| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О гиперциклических операторах в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций А. И. Рахимова Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070258 
Реферативные базы данных:
 1. Введение1.1. Краткие сведения о гиперциклических операторахПусть $T$ – линейный непрерывный оператор на сепарабельном локально выпуклом пространстве $X$. Оператор $T$ называют гиперциклическим, если существует элемент $x \in X$ такой, что его орбита $\operatorname{Orb}\{x,T\}=\{x,Tx,T^2x,\dots\}$ плотна в $X$. Это свойство динамической системы $(X, T)$ стало особенно активно изучаться с 80-х годов прошлого века. Во многом это было вызвано появлением прорывной работы Кэрол Китаи [1], в которой было получено сравнительно простое достаточное условие гиперцикличности линейного непрерывного оператора в банаховом пространстве. Она послужила толчком для интенсивного изучения гиперциклических операторов в локально выпуклых пространствах. Обзор недавних достижений и современная трактовка классических результатов теории гиперциклических операторов даны в статье [2], из которых два следующих используются по существу в настоящей работе. Теорема A (теорема Годфруа–Шапиро [3]). Пусть $T\colon X \to X$ – линейный непрерывный оператор в сепарабельном пространстве Фреше $X$, подпространства плотны в $X$. Тогда $T$ – гиперциклический оператор. Теорема B (теорема Китаи–Гефнера–Шапиро [4]). Пусть $X$ – сепарабельное пространство Фреше и $T\colon X \to X$ – линейный непрерывный оператор. Пусть $X_0$, $Y_0$ – плотные подмножества $X$ и последовательность ${(S_k)}_{k=1}^{\infty}$ отображений $S_k\colon Y_0 \to X$ таковы, что Тогда оператор $T$ является гиперциклическим. 1.2. Цель работыДанная работа посвящена изучению гиперцикличности линейных операторов в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в ${\mathbb R}^n$, инвариантных относительно дифференцирования или сдвига. Основной интерес к данной тематике связан с работой [5], в которой была доказана гиперцикличность дифференциальных операторов конечного порядка с постоянными коэффициентами в инвариантном относительно дифференцирования весовом пространстве Фреше ${\mathcal E}(\varphi)$ бесконечно дифференцируемых функций в $\mathbb{R}^n$, определенном следующим образом. Пусть $\varphi=\{\varphi_m\}_{m=1}^{\infty}$ – семейство непрерывных вещественнозначных функций $\varphi_m$ в ${\mathbb R}^n$ таких, что для любого $m \in {\mathbb N}$ имеют место следующие свойства:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal E}(\varphi_m)=\biggl\{f \in C^m({\mathbb R}^n)\colon p_m (f)=\sup_{x \in {\mathbb R}^n,\,|\alpha|\leqslant m} \frac{|(D_x^{\alpha} f)(x)|}{\exp(\varphi_m(x))} < \infty \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим ${\mathcal E}(\varphi)=\bigcap_{m=1}^{\infty}{\mathcal E}(\varphi_m)$. С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа ${\mathcal E}(\varphi)$ – линейное пространство. Наделим ${\mathcal E}(\varphi)$ топологией проективного предела пространств ${\mathcal E}(\varphi_m)$. Известно [6], что ${\mathcal E}(\varphi)$ – пространство Фреше и оно инвариантно относительно дифференцирования, а операторы частного дифференцирования непрерывны в нем. Из основного результата работы [7] следует, что ${\mathcal E}(\varphi)$ – сепарабельное пространство. Ясно, что дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами конечного порядка коммутирует с операторами частного дифференцирования ${\partial}/{\partial x_j}$, где $j \in (1, n) $. Это очевидное наблюдение вместе с установленным в [4; теорема 5.1] результатом о гиперцикличности линейных непрерывных операторов в пространстве $H ({\mathbb C}^n)$ целых функций многих переменных (рассматриваемом с обычной топологией компактной сходимости), коммутирующих с операторами частного дифференцирования, мотивирует к рассмотрению задачи о гиперцикличности такого типа операторов в пространстве ${\mathcal E}(\varphi)$. Решение этой задачи – одна из целей данной работы. Оно получено в разделе 2 (теорема 1). Отметим, что пространство ${\mathcal E}(\varphi)$ не обязано быть инвариантным относительно сдвига, что в целом сужает класс линейных операторов, действующих в ${\mathcal E}(\varphi)$, и ограничивает возможности для изучения гиперциклических операторов в нем. В связи с этим обстоятельством на семейство $\varphi$ в данной работе в ряде специально оговариваемых случаев может накладываться одно из следующих трех условий, гарантирующих инвариантность ${\mathcal E}(\varphi)$ относительно сдвига: либо более жесткое условие
Примерами функции $\varphi_m$ являются
1.3. ОбозначенияДля точек $u=(u_1,\dots,u_n) $, $v=(v_1,\dots,v_n)$ из ${\mathbb R}^n$ (${\mathbb C}^n$) определим $\langle u, v \rangle =u_1v_1+\dots+u_n v_n$, $\|u\|$ – евклидова норма в ${\mathbb R}^n$ (${\mathbb C}^n$). Для мультииндекса $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \in {\mathbb Z}_+^n$, точек $x=(x_1,\dots,x_n) \in {\mathbb R}^n$, $z=(z_1,\dots,z_n) \in {\mathbb C}^n$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n, \qquad x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1} \dotsb x_n^{\alpha_n}, \qquad z^{\alpha}=z_1^{\alpha_1} \dotsb z_n^{\alpha_n}, \\ D_j=\frac{\partial}{\partial x_j}, \quad j=1, 2, \dots , \qquad D_x^{\alpha}=\frac{{\partial}^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotsb \partial x_n^{\alpha_n}}, \qquad D_z^{\alpha}=\frac{{\partial}^{|\alpha|}}{\partial z_1^{\alpha_1}\dotsb \partial z_n^{\alpha_n}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольной вещественнозначной функции $\varPhi$ в ${\mathbb R}^n$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\|x\|\to +\infty}\frac{\varPhi(x)}{\|x\|}=+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
положим ${\widetilde \varPhi} (x)=-\inf_{y \in {\mathbb R}^n}(\langle x, y \rangle+\varPhi(y))$, $x \in {\mathbb R}^n$. Если пространство ${\mathcal E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига, то для любого $a \in {\mathbb R}^n$ через $T_a$ обозначаем оператор сдвига на вектор $a$ в ${\mathcal E}(\varphi)$, т.е. $T_a\colon f \in {\mathcal E}(\varphi) \to f(x+a)$. 2. Основные результатыТеорема 1. Пусть линейный непрерывный оператор $T$ в пространстве ${\mathcal E}(\varphi)$ коммутирует с операторами частного дифференцирования и не является скалярным кратным тождественного отображения. Тогда $T$ – гиперциклический оператор. Доказательство. Отметим вначале, что для любого $z \in {\mathbb C}^n$ функция $f_z(\xi):=\exp(i \langle \xi, z \rangle)$ принадлежит ${\mathcal E}(\varphi)$, поскольку для каждого $m \in {\mathbb N}$ Таким образом, для любых $z \in {\mathbb C}^n$, $\xi \in {\mathbb R}^n$ имеем $F_T(\xi, z)=a_T(z)e^{i \langle \xi, z \rangle}$. Отметим, что $F_T$ по переменной $z$ является целой функцией. Действительно, так как $T$ – линейный непрерывный оператор на ${\mathcal E}(\varphi)$, то для любого $k \in {\mathbb N}$ найдутся числа $c_k>0$ и $m \in {\mathbb N}$ такие, что
