lim_{\omega\to+\infty}\frac{\omega}{2} \biggl(\frac{2}{\omega}+o\biggl(\frac{1}{\omega}\biggr)\biggr)^2 =\lim_{\omega\to+\infty} \biggl(\frac{2}{\omega}+o\biggl(\frac{1}{\omega}\biggr)\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$3^0$. $\lim_{\omega\to+\infty}u_-(x)=-\infty$ при всех $x\in(0,1)$; при этом
$$
\begin{equation*}
\lim_{\omega\to+\infty}u'_-(x)=\begin{cases} -\infty, &0<x<\dfrac{1}{2}\,, \\ 0, &x=\dfrac{1}{2}\,, \\ +\infty, &\dfrac{1}{2}<x<1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для начала заметим, что $\omega x_0^-=(\omega-\sqrt{\omega^2-8\omega})/2 =4\omega/(\omega+\sqrt{\omega^2-8\omega})\to 2$ при $\omega\to+\infty$, а значение $x_0^-\to 0$. Тогда из аналитического выражения для $u_-(x)$ находим
$$
\begin{equation*}
\lim_{\omega\to+\infty} \biggl(\frac{\omega x}{2}-\frac{\omega x_0^-}{2}+1\biggr)(x-1)=-\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а для $u'_-(x)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{\omega\to+\infty}\biggl(\omega\biggl(x-\frac{1}{2}\biggr) -\frac{\omega x_0^-}{2}+1\biggr) =\lim_{\omega\to+\infty}\biggl(\omega\biggl(x-\frac{1}{2}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует требуемое.
3. Свойства функционала энергииРассмотрим недифференцируемый функционал
$$
\begin{equation*}
J_\omega(u)=\frac{1}{2}\int_0^1 u^{\prime 2}\,dx -\omega\int_{\{x\in(0,1)\colon u(x)<x-1\}}(x-1-u(x))\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
на $H^1_\circ((0,1))$, для которого (1.1) является уравнением Эйлера. Для каждого $\omega>0$ этот функционал энергии достигает инфимума на $H^1_\circ((0,1))$ в некоторой точке $u_0$, и любое такое $u_0$ является решением задачи (1.1), (1.2). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_\omega(u_\pm) &=\frac{1}{2}\biggl(\int_0^{x_0^\pm}\biggl(1-\frac{1}{x_0^\pm}\biggr)^2\,dx +\int_{x_0^\pm}^1\biggl(\frac{\omega}{2} \biggl(2x-x_0^\pm-1+\frac{2}{\omega}\biggr)\biggr)^2\,dx\biggr) \\ &\qquad{}+\frac{\omega^2}{2}\int_{x_0^\pm}^1(x-x_0^\pm)(x-1)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственным вычислением получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_\omega(u_\pm) &=\frac{1}{2x_0^\pm}-\frac{1}{2}+\frac{1}{24}\,\omega^2x_0^{\pm 3} -\frac{1}{8}\,\omega^2x_0^{\pm 2} +\frac{1}{8}\,\omega^2x_0^\pm-\frac{1}{24}\,\omega^2 \\ &=\frac{1-x_0^\pm}{2x_0^\pm}-\frac{\omega^2}{24}(1-x_0^\pm)^3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функционал $J_\omega$ как функцию аргумента $x_0^\pm$ с параметром $\omega$. Исследование производной $J'_\omega(x_0^\pm)=-(1/2x_0^{\pm 2})+(\omega^2/8)(1-x_0^\pm)^2$ показывает, что у уравнения $J'_\omega(x_0^\pm)=0$ имеется два корня $x_0^\pm=1/2\pm(1/2)\sqrt{1-8/\omega}$, принадлежащих интервалу $(0,1)$ при $\omega>8$. При этом значение $x_0^-=1/2-(1/2)\sqrt{1-8/\omega}$ соответствует минимуму функционала, а $x_0^+=1/2+(1/2)\sqrt{1-8/\omega}$ – максимуму. Значение функционала $J_\omega$ в локальном максимуме $x_0^+$ положительно при всех $\omega>8$. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что знак $J_\omega(x_0^+)=(1-x_0^+)(12-\omega^2x_0^+(1-x_0^+)^2)/(24x_0^+)$ определяется знаком второй скобки в числителе, которая в силу $J'_\omega(x_0^+)=0$ равна $12-4/x_0^+>0$. Значение функционала $J_\omega$ в локальном минимуме $x_0^-$ при $\omega>9$ отрицательно, при $\omega=9$ равно нулю и при $8<\omega<9$ положительно. Наконец, при $\omega=8$ на интервале $(0,1)$ функционал имеет лишь точку перегиба $x_0=1/2$, $J_8(1/2)=1/6$. Графики функционала энергии при различных значениях завихренности $\omega$ приведены на рис. 1. 4. Численное решение задачиДля численного решения краевой задачи (1.1), (1.2) применим метод пристрелки [23] (отметим, что в работе [24] для численного решения плоской задачи Гольдштика использовался метод конечных элементов, о непрерывных аппроксимациях плоской задачи Гольдштика см. [25]). В нем подбирается такое значение $t$, что решение $u_t(x)$ задачи Коши удовлетворяет условию $u_t(1)=0$.Для этого наудачу выбираются начальные приближения $t_0$, $t_1$ и запускается итерационный процесс
