Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 3, страницы 466–471
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13786
(Mi mzm13786)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Краткие сообщения

Контрпримеры к теореме Харди–Литтлвуда для обобщенно-монотонных последовательностей

М. И. Дьяченкоab, К. А. Оганесянab

a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Список литературы:
Ключевые слова: ряды Фурье, теорема Харди–Литтлвуда, обобщенно-монотонные последовательности.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 21-11-00131
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-11-00131) в МГУ им. М. В. Ломоносова.
Поступило: 12.10.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages 458–463
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030161
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.521

1. Введение

Одним из наиболее изучаемых классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффициентами. В последнее время в этом направлении появился ряд весьма интересных работ. В частности, следует упомянуть [1]–[3]. Одним из важных аспектов здесь является изучение вопросов интегрируемости сумм таких рядов. Хорошо известная теорема Харди–Литтлвуда [4] утверждает, что для функции f с монотонной стремящейся к нулю последовательностью {an}n=1 синус- или косинус-коэффициентов Фурье при любом p>1 имеет место двустороннее неравенство

cpfppn=1np2apnCpfpp,
где cp и Cp – положительные постоянные, зависящие лишь от p. Левое неравенство в (1) следует понимать следующим образом: если для некоторой монотонной последовательности {an}n=1 выполнено n=1np2apn<, то эта последовательность представляет собой коэффициенты Фурье некоторой функции fLp, удовлетворяющей левому неравенству из (1). Стоит отметить, что если отказаться от условия монотонности последовательности, то по теореме Пэли [5] правое неравенство из (1) будет по-прежнему выполняться при p(1,2], а левое – при p2, причем эти ограничения в общем случае ослабить невозможно.

Развитие соотношения (1) (не только в классической постановке – см., например, [6]) имеет богатую историю. В [7] читатель может найти обобщения теоремы Харди–Литтлвуда, справедливые для пространств Лоренца (см. также [8]) и весовых пространств Лебега, на более широкий класс последовательностей, а также ссылки на предшествующие работы в этом направлении.

Для того, чтобы можно было говорить о теореме Харди–Литтлвуда в многомерном случае, необходимо определить понятие монотонности многомерной последовательности. Следующее условие на {ak}kZd:={ak1kd}ki= при d2 на первый взгляд кажется наиболее естественным обобщением одномерного условия монотонности:

akakпри|ki||ki|,i=1,,d.
Тем не менее оказывается, что требование (2) дает недостаточный контроль над последовательностью, так как одномерные разности вида ak1kikdak1ki+1kd плохо улавливают общую структуру последовательности. В частности, в d-мерном случае для последовательностей вида (2) теорема Харди–Литтлвуда в общем случае p>1 уже неверна. А именно, если обозначить через CM последовательности, удовлетворяющие (2) и естественному условию
ak0при|k1|++|kd|,
то

Теорема A (Дьяченко, 1986). a) [9; теорема 1] Если функция f имеет CM-последовательность {ak}kNd коэффициентов Фурье в одном из базисов

{dj=1eikjxj}kNd,{dj=1sinkjxj}kNdили{dj=1coskjxj}kNd,
то для любого p(1,)
kNdapk(k1kd)p2Cpfpp,
где Cp зависит лишь от p.

b) [10; следствие 2] Если p>2d/(d+1) и CM-последовательность {ak} удовлетворяет условию kNdapk(k1kd)p2<, то для любого из базисов выше найдется функция f с коэффициентами Фурье {ak} такая, что

kNdapk(k1kd)p2cpfpp,
где cp>0 зависит лишь от p.

c) [9; следствие 2] При любом p(1,2d/(d+1)) найдется CM-последовательность {ak}, не являющаяся последовательностью косинус-коэффициентов Фурье никакой функции из Lp, но при этом удовлетворяющая условию kNdapk(k1kd)p2<.

В теореме 1 во второй секции показано, что утверждение теоремы A, c) выполнено и для граничного значения p=2d/(d+1). Стоит отметить, что в [11; т. 1] получено необходимое и достаточное условие на функцию с CM коэффициентами Фурье, чтобы сумма kNdapk(k1kd)p2 была конечна.