$$
\begin{equation}
p_k(T(g)) \leqslant c_k p_m(g), \qquad g \in {\mathcal E}(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $\xi \in {\mathbb R}^n$, $\zeta \in {\mathbb C}^n$ – произвольные точки. Для любого $z \in {\mathbb C}^n$ такого, что $\|z-\zeta\|< 1$, рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
g_{z, \zeta}(\xi):=e^{i \langle \xi, z \rangle} -e^{i \langle \xi, \zeta \rangle}- i \langle \xi, z-\zeta \rangle e^{i \langle \xi, \zeta \rangle}, \qquad \xi \in {\mathbb R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.2) выполняется
$$
\begin{equation*}
|T(g_{z, \zeta})(\xi)|\leqslant c_0 p_m(g_{z, \zeta})e^{\varphi_m (\xi)}, \qquad \xi \in {\mathbb R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда из неравенства (см. [7]) справедливого при некотором зависящем от $\zeta$ положительном $C$, и линейности оператора $T$ получим, что для любого $\xi \in {\mathbb R}^n$
$$
\begin{equation*}
F_T(\xi, z)-F_T(\xi, \zeta)=\sum_{j=1}^{n} T(f_{j, \zeta})(\xi) (z_j-{\zeta}_j)+ o(\|z-\zeta\|), \qquad z \to \zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{j, \zeta}(\xi):=i \xi_j \exp(i \langle \xi, \zeta \rangle)$. Следовательно, для каждого фиксированного $\xi \in {\mathbb R}^n$ функция $F_T(\xi, z)$ голоморфна в точке $\zeta$ как функция переменного $z$. Так как $\zeta \in {\mathbb C}^n $ была взята произвольно, то $F_T$ по переменной $z$ является целой функцией. Отсюда и из (2.1) следует, что $a_T$ – целая функция в ${\mathbb C}^n$. Поскольку по условию оператор $T$ не является скалярным кратным тождественного отображения, то $a_T$ – непостоянная функция. Отметим теперь, что если $\Omega$ – непустое открытое множество ${\mathbb C}^n$, то система $\{f_z\}_{z \in \Omega}$ полна в ${\mathcal E}(\varphi)$ [5; лемма 1]. Рассмотрим множества
$$
\begin{equation*}
W_1=\{z \in {\mathbb C}^n\colon |a_T(z)|< 1 \}, \qquad W_2=\{z \in {\mathbb C}^n\colon |a_T(z)|> 1 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Они непустые и открытые в ${\mathbb C}^n$. Пусть $X_0$ – линейная оболочка системы $\{f_z\}_{z \in W_1}$, $Y_0$ – линейная оболочка системы $\{f_z\}_{z \in W_2}$. Множества $X_0$ и $Y_0$ плотны в ${\mathcal E}(\varphi)$. Следовательно, линейные оболочки множеств $\bigcup_{|\lambda|< 1} \operatorname{ker} (T-\lambda)$ и $\bigcup_{|\lambda|> 1} \operatorname{ker} (T-\lambda)$ плотны в ${\mathcal E}(\varphi)$. Таким образом, все условия теоремы A выполнены. Следовательно, оператор $T$ гиперциклический. Теорема доказана. Из теоремы 1 получаем такое следствие. Следствие 1. Пусть полином $P(x)=\sum_{|\alpha|\leqslant m} a_{\alpha} x^{\alpha}$, $ x \in {\mathbb R}^n$, отличен от постоянной. Тогда оператор $T=\sum_{|\alpha| \leqslant m} a_{\alpha} D_x^{\alpha}$ является гиперциклическим в ${\mathcal E}(\varphi)$. Следствие 1 – это в точности теорема 1 из статьи [5]. Следствие 2. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$. Тогда для любого $a \in {\mathbb R}^n$, $a \ne (0, 0,\dots,0)$, оператор $T_a\colon f \in {\mathcal E}(\varphi) \to f(x+a)$ гиперциклический в ${\mathcal E}(\varphi)$. Доказательство. Очевидно, оператор $T_a$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Поэтому чтобы применить теорему 1, достаточно убедиться, что линейный оператор $T_a$ является непрерывным. Возьмем число $m \in {\mathbb N}$ произвольно. Ввиду условия $\gamma_1)$ на систему функций $\varphi$ можно найти числа $l \in {\mathbb N}$ и $c_m>0$ такие, что
