В. С. Климов, “Симметризация и интегральные неравенства”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 282–296; Math. Notes, 114:2 (2023), 230

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 2, страницы 282–296
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13768 (Mi mzm13768)

Симметризация и интегральные неравенства

В. С. Климов

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

PDF полного текста (602 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13768

Аннотация: Изучаются симметризации Штейнера анизотропных интегральных функционалов многомерного вариационного исчисления, определенных на множестве финитных функций из класса Соболева. Намечены приложения полученных результатов к теоремам вложения для анизотропных пространств Орлича–Соболева и оценкам снизу значений многомерных вариационных задач.
Библиография: 16 названий.

Ключевые слова: симметризация, функция, пространство, неравенство, интеграл, градиент.

Поступило: 19.10.2022
Исправленный вариант: 22.02.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages 230–241
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070246

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.518

Введение

Ниже изучаются симметризации интегрального функционала многомерного вариационного исчисления, интегрант $f(t,p)$ , $t\in[0,\infty)$ , $p\in\mathbb R^n$ , которого есть функция, выпуклая по переменному $p$ . Как правило, математики рассматривали случай, когда функция $f$ изотропна и не зависит от $t$ , т.е. $f(t,p)=f_1(|p|)$ . Библиография работ, посвященная исследованию этого случая, весьма обширна; соответствующие ссылки, можно найти, например, в [1]–[3]. Новизна представленных далее результатов в первую очередь связана с отказом от изотропности функции $f$ .

В п. 1 анализируются разного рода предельные процессы для последовательностей подмножеств евклидова пространства $\mathbb R^n$ , вводятся важные для дальнейшего понятия перестановок и симметризаций множеств. Охватываются классы непустых выпуклых (замкнутых, измеримых) подмножеств $\mathbb R^n$ . Основное внимание уделено определению и исследованию свойств $(k,n)$ -симметризаций Штейнера. Обсуждаются варианты теорем об округлении, позволяющих рассматривать $(k,n)$ -симметризации (при $1<k\leqslant n$ ) как результат последовательного применения $(k-1,n)$ -cимметризаций и предельного перехода.

В п. 2 вводится понятие функции Юнга многих переменых, изучаются симметризации и пределы последовательностей функций Юнга. Понятие симметризации функции Юнга отличается от хорошо известного понятия симметризации измеримой функции. Если $\varphi$ – функция Юнга, то $\varphi^s$ – ее симметризация, а $\varphi^*$ – сопряженная к $\varphi$ функция. Симметризацию измеримой функции $u$ обозначаем символом $u_s$ .

Основные результаты работы сосредоточены в п. 2. В теореме 1 устанавливается неравенство

$\begin{equation} \int_{\mathbb R^n}f(\nabla u(x))\,dx \geqslant\int_{\mathbb R^n}f^{*s*}(\nabla u_s(x))\,dx, \end{equation} \tag{1}$

где

$u_s$ есть

$(k,n)$ -симметризация Штейнера финитной функции

$u$ из

$W_1^1(\mathbb R^n)$ ,

$f$ – произвольная функция Юнга

$n$ переменных,

$f^{*s*}$ – результат последовательного применения операций сопряжения и симметризации, примененных к функции

$f$ . В двух крайних случаях

$k=1$ и

$k=n$ неравенство (2) доказано [4], [5]. В данной работе аналогичный результат устанавливается для произвольного натурального числа

$k\leqslant n$ . При

$k=n$ соответствующая симметризация

$s$ называется шаровой; в этом случае функции Юнга

$f^s$ и

$f^{*s*}$ эквивалентны: существуют такие постоянные

$\kappa_n$ ,

$\lambda_n$ , зависящие только от

$n$ , что

$\begin{equation*} f^s(\kappa_n p)\leqslant f^{*s*}(p)\leqslant f^s(\lambda_n p)\qquad \forall\,p\in\mathbb R^n. \end{equation*} \notag$

Из теоремы 1 вытекает результат (теорема 2) о симметризации анизотропных пространств Орлича–Соболева. Намечены приложения теоремы 2 к теоремам вложения пространств Орлича–Соболева в симметричные пространства [6]. Теорема 3 посвящена обобщению неравенства (2) на случай, когда интегрант

$f(t,p)$ может зависеть от переменного

$t$ .

1. Симметризация множеств

Всюду далее $\mathbb R$ – действительная прямая, $\mathbb R^n$ – действительное $n$ -мерное евклидово пространство со скалярным произведением $\langle x,y\rangle$ и евклидовой нормой $|x|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ . Наличие евклидовой структуры в $\mathbb R^n$ позволяет обычным образом ввести метрику равенством $\rho(x,y)=|x-y|$ , определить классы замкнутых, компактных и выпуклых подмножеств $\mathbb R^n$ . Через $\mathscr F(\mathbb R^n)$ (соответственно $\mathscr K(\mathbb R^n)$ , $\mathscr V(\mathbb R^n)$ ) обозначается совокупность непустых замкнутых (соответственно компактных, выпуклых) подмножеств пространства $\mathbb R^n$ . Далее

$\begin{equation*} \operatorname{Fv}(\mathbb R^n)=\mathscr F(\mathbb R^n)\cap\mathscr V(\mathbb R^n), \qquad \operatorname{Kv}(\mathbb R^n)=\mathscr K(\mathbb R^n)\cap \mathscr V(\mathbb R^n). \end{equation*} \notag$

Через

$\operatorname{int}A$ обозначается совокупность внутренних точек множества

$A\subset\mathbb R^n$ . Множество

$A$ назовем телесным, если

$\operatorname{int}A\ne\varnothing$ . Ниже

$\mathfrak K^n$ – часть

$\operatorname{Kv}(\mathbb R^n)$ , состоящая из телесных множеств.

Каждому множеству $A$ класса $\mathscr F(\mathbb R^n)$ сопоставим функцию $d(x,A)$ на $\mathbb R^n$ , определяемую равенством

$\begin{equation*} d(x,A)=\min\{|x-y|,\,y\in A\}. \end{equation*} \notag$

Функция

$d(x,A)$ непрерывна и неотрицательна, равенство

$d(x,A)=0$ эквивалентно включению

$x\in A$ . Множество

$A(\delta)=\{d(x,A)\leqslant\delta\}$ называют

$\delta$ -оболочкой множества

$A$ . Если

$B\in\mathscr F(\mathbb R^n)$ и

$B\subset A(\delta)$ при некотором

$\delta>0$ , то число

$\begin{equation*} h_0(B,A)=\inf\{\delta>0,\,B\subset A(\delta)\} \end{equation*} \notag$

называют уклонением множества

$B$ от множества

$A$ . Считаем, что

$\inf$ пустого множества равен

$\infty$ , поэтому

$0\leqslant h_0(B,A)\leqslant\infty$ . Вообще говоря,

$h_0(A,B)\ne h_0(B,A)$ ; число

$\begin{equation} \rho_H(A,B)=\max\{h_0(A,B),h_0(B,A)\} \end{equation} \tag{2}$

именуют обобщенным расстоянием между множествами

$A$ ,

$B$ . Не исключается случай, когда

$\rho(A,B)=\infty$ . Однако если

$A,B$ – компакты, то

$\rho(A,B)<\infty$ и множество

$\mathscr K(\mathbb R^n)$ с метрикой (2) образует полное метрическое пространство [7]; равенcтво (2) задает в

$\mathscr K(\mathbb R^n)$ метрику, называемую метрикой Помпейю–Хаусдорфа. Это позволяет обычным образом ввести понятие сходимости в метрическом пространстве

$\mathscr K(\mathbb R^n)$ . Последовательность

$A_i$ ,

$i=1,2,\dots$ , из

$\mathscr K(\mathbb R^n)$ сходится к

$A$ из

$\mathscr K(\mathbb R^n)$ , если

$\rho_H(A_i,A)\to 0$ при

$i\to\infty$ .

