Одним из наиболее изучаемых классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффициентами. В последнее время в этом направлении появился ряд весьма интересных работ. В частности, следует упомянуть [1]–[3]. Одним из важных аспектов здесь является изучение вопросов интегрируемости сумм таких рядов. Хорошо известная теорема Харди–Литтлвуда [4] утверждает, что для функции f с монотонной стремящейся к нулю последовательностью {an}∞n=1 синус- или косинус-коэффициентов Фурье при любом p>1 имеет место двустороннее неравенство
cp‖f‖pp⩽∞∑n=1np−2apn⩽Cp‖f‖pp,
где cp и Cp – положительные постоянные, зависящие лишь от p. Левое неравенство в (1) следует понимать следующим образом: если для некоторой монотонной последовательности {an}∞n=1 выполнено ∑∞n=1np−2apn<∞, то эта последовательность представляет собой коэффициенты Фурье некоторой функции f∈Lp, удовлетворяющей левому неравенству из (1). Стоит отметить, что если отказаться от условия монотонности последовательности, то по теореме Пэли [5] правое неравенство из (1) будет по-прежнему выполняться при p∈(1,2], а левое – при p⩾2, причем эти ограничения в общем случае ослабить невозможно.
Развитие соотношения (1) (не только в классической постановке – см., например, [6]) имеет богатую историю. В [7] читатель может найти обобщения теоремы Харди–Литтлвуда, справедливые для пространств Лоренца (см. также [8]) и весовых пространств Лебега, на более широкий класс последовательностей, а также ссылки на предшествующие работы в этом направлении.
Для того, чтобы можно было говорить о теореме Харди–Литтлвуда в многомерном случае, необходимо определить понятие монотонности многомерной последовательности. Следующее условие на {ak}k∈Zd:={ak1…kd}∞ki=−∞ при d⩾2 на первый взгляд кажется наиболее естественным обобщением одномерного условия монотонности:
ak⩾ak′при|ki|⩽|k′i|,i=1,…,d.
Тем не менее оказывается, что требование (2) дает недостаточный контроль над последовательностью, так как одномерные разности вида ak1…ki…kd−ak1…ki+1…kd плохо улавливают общую структуру последовательности. В частности, в d-мерном случае для последовательностей вида (2) теорема Харди–Литтлвуда в общем случае p>1 уже неверна. А именно, если обозначить через CM последовательности, удовлетворяющие (2) и естественному условию
ak→0при|k1|+⋯+|kd|→∞,
то
Теорема A (Дьяченко, 1986).a) [9; теорема 1] Если функция f имеет CM-последовательность {ak}k∈Nd коэффициентов Фурье в одном из базисов
b) [10; следствие 2] Если p>2d/(d+1) и CM-последовательность {ak} удовлетворяет условию ∑k∈Ndapk(k1…kd)p−2<∞, то для любого из базисов выше найдется функция f с коэффициентами Фурье {ak} такая, что
∞∑k∈Ndapk(k1…kd)p−2⩾cp‖f‖pp,
где cp>0 зависит лишь от p.
c) [9; следствие 2] При любом p∈(1,2d/(d+1)) найдется CM-последовательность {ak}, не являющаяся последовательностью косинус-коэффициентов Фурье никакой функции из Lp, но при этом удовлетворяющая условию ∑k∈Ndapk(k1…kd)p−2<∞.
В теореме 1 во второй секции показано, что утверждение теоремы A, c) выполнено и для граничного значения p=2d/(d+1). Стоит отметить, что в [11; т. 1] получено необходимое и достаточное условие на функцию с CM коэффициентами Фурье, чтобы сумма ∑∞k∈Ndapk(k1…kd)p−2 была конечна.
Таким образом, чтобы найти условия, которые следует наложить на многомерную последовательность {ak} для того, чтобы она обладала свойствами, аналогичными свойствам одномерных монотонных последовательностей, нужно найти характеристику более чувствительную к общей структуре {ak}. Одним из кандидатов на такую характеристику является
Δ(d)ak=Δ1(Δ2(…(Δdak)…)),
где
Δjak1…kd=ak1…kj…kd−ak1…kj+1…kd,j=1,…,d.