Таким образом, чтобы найти условия, которые следует наложить на многомерную последовательность {ak} для того, чтобы она обладала свойствами, аналогичными свойствам одномерных монотонных последовательностей, нужно найти характеристику более чувствительную к общей структуре {ak}. Одним из кандидатов на такую характеристику является

Δ(d)ak=Δ1(Δ2((Δdak))),
где
Δjak1kd=ak1kjkdak1kj+1kd,j=1,,d.
И действительно, оказывается, что условий Δ(d)ak0 и (3) уже достаточно для выполнения соотношения Харди–Литтлвуда [12]. Более того, для так называемых обобщенно-монотонных, или GM-последовательностей, удовлетворяющих (3) и
k1=m1kd=md|Δ(d)ak|
для некоторой абсолютной константы \lambda>1, части a) и b) теоремы A верны при всех p>1 (см. [13] и замечание к [14; теорема 4.1.(B)]). Здесь и далее для двух функций f и g будем писать f\gtrsim g (или g\lesssim f), если существует постоянная C>0 такая, что f(x)\geqslant Cg(x) при всех x, а запись f\asymp g будет эквивалентна f\gtrsim g\gtrsim f. В третьей секции мы покажем, что если в правой части условия (5) заменить m_j/\lambda на m_j/\ln^t m_j при достаточно большом t>0, т.е. заменить (5) на
\begin{equation} \sum_{k_1=m_1}^{\infty}\dots \sum_{k_d=m_d}^{\infty}|\Delta^{(d)}a_{\mathbf k}| \lesssim \sum_{k_1={m_1}/{\ln ^tm_1}}^{\infty}\dots \sum_{k_d={m_d}/{\ln^t m_d}}^{\infty}\frac{|a_{\mathbf k}|}{|k_1\dots k_d|}, \end{equation} \tag{6}
то для таких последовательностей (назовем их GM_{\log}) соответствующие части теоремы Харди–Литтлвуда уже не имеют места при p>1, p\neq 2.

2. Контрпример для CM в критическом случае p=2d/(d+1)

Теорема 1. Для любого d\geqslant 2, существует d-мерная CM-последовательность \{a_{\mathbf k}\} такая, что при p:=2d/(d+1)

\begin{equation*} \sum_{\mathbf k\in\mathbb{Z}^d}|a_{\mathbf k}|^{p}\prod_{j=1}^d (|k_j|+1)^{p-2}<\infty, \end{equation*} \notag
но при этом ряд \sum_{\mathbf k\in\mathbb{Z}^d}a_{\mathbf k}\prod_{j=1}^d e^{ik_jx_j} не является рядом Фурье никакой функции из L_{p}(\mathbb{T}^d).

Доказательство. Обозначим

\begin{equation*} \begin{gathered} \, S_n:=\bigl\{(x_1,\dots ,x_d)\in \mathbb{Z}^d\colon x_1^2+\dots +x_d^2\leqslant n^2\bigr\}, \\ P_n:=\bigl\{(x_1,\dots ,x_d)\in \mathbb{Z}^d\colon |x_j|\leqslant n,\,j=1,\dots ,d\bigr\}, \end{gathered} \end{equation*} \notag
а также
\begin{equation*} D_m({\bf x})=\sum_{|k_j|\leqslant m}\prod_{j=1}^d e^{i k_jx_j}, \qquad C_m({\bf x})=\sum_{\mathbf k\in S_m}\prod_{j=1}^d e^{i k_jx_j} \end{equation*} \notag
– соответственно, m-е прямоугольное и сферическое ядра Дирихле в \mathbb{R}^d.