Для последовательности замкнутых множеств $\{A_i\}$ вводят [8] понятия верхнего и нижнего пределов, полагая соответственно

$\begin{equation*} \operatorname{ls}A_i:=\Bigl\{x\in\mathbb R^n\Bigm|\varliminf_{i\to\infty}\,d(x,A_i)=0\Bigr\},\qquad \operatorname{li}A_i:=\Bigl\{x\in\mathbb R^n\Bigm|\varlimsup_{i\to\infty}\,d(x,A_i)=0\Bigr\}. \end{equation*} \notag$

Всегда верно включение

$\operatorname{li}A_i\subset\operatorname{ls}A_i$ ; возможны случаи, когда один или оба предела являются пустыми множествами. Если оба частичных предела равны между собой, то их общее значение

$A$ именуют пределом последовательности

$\{A_i\}$ (предел в смысле Пенлеве–Куратовского); в этом случае пишут

$\begin{equation} \lim_{i\to\infty}A_i=A. \end{equation} \tag{3}$

В классе

$\mathscr K(\mathbb R^n)$ сходимость в метрике

$\rho_H$ влечет за собой сходимость (3); обратное верно лишь в случае, когда все множества

$A_i$ ,

$i=1,2,\dots$ , содержатся в некотором компакте.

Через $\mathscr M_n$ обозначим совокупность измеримых по Лебегу подмножеств пространства $\mathbb R^n$ . Если $A\in\mathscr M_n$ , то $\operatorname{mes}_nA$ – $n$ -мерная мера Лебега множества $A$ . Симметричная разность $A\,\triangle\, B:=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ измеримых множеств $A$ , $B$ также измерима. Равенство

$\begin{equation} \rho_N(A,B):=\operatorname{mes}_n(A\,\triangle\, B) \end{equation} \tag{4}$

определяет обобщенную метрику Никодима в классе

$\mathscr M_n$ . При рассмотрении измеримых множеств некоторые соотношения иногда будут пониматься с точностью до множеств меры нуль. Например, запись

$A=B$ обозначает, что

$\operatorname{mes}_n(A\,\triangle\, B)= 0$ ; включение

$A\subset B$ эквивалентно равенству

$\operatorname{mes}_n(A\setminus B)=0$ . Такого рода соглашения приняты, например, в [3]. В классе измеримых множеств конечной меры равенство (4) определяет метрику Никодима.

Следуя [2], [3], назовем перестановкой отображение $T$ множества $\mathscr M_n$ в себя, обладающее свойством монотонности и сохраняющее меру множества. Монотонность $T$ означает, что из включения $A\subset B$ следует включение $T(A)\subset T(B)$ . Сохранение меры эквивалентно равенству $\operatorname{mes}_n(T(A))=\operatorname{mes}_n(A)$ для всех $A\in\mathscr M_n$ . Монотонность перестановки $T$ влечет за собой включения

$\begin{equation*} T(A)\cup T(B)\subset T(A\cup B),\qquad T(A\cap B)\subset T(A)\cap T(B),\qquad T(A)\,\triangle\, T(B)\subset T(A\,\triangle\, B). \end{equation*} \notag$

Из последнего включения и монотонности меры следует неравенство

$\begin{equation*} \operatorname{mes}_n(T(A)\,\triangle\, T(B))\leqslant\operatorname{mes}_n(T(A \,\triangle\, B)). \end{equation*} \notag$

Учитывая сохранение меры при перестановках и вспоминая опредение (4) метрики Никодима, приходим к неравенству

$\begin{equation} \rho_N(T(A),T(B))\leqslant\rho_N(A,B). \end{equation} \tag{5}$

Полезный для дальнейшего вывод: каждая перестановка не увеличивает расстояние Никодима. Хорошо известны и более общие варианты неравенства (5) (см., например, [2], [3], [6]).

Метрики Помпейю–Хаусдорфа и Никодима имеют смысл в классе $\operatorname{Kv}(\mathbb R^n)$ . Cходимость в метрике $\rho_H$ влечет за собой сходимость в метрике $\rho_N$ . Обратное, вообще говоря, неверно. Однако в классе $\mathfrak K^n$ обе метрики эквивалентны.

Введем понятие сходимости перестановок. Скажем, что последовательность перестановок $\{T_i\}$ сходится к перестановке $T$ , если для любого множества $F$ класса $\mathscr K(\mathbb R^n)$ cправедливо равенство

$\begin{equation} \lim_{i\to\infty}\rho_N(T_i(F),T(F))=0. \end{equation} \tag{6}$

Будет использоваться краткая запись:

$T_i\to T$ .

Лемма 1. Пусть $T_i\to T$ . Тогда для каждого множества $A$ , имеющего конечную меру $\operatorname{mes}_nA$ , справедливо аналогичное (6) равенство

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\rho_N(T_i(A),T(A))=0. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Фиксируем $\varepsilon>0$ и подберем компактное множество $F$ , для которого $\rho_N(A,F)<\varepsilon/3$ . Имеют место соотношения

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \rho_N(T_i(A),T(A)) &\leqslant\rho_N(T_i(A),T_i(F))+\rho_N(T_i(F),T(F))+\rho_N(T(F),T(A)) \\ &\leqslant\frac{2\varepsilon}{3}+\rho_N(T_i(F),T(F)). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

В силу (6)

$\rho_N(T_i(F),T(F))<\varepsilon/3$ при

$i>i_0$ . Следовательно,

$\rho_N(T_i(A),T(A))<\varepsilon$ при

$i>i_0$ . Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть последовательность измеримых множеств $\{A_I\}$ сходится к измеримому множеству $A\colon\rho_N(A_i,A)\to 0$ при $i\to\infty$ . Если $T_i\to T$ , то

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\rho_N(T_i(A_i),T(A))=0. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Справедливы неравенства

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \rho_N(T_i(A_i),T(A)) &\leqslant\rho_N(T_i(A_i),T_i(A))+\rho_N(T_i(A),T(A)) \\ &\leqslant\rho_N(A_i,A)+\rho_N(T_i(A),T(A)); \end{aligned} \end{equation*} \notag$

правая часть стремится к

$0$ при

$i\to\infty$ . Теперь доказываемое утверждение очевидно.

Введем понятие $(k,n)$ -симметризации Штейнера, $k=1,2,\dots,n$ . Особенно просто определяется $(n,n)$ -симметризация, называемая $n$ -мерной шаровой симметризацией. Пусть $A\in\mathscr M(\mathbb R^n)$ . Замкнутый шар $\mathbb B_R:=\{x\in\mathbb R^n,|x|\leqslant R\}$ называют $n$ -мерной шаровой симмметризацией $A$ и пишут $\mathbb B_R=\sigma_n(A)$ , если $\operatorname{mes}_n\mathbb B_R=\operatorname{mes}_nA$ . При $n=2$ говорят о круговой симметризации.

