| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Контрпримеры к теореме Харди–Литтлвуда для обобщенно-монотонных последовательностей М. И. Дьяченкоab, К. А. Оганесянab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030161 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОдним из наиболее изучаемых классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффициентами. В последнее время в этом направлении появился ряд весьма интересных работ. В частности, следует упомянуть [1]–[3]. Одним из важных аспектов здесь является изучение вопросов интегрируемости сумм таких рядов. Хорошо известная теорема Харди–Литтлвуда [4] утверждает, что для функции $f$ с монотонной стремящейся к нулю последовательностью $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ синус- или косинус-коэффициентов Фурье при любом $p>1$ имеет место двустороннее неравенство
$$
\begin{equation}
c_p\|f\|_p^p\leqslant \sum_{n=1}^{\infty}n^{p-2}a_n^p\leqslant C_p\|f\|_p^p,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $c_p$ и $C_p$ – положительные постоянные, зависящие лишь от $p$. Левое неравенство в (1) следует понимать следующим образом: если для некоторой монотонной последовательности $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ выполнено $\sum_{n=1}^{\infty}n^{p-2}a_n^p<\infty$, то эта последовательность представляет собой коэффициенты Фурье некоторой функции $f\in L_p$, удовлетворяющей левому неравенству из (1). Стоит отметить, что если отказаться от условия монотонности последовательности, то по теореме Пэли [5] правое неравенство из (1) будет по-прежнему выполняться при $p\in (1,2]$, а левое – при $p\geqslant 2$, причем эти ограничения в общем случае ослабить невозможно. Развитие соотношения (1) (не только в классической постановке – см., например, [6]) имеет богатую историю. В [7] читатель может найти обобщения теоремы Харди–Литтлвуда, справедливые для пространств Лоренца (см. также [8]) и весовых пространств Лебега, на более широкий класс последовательностей, а также ссылки на предшествующие работы в этом направлении. Для того, чтобы можно было говорить о теореме Харди–Литтлвуда в многомерном случае, необходимо определить понятие монотонности многомерной последовательности. Следующее условие на $\{a_{\mathbf k}\}_{\mathbf k\in \mathbb{Z}^d} :=\{a_{k_1\dots k_d}\}_{k_i=-\infty}^{\infty}$ при $d\geqslant 2$ на первый взгляд кажется наиболее естественным обобщением одномерного условия монотонности:
$$
\begin{equation}
a_{\mathbf k}\geqslant a_{\mathbf k'} \qquad\text{при}\quad |k_i|\leqslant |k'_i|, \quad i=1,\dots ,d.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Тем не менее оказывается, что требование (2) дает недостаточный контроль над последовательностью, так как одномерные разности вида $a_{k_1\dots k_i\dots k_d}-a_{k_1\dots k_i+1\dots k_d}$ плохо улавливают общую структуру последовательности. В частности, в $d$-мерном случае для последовательностей вида (2) теорема Харди–Литтлвуда в общем случае $p>1$ уже неверна. А именно, если обозначить через $CM$ последовательности, удовлетворяющие (2) и естественному условию
$$
\begin{equation}
a_{\mathbf k}\to 0 \qquad \text{при}\quad |k_1|+\dots +|k_d|\to\infty,
\end{equation}
\tag{3}
$$
