| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О некоторых свойствах перманента матриц малых порядков Д. Б. Ефимов Коми научный центр Уральского отделения РАН, г. Сыктывкар
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070234 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеКак известно, определитель $n$-го порядка можно рассматривать как $n$-арную полилинейную антисимметричную функцию на пространстве $n$-мерных векторов, причем условия полилинейности и антисимметричности задают его однозначно с точностью до нормировочного коэффициента, который определяется с помощью значения данной функции на базисных векторах. Если рассмотреть аналогично полилинейную симметричную функцию, дополнительно предполагая, что значение этой функции на $n$-арном наборе базисных векторов равно $0$, если в данном наборе есть хотя бы два одинаковых вектора, и равно $1$ в противном случае, то мы приходим к понятию перманента. Точнее, пусть $\overline{e}_i$, $i=1,\dots,n$, – базисные векторы, $\overline{v}_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}\overline{e}_i$, $j=1,\dots,n$, – произвольные векторы. Тогда перманент на наборе векторов $\overline{v}_j$ имеет следующее значение:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{per}(\overline{v}_1, \overline{v}_2, \dots, \overline{v}_n) = \sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dotsb a_{n\sigma(n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в случае определителя, координаты векторов можно объединить в матрицу $A=(a_{ij})$ и говорить о перманенте как о функции на множестве матриц [1; раздел 1.1]. Несмотря на схожесть определений, перманент не обладает тем богатым набором свойств определителя, который делает последний одной из основных математических функций. Так, например, для перманента не выполняется аналог свойства $\det(AB) = \det{A}\det{B}$. Как следствие, перманент по сравнению с определителем является гораздо более “чувствительной” функцией к линейным преобразованиям матриц. Если говорить о линейных преобразованиях, заданных на всем множестве матриц $n$-го порядка, $n>2$, то перманент сохраняется лишь при перестановке строк и столбцов и, возможно, некотором их масштабировании [2]–[4]. Но некоторые свойства определителя в полной мере присущи и перманенту. Например, нетрудно видеть, что перманент матрицы сохраняется при транспонировании и в силу полилинейности для перманента справедливо разложение по строке (столбцу). В качестве приложения перманент нашел широкое применение в теории графов и перечислительной комбинаторике [1], [5]–[7]. В данной работе мы приводим несколько свойств перманента матриц малых порядков. При этом мы будем комбинировать полилинейный векторный и матричный подходы к перманенту. В дальнейшем мы будем рассматривать только вещественный случай. Работа организована следующим образом. В п. 2 мы устанавливаем геометрический смысл перманента вещественных матриц второго порядка. В п. 3 мы вводим понятия перманентного векторного и смешанного произведения трехмерных векторов и рассматриваем некоторые их свойства. В п. 4 мы доказываем свойства полилинейных форм (в том числе и перманента), характеризующие их значения на наборах радиус-векторов вершин правильных многоугольников. 2. Геометрический смысл перманента матрицы второго порядкаВ простейшем случае вещественных $(2\times 2)$-матриц легко дать прозрачную геометрическую интерпретацию перманента. Предложение 1. Пусть даны два вектора на плоскости – $\overline{u}(a,b)$ и $\overline{v}(c,d)$ . Обозначим через $\alpha$ угол между осью $OX$ и биссектрисой угла между этими векторами (рис. 1). Тогда Доказательство. Обозначим через $\beta$ угол между векторами и биссектрисой угла между ними. Мы можем записать Следствие 1. Пусть даны два ненулевых вектора $\overline{u}(a,b)$ и $\overline{v}(c,d)$. Знак перманента $\operatorname{per}(\overline{u},\overline{v})$ характеризует направление биссектрисы угла между этими векторами следующим образом: Во введении мы упоминали, что при $n>2$ перманент сохраняется лишь при весьма ограниченном количестве линейных преобразований матриц. Из предложения 1 следует, что в случае $n=2$ ситуация несколько иная. Следствие 2. При изменении угла $\beta$ между векторами и биссектрисой угла между ними при условии фиксированной длины векторов и фиксированного угла $\alpha$ между биссектрисой и осью $OX$ перманент матрицы, составленной из координат этих векторов, не меняется. Другими словами, если подействовать на первый вектор матрицей $M_1$ поворота на угол $-\gamma$, а на второй вектор – матрицей $M_2$ поворота на угол $\gamma$, то перманент полученной матрицы будет равен перманенту исходной матрицы:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{per}(\overline{u},\overline{v}) =\operatorname{per}(M_1\overline{u}, M_2\overline{v}),
\end{equation*}
\notag
$$
или в матричном виде
$$
\begin{equation*}
\operatorname{per} \begin{pmatrix} a&c \\ b&d \end{pmatrix} = \operatorname{per} \begin{pmatrix} a\cos{\gamma}+b\sin{\gamma}&c\cos{\gamma}-d\sin{\gamma} \\ -a\sin{\gamma}+b\cos{\gamma}&c\sin{\gamma}+d\cos{\gamma} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное “псевдолинейное” преобразование двумерного пространства можно представить в виде линейного преобразования четырехмерного пространства. Для этого надо паре векторов $\overline{u}(a,b)$ и $\overline{v}(c,d)$ сопоставить четырехмерный вектор $\overline{w}(a,b,c,d)$ и подействовать на него блочно-диагональной ортогональной матрицей
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} M_1&0\\ 0&M_2 \end{pmatrix} \overline{w}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное ортогональное преобразование помимо сохранения длины векторов действует инвариантно на трехмерных многообразиях $ad+bc=\mathrm{const}$.
