| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Об одном классе функционалов, интегрируемых по Фейнману в смысле аналитического продолжения Е. С. Колпаков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030173 
Реферативные базы данных:
  Данная работа посвящена методу вычисления фейнмановских интегралов некоторого класса функционалов. При этом интегрирование проводится по некоторому пространству $E$, содержащему как непрерывные траектории, так и траектории со скачками. Сам интеграл по пространству $E$ определен в смысле аналитического продолжения. Также получена формула позволяющая свести вычисление такого интеграла к вычислению некоторого другого интеграла по мере Винера, который рассматривается на пространстве непрерывных траекторий. Впервые связь между интегралом по пространству $E$ и интегралом по пространству непрерывных траекторий была найдена в работе В. В. Белокурова, Е. Т. Шавгулидзе [1], но интеграл по пространству $E$ рассматривался не в смысле аналитического продолжения. Дальнейшее исследование такого интеграла проведено в работах [2], [3]. Отметим, что эта задача связана с уравнением Шрёдингера [4], [5]. Описание пространства $E$ дано в работе [6]. Так же в работе [6] описан прием сведения интегрирования по пространству $E$ к интегрированию по пространству непрерывных траекторий. В данной работе описан класс функционалов на пространстве $E$, которые получаются как аналитические продолжения ранее построенных функционалов. Также был определен фейнмановский интеграл для таких функционалов. Напомним определение пространства $E$, введеного в работе [6]: $E=\bigcup_{n=0}^{\infty}X_n$, где $X_n$ есть пространство функций $x(t)$ вида где функция $\gamma$ гельдерова на $[0,1]$ с коэффициентом $\theta\in(0;1/2)$ и
$$
\begin{equation*}
\gamma(0)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{t_i^*}, \qquad \gamma(t_k^*)=-\sum_{i \neq k} \frac{1}{t_k^*-t_i^*} \quad\text{при}\ \ 1 \leqslant k \leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Было доказано, что отображение из пространства $E$ в пространство гельдеровых функций $C_0^\theta([0,1])$, заданное формулой $y(t)=x(t)+\int_0^t x^2(\tau)\,d\tau$, взаимно-однозначно и непрерывно, см. работу [6].
Функциональный интеграл
$$
\begin{equation}
I(\alpha)=\frac{\displaystyle\int_{E} f(x) \exp\biggl(-\frac{1}{2} \alpha^2 \biggl(\int_0^1 (x' (t))^2\,dt + \int_0^1 x^4(t)\,dt+\frac{2}{3}x^3(1)\biggr)\biggr) dx} {\displaystyle\int_{E} \exp\biggl(-\frac{1}{2} \alpha^2 \biggl(\int_0^1 (x' (t))^2\, dt + \int_0^1 x^4(t)\,dt+\frac{2}{3}x^3(1)\biggr)\biggr) dx}
\end{equation}
\tag{1}
$$
при $\alpha>0 $ определен как предел конечнократных интегралов. Предложенное в работе [6] отображение позволяет свести его вычисление к вычислению интеграла по мере Винера:
$$
\begin{equation*}
I(\alpha)= \int_{C_0^\theta([0,1])} f(x_{{z}/{\alpha}}) W(dz),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_y(t)$ – функция из пространства $E$, определяемая функцией $y\in C_0^\theta([0,1])$ через уравнение $y(t)=x_y(t)+\int_0^t x_y^2(\tau)\,d\tau$, а $z(t)=\alpha y(t)$. Такая конструкция при $\alpha=1$ использовалась в [1].