$$
\begin{equation}
\varphi_{m+l}(x+a)-\varphi_m(x) \leqslant c_m, \qquad x \in {\mathbb R}^n.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $f\in\mathcal{E}(\varphi)$. Тогда для любого $\alpha\in\mathbb {Z}_+^n$ с $|\alpha|\leqslant m+l$
$$
\begin{equation*}
|(D^\alpha f) (x)|\leqslant p_{m+l}(f) e^{\varphi_{m+l}(x)}, \qquad x\in\mathbb{R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь этой оценкой и неравенством (2.3), имеем для любых $\alpha\in\mathbb {Z}_+^n$ с $|\alpha|\leqslant m$ и $x \in \mathbb{R}^n$
$$
\begin{equation*}
|(D^\alpha T_a f)(x)|=|(D^\alpha f) (x+a)|\leqslant p_{m+l}(f) e^{\varphi_{m+l}(x+a)} \leqslant p_{m+l} (f) e^{\varphi_m(x)+c_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что где $\widetilde{c}_m=e^{c_m}$. Таким образом, $T_a f\in \mathcal{E}(\varphi)$ для любого $f\in\mathcal{E}(\varphi)$, а линейное отображение $T_a$ непрерывно. Применяя теперь теорему 1, заключаем, что $T_a$ – гиперциклический оператор в ${\mathcal E}(\varphi)$. Следствие доказано.Следствие 3. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$. Пусть $N \in {\mathbb N}$, $c_j \in {\mathbb C}$ и точки $a^j \in {\mathbb R}^n$, $j=1, 2,\dots,N$. Тогда оператор при условии, что он не кратен тождественному, является гиперциклическим. Доказательство. Очевидно, оператор $T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Кроме того, в предыдущем следствии было показано, что для любого $a \in {\mathbb R}^n$ оператор $T_a$ непрерывен в $\mathcal{E}(\varphi)$. Значит, и линейный оператор $T$ является непрерывным в $\mathcal{E}(\varphi)$. Осталось воспользоваться утверждением теоремы 1, из которой получается, что $T$ гиперциклический в $\mathcal{E}(\varphi)$. Следствие 4. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$. Пусть $N\in\mathbb{N}$ и для каждого $j=1, 2,\dots, N$ заданы числа $c_j\in\mathbb{C}$, точки $a^j\in\mathbb{R}^n$ и мультииндексы $\alpha^j\in\mathbb{Z}_+^n$. Тогда оператор $Tf(x)=\sum_{j=1}^N c_j (D_x^{\alpha^j}f)(x+a^j)$, действующий в $\mathcal{E}(\varphi)$ и не кратный тождественному, является гиперциклическим. Доказательство. Из доказательства теоремы 1 в [5] известно, что для любого $\alpha\in \mathbb {Z}_+^n$ оператор $D^\alpha$ действует непрерывно из $\mathcal{E}(\varphi)$ в $\mathcal{E}(\varphi)$. Согласно следствию 2 оператор сдвига также непрерывен в $\mathcal{E}(\varphi)$. Следовательно, линейный оператор $T$ непрерывен. Очевидно, оператор $T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Но тогда по теореме 1 оператор $T$ является гиперциклическим. Пусть $\Lambda=(\lambda_j)_{j=1}^{\infty}$ – последовательность точек $\lambda_j \in {\mathbb R}^n$. При условии, что семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_2)$, для любых $m, j \in {\mathbb N}$ можно определить числа
$$
\begin{equation*}
