| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Два контрастных примера многомерных дифференциальных систем с ляпуновской крайней неустойчивостью А. А. Бондарев  Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010036 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ классическом примере Винограда [1; § 6.3] (и его упрощенной модификации Филиппова [2; § 18]) все решения конкретной двумерной автономной дифференциальной системы стремятся к нулю (здесь и всюду ниже – при неограниченном росте времени), но, тем не менее, нулевое решение этой системы является неустойчивым по Ляпунову. Некоторые примеры столь необычных сочетаний свойств (ляпуновских и недавно введенных перроновских [3] и верхнепредельных [4]) решений также приведены в цикле работ автора [5]–[9], наиболее контрастные из которых – в работах [7]–[9]: – работа [5] исправляла недостаток, указанный в [10; замечание 4] (о неограниченности линейного приближения построенной системы вдоль нулевого решения), однако построенная в ней двумерная система обладала хотя и ограниченным на всей полуоси времени, но все же ненулевым линейным приближением вдоль нулевого решения; – этот недостаток был исправлен в работе [6], в которой построена система, обладающая теми же свойствами, но уже с нулевым линейным приближением; – в работе [7] построена двумерная система, обладающая как перроновской, так и верхнепредельной, с одной стороны, полной неустойчивостью (а значит, и ляпуновской глобальной неустойчивостью), а с другой стороны, массивной частной устойчивостью (в отличие от всех рассмотренных выше примеров, в которых эта частная устойчивость была лишь точечной); – в работе [8] представлена двумерная система, у которой имеется, с одной стороны, ляпуновская глобальная неустойчивость (которая имелась и у систем из работ [5]–[7]), а с другой стороны, как перроновская, так и верхнепредельная глобальная устойчивость (в отличие от всех примеров предложенных ранее); – в работе [9] результат из работы [8] был распространен на фазовые пространства сколь угодно высокой размерности, но лишь четной. Также некоторые примеры столь контрастных сочетаний ляпуновских, перроновских и верхнепредельных свойств представлены в работе [11], в частности, профессором Сергеевым доказаны реализуемости сочетаний на дифференциальных системах следующих наборов свойств: – перроновской глобальной устойчивости, но ляпуновской и верхнепредельной неустойчивости [11; теорема 3], причем построенная система двумерна и автономна (см. также [12]); – перроновской и верхнепредельной массивной частной устойчивости, но неустойчивости всех трех типов (и ляпуновской, и перроновской, и верхнепредельной) [11; теорема 4], причем построенная система двумерна и автономна (см. также [12]); – перроновской глобальной устойчивости, но ляпуновской и верхнепредельной глобальной неустойчивости [11; теорема 5], причем построенная система многомерна ($n\in\mathbb{N}$), неавтономна и, так сказать, скалярного типа (см. также [10]). Целью же настоящего исследования является усиление результатов из работ автора [7]–[9] и [11; теоремы 1 и 2]: – во-первых, распространение их на случай неодномерных фазовых пространств сколь угодно высокой размерности; – во-вторых, построение систем, обладающих уже не просто ляпуновской глобальной неустойчивостью, но даже и ляпуновской крайней неустойчивостью (см. описание этого свойства в п. 4 определения 2 ниже и в [13]), причем с наличием у систем тех же перроновских и верхнепредельных свойств, что были и у предложенных ранее в работах [7]–[9], [11] двумерных систем. Для числа $n\in\mathbb{N}$ в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ (с нормой $|\cdot|$) рассмотрим систему
$$
\begin{equation}
\dot x=f(t,x), \qquad t\in\mathbb{R}_+\equiv[0,+\infty), \quad x\in\mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с правой частью $f\colon \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, удовлетворяющей условиям
$$
\begin{equation*}
f,f'_x\in C(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^n), \qquad f(t,0)=0, \quad t\in\mathbb{R}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, обеспечивающим существование и единственность решений задач Коши и наличие нулевого решения. Обозначим через $\mathcal S_{\ast}(f)$ множество всех непродолжаемых ненулевых решений системы (1.1), а через $\mathcal S_{\delta}(f)\subset\mathcal S_{\ast}(f)$ – его подмножество, состоящее из тех решений $x$, которые удовлетворяют начальному условию $|x(0)|\leqslant\delta$. Определение 1. Скажем, что для системы (1.1) (точнее, для ее нулевого решения, о чем мы для краткости не будем далее упоминать) имеет место перроновская или, соответственно, верхнепредельная: 1) устойчивость, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что любое решение $x\in\mathcal S_{\delta}(f)$ удовлетворяет требованию
$$
\begin{equation}
\varliminf_{t\to+\infty}|x(t)|<\varepsilon \qquad \text{или, соответственно,}\qquad \varlimsup_{t\to+\infty}|x(t)|<\varepsilon;
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
2) неустойчивость, если устойчивость не имеет места, а именно, если существует такое $\varepsilon>0$, что для любого $\delta>0$ некоторое решение $x\in\mathcal S_{\delta}(f)$ не удовлетворяет требованию (1.2); 3) глобальная устойчивость, если сразу все решения $x\in\mathcal S_{\ast}(f)$ удовлетворяют требованию
$$
\begin{equation}
\varliminf_{t\to+\infty}|x(t)|=0 \qquad \text{или, соответственно,}\qquad \varlimsup_{t\to+\infty}|x(t)|=0;