Перейдем теперь к случаю $k<n$ . Пусть $m=n-k$ и $E$ – подпространство $\mathbb R^n$ размерности $m$ . Размерность ортогонального дополнения $E^\perp$ равна $k$ . Если $v\in E$ , то множество $E_+(v):=v+E^\perp$ есть аффиное многообразие, параллельное $E^\perp$ и проходящее через точку $v$ . Пусть $A\in\mathscr M_n$ . Обозначим через $p_E(A)$ совокупность тех $v$ из $E$ , для которых пересечение $A\cap E_+(v)$ непусто и измеримо относительно $k$ -мерной меры Лебега в $E_+(v)$ . Каждому $v$ из $p_E(A)$ cопоставим шар $v+\sigma_k(A\cap E_+(v))$ . Таким образом,

$\begin{equation*} v+\sigma_k(A\cap E_+(v))\subset E_+(v), \qquad \operatorname{mes}_k(A\cap E_+v)=\operatorname{mes}_k(v +\sigma_k(A\cap E_+(v)). \end{equation*} \notag$

Множество

$\begin{equation} S_E(A):=\bigcup_{v\in p_E(A)}(v+\sigma_k(A\cap E_+(v))) \end{equation} \tag{7}$

называют

$(k,n)$ -симметризацией Штейнера множества

$A$ относительно пространства

$E\subset\mathbb R^n$ .

Отметим некоторые свойства симметризации Штейнера [2], [7], [9]. Из равенства (7) и теоремы Фубини следует, что для любого измеримого множества $A$ его образ $S_E(A)$ есть измеримое множество, при этом $\operatorname{mes}_nS_E(A)=\operatorname{mes}_nA$ – симметризация Штейнера сохраняет меру. Если $A\subset B$ и $A$ , $B$ – измеримые множества, то $S_E(A)\subset S_E(B)$ . Следовательно, симметризация Штейнера является перестановкой. Включение $A\in\mathscr K(\mathbb R^n)\,(A\in\mathfrak K^n)$ влечет за собой включение $S_E(A)\in\mathscr K(\mathbb R^n)\,(S_E(A)\in\mathfrak K^n)$ . Отметим свойство положительной однородности

$\begin{equation} S_E (\lambda A)=\lambda S_E(A)\qquad \forall\,\lambda>0. \end{equation} \tag{8}$

Cимметризация Штейнера действует в классе $\mathfrak K^n$ и является непрерывной операцией в следующем смысле. Пусть $A,A_1,A_2,\dots,A_i,\dots$ – множества класса $\mathfrak K^n$ и последовательность $\{A_i\}$ сходится к $A$ . Тогда и последовательность $S_E(A_i)$ cходится к $S_E(A)$ [9]. В рассматриваемом случае введенные выше сходимости (в смысле Пенлеве–Куратовского, Помпейю–Хаусдорфа, Никодима) эквивалентны между собой.

Симметризации множества можно применять последовательно. На этом пути возникают теоремы об округлении, позволяющие получить $(k,n)$ -симметризацию Штейнера с помощью подходящей последовательности $(k-1,n)$ -симметризаций. Приведем одну из возможных конструкций такого рода.

Пусть $s=S_E$ , $\operatorname{dim}E=m=n-k$ , $k>1$ . Фиксируем два вектора $v_1$ , $v_2$ из $E^\perp$ , имеющие единичную длину и образующие между собой угол $\gamma\pi$ , где $\gamma$ – иррациональное число из $(0,1)$ . Пусть $E_j$ – линейная оболочка пространства $E$ и вектора $v_j$ , $Q_j=S_{E_j}$ , $j=1,2$ , – $(k-1,n)$ -симметризации Штейнера. Определим последовательность перестановок $s_i$ , полагая

$\begin{equation} s_i=\begin{cases} (Q_2Q_1)^l, &\text{если }i=2l \text{ четное}, \\ Q_1(Q_2Q_1)^l, &\text{если }i=2l+1\text{ нечетное}. \end{cases} \end{equation} \tag{9}$

Предложение 1. Определяемая равенством (9) последовательность перестановок $s_i$ сходится к симметризации Штейнера $s=S_E$ в следующем смысле: если $F\in\mathscr K(\mathbb R^n)$ , то

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\rho_N(s_i(F),s(F))=0. \end{equation*} \notag$

Предложение 1 следует из результатов работ [2], [3].

Из предложения 1 и леммы 2 вытекает

Следствие. Пусть $A,A_1,\dots,A_i,\dots$ – измеримые множества и $\rho_N(A_i,A)\to 0$ при $i\to\infty$ . Тогда

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\rho_N(s_i(A_i),s(A))=0. \end{equation*} \notag$

Далее потребуется вариант следствия, относящийся к верхним и нижним пределам последовательностей множеств.

Лемма 3. Пусть $A,A_1,\dots,A_i,\dots$ – множества класса $\mathfrak K^n$ и $\theta=(0,\dots,0)$ – внутренняя точка множеств $A$ , $A_i$ , $i=1,2,\dots$ . Тогда выполнены следующие утверждения:

1) если $A\subset\operatorname{li}A_i$ , то $s(A)\subset\operatorname{li}s_i(A_i)$ ;
2) если $\operatorname{ls}A_i\subset A$ , то $\operatorname{ls}s_i(A_i)\subset s(A)$ .

Доказательство. Пусть $A\subset\operatorname{li}A_i$ . Тогда найдется такая положительная и бесконечно малая последовательность $\delta_i$ , что $(1-\delta_i)A\subset A_i$ при $i>i_0$ . Но тогда верно включение $(1-\delta_i)s_i(A)\subset s_i(A_i)$ . Переходя к пределу при $i\to\infty$ , получаем включение $s(A)\subset\operatorname{li}s_i(A_i)$ .

Включение $\operatorname{ls}A_i\subset A$ влечет за собой существование такой бесконечно малой и положительной последовательности $\delta_i$ , что $A_i\subset(1+\delta_i)A$ при $i>i_0$ . Следовательно, $s_i(A_i)\subset(1+\delta_i)s_i(A)$ . Устремляя $i$ к $\infty$ , приходим к требуемому включению $\operatorname{ls}s_i(A_i)\subset s(A)$ . Лемма доказана.

Далее под симметризацией в $\mathbb R^n$ будет пониматься результат последовательного применения конечного числа симметризаций Штейнера. Иначе говоря, $T$ – симметризация в $\mathbb R^n$ , если $T=S_{E_1}\circ S_{E_2}\circ\dotsb\circ S_{E_m}$ , где $E_1,E_2,\dots,E_m$ – подпространства $\mathbb R^n$ , вообще говоря, разной размерности.

