| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Симметризация и интегральные неравенства В. С. Климов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070246 
Реферативные базы данных:
  ВведениеНиже изучаются симметризации интегрального функционала многомерного вариационного исчисления, интегрант $f(t,p)$, $t\in[0,\infty)$, $p\in\mathbb R^n$, которого есть функция, выпуклая по переменному $p$. Как правило, математики рассматривали случай, когда функция $f$ изотропна и не зависит от $t$, т.е. $f(t,p)=f_1(|p|)$. Библиография работ, посвященная исследованию этого случая, весьма обширна; соответствующие ссылки, можно найти, например, в [1]–[3]. Новизна представленных далее результатов в первую очередь связана с отказом от изотропности функции $f$. В п. 1 анализируются разного рода предельные процессы для последовательностей подмножеств евклидова пространства $\mathbb R^n$, вводятся важные для дальнейшего понятия перестановок и симметризаций множеств. Охватываются классы непустых выпуклых (замкнутых, измеримых) подмножеств $\mathbb R^n$. Основное внимание уделено определению и исследованию свойств $(k,n)$-симметризаций Штейнера. Обсуждаются варианты теорем об округлении, позволяющих рассматривать $(k,n)$-симметризации (при $1<k\leqslant n$) как результат последовательного применения $(k-1,n)$-cимметризаций и предельного перехода. В п. 2 вводится понятие функции Юнга многих переменых, изучаются симметризации и пределы последовательностей функций Юнга. Понятие симметризации функции Юнга отличается от хорошо известного понятия симметризации измеримой функции. Если $\varphi$ – функция Юнга, то $\varphi^s$ – ее симметризация, а $\varphi^*$ – сопряженная к $\varphi$ функция. Симметризацию измеримой функции $u$ обозначаем символом $u_s$. Основные результаты работы сосредоточены в п. 2. В теореме 1 устанавливается неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^n}f(\nabla u(x))\,dx \geqslant\int_{\mathbb R^n}f^{*s*}(\nabla u_s(x))\,dx,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $u_s$ есть $(k,n)$-симметризация Штейнера финитной функции $u$ из $W_1^1(\mathbb R^n)$, $f$ – произвольная функция Юнга $n$ переменных, $f^{*s*}$ – результат последовательного применения операций сопряжения и симметризации, примененных к функции $f$. В двух крайних случаях $k=1$ и $k=n$ неравенство (2) доказано [4], [5]. В данной работе аналогичный результат устанавливается для произвольного натурального числа $k\leqslant n$. При $k=n$ соответствующая симметризация $s$ называется шаровой; в этом случае функции Юнга $f^s$ и $f^{*s*}$ эквивалентны: существуют такие постоянные $\kappa_n$, $\lambda_n$, зависящие только от $n$, что
$$
\begin{equation*}
f^s(\kappa_n p)\leqslant f^{*s*}(p)\leqslant f^s(\lambda_n p)\qquad \forall\,p\in\mathbb R^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 1 вытекает результат (теорема 2) о симметризации анизотропных пространств Орлича–Соболева. Намечены приложения теоремы 2 к теоремам вложения пространств Орлича–Соболева в симметричные пространства [6]. Теорема 3 посвящена обобщению неравенства (2) на случай, когда интегрант $f(t,p)$ может зависеть от переменного $t$.
1. Симметризация множествВсюду далее $\mathbb R$ – действительная прямая, $\mathbb R^n$ – действительное $n$-мерное евклидово пространство со скалярным произведением $\langle x,y\rangle$ и евклидовой нормой $|x|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Наличие евклидовой структуры в $\mathbb R^n$ позволяет обычным образом ввести метрику равенством $\rho(x,y)=|x-y|$, определить классы замкнутых, компактных и выпуклых подмножеств $\mathbb R^n$. Через $\mathscr F(\mathbb R^n)$ (соответственно $\mathscr K(\mathbb R^n)$, $\mathscr V(\mathbb R^n)$) обозначается совокупность непустых замкнутых (соответственно компактных, выпуклых) подмножеств пространства $\mathbb R^n$. Далее
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Fv}(\mathbb R^n)=\mathscr F(\mathbb R^n)\cap\mathscr V(\mathbb R^n), \qquad \operatorname{Kv}(\mathbb R^n)=\mathscr K(\mathbb R^n)\cap \mathscr V(\mathbb R^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\operatorname{int}A$ обозначается совокупность внутренних точек множества $A\subset\mathbb R^n$. Множество $A$ назовем телесным, если $\operatorname{int}A\ne\varnothing$. Ниже $\mathfrak K^n$ – часть $\operatorname{Kv}(\mathbb R^n)$, состоящая из телесных множеств. Каждому множеству $A$ класса $\mathscr F(\mathbb R^n)$ сопоставим функцию $d(x,A)$ на $\mathbb R^n$, определяемую равенством Функция $d(x,A)$ непрерывна и неотрицательна, равенство $d(x,A)=0$ эквивалентно включению $x\in A$. Множество $A(\delta)=\{d(x,A)\leqslant\delta\}$ называют $\delta$-оболочкой множества $A$. Если $B\in\mathscr F(\mathbb R^n)$ и $B\subset A(\delta)$ при некотором $\delta>0$, то число называют