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
4) глобальная неустойчивость, если для некоторого $\varepsilon>0$ ни одно решение $x\in\mathcal S_{\ast}(f)$ не удовлетворяет требованию (1.2); 5) частная устойчивость, если глобальная неустойчивость не имеет места, а именно, для любого $\varepsilon>0$ хотя бы одно решение $x\in\mathcal S_{\ast}(f)$ удовлетворяет требованию (1.2); 6) массивная частная устойчивость, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что любое решение $x\in\mathcal S_{\ast}(f)\setminus\mathcal S_{\delta}(f)$ удовлетворяет требованию (1.2); 7) крайняя неустойчивость, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что любое решение $x\in\mathcal S_{\delta}(f)$ удовлетворяет требованию Определение 2. С каждым перроновским или верхнепредельным свойством из пп. 1–4 и 7 системы (1.1), введенным в определении 1, сопоставим ляпуновское свойство: 1) устойчивость и неустойчивость по Ляпунову получаются, соответственно, повторением описаний из пп. 1 и 2 определения 1 с механической заменой в них требования (1.2) требованием 2) глобальная устойчивость по Ляпунову, означающая, что система (1.1) устойчива по Ляпунову и сразу все решения $x\in\mathcal S_{\ast}(f)$ удовлетворяют второму из требований (1.3); 3) глобальная неустойчивость по Ляпунову, означающая, что для некоторого $\varepsilon>0$ сразу все решения $x\in\mathcal S_{\ast}(f)$ не удовлетворяет требованию (1.5); 4) крайняя неустойчивость по Ляпунову получается повторением описания из п. 7 определения 1 с механической заменой в нем требования (1.4) требованием Замечание 1. Подчеркнем, что в этих определениях требования (1.2), (1.3) и (1.5) (в отличие от (1.4) и (1.6)) считаются невыполненными, в частности, уже тогда, когда решение определено не на всей полуоси $\mathbb{R}_+$, т.е. когда соответствующая ему фазовая кривая за конечное уходит на бесконечность (согласно теореме о продолжаемости решений; см., например, [14; теорема 23]). 2. Полученные результатыНиже приводятся усиленные варианты результатов работ [7]–[9], а также [11; теоремы 1 и 2], а именно, утверждается существование неодномерных дифференциальных систем (1.1) произвольной размерности – теперь уже не только двумерных, с нулевым первым приближением, обладающих перроновскими и верхнепредельными свойствами, контрастирующими с ляпуновскими – теперь еще и с ляпуновской крайней неустойчивостью. Так, в следующей теореме 1 система обладает одновременно:
Теорема 1. Для каждого $n>1$ существует система (1.1), которая имеет правую часть, удовлетворяющую условию а также обладает следующими двумя свойствами:В следующей теореме 2 система обладает одновременно:
Теорема 2. Для каждого $n>1$ существует система (1.1), которая имеет правую часть, удовлетворяющую условию (2.1), а также обладает следующими двумя свойствами: Замечание 2. Системы, существование которых утверждается в теоремах 1 и 2, неавтономны, неодномерны и нелинейны. Более того:
3. Вспомогательные леммыДоказательству теорем предпошлем три технические леммы, доказательство двух последних из которых для краткости изложения и в силу их однотипности приводить здесь не будем (их можно найти, хотя и с некоторыми изменениями даже в формулировках, например, в работах [7]–[9]). Лемма 1. Функция $\theta_1\colon (0,+\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная условиями
$$
\begin{equation}
\theta_1(\varrho,\phi)= \begin{cases} \phi, & 0<\varrho\leqslant 2, \\ \displaystyle \phi+\frac{\pi}{2} \biggl(\int_{2}^{\varrho}{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr) \biggl(\int_{2}^{3}{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr)^{-1}, & 2<\varrho<3, \\ \phi+\dfrac{\pi}{2}, & \varrho\geqslant 3, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где обладает следующими свойствами: Доказательство. Прежде всего покажем, что функция $\theta_1(\cdot,\phi)$ является бесконечно дифференцируемой функцией своего аргумента при каждом фиксированном значении переменной $\phi\in\mathbb{R}$. Для этого сначала заметим, что она является константой (а значит, и гладкой функцией) на промежутках $(0,2]$ и $[3,+\infty)$. Внутри интервала $(2,3)$ гладкоcть по построению тоже имеется, поэтому остается ее проверить в двух концевых точках: при $\varrho=2$ и $\varrho=3$.
$\bullet$ Выполнение равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_1(2+0,\phi)&=\phi+\frac{\pi}{2}\biggl(\int_2^{2+0}{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr) \biggl(\int_2^3{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr)^{-1}=\phi=\theta_1(2-0,\phi), \\ \theta_1(3-0,\phi)&=\phi+\frac{\pi}{2}\biggl(\int_2^3{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr) \biggl(\int_2^3{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr)^{-1}=\phi+\frac{\pi}{2}=\theta_1(3+0,\phi) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывает непрерывность в точках $2$, $3$ соответственно.
$\bullet$ Далее, выполнение равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\theta_1}'_{\varrho}(2+0,\phi)&=\frac{\pi}{2}\chi_1(2+0) \biggl(\int_2^3{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr)^{-1}=0={\theta_1}'_{\varrho}(2-0,\phi), \\ {\theta_1}'_{\varrho}(3-0,\phi)&=\frac{\pi}{2}\chi_1(3-0) \biggl(\int_2^3{\chi_1(\tau)}\,d\tau\biggr)^{-1}=0={\theta_1}'_{\varrho}(3+0,\phi) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
доказывает непрерывную дифференцируемость в точках $2$, $3$ соответственно.