2. Симметризация функций

Выпуклую четную функцию $\varphi\colon\mathbb R^n\to[0,+\infty]$ назовем функцией Юнга, если $\varphi(\theta)=0$ и при любом $\alpha>0$ нижнее лебегово множество $\Lambda_\alpha(\varphi):=\{p\in\mathbb R^n\mid\varphi(p)\leqslant\alpha\}$ принадлежит классу $\mathfrak K^n$ . Используются стандартные обозначения выпуклого анализа [10]–[12]:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{dom}\varphi:=\{p\in\mathbb R^n\mid\varphi(p)<\infty\}, \\ \operatorname{epi}\varphi:=\{(p,\alpha)\in\mathbb R^{n+1} =\mathbb R^n\times\mathbb R\mid p\in\operatorname{dom}\varphi,\,f(p)\leqslant\alpha\} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

– надграфик (эпиграф) функции

$\varphi$ . Вместе с

$\varphi$ сопряженная с ней функция

$\varphi^*$ также будет функцией Юнга; напомним, что

$\varphi^*(q)=\sup\{\langle p,q\rangle-\varphi(p),\,p\in\operatorname{dom}\varphi\}$ . Надграфик

$\operatorname{epi}\varphi$ функции Юнга

$\varphi$ принадлежит классу

$\operatorname{Fv}(\mathbb R^{n+1})$ .

Следуя [11], назовем функцию Юнга $\varphi$ коэрцитивной, если

$\begin{equation*} \lim_{|p|\to\infty}\frac{\varphi(p)}{|p|}=+\infty. \end{equation*} \notag$

Коэрцитивность

$\varphi$ эквивалентна равенству

$\operatorname{dom}\varphi^*=\mathbb R^n$ . Оценка

$\varphi(p)\geqslant\delta|p|$ ,

$\delta>0$ ,

$p\in\mathbb R^n$ , равносильна соотношению

$\varphi^*(q)=0$ для любого

$q\in\mathbb B_\delta$ ; в этом случае

$\Lambda_\alpha(\varphi^*)\in\mathfrak K^n$ при всех

$\alpha\geqslant 0$ .

Пусть $\varphi,\varphi_1,\dots,\varphi_i,\dots$ – функции Юнга. Назовем $\varphi$ эпи-пределом функциональной последовательности $\{\varphi_i\}$ , если последовательность множеств $\{\operatorname{epi}\varphi_i\}$ сходится к множеству $\operatorname{epi}\varphi$ в смысле Пенлеве–Куратовского; будет применяться запись

$\begin{equation} \varphi=e-\lim_{i\to\infty}\varphi_i. \end{equation} \tag{10}$

Приведем несколько свойств

$e$ -сходимости, отсылая за доказательствами к [11].

Предложение 2. a) Равенство (10) эквивалентно совокупности следующих включений:

$\begin{equation} \operatorname{ls}\Lambda_{\alpha_i}(\varphi_i)\subset\Lambda_\alpha(\varphi) \end{equation} \tag{11}$

для произвольной числовой последовательности

$\{\alpha_i\}$ , сходящейся к

$\alpha$ ;

$\begin{equation} \Lambda_\alpha(\varphi)\subset\operatorname{li}\Lambda_i(\varphi_i) \end{equation} \tag{12}$

для некоторой последовательности

$\alpha_i\geqslant\alpha\geqslant 0$ , сходящейся к

$\alpha$ .

b) Из (10) вытекает аналогичное равенство для сопряженных функций:

$\begin{equation} \varphi^*=\textit{$e$-$\lim_{i\to\infty}\varphi_i^*$}. \end{equation} \tag{13}$

c) Если

$\begin{equation} \operatorname{dom}\varphi=\operatorname{dom}\varphi_i=\mathbb R^n,\qquad i=1,2,\dots, \end{equation} \tag{14}$

то (10) равносильно равномерной сходимости последовательности

$\{\varphi_i\}$ к функции

$\varphi$ на каждом шаре

$\mathbb B_R$ ; для обозначения такой сходимости будет использоваться запись

$\varphi_i\Rightarrow\varphi$ .

Для симметризации $s$ пространства $\mathbb R^n$ и функции Юнга $\varphi$ введем функцию $\varphi^s\colon\mathbb R^n\to[0,\infty]$ , определяемую соотношением

$\begin{equation} \Lambda_\alpha(\varphi^s)=s(\Lambda_\alpha(\varphi))\qquad \forall\,\alpha\geqslant 0. \end{equation} \tag{15}$

Соотношение (15) однозначно определяет функцию

$\varphi^s$ . Оно означает, что нижние лебеговы множества функции

$\varphi^s$ являются

$s$ -симметризациями нижних лебеговых множеств функции

$\varphi$ . Нетрудно проверить, что

$\varphi^s$ является функцией Юнга. Преобразование, сопоставляющее

$\varphi$ функцию

$\varphi^s$ , обладает свойством монотонности в следующем смысле: если

$\varphi$ ,

$\psi$ – функции Юнга и

$\varphi\leqslant\psi$ , то и

$\varphi^s\leqslant\psi^s$ . Свойства преобразования

$\varphi\to\varphi^s$ , называемого симметризацией в классе функций Юнга, выводятся из соответствующих свойств порождающей его симметрии пространства

$\mathbb R^n$ .

Если $s$ есть $(k,n)$ -симметризация Штейнера, то определяемую соотношением (15) функцию $\varphi^s$ естественно назвать $(k,n)$ -симметризацией функции Юнга $\varphi$ , $k=1,\dots,n$ .

Далее потребуется аналог леммы 3 об округлении. Как и в лемме 3, последовательность симметризаций $s_i$ определена равенством (9) и представляет из себя результат последовательного применения специально подобранных $(k-1,n)$ -симметризация Штейнера. Последовательность $\{s_i\}$ сходится к $(k,n)$ -симметризации $s$ .

Лемма 4. Пусть $\varphi,\varphi_1,\dots,\varphi_i,\dots$ – функции Юнга, удовлетворяющие предположениям (10), (14) и условию

$\begin{equation} \Lambda_0(\varphi)\in\mathfrak K^n,\qquad \Lambda_0(\varphi_i)\in\mathfrak K^n \quad \forall\,i. \end{equation} \tag{16}$

Пусть последовательность

$\varphi_i^{s_i}$ определяется аналогичным (15) соотношением

$\begin{equation} \Lambda_\alpha(\varphi_i^{s_i})=s_i(\Lambda_\alpha\varphi_i)\qquad \forall\,\alpha\geqslant 0. \end{equation} \tag{17}$

Тогда

$\varphi_i^{s_i}\Rightarrow\varphi^s$ , где

$\varphi^s$ – функция, определяемая соотношением (15).

Доказательство. Пусть $\alpha\geqslant 0$ , $\alpha_i$ – сходящаяся к $\alpha$ последовательность,

$\begin{equation} A_i=\Lambda_{\alpha_i}(\varphi_i),\quad i=1,2,\dots,\qquad A=\Lambda_\alpha(\varphi). \end{equation} \tag{18}$

Из (10) и предложения 2 следует включение

$\operatorname{ls}A_i\subset A$ . Лемма 3 и условие (16) влекут за собой включение

$\operatorname{ls}(s_i(A_i))\subset s(A)$ .

Из предложения 2 и (10) вытекает, что для некоторой последовательности $\alpha_i$ , сходящейся к $\alpha$ , имеет место включение $A\subset\operatorname{li}A_i$ , множества $A_i$ , $A$ определены равенством (18). Снова применяя лемму 3 и условие (16), приходим к включению $s(A)\subset\operatorname{li}s_i(A_i)$ . Лемма доказана.