При всех \mathbf k\in\mathbb{Z}^d положим

\begin{equation*} a_{\mathbf k}:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{I}_{S_{2^{2^n}}}(\mathbf k)}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}}, \end{equation*} \notag
где \mathbb{I}_{S_{2^{2^n}}} есть характеристическая функция множества S_{2^{2^n}}. Нетрудно видеть, что ряд выше сходится при всех \mathbf k и что таким образом заданная последовательность удовлетворяет условиям (2) и (3). Кроме того, имеем
\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sum_{\mathbf k\in\mathbb{Z}^d}|a_{\mathbf k}|^{p}\prod_{j=1}^d (|k_j|+1)^{p-2} &\lesssim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)})^{p}} \biggl(\sum_{l=1}^{2^{2^{n}}}l^{p-2}\biggr)^d \lesssim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2^{2^n})^{d(p-1)}}{n^{2p}2^{2^{n-1}(d-1)p}} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2^n(d(p-1)-p(d-1)/2)}}{n^{2p}}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2p}<\infty, \end{aligned} \end{equation*} \notag
при p=2d/(d+1). Теперь, для того, чтобы показать, что частичные суммы построенного тригонометрического ряда не сходятся в L_p, p=2d/(d+1), нам понадобятся следующие оценки на нормы сферических ядер Дирихле в пространствах L_p(\mathbb{T}^d), полученные в [15; (3.72), (3.73)] (см. также [16]):
\begin{equation*} \|C_n\|_p\asymp \begin{cases} n^{(d-1)/2},&0<p<\dfrac{2d}{d+1}, \\ n^{(d-1)/2}\ln^{1/p}n,&p=\dfrac{2d}{d+1}, \\ n^{d(p-1)/p},&p>\dfrac{2d}{d+1}. \end{cases} \end{equation*} \notag
В свете этих оценок и теоремы Харди–Литтлвуда для D_m для некоторой константы c получаем
\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{\mathbf k\in P_{2^{2^n}}}a_{\mathbf k} \prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}-\sum_{\mathbf k\in P_2^{2^{n-1}}}a_{\mathbf k} \prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}\biggr\|_p \\ &\qquad= \biggl\|\sum_{\mathbf k\in S_{2^{2^n}}\setminus P_{2^{2^{n-1}}}} \sum_{m=n}^{\infty}\frac{1}{m^2 2^{2^{m-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j} \\ &\qquad\qquad\hphantom{= \biggl\|}+\sum_{\mathbf k\in P_{2^{2^{n}}}\setminus S_{2^{2^n}}} \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^2 2^{2^{m-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}\biggr\|_p \\ &\qquad= \biggl\|\sum_{\mathbf k\in S_{2^{2^n}}\setminus P_{2^{2^{n-1}}}} \frac{1}{n^2 2^{2^{n-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j} \\ &\qquad\qquad\hphantom{= \biggl\|}+\sum_{\mathbf k\in P_{2^{2^{n}}}\setminus P_{2^{2^{n-1}}}} \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^2 2^{2^{m-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}\biggr\|_p \\ &\qquad\geqslant\frac{1}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}}\bigl(\|C_{2^{2^n}}\|_p-\|D_{2^{2^{n-1}}}\|_p\bigr) \\ &\qquad\qquad -\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}2^{2^{m-1}(d-1)}} \bigl(\|D_{2^{2^n}}\|_p+\|D_{2^{2^{n-1}}}\|_p\bigr) \\ &\qquad\gtrsim \frac{(2^{2^n})^{(d-1)/2}}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}} (\ln 2^{2^n})^{1/p}-\frac{c(2^{2^{n-1}})^{d(p-1)/p}}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}} -\frac{c(2^{2^{n}})^{d(p-1)/p}}{(n+1)^{2}2^{2^{n}(d-1)}} \\ &\qquad>\frac{2^{n/p}}{n^2}-\frac{2c}{n^{2}2^{2^{n-1}(d/p-1)}}\to\infty \end{aligned} \end{equation*} \notag
при n\to\infty, если d/p\geqslant 1. В нашем случае при p=2d/(d+1) выполнено
\begin{equation*} \frac dp-1=\frac{d-1}2>0. \end{equation*} \notag
Отсюда следует, что ряд \sum a_{\mathbf k}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j} не ограничен по кубам в L_{2d/(d+1)}, а значит, согласно [17; т. 1, с. 423, теорема 6.4] этот ряд не может быть рядом Фурье функции из L_{2d/(d+1)}.

3. Контрпример для GM_{\log}

Тот факт, что теорема Харди–Литтлвуда не выполнена для последовательностей, удовлетворяющих (3) и (6), будет следовать из следующего одномерного утверждения.

Предложение 1. Для любого p>1, p\neq 2, и любой монотонной функции \phi:[1,\infty)\to (0,\infty), \phi(x)\gtrsim \ln^t x, t>\max\bigl\{p/(p-1)(2-p),p/(p-2)\bigr\}, существует стремящаяся к нулю последовательность \{a_k\}_{k=1}^{\infty}, удовлетворяющая условию

\begin{equation} \sum_{k=m}^{\infty}|a_k-a_{k+1}|\lesssim \sum_{k=m/\phi(m)}^{\infty}\frac{|a_{k}|}{k}, \end{equation} \tag{7}
для которой не выполнена теорема Харди–Литтлвуда.

