В. А. Воблый, “О некоторых тождествах с биномиальными коэффициентами”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 461–465; Math. Notes, 113:5 (2023), 453

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 3, страницы 461–465
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13585 (Mi mzm13585)

Краткие сообщения

О некоторых тождествах с биномиальными коэффициентами

В. А. Воблый

Всероссийский институт научной и технической информации РАН, г. Москва

PDF полного текста (310 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13585

Ключевые слова: биномиальный коэффициент, тождество, гамма-функция, гипергеометрическая функция.

Поступило: 15.05.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages 453–457
DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462303015X

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 05A19

Различные комбинаторные тождества часто возникают при перечислении графов [1], [2]. В заметке единообразно получены несколько тождеств с биномиальными коэффициентами.

Для действительного числа $a$ биномиальный коэффициент $\binom{a}{n}$ понимается как отношение соответствующих гамма-функций [3; с. 757]

$\begin{equation*} \binom{a}{n}=\frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(a-n+1)}\,. \end{equation*} \notag$

По соглашению

$0!=0!!=1$ .

Теорема 1. Для любого целого числа $n\geqslant 0$ и любого действительного числа $q\geqslant 0$ верно тождество

$\begin{equation} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\binom{n-s+q}{q}2^{-s} =\frac{2^n\Gamma(n+q/2+1)}{n!\,\Gamma(q/2+1)}\,. \end{equation} \tag{1}$

Доказательство. Введем обозначение

$\begin{equation*} S_n(q,x)=\sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\binom{n-s+q}{q}x^s. \end{equation*} \notag$

Выражая биномиальные коэффициенты через факториалы, получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_n(q,x)&=\frac{1}{n!\,q!}\sum_{s=0}^n\frac{(n+s)!\,(n-s+q)!}{s!\,(n-s)!}\,x^s \\ &=\frac{1}{(n!)^2q!}\sum_{s=0}^n\binom{n}{s}\Gamma(n+s+1)\Gamma(n-s+q+1)x^s. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

С помощью выражения для бета-функции

$B(x,y)$ [4; с. 23, 24]

$\begin{equation*} B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} =\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt, \end{equation*} \notag$

найдем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_n(q,x) &=\frac{(2n+q+1)!}{(n!)^2q!}\sum_{s=0}^n\binom{n}{s}B(n+s+1,n-s+q+1)x^s \\ &=\frac{(2n+q+1)!}{(n!)^2q!}\sum_{s=0}^n\binom{n}{s}x^s \int_0^1t^{n+s}(1-t)^{n-s+q}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Внося знак суммы под знак интеграла и применяя бином Ньютона, имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_n(q,x) &=\frac{(2n+q+1)!}{(n!)^2q!} \int_0^1t^n(1-t)^{n+q}\sum_{s=0}^n\binom{n}{s} \biggl(\frac{tx}{1-t}\biggr)^s\,dt \\ &=\frac{(2n+q+1)!}{(n!)^2q!} \int_0^1t^n(1-t)^q(1-t(1-x))^n\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для гипергеометрической функции

$F(a,b;c;z)$ известна формула Эйлера [4; с. 72]

$\begin{equation*} F(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a}\,dt. \end{equation*} \notag$

В нашем случае имеем

$a=-n$ ,

$b=n+1$ ,

$c=b+1+q=n+q+2$ ,

$\begin{equation} S_n(q,x)=\binom{2n+q+1}{n}F(-n,n+1;n+q+2;1-x). \end{equation} \tag{2}$

С помощью тождества для гипергеометрической функции [4; с. 112]

$\begin{equation*} F\biggl(a,1-a;b;\frac{1}{2}\biggr) =\frac{2^{1-b}\Gamma(b)\Gamma(1/2)}{\Gamma((a+b)/2)\Gamma((b-a+1)/2)} \end{equation*} \notag$

получим

$\begin{equation*} S_n\biggl(q,\frac{1}{2}\biggr) =\frac{(2n+q+1)!}{n!\,(n+q+1)!} \frac{2^{-n-q-1}\Gamma(n+q+2)\sqrt{\pi}}{\Gamma(q/2+1)\Gamma((2n+q+3)/2)}\,. \end{equation*} \notag$

Используя формулу удвоения для гамма-функции [4; с. 19]

$\begin{equation*} \Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\,\Gamma(z)\Gamma\biggl(z+\frac{1}{2}\biggr) \end{equation*} \notag$

при

$2z=2n+q+2$ , найдем

$\begin{equation*} S_n\biggl(q,\frac{1}{2}\biggr) =\frac{2^{-n-q-1}2^{2n+q+1}\Gamma(n+q/2+1)\Gamma((2n+q+3)/2)} {n!\,\Gamma(q/2+1)\Gamma((2n+q+3)/2)} =\frac{2^n\Gamma(n+q/2+1)}{n!\,\Gamma(q/2+1)}\,. \end{equation*} \notag$

Доказательство закончено.