Перейдем к определению симметризации суммируемых функций. Каждой перестановке $T$ , определенной на классе $\mathscr M_n$ измеримых относительно $n$ -мерной меры Лебега $\operatorname{mes}_n$ подмножеств пространства $\mathbb R^n$ , можно сопоставить ее каноническое продолжение на класс $\mathscr M_{n+1}$ . Опишем соответствующую конструкцию. Пусть $C\in\mathscr M_{n+1}$ , $\alpha\in\mathbb R$ . Множество $C(\alpha):=\{x\in\mathbb R^n\mid(x,\alpha)\in C\}$ называют $\alpha$ -сечением множества $C$ . Как очевидно, соотношения $(x,\alpha)\in C$ и $x\in C(\alpha)$ эквивалентны. Для почти всех действительных $\alpha$ соответствующее сечение $C(\alpha)$ принадлежит классу $\mathscr M_n$ . Найдется такое множество $\mathbb R_0$ нулевой одномерной меры, что $C(\alpha)\in\mathscr M_n$ для всех $\alpha\notin\mathbb R_0$ . Если $\alpha\in\mathbb R_1=\mathbb R\setminus\mathbb R_0$ , то множества $C(\alpha)$ , $T(C(\alpha))$ измеримы относительно $n$ -мерной меры Лебега $\operatorname{mes}_n$ . Множество

$\begin{equation} \bigcup_{\alpha\in\mathbb R_1}\{T(C(\alpha))\}\times\{\alpha\} \end{equation} \tag{19}$

принадлежит классу

$\mathscr M_{n+1}$ . Отображение

$\widetilde T$ , сопоставляющее множеству

$C$ класса

$\mathscr M_{n+1}$ множество (19) и назовем каноническим продолжением перестановки

$T$ . Таким образом,

$(\widetilde TC)(\alpha)=T(C(\alpha))$ для любого

$\alpha\in\mathbb R_1$ . Каноническое продолжение перестановки

$T$ , действующей в классе

$\mathscr M_n$ является перестановкой в классе

$\mathscr M_{n+1}$ . В частности, если

$A$ – множество класса

$\mathscr M_{n+1}$ , то

$\operatorname{mes}_{n+1}\widetilde T(A)=\operatorname{mes}_{n+1}(A)$ – cохранение меры; если

$B\in\mathscr M_{n+1}$ и

$A\subset B$ , то

$\widetilde T(A)\subset\widetilde T(B)$ – монотонность перестановки;

$\begin{equation} \operatorname{mes}_{n+1}(\widetilde T(A)\,\triangle\,\widetilde T(B)) \leqslant\operatorname{mes}_{n+1}(A\,\triangle\, B),\qquad A,B\in\mathscr M_{n+1}. \end{equation} \tag{20}$

Обозначим через $L^+(\mathbb B_R)$ совокупность неотрицательных и суммируемых на шаре $\mathbb B_R:=\{x\in\mathbb R^n,\,|x|\leqslant R\}$ функций. Cопоставим функции $u$ из $L^+(\mathbb B_R)$ ее подграфик (ординатное множество) $\operatorname{ord}u:=\{(x,\alpha),\,x\in\mathbb B_R,\,0\leqslant\alpha\leqslant u(x)\}$ . Хорошо известно, что $\operatorname{ord}u\in\mathscr M_{n+1}$ ; верно равенство

$\begin{equation*} \operatorname{mes}_{n+1}(\operatorname{ord}u) =\int_{\mathbb B_R}u(x)\,dx =\int_0^\infty\operatorname{mes}_n(\Lambda^\alpha(u))\,d \alpha, \end{equation*} \notag$

где

$\Lambda^\alpha(u):=\{x\in\mathbb B_R\mid u(x)\geqslant\alpha\}$ – верхнее лебегово множество функции

$u$ . Если

$u$ ,

$v$ – функции класса

$L^+(\mathbb B_R)$ , то их ординатные множества принадлежат

$\mathscr M_{n+1}$ и расстояние Никодима между ними

$\begin{equation} \rho_N(\operatorname{ord}u,\operatorname{ord}v)=\int_{\mathbb B_R}|u(x)-v(x)|\,dx. \end{equation} \tag{21}$

Если $\widetilde T$ – каноническое продолжение действующей в $\mathscr M_n$ перестановки $T$ , $u\in L^+(\mathbb B_R)$ , то множество $\widetilde T(\operatorname{ord}u)$ есть ординатное множество некоторой функции $u_T$ класса $L^+(\mathbb B_R)$ , называемой $T$ -перестановкой функции $u$ . Из определения функции $u_T$ вытекает равенство

$\begin{equation} \Lambda^\alpha(u_T)=T(\Lambda^\alpha(u))\qquad \text{почти при всех}\quad \alpha\geqslant 0. \end{equation} \tag{22}$

Равенство (22) можно принять в качестве определения функции

$u_T$ .

В качестве перестановки $T$ можно брать симмметризацию Штейнера $s$ или суперпозиции нескольких преобразований Штейнера. В частности, можно рассмотреть последовательность перестановок $s_i$ , фигурирующих в предложении 1 и сходящихся к перестановке $s$ .

Лемма 5. Для любой функции $u$ из $L^+(\mathbb B_R)$ последовательность ее перестановок $u_{s_i}$ сходится в $L_1(\mathbb{B}_R)$ к перестановке $u_s$ функции $u$ .

Доказательство. Достаточно применить лемму 1 к случаю $A=\operatorname{ord}u$ и воспользоваться равенством (21). Лемма доказана.

3. Интегральные неравенства

Обозначим через $W^+(\mathbb B_R)$ множество неотрицательных функций из пространства Соболева $W_1^1(G_R)$ , обращающихся в нуль на границе открытого шара $G_R:=\{x\in\mathbb R^n,\,|x|<R,\,0<R<\infty\}$ [13]. Для функции $u$ класса $W^+(\mathbb B_R)$ имеет смысл и конечна норма $\|u\|:=\|\nabla u;L_1(G_R)\|$ . Здесь и далее $\nabla u$ – градиент функции $u$ .

Если $\varphi\colon\mathbb R^n\to[0,+\infty]$ – функция Юнга, $y\colon G_R\to\mathbb R^n$ – измеримое отображение, то суперпозиция $\varphi(y)$ есть измеримая функция [1], [12]. Положим $I_\varphi(y):=\|\varphi(y);L_1(G_R)\|$ , если $\varphi(y)\in L_1(G_R)$ и $I_\varphi(y)=+\infty$ в противном случае.

Пусть $s$ есть $(k,n)$ -симметризация Штейнера. Через $\varphi^s$ обозначим соответствующую симметризацию Штейнера функции Юнга $\varphi$ , определяемую (см. п. 2) соотношением $\Lambda_\alpha(\varphi^s)=s(\Lambda_\alpha(\varphi))$ для любого $\alpha\geqslant 0$ ; $\varphi^s$ также является функций Юнга. Вместе с $\varphi$ функциями Юнга будут и связанные с $\varphi$ функции $\varphi^*$ , $\varphi^{*s}$ , $\varphi^{*s*}$ . Операция перехода от $\varphi$ к $\varphi^{*s*}$ монотонна: если $\varphi_1\leqslant\varphi_2$ , то $\varphi_1^{*s*}\leqslant\varphi_2^{*s*}$ . Функцию Юнга $\varphi$ назовем изотропной, если она постоянна на каждой сфере $|x|=r$ ; таким образом, $\varphi(x)=\psi(|x|)$ . В этом частном, но весьма важном случае верно равенство $\varphi=\varphi^{*s*}$ .