$\bullet$ Теперь заметим, что выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\chi_1^{(m)}(2)=\chi_1^{(m)}(3)=0, \qquad m=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу которых и равенств (3.1), а также гладкости функции $\chi_1\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ функция $\theta_1(\cdot,\phi)$ является бесконечно дифференцируемой функцией для каждого фиксированного значения переменной $\phi\in\mathbb{R}$. Отсюда и из равенств (3.1) следует, что функция $\theta_1$ имеет непрерывные по совокупности переменных $(\varrho,\phi)$ производные всех порядков по $\varrho$ и $\phi$ всюду на декартовом произведении $(0,+\infty)\times\mathbb{R}$, поэтому свойство 2) настоящей леммы выполнено.
Наконец, заметим, что при каждом фиксированном значении переменной $\varrho\in(0,+\infty)$ функция $\theta_1(\varrho,\cdot)$ является линейной всюду на прямой $\mathbb{R}$, а поэтому монотонной (возрастающей) и взаимно-однозначной функцией из прямой $\mathbb{R}$ в себя. Отсюда следует свойство 1). Лемма доказана. Лемма 2. Функция $\theta_2\colon \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная условиями
$$
\begin{equation}
\theta_2(t,w)= \begin{cases} \displaystyle w, & 0\leqslant w\leqslant \dfrac{1}{3+t}, \\ \displaystyle w-\int_{1/(3+t)}^{w}{\chi_2(t,\tau)}\,d\tau, & \dfrac{1}{3+t}<w<\dfrac{1}{2+t}, \\ \displaystyle \frac{1}{1+t}w+\frac{1}{2+t}\biggl(1-\frac{1}{1+t}\biggr)-\Sigma_1(t), & w\geqslant \dfrac{1}{2+t}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
а также равенством
$$
\begin{equation}
\theta_2(t,-w)=-\theta_2(t,w), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad w\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\chi_2(t,v)= \begin{cases} \displaystyle 0, & 0\leqslant v\leqslant\dfrac{1}{3+t}, \\ \displaystyle \sigma_1(t)\int_{1/(3+t)}^{v}\exp\biggl(\frac{1}{(\tau-1/(3+t))(\tau-1/(2+t))}\biggr)\,d\tau, & \dfrac{1}{3+t}<v<\dfrac{1}{2+t}, \\ \displaystyle \frac{t}{1+t}, & v\geqslant\dfrac{1}{2+t}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma_1(t)=\frac{t}{1+t}\biggl(\int_{1/(3+t)}^{1/(2+t)} \exp\biggl(\frac{1}{(\tau-1/(3+t))(\tau-1/(2+t))}\biggr) \,d\tau\biggr)^{-1}, \\ \Sigma_1(t)=\int_{1/(3+t)}^{1/(2+t)}{\chi_2(t,\tau)}\,d\tau, \qquad t\in\mathbb{R}_+, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
обладает следующими свойствами: Лемма 3. Функция $\theta_3\colon \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная условиями
$$
\begin{equation}
\theta_3(t,w)= \begin{cases} w, & 0\leqslant w\leqslant 1, \\ \displaystyle w+\int_1^w\chi_3(t,\tau)\,d\tau, & 1<w<\sqrt{3}, \\ (t+1)w+\bigl(\Sigma_2(t)-t\sqrt{3}\bigr), & w\geqslant\sqrt{3}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
а также равенством
$$
\begin{equation}
\theta_3(t,-w)=-\theta_3(t,w), \qquad t\in\mathbb{R}_+,\quad w\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\chi_3(t,v)= \begin{cases} 0, & 0\leqslant v\leqslant 1, \\ \displaystyle \sigma_2(t)\int_1^v \exp\biggl(\frac{1}{(\tau-1)(\tau-\sqrt{3})}\biggr)\,d\tau, & 1<v<\sqrt{3}, \\ t, & v\geqslant\sqrt{3}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
обладает следующими свойствами: 4. Доказательство первой теоремы Доказательство. Построение описанной в теореме системы проведем в 4 этапа.
I. Введем на декартовой плоскости с координатами $x_1$, $x_2$ полярные координаты $\rho$, $\varphi$, $\rho\geqslant 0$, $\varphi\in\mathbb{R}$: и рассмотрим автономную двумерную систему
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\dot\rho\\ \dot\varphi\end{pmatrix} =\rho^2\begin{pmatrix}\psi_1(\rho,\varphi)\\ \sin\varphi\end{pmatrix}, \qquad\rho^2\equiv x_1^2+x_2^2, \quad x\equiv (x_1,x_2)^{\top}\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi_1(\rho,\varphi)=\begin{cases} \displaystyle (3-\rho)(2-\rho)^2\biggl(\cos\varphi-\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2, & \cos\varphi\geqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \displaystyle 0, & \lvert\cos\varphi\rvert<\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \displaystyle (3-\rho)(2-\rho)^2\biggl(\cos\varphi+\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2, & \cos\varphi\leqslant -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство (4.2) задает векторное поле в области $(0,+\infty)\times\mathbb{R}$ переменных $(\rho,\varphi)$, которое при помощи локального диффеоморфизма, заданного равенствами (4.1), переносится на проколотую плоскость $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ переменных $(x_1,x_2)$. Полученное поле непрерывно продолжается в начало координат нулем, причем продолженное поле непрерывно дифференцируемо в начале координат и имеет нулевое линейное приближение за счет наличия в правой части системы множителя $\rho^2$. Из сказанного выше следует, что система (4.2) допускает нулевое решение. Значит, она является системой вида (1.1). Заметим теперь, что точки $e_1\equiv(2,0)^{\top}$, $e_2\equiv(3,0)^{\top}$, $e_3\equiv(-2,0)^{\top}$, $e_4\equiv(-3,0)^{\top}$ обращают в нуль векторное поле, заданное равенством (4.2), поэтому они являются особыми для рассматриваемой системы. А. Рассмотрим сначала все ненулевые решения данной системы, удовлетворяющие условию $\rho(0)<3$. Такие решения имеются пяти типов. Тип 1. Для решений $x$, удовлетворяющих одновременно начальным условиям $\varphi(0)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ и $0<\rho(0)\leqslant 2$, справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\varphi(t)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad\rho(t)\to 2, \quad t\to+\infty.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Тип 2. Рассмотрим решения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям
$$
\begin{equation}
\varphi(0)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi) \qquad\text{и}\qquad\rho(0)>2.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Для них имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\varphi(t)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad\rho(t)\to 3, \quad t\to+\infty.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Тип 3. Далее, для решений $x$, удовлетворяющих обоим начальным условиям $\varphi(0)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ и $0<\rho(0)\leqslant 2$, имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad\rho(t)\to 2, \quad t\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тип 4. Решения же $x$, удовлетворяющие условиям $\varphi(0)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ и $\rho(0)>2$, обладают свойством
$$
\begin{equation}
\varphi(t)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad\rho(t)\to 3, \quad t\to+\infty.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Тип 5. Наконец, рассмотрим решения $x$, удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation}
\varphi(0)\neq 0\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad\varphi(0)\neq\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Заметим, что модуль угловой координаты $|\varphi(t)|$ каждого такого решения системы (4.2) возрастает при $t\to+\infty$, поэтому в некоторый момент $t>0$ оно обязательно войдет в область (круговой сектор, ось симметрии которого совпадает с отрицательным направлением оси координат $x_1$)
$$
\begin{equation}
K_-^{\bullet}\equiv\biggl\{x\in\mathbb{R}^2\biggm| x_1^2+x_2^2<9,\, |x_2|<\frac{|x_1|}{\sqrt{3}},\, x_1<0\biggr\}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
В этой области система (4.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\dot\rho\\ \dot\varphi\end{pmatrix} =\rho^2\begin{pmatrix}(3-\rho)(2-\rho)^2 \biggl(\cos\varphi+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2\\ \sin\varphi\end{pmatrix};
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
следовательно, для рассматриваемых решений выполняются соотношения:
$$
\begin{equation*}
|\varphi(t)|\to\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \quad\rho(t)\to 2, \qquad t\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
если такие решения помимо условий (4.7) удовлетворяют и условию $0<\rho(0)\leqslant 2$, и соотношения
$$
\begin{equation}
|\varphi(t)|\to\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \quad\rho(t)\to 3, \qquad t\to+\infty,
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
в ином случае.
Б. Рассмотрим решения, удовлетворяющие условию $\rho(0)>3$. Такие решения у рассматриваемой системы (4.2) имеются двух типов. Тип 6. Для решений $x$, удовлетворяющих какому-либо из начальных условий $\varphi(0)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ или $\varphi(0)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ справедливы, соответственно, соотношения (4.5) и (4.6). Тип 7. Рассмотрим решения $x$, удовлетворяющие одновременно обоим условиям $\varphi(0)\neq 0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ и $\varphi(0)\neq\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$. Модуль угловой координаты $|\varphi(t)|$ каждого такого решения системы (4.2) возрастает при $t\to+\infty$, поэтому в некоторый момент $t>0$ оно обязательно войдет в область (дополнение сектора $K_-^{\bullet}$ до плоского конуса, ось которого совпадает с отрицательным направлением оси координат $x_1$)
$$
\begin{equation}
K_-^{\circ}\equiv\biggl\{x\in\mathbb{R}^2\biggm| x_1^2+x_2^2>9,\, |x_2|<\frac{|x_1|}{\sqrt{3}},\, x_1<0\biggr\}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
В этой области система (4.2) принимает вид (4.9), следовательно, для рассматриваемых решений выполняются соотношения (4.10).
B. Рассмотрим теперь решения, удовлетворяющие начальному условию $\rho(0)=3$. Такие решения бывают также двух типов. Тип 8. Для решений $x$, удовлетворяющих одновременно двум начальным условиям $\varphi(0)\neq 0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ и $\varphi(0)\neq\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$, справедливы соотношения (4.10), поскольку модуль угловой координаты $|\varphi(t)|$ таких решений возрастает при $t\to+\infty$. Тип 9. Точки $e_2$ и $e_4$, как показано ранее, являются особыми для рассматриваемой системы (4.2). Более того, из вышесказанного следует, что первая из них представляет собой точку притяжения всех решений, удовлетворяющих начальным условиям (4.4), а вторая – остальных решений, те из которых удовлетворяют еще и условию $\rho(0)>2$. II. Далее, запишем систему (4.2) в декартовых координатах $(x_1,x_2)$, воспользовавшись равенствами (4.1). Получим систему (см. ее фазовый портрет на рис. 1 ниже)
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\dot x_1\\ \dot x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_1(x_1,x_2)\\ f_2(x_1,x_2)\end{pmatrix}, \qquad x=(x_1,x_2)^{\top}\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где вектор-функция $f\equiv(f_1,f_2)\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, как было доказано ранее, удовлетворяет условиям а также равенствам в силу симметричности полученного векторного поля относительно оси координат $x_1$.