Следствие 1. Для любых целых чисел $n\geqslant 0$ , $q\geqslant0$ верно тождество

$\begin{equation} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\binom{n-s+q}{q}2^{-s} =\frac{(2n+q)!!}{n!\,q!!}\,. \end{equation} \tag{3}$

Доказательство. С учетом тождества для гамма-функции [4; с. 17]

$\begin{equation} \Gamma(z+n)=z(z+1)\dotsb(z+n-1)\Gamma(z) \end{equation} \tag{4}$

из формулы (1) получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{2^n\Gamma(n+q/2+1)}{n!\,\Gamma(q/2+1)} &=\frac{2^n(q/2+1)(q/2+2)\dotsb(q/2+1+n-1)\Gamma(q/2+1)}{n!\,\Gamma(q/2+1)} \\ &=\frac{(2n+q)!!}{n!\,q!!}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Доказательство закончено.

Отметим, что формула (3) была получена в диссертации автора [5] с помощью гипергеометрической функции, а В. К. Леонтьев доказал ее другим путем [6; с. 20, 91–92].

Следствие 2. Для любого целого числа $n\geqslant 0$ верно тождество

$\begin{equation} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\frac{(2n-2s+1)!!}{(n-s)!} =\frac{1\cdot 5\cdot 9\dotsb(4n+1)}{n!}\,. \end{equation} \tag{5}$

Доказательство. Из формулы (1) при $q=1/2$ имеем

$\begin{equation*} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s} \begin{pmatrix} n-s+\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}2^{-s} =\frac{2^n\Gamma(n+1/4+1)}{n!\,\Gamma(1/4+1)}\,. \end{equation*} \notag$

Используем тождества для гамма-функции [3; с. 759]

$\begin{equation*} \Gamma\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr) =\frac{\sqrt{\pi}}{2^n}(2n-1)!!, \qquad \Gamma\biggl(n+\frac{1}{4}\biggr) =\frac{1\cdot 5\cdot 9\dotsb(4n-3)}{4^n}\,\Gamma\biggl(\frac{1}{4}\biggr). \end{equation*} \notag$

Теперь найдем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{pmatrix} n-s+\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} =\frac{\Gamma(n-s+1+1/2)}{(n-s)!\,\Gamma(1/2+1)} =\frac{\sqrt{\pi}}{2^{n-s+1}}\frac{(2n-2s+1)!!}{(n-s)!\,(1/2)\sqrt{\pi}}\,, \\ \frac{2^n\Gamma(n+1/4+1)}{n!\,\Gamma(1/4+1)} =\frac{2^n1\cdot 5\cdot9\dotsb(4n+1)\Gamma(1/4)}{n!\,4^{n+1}(1/4)\Gamma(1/4)}\,, \\ \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\frac{(2n-2s+1)!!}{2^{n-s}(n-s)!\,2^s} =\frac{1\cdot 5\cdot 9\dotsb(4n+1)}{2^nn!}\,. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

После умножения обеих частей равенства на

$2^n$ получим утверждение следствия. Доказательство закончено.

Теорема 2. Для любого целого числа $n\geqslant 0$ верно тождество

$\begin{equation} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\binom{2n-s}{n}(-1)^s =\frac{\Gamma(3n/2+1)}{n!\,\Gamma(n/2+1)}\frac{1+(-1)^n}{2}\,. \end{equation} \tag{6}$

Доказательство. Из формулы (2) при $q=n$ и $x=-1$ имеем

$\begin{equation*} S_n(n,-1)=\binom{3n+1}{n}F(-n,n+1;2n+2;2). \end{equation*} \notag$

Для гипергеометрической функции

$F(a,b;c;z)$ известна формула [3; с. 493(2)]

$\begin{equation*} F(-n,a;2a;2)=\frac{n!\,2^{-n-1}\Gamma(a+1/2)(1+(-1)^n)}{(n/2)!\,\Gamma(a+(n+1)/2)}\,. \end{equation*} \notag$

В нашем случае

$a=n+1$ и с учетом формулы удвоения для гамма-функции получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_n(n,-1) &=\frac{n!\,\Gamma(n+1+1/2)(1+(-1)^n)\Gamma(3n+2)} {2^{n+1}\Gamma(n/2+1)\Gamma(3n/2+1+1/2)n!\,\Gamma(2n+2)} \\ &=\frac{\Gamma(n+1+1/2)(1+(-1)^n)(1/\sqrt{\pi})\, 2^{3n+1}\Gamma(3n/2+1)\Gamma(3n/2+1+1/2)} {2^{n+1}\Gamma(n/2+1)\Gamma(3n/2+1+1/2)n!\,(1/\sqrt{\pi})2^{2n+1}\Gamma(n+1+1/2)} \\ &=\frac{\Gamma(3n/2+1)}{n!\,\Gamma(n/2+1)}\,\frac{1+(-1)^n}{2}\,. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Доказательство закончено.

Отметим, что формула (6) является следствием тождества 3.36, данного в книге Гулда [7; с. 26] без доказательства.