Доказательство. Начнем со случая p\in (1,2). Возьмем n_1\in\mathbb{N} таким, чтобы \phi(n_1)>10, и определим остальные n_k, k\geqslant 2, индуктивно:

\begin{equation*} n_k:=\biggl\lfloor\frac{n_{k-1}\phi(n_{k-1})}{1+(\phi(n_{k-1}))^{-(p-1)/p}}\biggr\rfloor =:\biggl\lfloor\frac{n_{k-1}\phi_{k-1}}{1+\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}\biggr\rfloor. \end{equation*} \notag
Положим
\begin{equation*} M_k:=\bigl\{x\in\mathbb{N}\colon n_k\leqslant |x|< n_k+n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}\bigr\} \end{equation*} \notag
и отметим, что множества M_k не пересекаются между собой. Определим последовательность \{c_k\}_{k=1}^{\infty} следующим образом:
\begin{equation} c_k:=n_k^{-(p-1)/p}\phi_{k-1}^{(p-1)^2/p^2}\ln k, \end{equation} \tag{8}
а последовательность \{a_{k}\} соответственно
\begin{equation*} a_{k}:=\begin{cases} c_n,& \text{если }{k}\in M_n, \\ 0,&\text{если } {k}\notin \bigcup_{n=1}^{\infty}M_n. \end{cases} \end{equation*} \notag
Так как n_{k+1}> 5n_k при всех k, то выполнено
\begin{equation*} c_k=\bigl(n_k\phi_{k-1}^{(p-1)/p}\bigr)^{-(p-1)/p}\ln k <\bigl(n_{k-1}\phi_{k-1}^{1/p}\bigr)^{-(p-1)/p} \ln k<\bigl(5^{k-2}n_1\bigr)^{-(p-1)/p}\ln k\to 0, \end{equation*} \notag
а значит, и \{a_k\} стремится к нулю. Проверим условие (7). Заметим, что
\begin{equation} \frac{n_{k+1}+n_{k+1}\phi_{k}^{-(p-1)/p}}{\phi(n_{k+1}+n_{k+1} \phi_{k}^{-(p-1)/p})}\leqslant \frac{n_{k+1}(1+\phi_{k}^{-(p-1)/p})}{\phi_{k+1}} \leqslant \frac{n_k\phi_k}{\phi_{k+1}}\leqslant n_k. \end{equation} \tag{9}
Поскольку ненулевые элементы последовательности находятся в M_n, причем в каждом из M_n ровно два ненулевых a_{k}-a_{k+1}, в силу (9) достаточно показать, что
\begin{equation*} c_{k+1}\lesssim c_{k}\frac{n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}{n_k}. \end{equation*} \notag
Неравенство выше будет вытекать из
\begin{equation*} \begin{aligned} \, n_{k+1}^{-(p-1)/p}\phi_k^{(p-1)^2/p^2} &\asymp n_k^{-(p-1)/p}\phi_k^{-(p-1)/p} \bigl(1+\phi_k^{-(p-1)/p}\bigr)^{(p-1)/p} \phi_{k}^{(p-1)^2/p^2} \\ &\lesssim n_k^{-(p-1)/p}\phi_{k-1}^{(p-1)^2/p^2}\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}. \end{aligned} \end{equation*} \notag

Покажем теперь, что соотношение (1) для построенной последовательности не будет справедливо. Во-первых, поскольку n_k\geqslant 5n_{k-1} при всех k\geqslant 2, имеем

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}|a_k|^{p} k^{p-2}\lesssim \sum_{k=2}^{\infty}\ln^p k\, \phi_{k-1}^{(p-1)(p-2)/p} \lesssim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\ln^p k}{(\phi(5^{k-2}n_1))^{(p-1)(2-p)/p}} \lesssim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\ln^p k}{k^{t(p-1)(p-2)/p}}<\infty. \end{equation*} \notag
При этом, если через S_{n} обозначить n-ю квадратную частичную сумму тригонометрического ряда с коэффициентами a_{k}, то имеем
\begin{equation*} \bigl\|S_{n_k+n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}-S_{n_k-1}\bigr\|_p =\biggl\|\sum_{k\in M_n}a_{k} e^{ikx}\biggr\|_p \asymp c_k \bigl\|D_{n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}\bigr\|_p\asymp \ln k\to\infty, \end{equation*} \notag
откуда следует, что указанный ряд не есть ряд Фурье функции из L_p.