Рассмотрим для произвольного натурального $n>1$ автономную дифференциальную систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} \dot y_1=f_1\Bigl(y_1,\sqrt{y_2^2+\dots+y_n^2}\Bigr), \\ \dot y_i=f_2\Bigl(y_1,\sqrt{y_2^2+\dots+y_n^2}\Bigr)\dfrac{y_i}{\sqrt{y_2^2+\dots+y_n^2}}, \end{cases} \\ i=2,\dots,n, \qquad y\equiv (y_1,\dots,y_n)^{\top}\in\mathbb{R}^n, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
которая, во-первых, является системой вида (1.1), а во-вторых, обладает нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения, что следует из соотношений (4.13) для правой части системы (4.12), а также явных координатных равенств, задающих вектор-функцию $f$, которые с целью краткости изложения не приводим. Заметим теперь, что следующие точки $e_5\equiv(2,0,\dots,0)^{\top}$, $e_6\equiv(3,0,\dots,0)^{\top}$, $e_7\equiv(-2,0,\dots,0)^{\top}$, $e_8\equiv(-3,0,\dots,0)^{\top}$ обращают в нуль векторное поле (4.15), поэтому они являются особыми для рассматриваемой системы. Г. Рассмотрим сначала решения $y$ системы (4.15), удовлетворяющие начальному условию $y_3^2(0)+\dots+y_n^2(0)=0$. В двумерной плоскости
$$
\begin{equation}
\Pi_{3,\dots,n}\equiv\bigl\{y\in\mathbb{R}^2\bigm| y_3=\dots=y_n=0\bigr\}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
система (4.15) имеет вид (4.12) с правой частью, удовлетворяющей условиям (4.14) с механической заменой в них символов $x$, $x_1$ и $x_2$ на, соответственно, $(y_1,y_2)^{\top}$, $y_1$ и $y_2$. Отсюда следует, что фазовые кривые таких решений целиком лежат в плоскости $\Pi_{3,\dots,n}$, а их качественное поведение в ней в точности такое же, как у решений системы (4.12) в плоскости координат $(x_1,x_2)$. Д. Далее, рассмотрим решения $y$, удовлетворяющие условию $y_3^2(0)+\dots+y_n^2(0)\neq 0$, которое эквивалентно существованию такого индекса $i_0\in\mathbb{N}$, что С помощью интегрирования находим, что функции
$$
\begin{equation*}
\Psi_j(y)\equiv\frac{y_j}{y_{i_0}}, \qquad j=2,\dots,n, \quad j\neq i_0,
\end{equation*}
\notag
$$
являются первыми интегралами системы (4.15), а значит, они постоянны вдоль решений $y$, т.е.
$$
\begin{equation*}
y_j=C_jy_{i_0}, \quad C_j\in\mathbb{R}, \qquad j=2,\dots,n, \quad j\neq i_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив эти равенства в систему (4.15) и сделав замену переменных
$$
\begin{equation*}
\widetilde{y}_j=y_j, \quad j=1,\dots,n, \quad j\neq i_0, \qquad\widetilde{y}_{i_0}=C_0y_{i_0}, \quad C_0\equiv\biggl(1+\sum_{\substack{j=2 \\ j\neq i_0}}^n{C^2_j}\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
получим в двумерной плоскости
$$
\begin{equation*}
\Pi_{i_0;C_1,\dots,C_n}\equiv\biggl\{\widetilde{y}\in\mathbb{R}^n\biggm| \widetilde{y}_j=\frac{C_j}{C_0}\widetilde{y}_{i_0},\,j=2,\dots,n,\,j\neq i_0\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
дифференциальную систему вида (4.12) с правой частью, удовлетворяющей условиям (4.14) с механической заменой в них символов $x$, $x_1$ и $x_2$ на, соответственно, $(\widetilde{y}_1,\widetilde{y}_{i_0})$, $\widetilde{y}_1$ и $\widetilde{y}_{i_0}$. Отсюда, в силу цепочки равенств
$$
\begin{equation*}
|y|^2=y_1^2+\sum_{\substack{j=2 \\ j\neq i_0}}^n{C_j^2y_{i_0}^2}+y_{i_0}^2=y_1^2+y_{i_0}^{2} \biggl(\sum_{\substack{j=2 \\ j\neq i_0}}^n{C_j^2}+1\biggr) =y_1^2+(C_0y_{i_0})^2={\widetilde{y}}_1^2+{\widetilde{y}_{i_0}}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а также исследованного ранее качественного поведения решений системы (4.12) получаем полное описание качественного поведения всех решений системы (4.15):
III. Сделаем в системе (4.15) автономную замену координат, заданную равенствами где функция $\theta_1$ задается условиями (3.1), а переменные $(\varrho,\phi)$ имеют смысл полярных координат в координатной плоскости переменных $(y_1,y_2)$ и связаны с ними равенствами
$$
\begin{equation}
y_1=\varrho\cos\phi, \quad y_2=\varrho\sin\phi, \qquad \varrho>0, \quad\phi\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Из леммы 1 следует, что при каждом фиксированном значении переменной $\varrho\in (0,+\infty)$ к функции $\theta_1(\varrho,\cdot)$ существует обратная функция, которая, если ее рассматривать уже как функцию от двух аргументов $\varrho$ и $\Phi$, является бесконечно дифференцируемой всюду на прямом произведении $(0,+\infty)\times\mathbb{R}$. Заметим также, что при $0<\varrho\leqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation}
\theta_1(\varrho,\phi)=\phi, \qquad\phi\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
поэтому полученное при помощи замены (4.17) векторное поле с помощью локального диффеоморфизма, заданного равенствами
$$
\begin{equation}
z_1=P\cos\Phi, \quad z_2=P\sin\Phi, \qquad z_i=y_i, \quad i=3,\dots,n, \qquad P\equiv z_1^2+z_2^2,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