Воспользуемся определением интеграла Фейнмана через аналитическое продолжение из монографии О. Г. Смолянова, Е. Т. Шавгулидзе [7]. Отметим, что в нашем случае аналитический фейнмановский интеграл будет совпадать с интегралом Фейнмана, как пределом конечнократных интегралов. Рассмотрим функционал $f(x)=\int_0^1 (\int_0^{t_2}x(t_1)\,dt_1)\varphi(t_2)\,dt_2$ где $\varphi$ – некоторая комплекснозначная непрерывно дифференцируемая функция. В работе [8] установлено существование данного функционала на функциях вида где $\gamma$ – гельдерова функция. Также в работе [8] определено пространство $\mathfrak{F}$, как пространство линейных комбинаций конечных произведений таких функционалов и доказана теорема.Теорема 1. Для всех функционалов из $\mathfrak{F}$ существует аналитическое продолжение функции $I(\alpha)$ на область Данная теорема обобщается на более широкий класс функционалов следующим образом. Теорема 2. Даны функции $h_1, \dots, h_m$, аналитические во всей комплексной плоскости, каждая из которых имеет либо порядок не выше 1 и конечный тип, либо порядок строго меньше 1. Для непрерывно дифференцируемых функций $\varphi_1(t), \dots, \varphi_m(t)$ определим функционал Доказательство. Для гельдеровой с параметром $\theta$, комплекснозначной функции $z(t)$ определим функцию $\xi_{z}$ пошагово: на первом шаге определим функцию $\xi_{z}$ как решение уравнения с начальным условием $\xi(0)=0$. Если решение продолжено на весь отрезок $[0; 1]$, то построение функции $\xi_{z}$ завершено. Иначе решение продолжено на некотором полуинтервале $[0;t_1^*)$, где $t_1^*$ – точка разрыва для $\xi_{z}$ и $\lim_{t\to t_1^*-0}\xi_{z}(t)=\infty$. На шаге с номером $k+1$, где $k\geqslant 1$, дана функция $\xi_{z}$, обращающаяся в бесконечность в точках $t_1^*, \dots, t_k^*$, и удовлетворяющая уравнению (4) в остальных точках полуинтервала $[0;t_k^*)$. В левой полуокрестности точки $t_k^*$ функция $\nu_{z}(t)={1}/{\xi_{z}(t)}$ удовлетворяет уравнению с начальным условием $\nu(t_k^*)=0$. Продолжим $\nu_{z}$ в правую полуокрестность точки $t_k^*$ как решение уравнения (5). Положив $\xi_{z}(t)={1}/{\nu_{z}(t)}$, получаем определение $\xi_{z}$ в правой полуокрестности точки $t_k^*$. Продолжим $\xi_{z}$ максимально вправо как решение уравнения (4). Если решение продолжено на весь отрезок $[0; 1]$, то построение функции $\xi_{z}$ завершено. Иначе решение продолжено на некоторый интервал $(t_k^*;t_{k+1}^*)$, где $\lim_{t\to t_{k+1}^*-0}\xi_{z}(t)=\infty$. И переходим к следующему шагу.Таким образом построена функция $\xi_{z}$ на отрезке $[0; 1]$ с разрывами в точках $t_1^*, \dots, t_n^*$. Доказывается, что не существует такого $j$, что одновременно выполнено $\int_{t_j^*}^{t_{j+1}^*} |z(t)|^2\,dt<1$ и $t_{j+1}^*-t_j^*<0,01$. Тогда функция $\xi_{ z}$ будет определена на всем отрезке $[0,1]$ не более, чем за $101+\int_{0}^{1}|z(t)|^2\,dt$ шагов. Для числа $n$ точек $t_1^*, \dots, t_n^*$, в которых функция $\xi_{ z}$ обращается в бесконечность, выполнено неравенство: Определим $x_{z}$ на отрезке $[0; 1]$ как $x_{z}(t)= z(t)-\xi_{z}(t)$. Обозначим через $h$ одну из функций $h_1, \dots, h_m$, а через $\varphi(t)$ некоторую непрерывно дифференцируемую функцию. Функционал $\int_0^1 (\int_0^{t_2}x_{z}(t_1)\,dt_1)\varphi(t_2)\,dt_2$ от $z$ оценивается так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^1 \biggl(\int_0^{t_2}x_{\alpha,z}(t_1)\,dt_1\biggr)\varphi(t_2)\,dt_2\biggr| \\ &\qquad < \begin{cases} c_0+c_1\int_0^1|z(t)|^2\,dt+c_2\ln(5\max_{t\in[0,1]}|z(t)|) &\text{при }\int_{0}^{1}|z(t)|^2\,dt>1, \\ c_0 &\text{при }\int_{0}^{1}|z(t)|^2\,dt\leqslant1, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0$, $c_1$, $c_2$ есть величины, не зависящие от $z$, но возможно зависящие от $\varphi$. Из условия следует существование таких чисел $c_3$, $c_4$, что при $|z|\geqslant c_3$ имеем Без ограничения общности считаем, что $c_3>c_0$. Тогда при $|\int_0^1 (\int_0^{t_2}x_{ z}(t_1)\,dt_1)\varphi(t_2)\,dt_2|\geqslant c_3$ имеем $\int_{0}^1 z^2(t)\,dt>1$.На множестве функций $z$ таких, что $|\int_0^1 (\int_0^{t_2}x_{ z}(t_1)\,dt_1) \varphi(t_2)dt_2|< c_3$, функционал
$$
\begin{equation*}