уклонением множества $B$ от множества $A$. Считаем, что $\inf$ пустого множества равен $\infty$, поэтому $0\leqslant h_0(B,A)\leqslant\infty$. Вообще говоря, $h_0(A,B)\ne h_0(B,A)$; число именуют обобщенным расстоянием между множествами $A$, $B$. Не исключается случай, когда $\rho(A,B)=\infty$. Однако если $A,B$ – компакты, то $\rho(A,B)<\infty$ и множество $\mathscr K(\mathbb R^n)$ с метрикой (2) образует полное метрическое пространство [7]; равенcтво (2) задает в $\mathscr K(\mathbb R^n)$ метрику, называемую метрикой Помпейю–Хаусдорфа. Это позволяет обычным образом ввести понятие сходимости в метрическом пространстве $\mathscr K(\mathbb R^n)$. Последовательность $A_i$, $i=1,2,\dots$, из $\mathscr K(\mathbb R^n)$ сходится к $A$ из $\mathscr K(\mathbb R^n)$, если $\rho_H(A_i,A)\to 0$ при $i\to\infty$.Для последовательности замкнутых множеств $\{A_i\}$ вводят [8] понятия верхнего и нижнего пределов, полагая соответственно
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ls}A_i:=\Bigl\{x\in\mathbb R^n\Bigm|\varliminf_{i\to\infty}\,d(x,A_i)=0\Bigr\},\qquad \operatorname{li}A_i:=\Bigl\{x\in\mathbb R^n\Bigm|\varlimsup_{i\to\infty}\,d(x,A_i)=0\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Всегда верно включение $\operatorname{li}A_i\subset\operatorname{ls}A_i$; возможны случаи, когда один или оба предела являются пустыми множествами. Если оба частичных предела равны между собой, то их общее значение $A$ именуют пределом последовательности $\{A_i\}$ (предел в смысле Пенлеве–Куратовского); в этом случае пишут В классе $\mathscr K(\mathbb R^n)$ сходимость в метрике $\rho_H$ влечет за собой сходимость (3); обратное верно лишь в случае, когда все множества $A_i$, $i=1,2,\dots$, содержатся в некотором компакте. Через $\mathscr M_n$ обозначим совокупность измеримых по Лебегу подмножеств пространства $\mathbb R^n$. Если $A\in\mathscr M_n$, то $\operatorname{mes}_nA$ – $n$-мерная мера Лебега множества $A$. Симметричная разность $A\,\triangle\, B:=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ измеримых множеств $A$, $B$ также измерима. Равенство определяет обобщенную метрику Никодима в классе $\mathscr M_n$. При рассмотрении измеримых множеств некоторые соотношения иногда будут пониматься с точностью до множеств меры нуль. Например, запись $A=B$ обозначает, что $\operatorname{mes}_n(A\,\triangle\, B)= 0$; включение $A\subset B$ эквивалентно равенству $\operatorname{mes}_n(A\setminus B)=0$. Такого рода соглашения приняты, например, в [3]. В классе измеримых множеств конечной меры равенство (4) определяет метрику Никодима.Следуя [2], [3], назовем перестановкой отображение $T$ множества $\mathscr M_n$ в себя, обладающее свойством монотонности и сохраняющее меру множества. Монотонность $T$ означает, что из включения $A\subset B$ следует включение $T(A)\subset T(B)$. Сохранение меры эквивалентно равенству $\operatorname{mes}_n(T(A))=\operatorname{mes}_n(A)$ для всех $A\in\mathscr M_n$. Монотонность перестановки $T$ влечет за собой включения
$$
\begin{equation*}
T(A)\cup T(B)\subset T(A\cup B),\qquad T(A\cap B)\subset T(A)\cap T(B),\qquad T(A)\,\triangle\, T(B)\subset T(A\,\triangle\, B).
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего включения и монотонности меры следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}_n(T(A)\,\triangle\, T(B))\leqslant\operatorname{mes}_n(T(A \,\triangle\, B)).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая сохранение меры при перестановках и вспоминая опредение (4) метрики Никодима, приходим к неравенству Полезный для дальнейшего вывод: каждая перестановка не увеличивает расстояние Никодима. Хорошо известны и более общие варианты неравенства (5) (см., например, [2], [3], [6]). Метрики Помпейю–Хаусдорфа и Никодима имеют смысл в классе $\operatorname{Kv}(\mathbb R^n)$. Cходимость в метрике $\rho_H$ влечет за собой сходимость в метрике $\rho_N$. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако в классе $\mathfrak K^n$ обе метрики эквивалентны. Введем понятие сходимости перестановок. Скажем, что последовательность перестановок $\{T_i\}$ сходится к перестановке $T$, если для любого множества $F$ класса $\mathscr K(\mathbb R^n)$ cправедливо равенство Будет использоваться краткая запись: $T_i\to T$.