Теорема 3. Для любого целого числа $n\geqslant 0$ верно тождество

$\begin{equation} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\binom{2n-s}{n}2^s =\frac{2^{2n}\Gamma(3n/2+1)}{n!\,\Gamma(n/2+1)}\,. \end{equation} \tag{7}$

Доказательство. Из формулы (2) при $q=n$ и $x=2$ имеем

$\begin{equation*} S_n(n,2)=\binom{3n+1}{n}F(-n,n+1;2n+2;-1). \end{equation*} \notag$

Для гипергеометрической функции

$F(a,b;c;z)$ известна формула [8]

$\begin{equation*} F(-n,a;a+1+n;-1) =\frac{2^{2n}\Gamma(a/2+1/2+n)\Gamma(a+n+1)}{\Gamma(a/2+1/2)\Gamma(2n+a+1)}\,. \end{equation*} \notag$

Поэтому при

$a=n+1$ получим

$\begin{equation*} S_n(n,2) =\frac{(3n+1)!\,2^{2n}\Gamma(3n/2+1)\Gamma(2n+2)} {n!\,(2n+1)!\,\Gamma(n/2+1)\Gamma(3n+2)} =\frac{2^{2n}\Gamma(3n/2+1)}{n!\,\Gamma(n/2+1)}\,. \end{equation*} \notag$

Доказательство закончено.

Следствие 3. Для любого целого числа $n\geqslant 0$ верно тождество

$\begin{equation} \sum_{s=0}^n\binom{n+s}{s}\binom{2n-s}{n}2^s =\frac{2^n(3n)!!}{n!\,n!!}\,. \end{equation} \tag{8}$

Доказательство. С помощью тождества (4) из формулы (7) получим

$\begin{equation*} \frac{2^{2n}\Gamma(3n/2+1)}{n!\,\Gamma(n/2+1)} =\frac{2^{2n}(n/2+1)(n/2+2)\dotsb(n/2+1+n-1)\Gamma(n/2+1)}{n!\,\Gamma(n/2+1)} =\frac{2^n(3n)!!}{n!\,n!!}\,. \end{equation*} \notag$

Доказательство закончено.

В заключение отметим, что тождества (1), (3), (5), (7), (8) отсутствуют в известных книгах, содержащих множества тождеств с биномиальными коэффициентами [7], [9]–[21].



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	В. А. Воблый, Матер. XVI Международ. семин. “Комбинаторные конфигурации и их приложения”, КНТУ, Кропивницкий, 2019, 30–31
2.	В. А. Воблый, Материалы Воронежской международной весенней математической школы “Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXXII” Воронеж, 3–9 мая 2021 г. Часть 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 208, ВИНИТИ РАН, М., 2022, 11–14
3.	А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы, Наука, М., 1986
4.	Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Т. 1, Наука, М., 1966
5.	В. А. Воблый, Асимптотическое перечисление графов некоторых типов, Дис. $\dots$ к.ф.-м.н., ВЦАН, М., 1985
6.	В. К. Леонтьев, Избранные задачи комбинаторного анализа, Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, М., 2001
7.	H. W. Gould, Combinatorial Identities, West Virginia University, Morgantown, 1972
8.	A. Ebisu, Mem. Amer. Math. Soc., 248:1177 (2017)
9.	А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Элементарные функции, Наука, М., 1981
10.	Дж. Риордан, Комбинаторные тождества, Наука, М., 1982
11.	J. Kaucky, Combinatoricke Identity, Veda, Bratislava, 1975
12.	Г. П. Егорычев, Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм, Наука, Новосибирск, 1977
13.	А. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник, Конкретная математика, Мир, М., 1998
14.	И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений, Наука, М., 1971
15.	Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко, Задачи и упражнения по дискретной математике, Физматлит, М., 2009
16.	Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения, ред. К. А. Рыбников, Наука, М., 1982
17.	Я. Гульден, Д. Джексон, Перечислительная комбинаторика, Наука, М., 1990
18.	В. Н. Сачков, Введение в комбинаторные методы дискретной математики, МЦНМО, М., 2004
19.	Ch. A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC Press, Boca Raton, 2018
20.	L. Lovasz, Combinatorial Problems and Exercises, AMS Chelsea publ., Providence RI, 2007
21.	I. Tomescu, Problems in Combinatorics and Graph Theory, Wiley, New York, 1985

Образец цитирования: В. А. Воблый, “О некоторых тождествах с биномиальными коэффициентами”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 461–465; Math. Notes, 113:5 (2023), 453–457

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Vob23}

\by В.~А.~Воблый

\paper О некоторых тождествах с~биномиальными коэффициентами

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 3

\pages 461--465

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13585}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13585}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582567}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 5

\pages 453--457

\crossref{https://doi.org/10.1134/S000143462303015X}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85152568994}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13585

https://doi.org/10.4213/mzm13585

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i3/p461

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	202
PDF полного текста:	30
HTML русской версии:	134
Список литературы:	41
Первая страница:	56

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