то Теорема A (Дьяченко, 1986). a) [9; теорема 1] Если функция $f$ имеет $CM$-последовательность $\{a_{\mathbf k}\}_{\mathbf k\in\mathbb{N}^d}$ коэффициентов Фурье в одном из базисов то для любого $p\in(1,\infty)$ где $C_p$ зависит лишь от $p$. b) [10; следствие 2] Если $p> 2d/(d+1)$ и $CM$-последовательность $\{a_{\mathbf k}\}$ удовлетворяет условию $\sum_{\mathbf k\in\mathbb{N}^d}a_{\mathbf k}^p(k_1\dots k_d)^{p-2}<\infty$, то для любого из базисов выше найдется функция $f$ с коэффициентами Фурье $\{a_{\mathbf k}\}$ такая, что
$$
\begin{equation}
\sum_{\mathbf k\in\mathbb{N}^d}^{\infty}a_{\mathbf k}^p(k_1\dots k_d)^{p-2}\geqslant c_p\|f\|_p^p,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $c_p>0$ зависит лишь от $p$. c) [9; следствие 2] При любом $p\in(1,2d/(d+1))$ найдется $CM$-последовательность $\{a_{\mathbf k}\}$, не являющаяся последовательностью косинус-коэффициентов Фурье никакой функции из $L_p$, но при этом удовлетворяющая условию $\sum_{\mathbf k\in\mathbb{N}^d}a_{\mathbf k}^p(k_1\dots k_d)^{p-2}<\infty$. В теореме 1 во второй секции показано, что утверждение теоремы A, c) выполнено и для граничного значения $p=2d/(d+1)$. Стоит отметить, что в [11; т. 1] получено необходимое и достаточное условие на функцию с $CM$ коэффициентами Фурье, чтобы сумма $\sum_{\mathbf k\in\mathbb{N}^d}^{\infty}a_{\mathbf k}^p(k_1\dots k_d)^{p-2}$ была конечна. Таким образом, чтобы найти условия, которые следует наложить на многомерную последовательность $\{a_{\mathbf k}\}$ для того, чтобы она обладала свойствами, аналогичными свойствам одномерных монотонных последовательностей, нужно найти характеристику более чувствительную к общей структуре $\{a_{\mathbf k}\}$. Одним из кандидатов на такую характеристику является
$$
\begin{equation*}
\Delta^{(d)}a_{\mathbf k}=\Delta^{1}(\Delta^{2}(\dots (\Delta^{d}a_{\mathbf k})\dots )),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta^{j}a_{k_1\dots k_d}=a_{k_1\dots k_j\dots k_d}-a_{k_1\dots k_j+1\dots k_d}, \qquad j=1,\dots ,d.
\end{equation*}
\notag
$$
И действительно, оказывается, что условий $\Delta^{(d)}a_{\mathbf k}\geqslant 0$ и (3) уже достаточно для выполнения соотношения Харди–Литтлвуда [12]. Более того, для так называемых обобщенно-монотонных, или $GM$-последовательностей, удовлетворяющих (3) и
$$
\begin{equation}
\sum_{k_1=m_1}^{\infty}\dots \sum_{k_d=m_d}^{\infty}|\Delta^{(d)}a_{\mathbf k}| \lesssim \sum_{k_1={m_1}/{\lambda}}^{\infty}\dots \sum_{k_d={m_d}/{\lambda}}^{\infty} \frac{|a_{\mathbf k}|}{|k_1\dots k_d|}
\end{equation}
\tag{5}
$$
для некоторой абсолютной константы $\lambda>1$, части a) и b) теоремы A верны при всех $p>1$ (см. [13] и замечание к [14; теорема 4.1.(B)]). Здесь и далее для двух функций $f$ и $g$ будем писать $f\gtrsim g$ (или $g\lesssim f$), если существует постоянная $C>0$ такая, что $f(x)\geqslant Cg(x)$ при всех $x$, а запись $f\asymp g$ будет эквивалентна $f\gtrsim g\gtrsim f$. В третьей секции мы покажем, что если в правой части условия (5) заменить $m_j/\lambda$ на $m_j/\ln^t m_j$ при достаточно большом $t>0$, т.е. заменить (5) на
$$
\begin{equation}
\sum_{k_1=m_1}^{\infty}\dots \sum_{k_d=m_d}^{\infty}|\Delta^{(d)}a_{\mathbf k}| \lesssim \sum_{k_1={m_1}/{\ln ^tm_1}}^{\infty}\dots \sum_{k_d={m_d}/{\ln^t m_d}}^{\infty}\frac{|a_{\mathbf k}|}{|k_1\dots k_d|},
\end{equation}
\tag{6}
$$
то для таких последовательностей (назовем их $GM_{\log}$) соответствующие части теоремы Харди–Литтлвуда уже не имеют места при $p>1$, $p\neq 2$.