Лемма 1. Пусть $T_i\to T$. Тогда для каждого множества $A$, имеющего конечную меру $\operatorname{mes}_nA$, справедливо аналогичное (6) равенство Доказательство. Фиксируем $\varepsilon>0$ и подберем компактное множество $F$, для которого $\rho_N(A,F)<\varepsilon/3$. Имеют место соотношения Лемма 2. Пусть последовательность измеримых множеств $\{A_I\}$ сходится к измеримому множеству $A\colon\rho_N(A_i,A)\to 0$ при $i\to\infty$. Если $T_i\to T$, то Доказательство. Справедливы неравенства правая часть стремится к $0$ при $i\to\infty$. Теперь доказываемое утверждение очевидно. Введем понятие $(k,n)$-симметризации Штейнера, $k=1,2,\dots,n$. Особенно просто определяется $(n,n)$-симметризация, называемая $n$-мерной шаровой симметризацией. Пусть $A\in\mathscr M(\mathbb R^n)$. Замкнутый шар $\mathbb B_R:=\{x\in\mathbb R^n,|x|\leqslant R\}$ называют $n$-мерной шаровой симмметризацией $A$ и пишут $\mathbb B_R=\sigma_n(A)$, если $\operatorname{mes}_n\mathbb B_R=\operatorname{mes}_nA$. При $n=2$ говорят о круговой симметризации. Перейдем теперь к случаю $k<n$. Пусть $m=n-k$ и $E$ – подпространство $\mathbb R^n$ размерности $m$. Размерность ортогонального дополнения $E^\perp$ равна $k$. Если $v\in E$, то множество $E_+(v):=v+E^\perp$ есть аффиное многообразие, параллельное $E^\perp$ и проходящее через точку $v$. Пусть $A\in\mathscr M_n$. Обозначим через $p_E(A)$ совокупность тех $v$ из $E$, для которых пересечение $A\cap E_+(v)$ непусто и измеримо относительно $k$-мерной меры Лебега в $E_+(v)$. Каждому $v$ из $p_E(A)$ cопоставим шар $v+\sigma_k(A\cap E_+(v))$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
v+\sigma_k(A\cap E_+(v))\subset E_+(v), \qquad \operatorname{mes}_k(A\cap E_+v)=\operatorname{mes}_k(v +\sigma_k(A\cap E_+(v)).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество
$$
\begin{equation}
S_E(A):=\bigcup_{v\in p_E(A)}(v+\sigma_k(A\cap E_+(v)))
\end{equation}
\tag{7}
$$
называют $(k,n)$-симметризацией Штейнера множества $A$ относительно пространства $E\subset\mathbb R^n$. Отметим некоторые свойства симметризации Штейнера [2], [7], [9]. Из равенства (7) и теоремы Фубини следует, что для любого измеримого множества $A$ его образ $S_E(A)$ есть измеримое множество, при этом $\operatorname{mes}_nS_E(A)=\operatorname{mes}_nA$ – симметризация Штейнера сохраняет меру. Если $A\subset B$ и $A$, $B$ – измеримые множества, то $S_E(A)\subset S_E(B)$. Следовательно, симметризация Штейнера является перестановкой. Включение $A\in\mathscr K(\mathbb R^n)\,(A\in\mathfrak K^n)$ влечет за собой включение $S_E(A)\in\mathscr K(\mathbb R^n)\,(S_E(A)\in\mathfrak K^n)$. Отметим свойство положительной однородности
$$
\begin{equation}
S_E (\lambda A)=\lambda S_E(A)\qquad \forall\,\lambda>0.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Cимметризация Штейнера действует в классе $\mathfrak K^n$ и является непрерывной операцией в следующем смысле. Пусть $A,A_1,A_2,\dots,A_i,\dots $ – множества класса $\mathfrak K^n$ и последовательность $\{A_i\}$ сходится к $A$. Тогда и последовательность $S_E(A_i)$ cходится к $S_E(A)$ [9]. В рассматриваемом случае введенные выше сходимости (в смысле Пенлеве–Куратовского, Помпейю–Хаусдорфа, Никодима) эквивалентны между собой. Симметризации множества можно применять последовательно. На этом пути возникают теоремы об округлении, позволяющие получить $(k,n)$-симметризацию Штейнера с помощью подходящей последовательности $(k-1,n)$-симметризаций. Приведем одну из возможных конструкций такого рода. Пусть $s=S_E$, $\operatorname{dim}E=m=n-k$, $k>1$. Фиксируем два вектора $v_1$, $v_2$ из $E^\perp$, имеющие единичную длину и образующие между собой угол $\gamma\pi$, где $\gamma$ – иррациональное число из $(0,1)$. Пусть $E_j $ – линейная оболочка пространства $E$ и вектора $v_j$, $Q_j=S_{E_j}$, $j=1,2$, – $(k-1,n)$-симметризации Штейнера. Определим последовательность перестановок $s_i$, полагая
$$
\begin{equation}
s_i=\begin{cases} (Q_2Q_1)^l, &\text{если }i=2l \text{ четное}, \\ Q_1(Q_2Q_1)^l, &\text{если }i=2l+1\text{ нечетное}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Предложение 1. Определяемая равенством (9) последовательность перестановок $s_i$ сходится к симметризации Штейнера $s=S_E$ в следующем смысле: если $F\in\mathscr K(\mathbb R^n)$, то Предложение 1 следует из результатов работ [2], [3]. Из предложения 1 и леммы 2 вытекает Следствие. Пусть $A,A_1,\dots,A_i,\dots $ – измеримые множества и $\rho_N(A_i,A)\to 0$ при $i\to\infty$. Тогда Далее потребуется вариант следствия, относящийся к верхним и нижним пределам последовательностей множеств. Лемма 3. Пусть $A,A_1,\dots,A_i,\dots$ – множества класса $\mathfrak K^n$ и $\theta=(0,\dots,0)$ – внутренняя точка множеств $A$, $A_i$, $i=1,2,\dots$ . Тогда выполнены следующие утверждения: Доказательство. Пусть $A\subset\operatorname{li}A_i$. Тогда найдется такая положительная и бесконечно малая последовательность $\delta_i$, что $(1-\delta_i)A\subset A_i$ при $i>i_0$. Но тогда верно включение $(1-\delta_i)s_i(A)\subset s_i(A_i)$. Переходя к пределу при $i\to\infty$, получаем включение $s(A)\subset\operatorname{li}s_i(A_i)$. Включение $\operatorname{ls}A_i\subset A$ влечет за собой существование такой бесконечно малой и положительной последовательности $\delta_i$, что $A_i\subset(1+\delta_i)A$ при $i>i_0$. Следовательно, $s_i(A_i)\subset(1+\delta_i)s_i(A)$. Устремляя $i$ к $\infty$, приходим к требуемому включению $\operatorname{ls}s_i(A_i)\subset s(A)$. Лемма доказана. Далее под симметризацией в $\mathbb R^n$ будет пониматься результат последовательного применения конечного числа симметризаций Штейнера. Иначе говоря, $T$ – симметризация в $\mathbb R^n$, если $T=S_{E_1}\circ S_{E_2}\circ\dotsb\circ S_{E_m}$, где $E_1,E_2,\dots,E_m$ – подпространства $\mathbb R^n$, вообще говоря, разной размерности. 