Перейдем к случаю p>2. Заменим определение (8) на

\begin{equation*} c_k:=n_k^{-(p-1)/p}\phi_{k-1}^{(p-1)^2/p^2}k^{-1}\ln^{-2} k, \end{equation*} \notag
все остальные элементы конструкции оставим прежними. Точно так же, как и выше, проверяется, что построенная таким образом \{a_k\} удовлетворяет (7). Далее
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}|a_k|^{p} k^{p-2}\gtrsim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^p\ln^{2p} k}\, \phi_{k-1}^{(p-1)(p-2)/p}\gtrsim \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k^{-p+t(p-1)(p-2)/p}}{\ln^{2p} k}\gtrsim \sum_{k=2}^{\infty} \frac{ k^{-1+\varepsilon}}{\ln^{2p} k}=\infty \end{equation*} \notag
для некоторого \varepsilon>0, но при этом
\begin{equation*} \bigl\|S_{n_k+n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}-S_{n_k-1}\bigr\|_p \asymp c_k \bigl\|D_{n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}\bigr\|_p\asymp \frac{1}{k\ln^2 k}, \end{equation*} \notag
т.е. данный ряд есть ряд Фурье функции из L_p.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е. Д. Алферова, А. Ю. Попов, Матем. заметки, 110:4 (2021), 630–634  mathnet  crossref
2. А. Ю. Попов, Матем. заметки, 109:5 (2021), 768–780  mathnet  crossref
3. А. Ю. Попов, А. П. Солодов, Матем. заметки, 112:2 (2022), 317–320  mathnet  crossref
4. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, J. London Math. Soc., 6:1 (1931), 3–9  crossref  mathscinet
5. R. E. A. C. Paley, Studia Math., 3 (1931), 226–238
6. Р. Х. Акылжанов, Е. Д. Нурсултанов, М. В. Ружанский, Матем. заметки, 100:2 (2016), 287–290  mathnet  crossref  mathscinet
7. M. Dyachenko, A. Mukanov, S. Tikhonov, Studia Math., 250:3 (2020), 217–234  crossref  mathscinet
8. С.  С. Волосивец, Матем. заметки, 102:3 (2017), 339–354  mathnet  crossref  mathscinet
9. M. I. Dyachenko, Anal. Math., 16:3 (1990), 173–190  crossref  mathscinet
10. М. И. Дьяченко, Матем. сб., 184:3 (1993), 3–20  mathnet  mathscinet
11. М. И. Дьяченко, Е. Д. Нурсултанов, М. Е. Нурсултанов, Матем. заметки, 99:4 (2016), 502–510  mathnet  crossref  mathscinet
12. F. Moricz, Proc. Amer. Math. Soc., 109:2 (1990), 417–425  crossref  mathscinet
13. M. Dyachenko, S. Tikhonov, J. Math. Anal. Appl., 339:1 (2008), 503–510  crossref  mathscinet
14. M. Dyachenko, S. Tikhonov, Topics in Classical Analysis and Applications in Honor of Daniel Waterman, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, 88–101  mathscinet
15. В. А. Юдин, Дис. \dots докт. физ.-матем. наук, МИАН, М., 1991
16. В. А. Юдин, Теория прибл. функций (Труды межд. конф., Киев, 1983), М., 1987, 477–480
17. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Мир, М., 1965  mathscinet

Образец цитирования: М. И. Дьяченко, К. А. Оганесян, “Контрпримеры к теореме Харди–Литтлвуда для обобщенно-монотонных последовательностей”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 466–471; Math. Notes, 113:3 (2023), 458–463
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DyaOga23}
\by М.~И.~Дьяченко, К.~А.~Оганесян
\paper Контрпримеры к~теореме Харди--Литтлвуда для обобщенно-монотонных последовательностей
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 3
\pages 466--471
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13786}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13786}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582568}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 3
\pages 458--463
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623030161}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85153287807}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13786
  • https://doi.org/10.4213/mzm13786
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i3/p466
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    1. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, “О весовых дискретных неравенствах Харди и Римана–Лиувилля”, Матем. заметки, 117:1 (2025), 128–145  mathnet  crossref
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:236
    PDF полного текста:26
    HTML русской версии:175
    Список литературы:36
    Первая страница:29
     
      Обратная связь:
    math-net2025_02@mi-ras.ru
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025