2. Контрпример для $CM$ в критическом случае $p=2d/(d+1)$Теорема 1. Для любого $d\geqslant 2$, существует $d$-мерная $CM$-последовательность $\{a_{\mathbf k}\}$ такая, что при $p:=2d/(d+1)$ но при этом ряд $\sum_{\mathbf k\in\mathbb{Z}^d}a_{\mathbf k}\prod_{j=1}^d e^{ik_jx_j}$ не является рядом Фурье никакой функции из $L_{p}(\mathbb{T}^d)$. Доказательство. Обозначим а также – соответственно, $m$-е прямоугольное и сферическое ядра Дирихле в $\mathbb{R}^d$. При всех $\mathbf k\in\mathbb{Z}^d$ положим
$$
\begin{equation*}
a_{\mathbf k}:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{I}_{S_{2^{2^n}}}(\mathbf k)}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{I}_{S_{2^{2^n}}}$ есть характеристическая функция множества $S_{2^{2^n}}$. Нетрудно видеть, что ряд выше сходится при всех $\mathbf k$ и что таким образом заданная последовательность удовлетворяет условиям (2) и (3). Кроме того, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\mathbf k\in\mathbb{Z}^d}|a_{\mathbf k}|^{p}\prod_{j=1}^d (|k_j|+1)^{p-2} &\lesssim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)})^{p}} \biggl(\sum_{l=1}^{2^{2^{n}}}l^{p-2}\biggr)^d \lesssim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2^{2^n})^{d(p-1)}}{n^{2p}2^{2^{n-1}(d-1)p}} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2^n(d(p-1)-p(d-1)/2)}}{n^{2p}}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2p}<\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $p=2d/(d+1)$. Теперь, для того, чтобы показать, что частичные суммы построенного тригонометрического ряда не сходятся в $L_p$, $p=2d/(d+1)$, нам понадобятся следующие оценки на нормы сферических ядер Дирихле в пространствах $L_p(\mathbb{T}^d)$, полученные в [15; (3.72), (3.73)] (см. также [16]):
$$
\begin{equation*}
\|C_n\|_p\asymp \begin{cases} n^{(d-1)/2},&0<p<\dfrac{2d}{d+1}, \\ n^{(d-1)/2}\ln^{1/p}n,&p=\dfrac{2d}{d+1}, \\ n^{d(p-1)/p},&p>\dfrac{2d}{d+1}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В свете этих оценок и теоремы Харди–Литтлвуда для $D_m$ для некоторой константы $c$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{\mathbf k\in P_{2^{2^n}}}a_{\mathbf k} \prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}-\sum_{\mathbf k\in P_2^{2^{n-1}}}a_{\mathbf k} \prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}\biggr\|_p \\ &\qquad= \biggl\|\sum_{\mathbf k\in S_{2^{2^n}}\setminus P_{2^{2^{n-1}}}} \sum_{m=n}^{\infty}\frac{1}{m^2 2^{2^{m-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j} \\ &\qquad\qquad\hphantom{= \biggl\|}+\sum_{\mathbf k\in P_{2^{2^{n}}}\setminus S_{2^{2^n}}} \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^2 2^{2^{m-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}\biggr\|_p \\ &\qquad= \biggl\|\sum_{\mathbf k\in S_{2^{2^n}}\setminus P_{2^{2^{n-1}}}} \frac{1}{n^2 2^{2^{n-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j} \\ &\qquad\qquad\hphantom{= \biggl\|}+\sum_{\mathbf k\in P_{2^{2^{n}}}\setminus P_{2^{2^{n-1}}}} \sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^2 2^{2^{m-1}(d-1)}}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}\biggr\|_p \\ &\qquad\geqslant\frac{1}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}}\bigl(\|C_{2^{2^n}}\|_p-\|D_{2^{2^{n-1}}}\|_p\bigr) \\ &\qquad\qquad -\sum_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}2^{2^{m-1}(d-1)}} \bigl(\|D_{2^{2^n}}\|_p+\|D_{2^{2^{n-1}}}\|_p\bigr) \\ &\qquad\gtrsim \frac{(2^{2^n})^{(d-1)/2}}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}} (\ln 2^{2^n})^{1/p}-\frac{c(2^{2^{n-1}})^{d(p-1)/p}}{n^{2}2^{2^{n-1}(d-1)}} -\frac{c(2^{2^{n}})^{d(p-1)/p}}{(n+1)^{2}2^{2^{n}(d-1)}} \\ &\qquad>\frac{2^{n/p}}{n^2}-\frac{2c}{n^{2}2^{2^{n-1}(d/p-1)}}\to\infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$, если $d/p\geqslant 1$. В нашем случае при $p=2d/(d+1)$ выполнено Отсюда следует, что ряд $\sum a_{\mathbf k}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j}$ не ограничен по кубам в $L_{2d/(d+1)}$, а значит, согласно [17; т. 1, с. 423, теорема 6.4] этот ряд не может быть рядом Фурье функции из $L_{2d/(d+1)}$. 3. Контрпример для $GM_{\log}$Тот факт, что теорема Харди–Литтлвуда не выполнена для последовательностей, удовлетворяющих (3) и (6), будет следовать из следующего одномерного утверждения. Предложение 1. Для любого $p>1$, $p\neq 2$, и любой монотонной функции $\phi:[1,\infty)\to (0,\infty)$, $\phi(x)\gtrsim \ln^t x$, $t>\max\bigl\{p/(p-1)(2-p),p/(p-2)\bigr\}$, существует стремящаяся к нулю последовательность $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$, удовлетворяющая условию для которой не выполнена теорема Харди–Литтлвуда. Доказательство. Начнем со случая $p\in (1,2)$. Возьмем $n_1\in\mathbb{N}$ таким, чтобы $\phi(n_1)>10$, и определим остальные $n_k$, $k\geqslant 2$, индуктивно: Покажем теперь, что соотношение (1) для построенной последовательности не будет справедливо. Во-первых, поскольку $n_k\geqslant 5n_{k-1}$ при всех $k\geqslant 2$, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|^{p} k^{p-2}\lesssim \sum_{k=2}^{\infty}\ln^p k\, \phi_{k-1}^{(p-1)(p-2)/p} \lesssim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\ln^p k}{(\phi(5^{k-2}n_1))^{(p-1)(2-p)/p}} \lesssim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\ln^p k}{k^{t(p-1)(p-2)/p}}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, если через $S_{n}$ обозначить $n$-ю квадратную частичную сумму тригонометрического ряда с коэффициентами $a_{k}$, то имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl\|S_{n_k+n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}-S_{n_k-1}\bigr\|_p =\biggl\|\sum_{k\in M_n}a_{k} e^{ikx}\biggr\|_p \asymp c_k \bigl\|D_{n_k\phi_{k-1}^{-(p-1)/p}}\bigr\|_p\asymp \ln k\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что указанный ряд не есть ряд Фурье функции из $L_p$. Перейдем к случаю $p>2$. Заменим определение (8) на
$$
\begin{equation*}
c_k:=n_k^{-(p-1)/p}\phi_{k-1}^{(p-1)^2/p^2}k^{-1}\ln^{-2} k,
\end{equation*}
\notag
$$
все остальные элементы конструкции оставим прежними. Точно так же, как и выше, проверяется, что построенная таким образом $\{a_k\}$ удовлетворяет (7). Далее
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|^{p} k^{p-2}\gtrsim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^p\ln^{2p} k}\, \phi_{k-1}^{(p-1)(p-2)/p}\gtrsim \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k^{-p+t(p-1)(p-2)/p}}{\ln^{2p} k}\gtrsim \sum_{k=2}^{\infty} \frac{ k^{-1+\varepsilon}}{\ln^{2p} k}=\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $\varepsilon>0$, но при этом т.е. данный ряд есть ряд Фурье функции из $L_p$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DyaOga23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|