2. Симметризация функцийВыпуклую четную функцию $\varphi\colon\mathbb R^n\to[0,+\infty]$ назовем функцией Юнга, если $\varphi(\theta)=0$ и при любом $\alpha>0$ нижнее лебегово множество $\Lambda_\alpha(\varphi):=\{p\in\mathbb R^n\mid\varphi(p)\leqslant\alpha\}$ принадлежит классу $\mathfrak K^n$. Используются стандартные обозначения выпуклого анализа [10]–[12]:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{dom}\varphi:=\{p\in\mathbb R^n\mid\varphi(p)<\infty\}, \\ \operatorname{epi}\varphi:=\{(p,\alpha)\in\mathbb R^{n+1} =\mathbb R^n\times\mathbb R\mid p\in\operatorname{dom}\varphi,\,f(p)\leqslant\alpha\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– надграфик (эпиграф) функции $\varphi$. Вместе с $\varphi$ сопряженная с ней функция $\varphi^*$ также будет функцией Юнга; напомним, что $\varphi^*(q)=\sup\{\langle p,q\rangle-\varphi(p),\,p\in\operatorname{dom}\varphi\}$. Надграфик $\operatorname{epi}\varphi$ функции Юнга $\varphi$ принадлежит классу $\operatorname{Fv}(\mathbb R^{n+1})$. Следуя [11], назовем функцию Юнга $\varphi$ коэрцитивной, если Коэрцитивность $\varphi$ эквивалентна равенству $\operatorname{dom}\varphi^*=\mathbb R^n$. Оценка $\varphi(p)\geqslant\delta|p|$, $\delta>0$, $p\in\mathbb R^n$, равносильна соотношению $\varphi^*(q)=0$ для любого $q\in\mathbb B_\delta$; в этом случае $\Lambda_\alpha(\varphi^*)\in\mathfrak K^n$ при всех $\alpha\geqslant 0$.Пусть $\varphi,\varphi_1,\dots,\varphi_i,\dots$ – функции Юнга. Назовем $\varphi$ эпи-пределом функциональной последовательности $\{\varphi_i\}$, если последовательность множеств $\{\operatorname{epi}\varphi_i\}$ сходится к множеству $\operatorname{epi}\varphi$ в смысле Пенлеве–Куратовского; будет применяться запись Приведем несколько свойств $e$-сходимости, отсылая за доказательствами к [11].Предложение 2. a) Равенство (10) эквивалентно совокупности следующих включений: для произвольной числовой последовательности $\{\alpha_i\}$, сходящейся к $\alpha$; для некоторой последовательности $\alpha_i\geqslant\alpha\geqslant 0$, сходящейся к $\alpha$. b) Из (10) вытекает аналогичное равенство для сопряженных функций:
$$
\begin{equation}
\varphi^*=\textit{$e$-$\lim_{i\to\infty}\varphi_i^*$}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
c) Если
$$
\begin{equation}
\operatorname{dom}\varphi=\operatorname{dom}\varphi_i=\mathbb R^n,\qquad i=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{14}
$$
то (10) равносильно равномерной сходимости последовательности $\{\varphi_i\}$ к функции $\varphi$ на каждом шаре $\mathbb B_R$; для обозначения такой сходимости будет использоваться запись $\varphi_i\Rightarrow\varphi$. Для симметризации $s$ пространства $\mathbb R^n$ и функции Юнга $\varphi$ введем функцию $\varphi^s\colon\mathbb R^n\to[0,\infty]$, определяемую соотношением
$$
\begin{equation}
\Lambda_\alpha(\varphi^s)=s(\Lambda_\alpha(\varphi))\qquad \forall\,\alpha\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Соотношение (15) однозначно определяет функцию $\varphi^s$. Оно означает, что нижние лебеговы множества функции $\varphi^s$ являются $s$-симметризациями нижних лебеговых множеств функции $\varphi$. Нетрудно проверить, что $\varphi^s$ является функцией Юнга. Преобразование, сопоставляющее $\varphi$ функцию $\varphi^s$, обладает свойством монотонности в следующем смысле: если $\varphi$, $\psi$ – функции Юнга и $\varphi\leqslant\psi$, то и $\varphi^s\leqslant\psi^s$. Свойства преобразования $\varphi\to\varphi^s$, называемого симметризацией в классе функций Юнга, выводятся из соответствующих свойств порождающей его симметрии пространства $\mathbb R^n$. Если $s$ есть $(k,n)$-симметризация Штейнера, то определяемую соотношением (15) функцию $\varphi^s$ естественно назвать $(k,n)$-симметризацией функции Юнга $\varphi$, $k=1,\dots,n$. Далее потребуется аналог леммы 3 об округлении. Как и в лемме 3, последовательность симметризаций $s_i$ определена равенством (9) и представляет из себя результат последовательного применения специально подобранных $(k-1,n)$-симметризация Штейнера. Последовательность $\{s_i\}$ сходится к $(k,n)$-симметризации $s$. Лемма 4. Пусть $\varphi,\varphi_1,\dots,\varphi_i,\dots$ – функции Юнга, удовлетворяющие предположениям (10), (14) и условию Доказательство. Пусть $\alpha\geqslant 0$, $\alpha_i$ – сходящаяся к $\alpha$ последовательность, Из предложения 2 и (10) вытекает, что для