И действительно, оказывается, что условий Δ(d)ak⩾0 и (3) уже достаточно для выполнения соотношения Харди–Литтлвуда [12]. Более того, для так называемых обобщенно-монотонных, или GM-последовательностей, удовлетворяющих (3) и
∞∑k1=m1…∞∑kd=md|Δ(d)ak|≲
для некоторой абсолютной константы \lambda>1, части a) и b) теоремы A верны при всех p>1 (см. [13] и замечание к [14; теорема 4.1.(B)]). Здесь и далее для двух функций f и g будем писать f\gtrsim g (или g\lesssim f), если существует постоянная C>0 такая, что f(x)\geqslant Cg(x) при всех x, а запись f\asymp g будет эквивалентна f\gtrsim g\gtrsim f. В третьей секции мы покажем, что если в правой части условия (5) заменить m_j/\lambda на m_j/\ln^t m_j при достаточно большом t>0, т.е. заменить (5) на
где \mathbb{I}_{S_{2^{2^n}}} есть характеристическая функция множества S_{2^{2^n}}. Нетрудно видеть, что ряд выше сходится при всех \mathbf k и что таким образом заданная последовательность удовлетворяет условиям (2) и (3). Кроме того, имеем
при p=2d/(d+1). Теперь, для того, чтобы показать, что частичные суммы построенного тригонометрического ряда не сходятся в L_p, p=2d/(d+1), нам понадобятся следующие оценки на нормы сферических ядер Дирихле в пространствах L_p(\mathbb{T}^d), полученные в [15; (3.72), (3.73)] (см. также [16]):
Отсюда следует, что ряд \sum a_{\mathbf k}\prod_{j=1}^d e^{i k_j x_j} не ограничен по кубам в L_{2d/(d+1)}, а значит, согласно [17; т. 1, с. 423, теорема 6.4] этот ряд не может быть рядом Фурье функции из L_{2d/(d+1)}.
3. Контрпример для GM_{\log}
Тот факт, что теорема Харди–Литтлвуда не выполнена для последовательностей, удовлетворяющих (3) и (6), будет следовать из следующего одномерного утверждения.
Предложение 1. Для любого p>1, p\neq 2, и любой монотонной функции \phi:[1,\infty)\to (0,\infty), \phi(x)\gtrsim \ln^t x, t>\max\bigl\{p/(p-1)(2-p),p/(p-2)\bigr\}, существует стремящаяся к нулю последовательность \{a_k\}_{k=1}^{\infty}, удовлетворяющая условию
Поскольку ненулевые элементы последовательности находятся в M_n, причем в каждом из M_n ровно два ненулевых a_{k}-a_{k+1}, в силу (9) достаточно показать, что
Покажем теперь, что соотношение (1) для построенной последовательности не будет справедливо. Во-первых, поскольку n_k\geqslant 5n_{k-1} при всех k\geqslant 2, имеем
все остальные элементы конструкции оставим прежними. Точно так же, как и выше, проверяется, что построенная таким образом \{a_k\} удовлетворяет (7). Далее
Е. Д. Алферова, А. Ю. Попов, Матем. заметки, 110:4 (2021), 630–634
2.
А. Ю. Попов, Матем. заметки, 109:5 (2021), 768–780
3.
А. Ю. Попов, А. П. Солодов, Матем. заметки, 112:2 (2022), 317–320
4.
G. H. Hardy, J. E. Littlewood, J. London Math. Soc., 6:1 (1931), 3–9
5.
R. E. A. C. Paley, Studia Math., 3 (1931), 226–238
6.
Р. Х. Акылжанов, Е. Д. Нурсултанов, М. В. Ружанский, Матем. заметки, 100:2 (2016), 287–290
7.
M. Dyachenko, A. Mukanov, S. Tikhonov, Studia Math., 250:3 (2020), 217–234
8.
С. С. Волосивец, Матем. заметки, 102:3 (2017), 339–354
9.
M. I. Dyachenko, Anal. Math., 16:3 (1990), 173–190
10.
М. И. Дьяченко, Матем. сб., 184:3 (1993), 3–20
11.
М. И. Дьяченко, Е. Д. Нурсултанов, М. Е. Нурсултанов, Матем. заметки, 99:4 (2016), 502–510
12.
F. Moricz, Proc. Amer. Math. Soc., 109:2 (1990), 417–425
13.
M. Dyachenko, S. Tikhonov, J. Math. Anal. Appl., 339:1 (2008), 503–510
14.
M. Dyachenko, S. Tikhonov, Topics in Classical Analysis and Applications in Honor of Daniel Waterman, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, 88–101
15.
В. А. Юдин, Дис. \dots докт. физ.-матем. наук, МИАН, М., 1991
16.
В. А. Юдин, Теория прибл. функций (Труды межд. конф., Киев, 1983), М., 1987, 477–480
17.
А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Мир, М., 1965
Образец цитирования:
М. И. Дьяченко, К. А. Оганесян, “Контрпримеры к теореме Харди–Литтлвуда для обобщенно-монотонных последовательностей”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 466–471; Math. Notes, 113:3 (2023), 458–463