переносится на проколотое пространство $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ координат $z\equiv(z_1,\dots,z_n)^{\top}$, доопределяется непрерывно дифференцируемым образом в начало координат нулем и полученная таким образом система, задающая это поле, еще и обладает нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения в силу того факта, что этим же свойством, согласно доказанному ранее, обладает система (4.15). Итак, построена допускающая нулевое решение автономная дифференциальная система (см. ее фазовый портрет на рис. 2 ниже) с правой частью $g_1\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, удовлетворяющей условиям
$$
\begin{equation*}
g_1,{g_1}'_z\in C(\mathbb{R}^n), \qquad g_1(0)=0, \quad {g_1}'_z(0)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
качественное поведение решений которой в шаровой 2-окрестности начала координат в точности такое же, как и у решений системы (4.15). Отсюда, в силу равенств
$$
\begin{equation}
\theta_1(3,2\pi k)=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \quad \theta_1(3,\pi+2\pi k)=\frac{3\pi}{2}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
формул (4.17), (4.18) и (4.20), задающих локальный диффеоморфизм, а также исследованного ранее качественного поведения решений системы (4.15) – получим полное описание качественного поведения решений системы (4.21):
 Рис. 2.Фазовый портрет системы (4.21) при $n=2$. IV. Наконец, сделаем в системе (4.21) неавтономную замену переменных, заданную равенствами
$$
\begin{equation}
u_1=\frac{1}{2}\theta_3(t,z_1), \quad u_2=\frac{1}{2}\theta_2(t,z_2), \qquad u_i=\frac{1}{2}z_i, \quad i=3,\dots,n,
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где функции $\theta_2,\theta_3\in C^{\infty}(\mathbb{R_+}\times\mathbb{R})$ задаются, соответственно, равенствами (3.2) и (3.6). Из лемм 2 и 3 следует, что при каждом фиксированном значении момента $t\in\mathbb{R}_+$ к функциям $\theta_2(t,\cdot)$ и $\theta_3(t,\cdot)$ существуют обратные функции, которые, если их рассматривать уже как функции от двух аргументов: первого – $t$, второго – $u_2$ либо, соответственно, $u_1$ – являются бесконечно дифференцируемыми всюду на прямом произведении $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$. Покажем, что построенная таким образом неавтономная дифференциальная система
$$
\begin{equation}
\dot u=h_1(t,u), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad u\equiv(u_1,\dots,u_n)^{\top}\in\mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
с правой частью $h_1\colon \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, удовлетворяющей условию обладает всеми свойствами, указанными в формулировке настоящей теоремы. Для этого сначала отметим, что в бесконечном параллелепипеде
$$
\begin{equation*}
U(t)\equiv\biggl\{z\in\mathbb{R}^n\biggm| |z_1|<1,\,|z_2|<\frac{1}{3+t}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
замена (4.23) принимает вид поэтому построенная на данном этапе система (4.24) допускает нулевое решение и обладает нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения, поскольку этим же свойством обладает и система (4.21). Далее, в силу нечетности функции $\theta_3$ по фазовому аргументу, имеем равномерную по $z_1\in[-4,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},4]$ оценку
$$
\begin{equation}
|\theta_3(t,z_1)|=\theta_3(t,|z_1|)=(t+1)|z_1| +\bigl(\Sigma_2(t)-t\sqrt{3}\bigr)\geqslant\Sigma_2(t)\to+\infty, \qquad t\to+\infty.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Отсюда, из равенств (4.23), а также исследованного ранее качественного поведения решений системы (4.21) – следует наличие у системы (4.24) свойства 1) настоящей теоремы. Остается заметить, что для неотрицательной функции $\Sigma_1(\cdot)$, определенной равенством (3.5), справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma_1(t) &=\int_{1/(3+t)}^{1/(2+t)} \chi_2(t,\tau)\,d\tau\leqslant \biggl(\frac{1}{2+t}-\frac{1}{3+t}\biggr) \max_{\tau\in[1/(3+t),1/(2+t)]} \chi_2(t,\tau) \\ &\leqslant\biggl(\frac{1}{2+t}-\frac{1}{3+t}\biggr) \frac{t}{1+t}\to 0, \qquad t\to+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а поэтому, пользуясь нечетностью функции $\theta_2$ по фазовому аргументу, равномерно по $z_2\in[-4,-1]\cup[1,4]$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\theta_2(t,z_2)| &=\theta_2(t,|z_2|)=\frac{1}{1+t}|z_2| +\frac{1}{2+t}\biggl(1-\frac{1}{1+t}\biggr)-\Sigma_1(t) \\ &\leqslant\frac{5}{1+t}-\Sigma_1(t)\to 0, \qquad t\to+\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
откуда следует свойство 2) настоящей теоремы. Теорема доказана. 5. Доказательство второй теоремы Доказательство. Построение описанной в теореме системы, как и системы, алгоритм построения которой представлен в доказательстве теоремы 1, проведем в 4 этапа.