некоторой последовательности $\alpha_i$, сходящейся к $\alpha$, имеет место включение $A\subset\operatorname{li}A_i$, множества $A_i$, $A$ определены равенством (18). Снова применяя лемму 3 и условие (16), приходим к включению $s(A)\subset\operatorname{li}s_i(A_i)$. Лемма доказана. Перейдем к определению симметризации суммируемых функций. Каждой перестановке $T$, определенной на классе $\mathscr M_n$ измеримых относительно $n$-мерной меры Лебега $\operatorname{mes}_n$ подмножеств пространства $\mathbb R^n$, можно сопоставить ее каноническое продолжение на класс $\mathscr M_{n+1}$. Опишем соответствующую конструкцию. Пусть $C\in\mathscr M_{n+1}$, $\alpha\in\mathbb R$. Множество $C(\alpha):=\{x\in\mathbb R^n\mid(x,\alpha)\in C\}$ называют $\alpha$-сечением множества $C$. Как очевидно, соотношения $(x,\alpha)\in C$ и $x\in C(\alpha)$ эквивалентны. Для почти всех действительных $\alpha $ соответствующее сечение $C(\alpha)$ принадлежит классу $\mathscr M_n$. Найдется такое множество $\mathbb R_0$ нулевой одномерной меры, что $C(\alpha)\in\mathscr M_n$ для всех $\alpha\notin\mathbb R_0$. Если $\alpha\in\mathbb R_1=\mathbb R\setminus\mathbb R_0$, то множества $C(\alpha)$, $T(C(\alpha))$ измеримы относительно $n$-мерной меры Лебега $\operatorname{mes}_n$. Множество
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\alpha\in\mathbb R_1}\{T(C(\alpha))\}\times\{\alpha\}
\end{equation}
\tag{19}
$$
принадлежит классу $\mathscr M_{n+1}$. Отображение $\widetilde T$, сопоставляющее множеству $C$ класса $\mathscr M_{n+1}$ множество (19) и назовем каноническим продолжением перестановки $T$. Таким образом, $(\widetilde TC)(\alpha)=T(C(\alpha))$ для любого $\alpha\in\mathbb R_1$. Каноническое продолжение перестановки $T$, действующей в классе $\mathscr M_n$ является перестановкой в классе $\mathscr M_{n+1}$. В частности, если $A$ – множество класса $\mathscr M_{n+1}$, то $\operatorname{mes}_{n+1}\widetilde T(A)=\operatorname{mes}_{n+1}(A)$ – cохранение меры; если $B\in\mathscr M_{n+1}$ и $A\subset B$, то $\widetilde T(A)\subset\widetilde T(B)$ – монотонность перестановки;
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}_{n+1}(\widetilde T(A)\,\triangle\,\widetilde T(B)) \leqslant\operatorname{mes}_{n+1}(A\,\triangle\, B),\qquad A,B\in\mathscr M_{n+1}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Обозначим через $L^+(\mathbb B_R)$ совокупность неотрицательных и суммируемых на шаре $\mathbb B_R:=\{x\in\mathbb R^n,\,|x|\leqslant R\}$ функций. Cопоставим функции $u$ из $L^+(\mathbb B_R)$ ее подграфик (ординатное множество) $\operatorname{ord}u:=\{(x,\alpha),\,x\in\mathbb B_R,\,0\leqslant\alpha\leqslant u(x)\}$. Хорошо известно, что $\operatorname{ord}u\in\mathscr M_{n+1}$; верно равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}_{n+1}(\operatorname{ord}u) =\int_{\mathbb B_R}u(x)\,dx =\int_0^\infty\operatorname{mes}_n(\Lambda^\alpha(u))\,d \alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda^\alpha(u):=\{x\in\mathbb B_R\mid u(x)\geqslant\alpha\}$ – верхнее лебегово множество функции $u$. Если $u$, $v$ – функции класса $L^+(\mathbb B_R)$, то их ординатные множества принадлежат $\mathscr M_{n+1}$ и расстояние Никодима между ними
$$
\begin{equation}
\rho_N(\operatorname{ord}u,\operatorname{ord}v)=\int_{\mathbb B_R}|u(x)-v(x)|\,dx.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Если $\widetilde T$ – каноническое продолжение действующей в $\mathscr M_n$ перестановки $T$, $u\in L^+(\mathbb B_R)$, то множество $\widetilde T(\operatorname{ord}u)$ есть ординатное множество некоторой функции $u_T$ класса $L^+(\mathbb B_R)$, называемой $T$-перестановкой функции $u$. Из определения функции $u_T$ вытекает равенство
$$
\begin{equation}
\Lambda^\alpha(u_T)=T(\Lambda^\alpha(u))\qquad \text{почти при всех}\quad \alpha\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Равенство (22) можно принять в качестве определения функции $u_T$. В качестве перестановки $T$ можно брать симмметризацию Штейнера $s$ или суперпозиции нескольких преобразований Штейнера. В частности, можно рассмотреть последовательность перестановок $s_i$, фигурирующих в предложении 1 и сходящихся к перестановке $s$. Лемма 5. Для любой функции $u$ из $L^+(\mathbb B_R)$ последовательность ее перестановок $u_{s_i}$ сходится в $L_1(\mathbb{B}_R)$ к перестановке $u_s$ функции $u$. Доказательство. Достаточно применить лемму 1 к случаю $A=\operatorname{ord}u$ и воспользоваться равенством (21). Лемма доказана. 