3. Перманент вещественных матриц третьего порядкаВ случае трехмерного пространства дать прозрачную геометрическую интерпретацию, аналогичную плоскому случаю, довольно затруднительно. Мы рассмотрим здесь перманент лишь как аналог обычного смешанного произведения векторов. Зафиксируем в ${\mathbb R}^3$ ортонормированный базис $\overline{i}$, $\overline{j}$, $\overline{k}$. Пусть даны два вектора
$$
\begin{equation*}
\overline{a}=a_1\overline{i}+a_2\overline{j}+a_3\overline{k}, \qquad \overline{b}=b_1\overline{i}+b_2\overline{j}+b_3\overline{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим с их помощью третий вектор по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
\overline{c}= \overline{i}\operatorname{per} \begin{pmatrix} a_2&b_2 \\ a_3&b_3 \end{pmatrix}+\overline{j}\operatorname{per} \begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ a_3&b_3 \end{pmatrix}+\overline{k}\operatorname{per} \begin{pmatrix} a_1&b_1 \\ a_2&b_2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Назовем данную операцию на множестве трехмерных векторов перманентным векторным произведением и обозначим через $\langle \overline{a}, \overline{b}\rangle$. Она обладает следующими свойствами: 1) $\langle \overline{a}, \overline{b}\rangle=\langle \overline{b}, \overline{a}\rangle$ – коммутативность; 2) $\langle \alpha\overline{a}+\beta\overline{b}, \overline{c}\rangle=\alpha\langle\overline{a}, \overline{c}\rangle+\beta\langle \overline{b}, \overline{c}\rangle$ – линейность; 3) $\langle\overline{i}, \overline{i}\rangle=\langle \overline{j}, \overline{j}\rangle=\langle\overline{k}, \overline{k}\rangle=0$ – нильпотентность; 4) $\langle\overline{i}, \overline{j}\rangle=\overline{k}$, $\langle\overline{i}, \overline{k}\rangle=\overline{j}$, $\langle\overline{j},\overline{k}\rangle=\overline{i}$; 5) $\langle\alpha\overline{i}+\beta\overline{j}, \alpha\overline{i}-\beta\overline{j}\rangle =\langle\alpha\overline{i}+\beta\overline{k}, \alpha\overline{i}-\beta\overline{k}\rangle= \langle\alpha\overline{j}+\beta\overline{k}, \alpha\overline{j}-\beta\overline{k}\rangle=0$. Свойство ассоциативности не выполняется. Например, $\langle\langle\overline{i},\overline{j}\rangle, \overline{j}\rangle\not=\langle\overline{i},\langle\overline{j}, \overline{j}\rangle\rangle$. Таким образом, множество трехмерных векторов относительно данной операции образует трехмерную коммутативную, но не ассоциативную алгебру без единицы. Ее можно определить как алгебру, порожденную тремя образующими $i$, $j$, $k$ и соотношениями
$$
\begin{equation*}
i^2=j^2=k^2=0, \qquad ij=ji=k, \qquad ik=ki=j, \qquad jk=kj=i.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно показать, что п. 5) с точностью до умножения на скаляр исчерпывает все случаи, когда произведение $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ ненулевых векторов равно нулю. Пусть даны три трехмерных вектора $\overline{x}$, $\overline{a}$ и $\overline{b}$. Рассмотрим число $\overline{x}\cdot\langle\overline{a}, \overline{b}\rangle$, где “$\cdot$” обозначает обычное скалярное произведение векторов. Назовем его перманентным смешанным произведением. Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation}
\overline{x}\cdot\langle\overline{a},\overline{b}\rangle= \operatorname{per}(\overline{x},\overline{a},\overline{b}).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Из (3.1) и правила разложения перманента по столбцу следует, что
$$
\begin{equation}
\overline{x}\cdot\langle\overline{a},\overline{b}\rangle =\langle\overline{x},\overline{a}\rangle\cdot\overline{b}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Таким образом, как и в случае обычного смешанного произведения, в (3.2) знаки скалярного и перманентного векторного произведения можно опустить и писать просто $\bar{x}\bar{a}\overline{b}$. Рассмотрим равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{per}(\overline{x}, \overline{a}, \overline{b})=0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Если векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ считать фиксированными, а вектор $\overline{x}$ неизвестным, то (3.3) задает уравнение плоскости, перпендикулярной ненулевому вектору $\langle\overline{a}, \overline{b}\rangle$. Если же вектор $\langle\overline{a}, \overline{b}\rangle$ нулевой, то (3.3) относительно $\overline{x}$ является тождеством. Таким образом, необходимым и достаточным условием выполнения равенства (3.3) является перпендикулярность векторов $\overline{x}$ и $\langle\overline{a}, \overline{b}\rangle$. В следующем пункте мы рассмотрим свойства, характеризующие значение полилинейных форм на наборах радиус-векторов вершин правильного многоугольника. В качестве следствия мы получим интересный частный случай, когда равенство (3.3) выполняется.