$$
\begin{equation*}
t_k=t_{k-1}-\frac{t_{k-1}-t_{k-2}}{u_{t_{k-1}}(1)-u_{t_{k-2}}(1)} u_{t_{k-1}}(1),\qquad k=2,3,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
критерием остановки которого является неравенство $|u_{t_k}(1)|<\varepsilon_0$, где $\varepsilon_0>0$ – выбранная желаемая точность. Для вычисления $u_t(1)$ при данном $t$ можно использовать, например, метод Эйлера, заменяя уравнение второго порядка системой а производные – конечными разностями:
$$
\begin{equation}
u_{i+1}-u_i=\frac{1}{n}\,v_i, \qquad v_{i+1}-v_i=\frac{1}{n}\,g(x_i,u_i),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $x_i=i/n$ – точки разбиения отрезка $[0,1]$ на $n$ равных частей, $0\leqslant i<n$. Зная $u_0=u(0)=0$ и $v_0=v(0)=t$, из этих уравнений можно найти $u_n$. Обозначим через $\overline u(x)$ точное решение задачи Коши (4.1), (4.2). Оно имеет вид
$$
\begin{equation}
\overline u(x)=\begin{cases} tx, &x\leqslant x^*, \\ tx+\dfrac{\omega}{2}(x-x^*)^2, &x\geqslant x^*, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $x^*=1/(1-t)$ – точка разрыва правой части $g(x,u)$. Пока $g(x_i,u_i)=0$, приближенное решение является точным:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{i+1}=v_i=\dotsb=v_0=t, \\ u_{i+1}=u_i+\frac{v_i}n=\dotsb=u_0+\frac1n\sum_{k=0}^iv_k=\frac int=tx_i=\overline u(x_i). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако это верно лишь при $x_i\leqslant x^*$. Обозначим через $s$ индекс частичного промежутка, в который попадает точка $x^*$: $x_s\leqslant x^*<x_{s+1}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
v_{s+1}=v_s+\frac 1ng(x_s,u_s)=v_s=t, \qquad u_{s+1}=u_s+\frac1nv_s=\frac{t(s+1)}n,
\end{equation*}
\notag
$$
в то время как
$$
\begin{equation*}
\overline u(x_{s+1})=\frac{t(s+1)}n+\frac\omega2\biggl(\frac{s+1}n-x^*\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|\overline u(x_{s+1})-u_{s+1}|=\frac\omega2\biggl(\frac{s+1}n-x^*\biggr)^2 \leqslant\frac{\omega}{2n^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $s+1\leqslant i<n$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{i+1}=v_i+\frac{\omega}n=v_{s+1}+\frac{\omega(i-s)}n=t+\frac{\omega(i-s)}n, \\ u_{i+1}=u_i+\frac{1}{n}v_i=u_i+\frac tn+\frac{\omega(i-s)}{n^2}, \\ \begin{split} |\overline u(x_{i+1})-u_{i+1}| &=\biggl|\overline u(x_i) +\frac{t}{n}+\frac{\omega(i+1/2-nx^*)}{n^2} -u_i-\frac{t}{n}-\frac{\omega(i-s)}{n^2}\biggr| \\ &\leqslant|\overline u(x_i)-u_i|+\frac{\omega}{n^2} \biggl|s+\frac{1}{2}-nx^*\biggr| \leqslant|\overline u(x_i)-u_i|+\frac{\omega}{2n^2} \\ &\leqslant|\overline u(x_{s+1})-u_{s+1}|+\frac{\omega(i-s)}{2n^2} \leqslant\frac{\omega(i+1-s)}{2n^2}\,. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге
$$
\begin{equation*}
|\overline u(1)-u_n|\leqslant \frac{\omega(n+1-s)}{2n^2} \leqslant\frac{\omega(n+1)}{2n^2}=O\biggl(\frac1n\biggr) \qquad\text{при}\quad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, несмотря на наличие разрыва первого рода у нелинейности в правой части, метод Эйлера сохраняет первый порядок аппроксимации. Далее коснемся вопроса устойчивости выбранной разностной схемы. Будем обозначать через $u_i$ значения, полученные из системы (4.3), а через $\widetilde u_i$ – значения, полученные из возмущенной системы
$$
\begin{equation*}