3. Интегральные неравенстваОбозначим через $W^+(\mathbb B_R)$ множество неотрицательных функций из пространства Соболева $W_1^1(G_R)$, обращающихся в нуль на границе открытого шара $G_R:=\{x\in\mathbb R^n,\,|x|<R,\,0<R<\infty\}$ [13]. Для функции $u$ класса $W^+(\mathbb B_R)$ имеет смысл и конечна норма $\|u\|:=\|\nabla u;L_1(G_R)\|$. Здесь и далее $\nabla u$ – градиент функции $u$. Если $\varphi\colon\mathbb R^n\to[0,+\infty]$ – функция Юнга, $y\colon G_R\to\mathbb R^n$ – измеримое отображение, то суперпозиция $\varphi(y)$ есть измеримая функция [1], [12]. Положим $I_\varphi(y):=\|\varphi(y);L_1(G_R)\|$, если $\varphi(y)\in L_1(G_R)$ и $I_\varphi(y)=+\infty$ в противном случае. Пусть $s$ есть $(k,n)$-симметризация Штейнера. Через $\varphi^s$ обозначим соответствующую симметризацию Штейнера функции Юнга $\varphi$, определяемую (см. п. 2) соотношением $\Lambda_\alpha(\varphi^s)=s(\Lambda_\alpha(\varphi))$ для любого $\alpha\geqslant 0$; $\varphi^s$ также является функций Юнга. Вместе с $\varphi$ функциями Юнга будут и связанные с $\varphi$ функции $\varphi^*$, $\varphi^{*s}$, $\varphi^{*s*}$. Операция перехода от $\varphi$ к $\varphi^{*s*}$ монотонна: если $\varphi_1\leqslant\varphi_2$, то $\varphi_1^{*s*}\leqslant\varphi_2^{*s*}$. Функцию Юнга $\varphi$ назовем изотропной, если она постоянна на каждой сфере $|x|=r $; таким образом, $\varphi(x)=\psi(|x|)$. В этом частном, но весьма важном случае верно равенство $\varphi=\varphi^{*s*}$. Если $u\in L^+(\mathbb B_R)$, то через $u_s$ обозначается соответствующая ей $s$-симметризация функции $u$, определяемая аналогичным (22) условием: $\Lambda^\alpha(u_s)=s(\Lambda^\alpha(u))$ почти при всех $\alpha\geqslant 0$. Предложение 3. Пусть $f\colon\mathbb R^n\to[0,\infty]$ – функция Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$, $s$ есть $(1,n)$-симметризация Штейнера. Тогда $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ и верно неравенство Предложение 3 доказано в [5]. Неравенство (23) сохраняется, если $s$ – суперпозиция конечного числа $(1,n)$-cимметризаций Штейнера. Пусть, например, $s$ есть суперпозиция $l$ $(1,n)$-симметризаций Штейнера: $s=s_l\dotsb s_1$. Определим последовательность функций Юнга $f_0,f_1,\dots,f_l$, полагая $f_0=f$, $\dots$, $f_i=f_{i-1}^{*s_i*} $, $i=1,\dots,l$. Как нетрудно видеть, верно равенство $f_l=f^{*s*}$. Ниже обсуждается обобщение неравенства (23) для $(k,n)$-симметризации Штейнера в случае $k=2,3,\dots,n-1$. В случае $(n,n)$-симметризации аналог неравенства (23) установлен в [4]. Теорема 1. Пусть $f$ – функция Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$, $s$ есть $(k,n)$-симметризация Штейнера, $k=1,2,\dots,n$. Тогда $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ и верно неравенство (23). Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что $I_f(\nabla u)<\infty$. Разобьем обоснование неравенства (23) на несколько частей. Вначале предположим, что функция $f$ удовлетворяет условию роста Отправляясь от предложения 3, установим вариант теоремы 1 для $(2,n)$-симметризации Штейнера $s$. Пусть $s_i$ – последовательность симметризаций, определяемая равенством (9) и сходящаяся к симметризации $s$. Поэтому $s_i$ есть результат последовательного применения конечного числа $(1,n)$-симметризаций Штейнера. Если $u_{s_i}$ – перестановка функции $u$, соответствующая симметризации $s_i$, то в силу (23) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
I_f(\nabla u)\geqslant I_{f^{*s_i*}}(\nabla u_{s_i}).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Из (24) следует оценка $f^{*s_i*}(p)\geqslant g(p)$, поэтому неравенство (25) влечет за собой соотношение Это соотношение и оценка (25) влекут за собой предкомпактность последовательности $\nabla u_{s_i}$ в $\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$. В силу леммы 5 последовательность $u_{s_i}$ сходится к $u_s$ в пространстве $L(\mathbb B_R)$. Отсюда следует сходимость $\nabla u_{s_i}$ к $\nabla u_s$ в топологии $\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ и включение $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$. Фиксируем вектор-функцию $z$ из $L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$. Из неравенства (26) и определения сопряженной функции следуют оценки
$$
\begin{equation*}
I_f(\nabla u)\geqslant I_{f^{*s_i*}}(\nabla u_{s_i}) \geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx-I_{f^{*s_i}}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $f^{*s_i}$ в силу леммы 4 сходится к функции $f^{*s}$ равномерно на каждом компакте, поэтому Так как $\nabla u_{s_i}\to\nabla u_s$ в $\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ топологии, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{i\to\infty}\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx =\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_s(x),z(x)\rangle\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Три последних соотношения влекут за собой неравенство
$$
\begin{equation*}
I_f(\nabla u)\geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_s(x),z(x)\rangle\,dx-I_{f^{*s}}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