Если $u\in L^+(\mathbb B_R)$ , то через $u_s$ обозначается соответствующая ей $s$ -симметризация функции $u$ , определяемая аналогичным (22) условием: $\Lambda^\alpha(u_s)=s(\Lambda^\alpha(u))$ почти при всех $\alpha\geqslant 0$ .

Предложение 3. Пусть $f\colon\mathbb R^n\to[0,\infty]$ – функция Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$ , $s$ есть $(1,n)$ -симметризация Штейнера. Тогда $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ и верно неравенство

$\begin{equation} I_f(\nabla u)\geqslant I_{f^{*s*}}(\nabla u_s). \end{equation} \tag{23}$

Предложение 3 доказано в [5]. Неравенство (23) сохраняется, если $s$ – суперпозиция конечного числа $(1,n)$ -cимметризаций Штейнера. Пусть, например, $s$ есть суперпозиция $l$ $(1,n)$ -симметризаций Штейнера: $s=s_l\dotsb s_1$ . Определим последовательность функций Юнга $f_0,f_1,\dots,f_l$ , полагая $f_0=f$ , $\dots$ , $f_i=f_{i-1}^{*s_i*}$ , $i=1,\dots,l$ . Как нетрудно видеть, верно равенство $f_l=f^{*s*}$ .

Ниже обсуждается обобщение неравенства (23) для $(k,n)$ -симметризации Штейнера в случае $k=2,3,\dots,n-1$ . В случае $(n,n)$ -симметризации аналог неравенства (23) установлен в [4].

Теорема 1. Пусть $f$ – функция Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$ , $s$ есть $(k,n)$ -симметризация Штейнера, $k=1,2,\dots,n$ . Тогда $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ и верно неравенство (23).

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что $I_f(\nabla u)<\infty$ . Разобьем обоснование неравенства (23) на несколько частей. Вначале предположим, что функция $f$ удовлетворяет условию роста

$\begin{equation} f(p)\geqslant g(p):=\delta\bigl(|p|+\Phi_1(|p|)\bigr),\qquad p\in\mathbb R^n, \end{equation} \tag{24}$

в котором

$\delta>0$ ,

$\Phi_1(t)$ –

$N$ -функция одного переменного [14]. Таким образом,

$g(p)$ – изотропная коэрцитивная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

$g(p)\geqslant\delta|p|$ для любого

$p\in\mathbb R^n$ .

Отправляясь от предложения 3, установим вариант теоремы 1 для $(2,n)$ -симметризации Штейнера $s$ . Пусть $s_i$ – последовательность симметризаций, определяемая равенством (9) и сходящаяся к симметризации $s$ . Поэтому $s_i$ есть результат последовательного применения конечного числа $(1,n)$ -симметризаций Штейнера. Если $u_{s_i}$ – перестановка функции $u$ , соответствующая симметризации $s_i$ , то в силу (23) имеет место неравенство

$\begin{equation} I_f(\nabla u)\geqslant I_{f^{*s_i*}}(\nabla u_{s_i}). \end{equation} \tag{25}$

Из (24) следует оценка

$f^{*s_i*}(p)\geqslant g(p)$ , поэтому неравенство (25) влечет за собой соотношение

$\begin{equation} I_g(\nabla u_{s_i})\leqslant I_f(\nabla u)<\infty. \end{equation} \tag{26}$

Это соотношение и оценка (25) влекут за собой предкомпактность последовательности

$\nabla u_{s_i}$ в

$\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ . В силу леммы 5 последовательность

$u_{s_i}$ сходится к

$u_s$ в пространстве

$L(\mathbb B_R)$ . Отсюда следует сходимость

$\nabla u_{s_i}$ к

$\nabla u_s$ в топологии

$\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ и включение

$u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ .

Фиксируем вектор-функцию $z$ из $L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$ . Из неравенства (26) и определения сопряженной функции следуют оценки

$\begin{equation*} I_f(\nabla u)\geqslant I_{f^{*s_i*}}(\nabla u_{s_i}) \geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx-I_{f^{*s_i}}(z). \end{equation*} \notag$

Последовательность

$f^{*s_i}$ в силу леммы 4 сходится к функции

$f^{*s}$ равномерно на каждом компакте, поэтому

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}I_{f^{*s_i}}(z)=I_{f^{*s}}(z). \end{equation*} \notag$

Так как

$\nabla u_{s_i}\to\nabla u_s$ в

$\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ топологии, то

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx =\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_s(x),z(x)\rangle\,dx. \end{equation*} \notag$

Три последних соотношения влекут за собой неравенство

$\begin{equation*} I_f(\nabla u)\geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_s(x),z(x)\rangle\,dx-I_{f^{*s}}(z), \end{equation*} \notag$

верное для произвольной вектор-функции

$z$ из

$L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$ . Беря sup по всем таким вектор-функциям, приходим к неравенству (23). В этом месте используются известные результаты выпуклого анализа интегральных функционалов (см., например, [11], [12]). Это и завершает первую часть доказательства.

Во второй части избавимся от предположения (24). Поскольку $\nabla u$ – суммируемая функция, то существует такая $N$ -функция $\Phi_1$ , что $\Phi_1(|\nabla u|)\in L_1(\Omega)$ [14; с. 77]. Положим $g(p)=\delta(|p|+\Phi_1(|p|))$ . Фиксируем $\varepsilon>0$ и подберем такое $\delta>0$ , что $I_g(\nabla u)<\varepsilon$ . Положим $f_1=f+g$ . Очевидно, что $I_{f_1}(\nabla u)<I_f(\nabla u)+\varepsilon$ . К функции Юнга $f_1$ можно применить доказанное выше утверждение. Заметим при этом, что $f_1^{*s*}(p)\geqslant f^{*s*}(p)$ . Cправедливы соотношения

$\begin{equation*} I_f(\nabla u)>I_{f_1}(\nabla u)-\varepsilon \geqslant I_{f_1^{*s*}}(\nabla u_s)-\varepsilon\geqslant I_{f^{*s*}}(\nabla u_s)-\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Ввиду произвольности

$\varepsilon>0$ снова приходим к неравенству (23). Переход от

$(1,n)$ -симметризации к

$(2,n)$ -симметризации обоснован.

По той же схеме осуществляется переход от $(k,n)$ -симметризации к $(k+1,n)$ -симметризации при $k=2,\dots,n-1$ . Теорема доказана.

Приведем пример применения теоремы 1.

Пусть $\Omega$ – телесный компакт и $\Omega\subset G_R$ . Обозначим через $\mathring{W}(\Omega)$ совокупность функций $u(x)$ из пространства Соболева $W_1^1(G_R)$ , обращающихся в нуль на $G_R\setminus\Omega$ . Функции Юнга $f\colon\mathbb R^n\to[0,\infty]$ и области $\Omega$ сопоставим пространство Орлича–Соболева $W_f(\Omega)$ , состоящее из функций $u$ класса $\mathring{W}(\Omega)$ , для которых имеет смысл и конечна норма

$\begin{equation*} \|u;W_f\|=\inf\biggl\{\lambda>0,\,I_f\biggl(\frac{\nabla u}{\lambda}\biggr)\,dx\leqslant 1\biggr\}. \end{equation*} \notag$

При обычном отождествлении эквивалентных относительно меры

$\operatorname{mes}_n$ функций

$W_f(\Omega)$ образует банахово пространство [4].