u_{i+1}-u_i =\frac{1}{n}\,v_i, \qquad v_{i+1}-v_i=\frac{1}{n}\,\widetilde g(x_i,u_i),
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\widetilde g(x_i,u_i)-g(x_i,u_i)|<\varepsilon$ для всех $i=0,1,\dots,n-1$, $|\widetilde u_0-u_0|<\varepsilon$, $|\widetilde v_0-v_0|<\varepsilon$. Пусть $s$ – последний индекс, при котором $g(x_s,u_s)=0$, т.е. $u_s\geqslant x_s-1$, а $\widetilde s$ – последний индекс, при котором $\widetilde u_{\widetilde s}\geqslant x_{\widetilde s}-1$. При $0\leqslant i\leqslant\min\{s,\widetilde s\}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde v_{i+1}-v_{i+1}| &=\biggl|\widetilde v_i-v_i +\frac{1}{n}(\widetilde g(x_i,\widetilde u_i)-g(x_i,u_i))\biggr| <|\widetilde v_i-v_i|+\frac{\varepsilon}{n} \\ &<|\widetilde v_0-v_0|+\frac{\varepsilon(i+1)}{n}<\frac{n+i+1}{n}\,\varepsilon \leqslant 2\varepsilon, \\ |\widetilde u_{i+1}-u_{i+1}| &\leqslant|\widetilde u_i-u_i|+\frac{1}{n}|\widetilde v_i-v_i| <|\widetilde u_i-u_i|+\frac{2\varepsilon}{n} <|\widetilde u_0-u_0|+\frac{2\varepsilon(i+1)}{n}<3\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Не умаляя общности, предположим, что $s<\widetilde s$. Поскольку $\widetilde v_0<v_0+\varepsilon<0$
$$
\begin{equation*}
\widetilde u_i<\widetilde u_0+\frac in(v_0+\varepsilon)<\frac{n+i}n\varepsilon+\frac inv_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство $\widetilde u_i\geqslant i/n-1$ может выполняться только пока
$$
\begin{equation*}
\frac in-1<\frac{n+1}n\varepsilon+\frac inv_0, \qquad \frac in<\frac{1+((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widetilde s$ – наибольшее $i$, удовлетворяющее этому неравенству. При этом так что $s/n>1/(1-v_0)-1/n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\widetilde s-s}n<\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac1n.
\end{equation*}
\notag
$$
При $s<i\leqslant\widetilde s$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde v_{i+1}-v_{i+1}| &<|\widetilde v_i-v_i|+\frac{\omega\,{+}\,\varepsilon}n <|\widetilde v_{s+1}-v_{s+1}|+\frac{(\omega\,{+}\,\varepsilon)(i-s)}n <2\varepsilon+\frac{(\omega\,{+}\,\varepsilon)(i - s)}n, \\ |\widetilde u_{i+1}-u_{i+1}| &\leqslant|\widetilde u_i-u_i|+\frac 1n|\widetilde v_i-v_i| \leqslant|\widetilde u_{s+1}-u_{s+1}|+\frac 1n\sum_{k=s+1}^i|\widetilde v_k-v_k| \\ &<3\varepsilon+\frac{2\varepsilon(i-s)}n+ \frac{(\omega+\varepsilon)(i-s)(i-s+1)}{2n^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde v_{\widetilde s+1}-v_{\widetilde s+1}| &<2\varepsilon +(\omega+\varepsilon)\biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac 1n\biggr), \\ |\widetilde u_{\widetilde s+1}-u_{\widetilde s+1}| &<3\varepsilon+2\varepsilon \biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0} +\frac 1n\biggr) +\frac{\omega+\varepsilon}{2n} \biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac 1n\biggr) \\ &\qquad +\frac{\omega+\varepsilon}2 \biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac 1n\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $\widetilde s<i<n$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde v_{i+1}-v_{i+1}| &\leqslant|\widetilde v_i-v_i|+\frac{\varepsilon}{n} <|\widetilde v_{\widetilde s+1}-v_{\widetilde s+1}|+\varepsilon, \\ |\widetilde u_{i+1}-u_{i+1}| &\leqslant|\widetilde u_i-u_i| +\frac{1}{n}|\widetilde v_i-v_i|<|\widetilde u_{\widetilde s+1}-u_{\widetilde s+1}| +|\widetilde v_{\widetilde s+1}-v_{\widetilde s+1}|+\varepsilon \\ &<6\varepsilon+(\omega+3\varepsilon) \biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac{1}{n}\biggr) +\frac{\omega+\varepsilon}{2n} \biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac{1}{n}\biggr) \\ &\qquad{}+\frac{\omega+\varepsilon}{2} \biggl(\frac{((n+1)/n)\varepsilon}{1-v_0}+\frac{1}{n}\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для устойчивости необходимо, чтобы при достаточно малых $\varepsilon$ и достаточно больших $n$ выполнялось неравенство $\max_{i=0,1,\dots,n}|\widetilde u_i-u_i|< C\varepsilon$ для некоторой положительной константы $C$. Однако в полученной оценке присутствуют слагаемые порядка $\omega/n^2$, не зависящие от $\varepsilon$. В этом плане оценку улучшить нельзя. Действительно, предположим, что $x^*$ совпал с одним из узлов сетки, т.е. $x^*=x_s$, а $\widetilde g(x_i,\widetilde u_i)=g(x_i,\widetilde u_i)+\varepsilon$ для $0\leqslant i\leqslant s$ и $\widetilde g(x_i,\widetilde u_i)=g(x_i,\widetilde u_i)$ для $s<i<n$. Тогда $\widetilde u(x)$ пересечет прямую $y=x-1$ хотя бы на один частичный промежуток позже, чем $u(x)$, т.е. $\widetilde s-s\geqslant 1$. И именно при $s<i\leqslant\widetilde s$ мы будем иметь
$$
\begin{equation*}
|\widetilde v_{i+1}-v_{i+1}|\geqslant\frac \omega n, \qquad |\widetilde u_{i+1}-u_{i+1}|\geqslant \frac{\omega}{n^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, данная вычислительная схема не является устойчивой. Однако это не означает, что нельзя получать более точные решения, увеличивая $n$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\lim_{\substack{n\to\infty\\ \varepsilon\to 0}}\max_{i=0,1,\dots, n}|\widetilde u_i-u_i|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Метод пристрелки ищет такое приближенное решение $\overline u(x)$ задачи Коши (4.1), (4.2), которое удовлетворяет условию $|\overline{u}(1)|<\varepsilon_0$. Однако с учетом полученной оценки погрешности метода Эйлера точное решение задачи Коши тогда удовлетворяет неравенству $|u_t(1)|<\omega(n+1)/(2n^2)+\varepsilon_0$. Поэтому значение $t$, которое находится предложенным методом, может отличаться от точного значения $t_0=u'(0)$, при котором $u_{t_0}(1)=0$. Из (4.4) можно найти, что если $u_{t_0}(1)=t_0+\omega t_0^2/(2(1-t_0)^2)=0$, то
$$
\begin{equation*}
\omega=-\frac2{t_0}(1-t_0)^2=8-\frac 2{t_0}(1+t_0)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}u_t(1)=1+\frac{\omega t}{(1-t)^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $t=t_0<0$ эта производная равна $1-2/(1-t_0)=-(1+t_0)/(1-t_0)\ne 0$ за исключением случая $t_0=-1$, при котором $\omega=8$. Следовательно, при $\omega>8$ существует обратная функция $t(u(1))$ с производной $-(1-t_0)/(1+t_0)$ в $t=t_0$. А это означает, что малая ошибка $\delta=\omega(n+1)/(2n^2)+\varepsilon_0$ в значении $u(1)$ влечет малую погрешность $O(\delta)$ в определении $t$. При $\omega=8$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\,u_t(1)|_{t=t_0} =\frac{\omega(1+2t_0)}{(1-t_0)^4}=-\frac{1}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $u_t(1)=-(1/4)(t+1)^2+o((t+1)^2)$, и ошибка $O(\delta)$ в значении $u(1)$ влечет ошибку порядка $O(\sqrt{\delta})$ в значении $u'(0)$. Таким образом, при значениях $\omega$, близких к $8$, ошибка аппроксимации предложенного метода увеличивается до $O(1/\sqrt{n})$. При остальных $\omega>8$ ошибка имеет порядок $O(1/n)$. В заключение приведем пример применения метода пристрелки для нахождения решения $u_+(x)$ задачи (1.1), (1.2) при $\omega=10$. Положим $n=100$, $\varepsilon_0=10^{-10}$. На рис. 2 приведены графики точного решения сплошной линией и вычисленного приближенного решения $\overline u(x)$ точечной линией. Зависимость ошибки от $n$ изображена на рис. 3. Рис. 2.Графики точного и приближенного решений задачи (1.1), (1.2) при $\omega=10$, $n=100$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BasPot24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|