верное для произвольной вектор-функции $z$ из $L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$. Беря sup по всем таким вектор-функциям, приходим к неравенству (23). В этом месте используются известные результаты выпуклого анализа интегральных функционалов (см., например, [11], [12]). Это и завершает первую часть доказательства. Во второй части избавимся от предположения (24). Поскольку $\nabla u$ – суммируемая функция, то существует такая $N$-функция $\Phi_1$, что $\Phi_1(|\nabla u|)\in L_1(\Omega)$ [14; с. 77]. Положим $g(p)=\delta(|p|+\Phi_1(|p|))$. Фиксируем $\varepsilon>0$ и подберем такое $\delta>0$, что $I_g(\nabla u)<\varepsilon$. Положим $f_1=f+g$. Очевидно, что $I_{f_1}(\nabla u)<I_f(\nabla u)+\varepsilon$. К функции Юнга $f_1$ можно применить доказанное выше утверждение. Заметим при этом, что $f_1^{*s*}(p)\geqslant f^{*s*}(p)$. Cправедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
I_f(\nabla u)>I_{f_1}(\nabla u)-\varepsilon \geqslant I_{f_1^{*s*}}(\nabla u_s)-\varepsilon\geqslant I_{f^{*s*}}(\nabla u_s)-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду произвольности $\varepsilon>0$ снова приходим к неравенству (23). Переход от $(1,n)$-симметризации к $(2,n)$-симметризации обоснован. По той же схеме осуществляется переход от $(k,n)$-симметризации к $(k+1,n)$-симметризации при $k=2,\dots,n-1$. Теорема доказана. Приведем пример применения теоремы 1. Пусть $\Omega$ – телесный компакт и $\Omega\subset G_R$. Обозначим через $\mathring{W}(\Omega)$ совокупность функций $u(x)$ из пространства Соболева $W_1^1(G_R)$, обращающихся в нуль на $G_R\setminus\Omega$. Функции Юнга $f\colon\mathbb R^n\to[0,\infty]$ и области $\Omega$ сопоставим пространство Орлича–Соболева $W_f(\Omega)$, состоящее из функций $u$ класса $\mathring{W}(\Omega)$, для которых имеет смысл и конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|u;W_f\|=\inf\biggl\{\lambda>0,\,I_f\biggl(\frac{\nabla u}{\lambda}\biggr)\,dx\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При обычном отождествлении эквивалентных относительно меры $\operatorname{mes}_n$ функций $W_f(\Omega)$ образует банахово пространство [4]. Если $s$ есть $(k,n)$-симметризация, то $\Omega^s:=s(\Omega)$ есть телесный компакт, причем $\Omega^s\subset G_R$. В частности, можно ввести пространство Орлича–Соболева $W_{f^{*s*}}(\Omega^s)$. Через $u_s$ обозначается $(k,n)$-симметризация функции $u$. Доказательство. Поскольку $\nabla|u|=\operatorname{sign}u\nabla u$, то неравенство (27) достаточно проверить для неотрицательных функций $u$. Если $I_f(\tau\nabla u)\leqslant 1$ при некотором $\tau>0$, то $I_{f^{*s*}}(\tau\nabla u_s)\leqslant I _f(\tau\nabla u)\leqslant 1$, что и влечет за собой неравенство (27). Теорема доказана. Следствие 1. Пусть $E=E(\Omega^s)$ – cимметричное пространство функций на $\Omega^s$ [6; c. 123]. Если вложение $i^s\colon W_{f^{*s*}}(\Omega^s)\to E(\Omega^s)$ непрерывно, то и вложение $i\colon W_f(\Omega)\to E(\Omega)$ также непрерывно, причем нормы соответствующих операторов вложения связаны неравенством $\|i\|\leqslant\|i^s\|$. Пусть $s$ – шаровая симметризация пространства $\mathbb R^n$, $f^s$ – соответствующая симметризация функции Юнга $f$. Тогда $f^s$ есть изотропная функция, допускающая представление $f^s(p)=f^\circ(|p|)$, где $f^\circ(t)$ – четная функция одного переменного, называемая [4] округлением функции $f$. Числу $a=\operatorname{mes}_n\Omega $ и функции $f^\circ$ сопоставим пространство Орлича $L_{f^\circ}(0,a)$ функций $v\colon[0,a]\to\mathbb R$. Аналогично, симметричному пространству $E=E(\Omega)$ сопоставим соответствующее ему пространство функций $E(0,a)$ на отрезке $[0,a]$. Введем в рассмотрение интегральный оператор Следствие 2. Ecли оператор $\mathscr A$ непрерывен из $L_{f^\circ}(0,a)$ в $E(0,a)$, то вложение $i\colon W_f(\Omega)\to E(\Omega)$ непрерывно и справедлива оценка где константа $\beta_n$ зависит лишь от $n$. Более общие, чем следствие 2, результаты установлены в [4]. Функцию $\varphi\colon[0,\infty)\times\mathbb R^n\to[0,\infty]$ назовем интегрантом Юнга, если выполнены следующие условия:
Пусть $\varphi\colon[0,\infty)\times\mathbb R^n\to [0,\infty]$ – интегрант Юнга, $v\colon\mathbb B_R\to\mathbb R$ – неотрицательная измеримая функция, $w\colon\mathbb B_R\to\mathbb R^n$ – измеримая вектор-функция, то суперпозиция $\varphi(v,w)$ есть измеримая неотрицательная функция. Положим $I_\varphi(v,w)=\|\varphi(v,w);L_1(\mathbb B_R)\|$, если $\varphi(v,w)\in L_1(\mathbb B_R)$ и $I_\varphi(v,w)=\infty$ в противном случае. Предложение 4. Пусть $f$ – интегрант Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R)$, $s$ есть $(1,n)$-симметризация Штейнера. Тогда $u\in W^+(\mathbb B_R)$ и верно нервенство Предложение 4 доказано в [15]. Ранее [16] аналогичный результат установлен для шаровой симметризации. Ниже рассматривается