I. Введем на декартовой плоскости с координатами $x_1$, $x_2$ полярные координаты по формулам (4.1) и рассмотрим автономную двумерную систему
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\dot\rho\\ \dot\varphi\end{pmatrix} =\rho^2\begin{pmatrix}\psi_2(\rho,\varphi)\\ \sin\varphi\end{pmatrix}, \qquad\rho^2\equiv x_1^2+x_2^2, \quad x\equiv(x_1,x_2)^{\top}\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi_2(\rho,\varphi)=\begin{cases} (3-\rho)\biggl(\cos\varphi-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2, & \cos\varphi\geqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ 0, & \lvert\cos\varphi\rvert<\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ (3-\rho)\biggl(\cos\varphi+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2, & \cos\varphi\leqslant -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждениями, аналогичными тем, что были сделаны на шаге I в доказательстве теоремы 1, приходим к заключению, что эта дифференциальная система является системой вида (1.1) и обладает нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения. Заметим теперь, что точки $E_1\equiv(3,0)^{\top}$ и $E_2\equiv(-3,0)^{\top}$ обращают в нуль векторное поле, заданное равенством (5.1), поэтому они являются особыми для рассматриваемой системы. А. Рассмотрим сначала все ненулевые решения данной системы, удовлетворяющие условию $\rho(0)<3$. Такие решения имеются двух типов. Тип 1. Для решений $x$, удовлетворяющих какому-либо из начальных условий $\varphi(0)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ или $\varphi(0)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$, справедливы, соответственно, соотношения (4.5) и (4.6). Тип 2. Рассмотрим решения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям
$$
\begin{equation*}
\varphi(0)\neq 0\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad \varphi(0)\neq\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что модуль угловой координаты $|\varphi(t)|$ каждого такого решения системы (5.1) возрастает при $t\to+\infty$, поэтому в некоторый момент $t>0$ оно обязательно войдет в область (4.8). В этой области система (5.1) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\dot\rho\\ \dot\varphi\end{pmatrix} =\rho^2\begin{pmatrix} (3-\rho)\biggl(\cos\varphi+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2 \\ \sin\varphi\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
следовательно, для рассматриваемых решений выполняются соотношения (4.10).
Б. Рассмотрим решения, удовлетворяющие условию $\rho(0)>3$. Такие решения у рассматриваемой системы (5.1) имеются тоже двух типов. Тип 3. Для решений $x$, удовлетворяющих какому-либо из начальных условий $\varphi(0)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ или $\varphi(0)=\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ справедливы, соответственно, соотношения (4.5) и (4.6). Тип 4. Рассмотрим решения $x$, удовлетворяющие обоим из начальных условий $\varphi(0)\neq 0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$ и $\varphi(0)\neq\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$. Модуль угловой координаты $|\varphi(t)|$ каждого такого решения системы (5.1) возрастает при $t\to+\infty$, поэтому в некоторый момент $t>0$ оно обязательно войдет в область (4.11). В этой области система (5.1) принимает вид (5.2), следовательно, для рассматриваемых решений выполняются соотношения (4.10). B. Рассмотрим теперь решения, удовлетворяющие начальному условию $\rho(0)=3$. Такие решения бывают снова двух типов. Тип 5. Для решений $x$, удовлетворяющих одновременно двум условиям
$$
\begin{equation*}
\varphi(0)\neq 0\ (\mathrm{mod}\,2\pi), \qquad \varphi(0)\neq\pi\ (\mathrm{mod}\,2\pi),
\end{equation*}
\notag
$$
модуль угловой координаты $|\varphi(t)|$ возрастает при $t\to+\infty$, поэтому такие решения тоже удовлетворяют соотношению (4.10).
Тип 6. Точки $E_1$ и $E_2$, как показано ранее, являются особыми для рассматриваемой системы (5.1). Более того, из вышесказанного следует, что первая из них представляет собой точку притяжения всех решений, удовлетворяющих начальному условию $\varphi(0)=0\ (\mathrm{mod}\,2\pi)$, а вторая – всех остальных ненулевых решений этой системы. II. Далее, запишем систему (5.1) в декартовых координатах $(x_1,x_2)$, воспользовавшись равенствами (4.1). Получим систему (см. ее фазовый портрет на рис. 3 ниже)
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\dot x_1\\\dot x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_3(x_1,x_2)\\f_4(x_1,x_2)\end{pmatrix}, \qquad x=(x_1,x_2)^{\top}\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где вектор-функция $\widetilde{f}\equiv(f_3,f_4)\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, как было доказано ранее, удовлетворяет условиям а также равенствам в силу симметричности полученного векторного поля относительно оси координат $x_1$.