\biggl|h\biggl(\int_0^1 \biggl(\int_0^{t_2}x_{ z}(t_1)\,dt_1\biggr) \varphi(t_2)\,dt_2\biggr)\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
ограничен сверху константой $\max_{|w|\leqslant c_3}|h(w)|$ и потому интегрируем в любой степени. На множестве функций $z$ таких, что $|\int_0^1 (\int_0^{t_2}x_{ z}(t_1)\,dt_1) \varphi(t_2)\,dt_2|\geqslant c_3$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|h\biggl(\int_0^1 \biggl(\int_0^{t_2}x_{z}(t_1)\,dt_1\biggr)\varphi(t_2)\,dt_2\biggr)\biggr| \leqslant\exp\biggl(c_4\biggl|\int_0^1 \biggl(\int_0^{t_2}x_{z}(t_1)\,dt_1\biggr) \varphi(t_2)\,dt_2\biggr|\biggr) \\ &\qquad \leqslant\exp\biggl(c_4c_0+c_4c_1\int_0^1|z(t)|^2\,dt+c_4c_2\ln\Bigl(5\max_{t\in[0,1]}|z(t)|\Bigr)\biggr) \\ &\qquad =\exp(c_4c_0)\exp\biggl(c_4c_1\int_0^1|z(t)|^2\,dt\biggr) \Bigl(5\max_{t\in[0,1]}|z(t)|\Bigr)^{c_4c_2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первый множитель не зависит от $z$. Второй и третий множители есть функционалы от $z$, любые степени которых интегрируемы по мере Винера. Поэтому функционал $h(\int_0^1 (\int_0^{t_2}x_{ z}(t_1)\,dt_1)\varphi(t_2)\,dt_2)$ интегрируем в любой степени по пространству $C_0^\theta([0,1])$. Следовательно, функционал $f(x_{ z})$ от $z$ также интегрируем в любой степени, как произведение функционалов, интегрируемых в любой степени. Для гельдеровой с параметром $\theta$, вещественнозначной функции $y(t)$ на отрезке $[0,1]$ и вещественного положительного параметра $\alpha$ заметим, что значение $f(x_{\alpha y})$ аналитически зависит от $\alpha$. Существует $n$ чисел $\omega_1, \dots, \omega_n$ из отрезка $\omega\in[0,{\pi}/{4}]$ таких, что величина $f(x_{\alpha y})$, как функция от $\alpha$, не является аналитической в точках $\alpha=e^{i\omega_j}$ при $j=1, \dots, n$. Величина $f(x_{\alpha y})$ аналитически зависит от $\alpha$ на каждой из областей
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\{\alpha\Bigm|0\leqslant\arg\alpha\leqslant\omega_1, \frac{1}{2}\leqslant |\alpha|\leqslant 2\biggr\}, \\ \biggl\{\alpha\Bigm|\omega_1\leqslant\arg\alpha\leqslant\omega_2, \frac{1}{2}\leqslant |\alpha|\leqslant 2\biggr\}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots. \\ \biggl\{\alpha\Bigm|\omega_n\leqslant\arg\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2}\leqslant |\alpha|\leqslant 2\biggr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и по непрерывности продолжается на их границы. В таком случае возможно определить функцию $\widetilde{f}_y(\alpha)$, аналитическую на области (3), такую, что $\widetilde{f}_y(\alpha)=f(x_{\alpha y})$ при $1/2\leqslant\alpha\leqslant2$. Имеем оценку
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{f}_y(\alpha)|\leqslant2\pi n+|f(x_{\alpha y})| \leqslant|f(x_{\alpha y})|+202\pi+2\pi\int_{0}^{1}|\alpha y(t)|^2\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
При фиксированном $\alpha$ из области (3) величина $\widetilde{f}_y(\alpha)$ есть функционал от $y$, интегрируемый по мере Винера. Поскольку $\widetilde{f}_y(\alpha)$ аналитически зависит от $\alpha$, интеграл по мере Винера $\int_{C_0^\theta([0,1])}\widetilde{f}_y(\alpha)W(dy) $ аналитически зависит от $\alpha$. В силу равенства при $\alpha>0$
$$
\begin{equation}
\frac{\displaystyle\int_{E} f(x) \exp\biggl(-\frac{1}{2} \alpha^2 \biggl(\int_0^1 (x' (t))^2 \,dt + \! \int_0^1 x^4(t)\,dt+\frac{2}{3}x^3(1)\biggr)\biggr)dx} {\displaystyle\int_{E} \exp\biggl(-\frac{1}{2} \alpha^2 \biggl(\int_0^1 (x' (t))^2\, dt + \! \int_0^1 x^4(t)\,dt+\frac{2}{3}x^3(1)\biggr)\biggr)dx}=\int_{C_0^\theta([0,1])} \widetilde{f}_y(\alpha)W(dy)
\end{equation}
\tag{6}
$$
и определения функционального интеграла через аналитическое продолжение, получаем, что функциональный интеграл (1) может быть определен равенством (5) при $\alpha$ из области (3), поскольку правая часть равенства (5) есть аналитическая функция от $\alpha$ в данной области. Теорема доказана. Выделим важный частный случай равенства (5) при $\alpha=e^{i{\pi}/{4}}$: Следствие 1. Выполнено равенство функциональных интегралов:
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kol23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|