4. Полилинейные формы на радиус-векторах вершин правильного многоугольникаВ данном пункте рассмотрены свойства, которые справедливы не только для перманента, но и для более широкого класса полилинейных форм. Пусть $f$ – билинейная форма на ${\mathbb R}^2$, $g$ – оператор поворота на угол $2\pi/n$, $n\in {\mathbb N}$, $n\geqslant 3$, $\overline{v}$ – произвольный вектор из $\mathbb{R}^2$, $p\in{\mathbb Z}$. Введем следующее обозначение:
$$
\begin{equation*}
F_{n,p}(\overline{v}) = \sum_{k=0}^{n-1} f(g^k(\overline{v}), g^{k+p}(\overline{v})).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Зафиксируем в ${\mathbb R}^2$ ортонормированный базис $\overline{i}$, $\overline{j}$. Тогда для того, чтобы для любых $n\in {\mathbb N}$, $n\geqslant 3$, $p\in {\mathbb Z}$ и $\overline{v}\in {\mathbb R}^2$ выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы $f$ была симметричной и обладала свойством Доказательство. Необходимость. Пусть $g$ – оператор поворота на угол $\pi/2$, $\overline{v}(a,b)$ – произвольный вектор. Рассмотрим сумму Достаточность. Рассмотрим произвольный вектор $\overline{v}$. Предположим, что угол между осью $Ox$ и вектором $\overline{v}$ равен $\phi$. Пусть $g$ – оператор поворота на угол $2\pi/n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(g^k(\overline{v}), g^{k+p}(\overline{v})) = |\overline{v}|^2\biggl[f(\overline{i}, \overline{i})\cos\biggl(\phi + \frac{2\pi k}{n}\biggr)\cos\biggl(\phi + \frac{2\pi (k+p)}{n}\biggr) \\ &\qquad\qquad + f(\overline{j}, \overline{j})\sin\biggl(\phi + \frac{2\pi k}{n}r\biggr)\sin\biggl(\phi + \frac{2\pi (k+p)}{n}\biggr) \\ &\qquad\qquad + f(\overline{i}, \overline{j})\cos\biggl(\phi + \frac{2\pi k}{n}\biggr)\sin\biggl(\phi + \frac{2\pi (k+p)}{n}\biggr) \\ &\qquad\qquad+ f(\overline{j}, \overline{i})\sin\biggl(\phi + \frac{2\pi k}{n}\biggr)\cos\biggl(\phi + \frac{2\pi (k+p)}{n}\biggr) \biggr] \\ &\qquad = |\overline{v}|^2\biggl[f(\overline{i}, \overline{i})\cos\biggl(2\phi + \frac{2\pi p}{n} + \frac{4\pi k}{n}\biggr) + f(\overline{i}, \overline{j})\sin\biggl(2\phi + \frac{2\pi p}{n} + \frac{4\pi k}{n}\biggr) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
F_{n,p}(\overline{v}) = |\overline{v}|^2\biggl[f(\overline{i}, \overline{i})\sum_{k=0}^{n-1}\cos\biggl(2\phi + \frac{2\pi p}{n} + \frac{4\pi k}{n}\biggr) + f(\overline{i}, \overline{j})\sum_{k=0}^{n-1}\sin\biggl(2\phi + \frac{2\pi p}{n} + \frac{4\pi k}{n}\biggr) \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно показать, что представляют собой кратные суммы соответственно первых и вторых координат вершин некоторого правильного многоугольника с центром в начале координат. Следовательно, данные суммы равны нулю и $F_{n,p}(\overline{v})=0$. Следствие 3. Зафиксируем в ${\mathbb R}^2$ ортонормированный базис. Пусть $g$ – оператор поворота в ${\mathbb R}^2$ на угол $2\pi/n$, $\overline{v}\in {\mathbb R}^2$ – произвольный вектор, $f$ – билинейная симметричная функция на ${\mathbb R}^2$, удовлетворяющая условию (4.1). Обозначим через $D_n = \{ (i,j),\,i,j =1,\dots, n,\,i<j\}$ множество упорядоченных пар целых чисел от $1$ до $n$. Тогда Доказательство. Векторы $g(\overline{v}),g^2(\overline{v}),\dots,g^n(\overline{v})$ являются радиус-векторами вершин некоторого правильного $n$-угольника с центром в начале координат, поэтому их сумма равна нулю. Отсюда с учетом билинейности и симметричности функции $f$ получаем Следствие 4. Зафиксируем в ${\mathbb R}^3$ ортонормированный базис. Пусть $\overline{v}$ – произвольный вектор, а $g$ – оператор поворота вокруг оси $Oz$ на угол $2\pi/3$. Тогда Доказательство. Так