Рассмотрим для произвольного натурального $n>1$ автономную дифференциальную систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{cases} \dot y_1=f_3\Bigl(y_1,\sqrt{y_2^2+\dots+y_n^2}\Bigr), \\ \dot y_i=f_4\Bigl(y_1,\sqrt{y_2^2+\dots+y_n^2}\Bigr)\dfrac{y_i}{\sqrt{y_2^2+\dots+y_n^2}}, \end{cases} \\ i=2,\dots,n, \qquad y\equiv (y_1,\dots,y_n)^{\top}\in\mathbb{R}^n, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
которая, во-первых, является системой вида (1.1), а во-вторых, обладает нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения, что следует из соотношений (5.4) для правой части системы (5.3), а также явных координатных равенств, задающих вектор-функцию $\widetilde{f}$, которые с целью краткости изложения не приводим. Отметим, что точки $E_3\equiv(3,0,\dots,0)^{\top}$ и $E_4\equiv(-3,0,\dots,0)^{\top}$ обращают в нуль векторное поле, заданное равенством (5.6), поэтому они являются особыми для рассматриваемой системы. Г. Рассмотрим сначала решения $y$ системы (5.6), удовлетворяющие начальному условию $y_3^2(0)+\dots+y_n^2(0)=0$. В двумерной плоскости (4.16) система (5.6) имеет вид (5.3) с правой частью, удовлетворяющей условиям (5.5) с механической заменой в них символов $x$, $x_1$ и $x_2$ на, соответственно, $(y_1,y_2)^{\top}$, $y_1$ и $y_2$. Отсюда следует, что фазовые кривые таких решений целиком лежат в плоскости (4.16) и их качественное поведение в точности такое же, как и у решений системы (5.3). Д. Проведя рассуждения, в точности совпадающие с рассуждениями из п. Д теоремы 1, а также опираясь на исследованное ранее качественное поведение решений системы (5.3), получим полное описание качественного поведения всех решений системы (5.6):
III. Сделаем в системе (5.6) автономную замену координат, заданную равенствами (4.17), где функция $\theta_1$ задается условиями (3.1), а переменные $(\varrho,\phi)$ имеют смысл полярных координат в координатной плоскости переменных $(y_1,y_2)$ и связаны с ними равенствами (4.18). С помощью рассуждений, аналогичных проведенным на шаге III теоремы 1, заключаем, что после такого преобразования получим дифференциальную систему (см. ее фазовый портрет на рис. 4 ниже)
$$
\begin{equation}
\dot z=g_2(z), \qquad z\equiv(z_1,\dots,z_n)^{\top}\in\mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
с правой частью $g_2\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, удовлетворяющей условиям
$$
\begin{equation*}
g_2,{g_2}'_z\in C(\mathbb{R}^n), \qquad g_2(0)=0, \quad {g_2}'_z(0)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
качественное поведение решений которой в шаровой 2-окрестности начала координат в точности такое же, как и у решений системы (5.6).  Рис. 4.Фазовый портрет системы (5.7) при $n=2$. Далее, опираясь на исследованное ранее качественное поведение решений системы (5.6), используя равенства (4.22) и формулы (4.17), (4.18) и (4.20), задающие локальный диффеоморфизм, получим полное описание качественного поведения всех решений системы (5.7):
IV. Наконец, сделаем в системе (5.7) замену переменных, заданную равенствами (4.23). Рассуждая таким же образом, как на шаге IV теоремы 1, покажем, что полученная после такого преобразования дифференциальная система
$$
\begin{equation}
\dot u=h_2(t,u), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad u\equiv(u_1,\dots,u_n)^{\top}\in\mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
с правой частью $h_2\colon \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, удовлетворяющей условиям
$$
\begin{equation*}
{h_2},{h_2}'_u\in C(\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^n), \qquad h_2(t,0)=0, \quad {h_2}'_u(t,0)=0, \quad t\in\mathbb{R}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
обладает обоими свойствами, указанными в формулировке настоящей теоремы. Докажем сначала свойство 1). Для этого возьмем произвольное $T>0$ и докажем, что существует такое $\delta=\delta(T)>0$, что при $|z_0|<\delta$ решение $z(\cdot,z_0)\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^n$ задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot z=g_2(z), \\ z(0)=z_0, \end{cases} \qquad z\in\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет оценке Действительно, положив
$$
\begin{equation*}
\delta\equiv\inf_{\widetilde{z}_0\in\mathcal S^{n-1}}|\widetilde{z}(0,\widetilde{z}_0)|,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\widetilde{z}(\cdot,\widetilde{z}_0)\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^n$ обозначено решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot{\widetilde{z}}=g_2(\widetilde{z}), \\ \widetilde{z}(T)=\widetilde{z}_0, \end{cases} \qquad \widetilde{z}\in\mathbb{R}^n, \quad \widetilde{z}_0\in\mathcal S^{n-1}\equiv\bigl\{\widetilde{z}\in\mathbb{R}^n\bigm| |\widetilde{z}|=1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
в силу автономности системы (5.7), исследованного ранее качественного поведения решений системы (5.6), а также равенства (4.19) для функции $\theta_1$ – получим оценку (5.9). Требуется лишь доказать, что определенное таким образом $\delta$ отлично от нуля. Для этого заметим, что вектор-функция $z(\cdot,\cdot)\colon \mathbb{R}_+\times\mathcal S^{n-1}\to\mathbb{R}^n$ является непрерывной по совокупности переменных $(t,z_0)$ (см., например, [14; следствие 125]) на компакте $[0,T]\times\mathcal S^{n-1}$. Отсюда и из неравенства
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{z}(0,\widetilde{z}_0)|\neq 0, \qquad \widetilde{z}_0\in\mathcal S^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
следует требуемое. Далее, в сферических сегментах
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_{+}^{\bullet}\equiv\biggl\{z\in\mathbb{R}^n\biggm| |z|\leqslant 2,\,(z_2^2+\dots+z_n^2)-\frac{z_1^2}{3}\leqslant 0,\,z_1>\sqrt{3}\biggr\}, \\ S_{-}^{\bullet}\equiv\biggl\{z\in\mathbb{R}^n\biggm| |z|\leqslant 2,\,(z_2^2+\dots+z_n^2)-\frac{z_1^2}{3}\leqslant 0,\,z_1<-\sqrt{3}\biggr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в один из которых хотя бы однажды (причем при $t>T$) войдут все решения $z\in\mathcal S_{\delta}(g_2)$ системы (5.7), справедлива равномерная оценка (4.25). Отсюда, из равенств (4.23), а также исследованного ранее качественного поведения решений системы (5.7) следует наличие у системы (5.8) свойства 1) настоящей теоремы. Свойство 2) же следует из равномерной оценки (4.26) для функции $\theta_2$. Теорема доказана. Автор приносит благодарность профессору И. Н. Сергееву за ценные замечания, способствовавшие значительному улучшению текста работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bon24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|