общий случай $(k,n)$-симметризации. Интегрант Юнга $f(t,p)$ назовем непрерывным, если функция $f$ непрерывна по совокупности переменных. Это равносильно замене условия 2), фигурирующего в определении интегранта Юнга, более жестким требованием Теорема 3. Пусть $f$ – непрерывный интегрант Юнга, $u\in W^+(\mathbb B_R) $, $s$ есть $(k,n)$-симметризация Штейнера, $k=1,2,\dots,n$. Тогда $u_s\in W^+(\mathbb B_R)$ и имеет место неравенство (28). Доказательство. Не нарушая общности, считаем, что $I_f(u,\nabla u)<\infty$. Основные этапы обоснования неравенства (28) аналогичны примененным при доказательстве теоремы 1. Вначале предположим, что интегрант $f$ удовлетворяет условию роста Условие роста (29) влечет за собой оценку – условие слабого роста функции $f^{*s_i}$. В частности, для любого $t\geqslant 0$ функция $f_t^{*s_i}(q)=f^{*s_i}(t,q)$ обращается в нуль на некоторой окрестности $\theta=(0,\dots,0)$, $\operatorname{dom}f_t^{*s_i}=\mathbb R^n$ и функция $f^{*s_i}(t,q)$ непрерывна по совокупности переменных.Фиксируем вектор-функцию $z$ из $L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$. Из (30) следует оценка
$$
\begin{equation}
I_f(u,\nabla u)\geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx -I_{f^{*s_i}}(u_{s_i},z).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Последовательность $f_t^{*s_i}(q)$ в силу леммы 4 сходится к $f_t^{*s}(q)$ равномерно на компактных подмножествах $\mathbb R^n$, а последовательность $\{u_{s_i}(x)\}$ сходится к $u_s(x)$ почти всюду в $\mathbb B_R$. Поэтому последовательность $f^{*s_i}(u_{s_i},z)$ сходится к $f^{*s}(u_s,z)$ почти всюду. Оценка (31) влечет за собой неравенства $0\leqslant f^{*s_i}(u_{s_i},z)\leqslant g^*(z)$. Из отмеченных свойств последовательности $\{f^{*s_i}(u_{s_i},z)\}$ вытекает равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{i\to\infty}I_{f^{*s_i}}(u_{s_i},z)=I_{f^{*s}}(u_s,z).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\nabla u_{s_i}\to\nabla u_s$ в $\sigma(L_1(\mathbb B_R),L_\infty(\mathbb B_R))$ топологии, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{i\to\infty}\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s_i}(x),z(x)\rangle\,dx =\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_{s}(x),z(x)\rangle\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя установленные выше результаты, приходим к неравенству
$$
\begin{equation}
I_f(u,\nabla u)\geqslant\int_{\mathbb B_R}\langle\nabla u_s(x),z(x)\rangle\,dx -I_{f^{*s}}(u_s,z),
\end{equation}
\tag{33}
$$
верному для произвольной функции $z$ из $L_\infty(\mathbb B_R,\mathbb R^n)$. Беря sup по всем таким вектор-функциям $z$, приходим к неравенству (28). Это и приводит к завершению первой части доказательства. Оставшиеся этапы доказательства (избавление от условия сильного роста (29) и переход от $(k-1,n)$-симметризации к $(k,n)$-симметризации) реализуются тем же способом, что и изложенным выше. Теорема доказана. В качестве примера, иллюстрирующего потенциальные приложения теоремы 3, рассмотрим многомерную вариационную задачу
$$
\begin{equation}
\int_\Omega f(u(x),\nabla u(x))\,dx\to\operatorname{inf},\qquad u\in W^+(\Omega),\quad \int_\Omega\Phi(u(x))\,dx=1,
\end{equation}
\tag{34}
$$
где $\Omega$ – телесный компакт, $W^+(\Omega)$ – совокупность неотрицательных функций из пространства Соболева $W_1^1(\mathbb R^n)$, обращающихся в нуль вне $\Omega$, $f$ – непрерывный интегрант Юнга, $\Phi\colon[0,\infty)\to\mathbb R$ – измеримая по Борелю функция, $\Phi(0)=0$. Сопоставим $(k,n)$-симметризации Штейнера $s$ пространства $\mathbb R^n$ следующий вариант задачи (34):
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega^s}f^{*s*}(u(x),\nabla u(x))\,dx\to\operatorname{inf},\quad u\in W^+(\Omega^s),\qquad \int_{\Omega^s}\Phi(u(x))\,dx=1,
\end{equation}
\tag{35}
$$
в котором $\Omega^s$ есть $(k,n)$-симметризация Штейнера $s$ компакта $\Omega$. Обозначим через $\Gamma(\Omega,f)$ решение задачи (34), а через $\Gamma(\Omega^s,f^{*s*})$ – решение задачи (35). Из теоремы 3 вытекает неравенство Как правило, варианты неравенства (36) формулируют для изотропной функции Юнга $f$. В этом случае $f^{*s*}=f$ и ситуация существенно упрощается. Другой достаточно обозримый вариант (36) возникает при $k=n$ (шаровая симметризация). Тогда вопрос о нахождении $\Gamma(\Omega^s,f^{*s*})$ сводится к решению некоторой одномерной вариационной задачи [16]. Геометрическим аналогом результатов данной работы является неравенство для мер поверхности $A$ относительно $C$ в смысле Минковского [7; c. 249]. Оно следует из простейших свойств симметризации, относящихся к операции сложения точечных множеств [7; c. 233].Автор выражает благодарность рецензенту за ряд полезных замечаний. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kli23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|