как $g$ – оператор вращения вокруг оси $Oz$, то все три вектора $\overline{v}$, $g(\overline{v})$, $g^2(\overline{v})$ имеют одну и ту же координату $z$, равную, допустим, $c$. Раскладывая перманент по третьей строке, получаем Следствие 5. Зафиксируем в ${\mathbb R}^2$ ортонормированный базис и рассмотрим правильный $n$-угольник с центром в начале координат и вершинами $(a_i,b_i)$, где $i$ пробегает значения от $1$ до $n$. Тогда сумма произведений координат вершин данного $n$-угольника равна нулю: Доказательство. Пусть $\overline{v}$ – радиус-вектор первой вершины многоугольника, $g$ – оператор поворота на угол $2\pi/n$. Тогда векторы $g^k(\overline{v})$, $k=0,\dots, n-1$, будут соответствовать радиус-векторам всех вершин многоугольника. Рассматривая в качестве функции $f$ перманент и полагая $p=0$, в силу теоремы 1 получаем Но, как нетрудно видеть, $\operatorname{per}(g^k(\overline{v}), g^k(\overline{v}))$ равняется удвоенному произведению координат вектора $g^k(\overline{v})$. Отсюда следует утверждение следствия. Перейдем теперь к трехмерному пространству. В этом случае аналог предыдущего свойства доказывается даже проще и имеет более общий вид. Пусть $h$ – трилинейная форма в ${\mathbb R}^3$, $\overline{v}$ – произвольный вектор, $g$ – оператор вращения на угол $2\pi/n$, $n\in {\mathbb N}$, $n\geqslant 4$, вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору $\overline{v}$, $p\in{\mathbb Z}$. Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
H_{n,p}(\overline{v}) = \sum_{k=0}^{n-1} h\bigl(g^k(\overline{v}), g^{k+p}(\overline{v}), g^{k+2p}(\overline{v})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Для любых $n\in {\mathbb N}$, $n\geqslant 4$, $p\in{\mathbb Z}$ и $\overline{v}$ из $\mathbb{R}^3$ Доказательство. Пусть $\overline{v}$ – произвольный вектор в ${\mathbb R}^3$, $g$ – оператор вращения на угол $2\pi/n$, $n\in{\mathbb N}$, $n\geqslant 4$, вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат перпендикулярно $\overline{v}$. Так как все векторы $g^k(\overline{v})$, $k\in {\mathbb Z}$, лежат в одной плоскости, то каждый из них можно выразить линейно через векторы $\overline{v}$ и $g(\overline{v})$. Для того, чтобы получить данную зависимость в явном виде, перейдем временно к вспомогательной системе координат, в которой векторы $g^k(\overline{v})$ лежат в плоскости $XOY$, а направление вектора $\overline{v}$ совпадает с положительным направлением оси $Ox$. В данной системе координат вектор $g^k(\overline{v})$ будет иметь координаты $(\cos(2\pi k/n), \sin(2\pi k/n))$. Рассмотрим равенство $g^k(\overline{v})=\alpha\overline{v}+\beta g(\overline{v})$. Расписывая его через координаты и решая полученную систему двух линейных уравнений относительно $\alpha$ и $\beta$, находим, что векторы $g^k(\overline{v})$, $k\in {\mathbb Z}$, выражаются через векторы $\overline{v}$ и $g(\overline{v})$ следующим образом: Аналогично плоскому случаю, используя теорему 2 и рассматривая в качестве трилинейной формы $h$ перманент, можно доказать следующее утверждение. Следствие 6. Рассмотрим в ${\mathbb R}^3$ правильный $n$-угольник, $n\geqslant 4$, с центром в начале координат и вершинами $(a_i,b_i, c_i)$, где $i$ пробегает значения от 1 до $n$. Тогда сумма произведений координат вершин данного $n$-угольника равна нулю: В заключение сделаем предположение, что аналоги теорем 1 и 2 справедливы и для пространств больших размерностей. Автор выражает благодарность рецензенту за ряд полезных замечаний. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Efi23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|