Если $s$ есть $(k,n)$ -симметризация, то $\Omega^s:=s(\Omega)$ есть телесный компакт, причем $\Omega^s\subset G_R$ . В частности, можно ввести пространство Орлича–Соболева $W_{f^{*s*}}(\Omega^s)$ . Через $u_s$ обозначается $(k,n)$ -симметризация функции $u$ .

Теорема 2. Если $u\in W_f(\Omega)$ , то $|u|_s\in W_{f^{*s*}}(\Omega^s)$ и

$\begin{equation} \|\,|u|_s;W_{f^{*s*}}\|\leqslant\|u;W_f\|. \end{equation} \tag{27}$

Доказательство. Поскольку $\nabla|u|=\operatorname{sign}u\nabla u$ , то неравенство (27) достаточно проверить для неотрицательных функций $u$ . Если $I_f(\tau\nabla u)\leqslant 1$ при некотором $\tau>0$ , то $I_{f^{*s*}}(\tau\nabla u_s)\leqslant I _f(\tau\nabla u)\leqslant 1$ , что и влечет за собой неравенство (27). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть $E=E(\Omega^s)$ – cимметричное пространство функций на $\Omega^s$ [6; c. 123]. Если вложение $i^s\colon W_{f^{*s*}}(\Omega^s)\to E(\Omega^s)$ непрерывно, то и вложение $i\colon W_f(\Omega)\to E(\Omega)$ также непрерывно, причем нормы соответствующих операторов вложения связаны неравенством $\|i\|\leqslant\|i^s\|$ .

Пусть $s$ – шаровая симметризация пространства $\mathbb R^n$ , $f^s$ – соответствующая симметризация функции Юнга $f$ . Тогда $f^s$ есть изотропная функция, допускающая представление $f^s(p)=f^\circ(|p|)$ , где $f^\circ(t)$ – четная функция одного переменного, называемая [4] округлением функции $f$ . Числу $a=\operatorname{mes}_n\Omega$ и функции $f^\circ$ сопоставим пространство Орлича $L_{f^\circ}(0,a)$ функций $v\colon[0,a]\to\mathbb R$ . Аналогично, симметричному пространству $E=E(\Omega)$ сопоставим соответствующее ему пространство функций $E(0,a)$ на отрезке $[0,a]$ . Введем в рассмотрение интегральный оператор

$\begin{equation*} \mathscr Av=\int_t^a\tau^{1/n-1}v(\tau)\,d\tau. \end{equation*} \notag$

Следствие 2. Ecли оператор $\mathscr A$ непрерывен из $L_{f^\circ}(0,a)$ в $E(0,a)$ , то вложение $i\colon W_f(\Omega)\to E(\Omega)$ непрерывно и справедлива оценка

$\begin{equation*} \|i\|\leqslant\beta_n\|\mathscr A\|_{L_{f^\circ}\to E}, \end{equation*} \notag$

где константа

$\beta_n$ зависит лишь от

$n$ .

Более общие, чем следствие 2, результаты установлены в [4].

Функцию $\varphi\colon[0,\infty)\times\mathbb R^n\to[0,\infty]$ назовем интегрантом Юнга, если выполнены следующие условия:

1) при любом $t\geqslant 0$ функция $\varphi_t(p)=\varphi(t,p)$ есть функция Юнга на $\mathbb R^n$ ;
2) функция $t\to\varphi(t,p)$ измерима по Борелю при любом $p$ из $\mathbb R^n$ .

По определению

$\varphi^*(t,q)=\varphi_t^*(q)$ ,

$\varphi^s(t,p)=\varphi_t^s(p)$ , т.е. введенные выше операции выпуклого анализа применяются к функции

$\varphi_t$ . Если

$\varphi$ – интегрант Юнга, то и

$\varphi^s$ ,

$\varphi^*$ – также интегранты Юнга.

Пусть $\varphi\colon[0,\infty)\times\mathbb R^n\to [0,\infty]$ – интегрант Юнга, $v\colon\mathbb B_R\to\mathbb R$ – неотрицательная измеримая функция, $w\colon\mathbb B_R\to\mathbb R^n$ – измеримая вектор-функция, то суперпозиция $\varphi(v,w)$ есть измеримая неотрицательная функция. Положим $I_\varphi(v,w)=\|\varphi(v,w);L_1(\mathbb B_R)\|$ , если $\varphi(v,w)\in L_1(\mathbb B_R)$ и $I_\varphi(v,w)=\infty$ в противном случае.

Предложение 4. Пусть $f$ – интегрант Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$ , $s$ есть $(1,n)$ -симметризация Штейнера. Тогда $u\in W^+(\mathbb B_R)$ и верно нервенство

$\begin{equation} I_f(u,\nabla u)\geqslant I_{f^{*s*}}(u_s,\nabla u_s). \end{equation} \tag{28}$

Предложение 4 доказано в [15]. Ранее [16] аналогичный результат установлен для шаровой симметризации. Ниже рассматривается общий случай $(k,n)$ -симметризации.

Интегрант Юнга $f(t,p)$ назовем непрерывным, если функция $f$ непрерывна по совокупности переменных. Это равносильно замене условия 2), фигурирующего в определении интегранта Юнга, более жестким требованием

3) $\operatorname{dom}f_t=\mathbb R^n$ для всех $t\geqslant 0$ и функция $t\to f(t,p)$ непрерывна на $[0,\infty)$ при любом $p$ из $\mathbb R^n$ .

Теорема 3. Пусть $f$ – непрерывный интегрант Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$ , $s$ есть $(k,n)$ -симметризация Штейнера, $k=1,2,\dots,n$ . Тогда $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ и имеет место неравенство (28).

Доказательство. Не нарушая общности, считаем, что $I_f(u,\nabla u)<\infty$ . Основные этапы обоснования неравенства (28) аналогичны примененным при доказательстве теоремы 1. Вначале предположим, что интегрант $f$ удовлетворяет условию роста

$\begin{equation} f(t,p)\geqslant g(p),\qquad t\geqslant 0,\quad p\in\mathbb R^n, \end{equation} \tag{29}$

где

$g(p)$ – изотропная функция Юнга, определяемая равенством (24). Установим вариант теоремы 3 для

$(2,n)$ -симметризации Штейнера

$s$ . Пусть

$s_i$ – последовательность перестановок, определяемая равенством (9) и сходящаяся к симметризации

$s$ . Таким образом,

$s_i$ есть результат последовательного применения конечного числа

$(1,n)$ -симметризаций Штейнера. Если

$u_{s_i}$ – перестановка функции

$u$ , соответствующая перестановке

$s_i$ , то в силу предложения 4 верно неравенство

$\begin{equation} I_f(u,\nabla u)\geqslant I_{f^{*s_i*}}(u_{s_i},\nabla u_{s_i}). \end{equation} \tag{30}$

Из (29) следует оценка

$f^{*s_i*}(t,p)\geqslant g(p)$ , поэтому неравенство (30) влечет за собой соотношение

$\begin{equation*} \int_{\mathbb B_R}g(\nabla u_{s_i})\,dx\leqslant I_f(u,\nabla u)<\infty. \end{equation*} \notag$

В частности, последовательность

$\nabla u_{s_i}$ предкомпактна в

$\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ топологии. В силу леммы 5 последовательность

$\{u_{s_i}\}$ сходится к

$u_s$ в пространстве

$L_1(\mathbb B_R)$ . Производя прореживание и перенумерацию, можно, не нарушая общности, считать, что

$u_{s_i}(x)\to u_s(x)$ почти всюду в

$\mathbb B_R$ , a последовательность

$\{\nabla u_{s_i}\}$ сходится к

$\nabla u_s$ в

$\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ .

Условие роста (29) влечет за собой оценку

$\begin{equation} f^{*s_i}(t,q)\leqslant g^*(q) \end{equation} \tag{31}$

– условие слабого роста функции

$f^{*s_i}$ . В частности, для любого

$t\geqslant 0$ функция

$f_t^{*s_i}(q)=f^{*s_i}(t,q)$ обращается в нуль на некоторой окрестности

$\theta=(0,\dots,0)$ ,

$\operatorname{dom}f_t^{*s_i}=\mathbb R^n$ и функция

$f^{*s_i}(t,q)$ непрерывна по совокупности переменных.

Фиксируем вектор-функцию $z$ из $L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$ . Из (30) следует оценка

$\begin{equation} I_f(u,\nabla u)\geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx -I_{f^{*s_i}}(u_{s_i},z). \end{equation} \tag{32}$

Последовательность

$f_t^{*s_i}(q)$ в силу леммы 4 сходится к

$f_t^{*s}(q)$ равномерно на компактных подмножествах

$\mathbb R^n$ , а последовательность

$\{u_{s_i}(x)\}$ сходится к

$u_s(x)$ почти всюду в

$\mathbb B_R$ . Поэтому последовательность

$f^{*s_i}(u_{s_i},z)$ сходится к

$f^{*s}(u_s,z)$ почти всюду. Оценка (31) влечет за собой неравенства

$0\leqslant f^{*s_i}(u_{s_i},z)\leqslant g^*(z)$ . Из отмеченных свойств последовательности

$\{f^{*s_i}(u_{s_i},z)\}$ вытекает равенство

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}I_{f^{*s_i}}(u_{s_i},z)=I_{f^{*s}}(u_s,z). \end{equation*} \notag$

Так как

$\nabla u_{s_i}\to\nabla u_s$ в

$\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ топологии, то

$\begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx =\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s}(x),z(x)\rangle\,dx. \end{equation*} \notag$

Объединяя установленные выше результаты, приходим к неравенству

$\begin{equation} I_f(u,\nabla u)\geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_s(x),z(x)\rangle\,dx -I_{f^{*s}}(u_s,z), \end{equation} \tag{33}$

верному для произвольной функции

$z$ из

$L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$ . Беря sup по всем таким вектор-функциям

$z$ , приходим к неравенству (28). Это и приводит к завершению первой части доказательства.

Оставшиеся этапы доказательства (избавление от условия сильного роста (29) и переход от $(k-1,n)$ -симметризации к $(k,n)$ -симметризации) реализуются тем же способом, что и изложенным выше. Теорема доказана.

В качестве примера, иллюстрирующего потенциальные приложения теоремы 3, рассмотрим многомерную вариационную задачу

$\begin{equation} \int_\Omega f(u(x),\nabla u(x))\,dx\to\operatorname{inf},\qquad u\in W^+(\Omega),\quad \int_\Omega\Phi(u(x))\,dx=1, \end{equation} \tag{34}$

где

$\Omega$ – телесный компакт,

$W^+(\Omega)$ – совокупность неотрицательных функций из пространства Соболева

$W_1^1(\mathbb R^n)$ , обращающихся в нуль вне

$\Omega$ ,

$f$ – непрерывный интегрант Юнга,

$\Phi\colon[0,\infty)\to\mathbb R$ – измеримая по Борелю функция,

$\Phi(0)=0$ . Сопоставим

$(k,n)$ -симметризации Штейнера

$s$ пространства

$\mathbb R^n$ следующий вариант задачи (34):

$\begin{equation} \int_{\Omega^s}f^{*s*}(u(x),\nabla u(x))\,dx\to\operatorname{inf},\quad u\in W^+(\Omega^s),\qquad \int_{\Omega^s}\Phi(u(x))\,dx=1, \end{equation} \tag{35}$

в котором

$\Omega^s$ есть

$(k,n)$ -симметризация Штейнера

$s$ компакта

$\Omega$ . Обозначим через

$\Gamma(\Omega,f)$ решение задачи (34), а через

$\Gamma(\Omega^s,f^{*s*})$ – решение задачи (35). Из теоремы 3 вытекает неравенство

$\begin{equation} \Gamma(\Omega^s,f^{*s*})\leqslant\Gamma(\Omega,f). \end{equation} \tag{36}$

Как правило, варианты неравенства (36) формулируют для изотропной функции Юнга $f$ . В этом случае $f^{*s*}=f$ и ситуация существенно упрощается. Другой достаточно обозримый вариант (36) возникает при $k=n$ (шаровая симметризация). Тогда вопрос о нахождении $\Gamma(\Omega^s,f^{*s*})$ сводится к решению некоторой одномерной вариационной задачи [16].

Геометрическим аналогом результатов данной работы является неравенство

$\begin{equation*} F(s(A),s(C))\leqslant F(A,C) \end{equation*} \notag$

для мер поверхности

$A$ относительно

$C$ в смысле Минковского [7; c. 249]. Оно следует из простейших свойств симметризации, относящихся к операции сложения точечных множеств [7; c. 233].

Автор выражает благодарность рецензенту за ряд полезных замечаний.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, М., 1962
2.	J. Sarvas, “Symmetrization of condensers in $n$ -space”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I., 1:522 (1972), 44
3.	A. Yu. Solynin, “Continuous symmetrization via polarization”, Algebra i Analiz, 24:1 (2012), 157–222
4.	В. С. Климов, “Теоремы вложения и геометрические неравенства”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:3 (1976), 645–671
5.	В. С. Климов, “О симметризации анизотропных интегральных функционалов”, Изв. вузов. Матем., 1999, № 8, 26–32
6.	С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов, Интерполяция линейных операторов, Наука, М., 1978
7.	Г. Хадвигер, Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, ИЛ, М., 1966
8.	К. Куратовский, Топология, т. 1, Мир, М., 1966
9.	P. Gruber, Convex and Discrete Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 2007
10.	Р. Рокафеллар, Выпуклый анализ, Мир, М., 1973
11.	R. Rockafellar, R. Wets, Variational Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1998
12.	А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974
13.	С. Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул, Наука, М., 1974
14.	М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, М., 1958
15.	В. С. Климов, “Изопериметрические и функциональные неравенства”, Модел. и анализ информ. систем, 25:3 (2018), 331–342
16.	В. С. Климов, “Об оценках снизу некоторых интегральных функционалов”, Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, Яросл. гос. ут-т, Ярославль, 1981, 77–87

Образец цитирования: В. С. Климов, “Симметризация и интегральные неравенства”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 282–296; Math. Notes, 114:2 (2023), 230–241

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kli23}

\by В.~С.~Климов

\paper Симметризация и интегральные неравенства

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 2

\pages 282--296

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13768}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13768}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=784374}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 2

\pages 230--241

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070246}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168613999}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13768

https://doi.org/10.4213/mzm13768

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i2/p282

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	228
PDF полного текста:	40
HTML русской версии:	164
Список литературы:	54
Первая страница:	19

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

Введение

1. Симметризация множеств

2. Симметризация функций

3. Интегральные неравенства

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