b_{j,m} (\Lambda)=\sup_{x\in\mathbb{R}} (\varphi_{m+1}(x+\lambda_j)- \varphi_m(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 5. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_2)$. Пусть заданы последовательность $(d_j)_{j=1}^{\infty}$ комплексных чисел $d_j$ и последовательность $\Lambda=(\lambda_j)_{j=1}^{\infty}$ точек $\lambda_j \in {\mathbb R}^n$ таких, что $\lim_{j\to\infty} \lambda_j=\infty$ и $\sum_{j=1}^\infty|d_j|e^{b_{j,m}(\Lambda)}<\infty$ для любого $m \in {\mathbb N}$. Тогда оператор $T$, определенный на $\mathcal{E}(\varphi)$ по правилу является гиперциклическим в $\mathcal{E}(\varphi)$.Доказательство. Пусть $f\in\mathcal{E}(\varphi)$. Тогда каково бы ни было $m \in {\mathbb N}$, для любого $\alpha\in\mathbb {Z}_+^n$ с $|\alpha|\leqslant m$ Пользуясь условием $\gamma_2)$, имеем
$$
\begin{equation*}
|D^\alpha (f (x+\lambda_j))|\leqslant p_{m+1}(f) e^{\varphi_{m}(x)+b_{j,m}(\Lambda)}, \qquad x \in {\mathbb R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
p_{m}(Tf) \leqslant \sum_{j=1}^\infty|d_j|e^{b_{j,m}(\Lambda)}p_{m+1}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, линейный оператор $T$ действует из $\mathcal{E}(\varphi)$ в $\mathcal{E}(\varphi)$ и является непрерывным. Так как $T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования, то по теореме 1 $T$ – гиперциклический оператор. Следствие доказано. Следствие 6. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$, $S$ – обобщенная функция с компактным носителем, преобразование Фурье–Лапласа которой $\widehat{S}(z)=S_\xi(e^{-i\langle \xi, z \rangle})$ не является постоянной. Тогда определяемый по ней оператор свертки $M_S[f](x)=S_y(f(x+y))$ является гиперциклическим в $\mathcal{E}(\varphi)$. Доказательство. Так как $S$ – обобщенная функция с компактным носителем, а всякая функция $f$ из $\mathcal{E}(\varphi)$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$, то $M_S[f] \in C^{\infty} ({\mathbb R}^n)$. Убедимся, что $M_S [f] \in \mathcal{E}(\varphi)$ для любой функции $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ и что линейный оператор $M_S$ действует непрерывно из $\mathcal{E}(\varphi)$ в себя. Найдутся компакт $K$ в ${\mathbb R}^n$ и числа $p \in {\mathbb Z}_+$ и $C>0$ такие, что Поэтому для $f\in\mathcal{E}(\varphi)$ Пусть $m \in {\mathbb N}$ произвольно. Ввиду условия $\gamma_1)$ на систему функций $\varphi$ можно найти числа $l \in {\mathbb N}$ и $c_m>0$ такие, что
$$
\begin{equation}
\varphi_{m+l}(x+y)-\varphi_m (x) \leqslant c_m, \qquad x \in {\mathbb R}^n, \quad y \in K.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Можно считать, что $m+l \geqslant p$. Тогда из (2.4) имеем
$$
\begin{equation*}
|M_S[f](x)|\leqslant C_1 p_{m+l}(f)\exp\Bigl(\max_{y \in K} \varphi_{m+l}(x+y)\Bigr), \qquad x\in\mathbb{R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.5) получим, что
$$
\begin{equation*}
|M_S[f](x)|\leqslant C_2 p_{m+l}(f)e^{\varphi_{m}(x)}, \qquad x\in\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_2=C_1 e^{c_m}$. Таким образом, оператор $M_S$ действует из ${\mathcal E}(\varphi)$ в себя, а из неравенства следует, что оператор $M_S$ действует из $\mathcal{E}(\varphi)$ в $\mathcal{E}(\varphi)$ непрерывно. Известно [8], что оператор $M_S$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Кроме того, по условию он не является кратным тождественному оператору. Тогда с учетом доказанного по теореме 1 следует, что оператор $M_S$ гиперциклический в пространстве $\mathcal{E}(\varphi)$. Следствие доказано. Лемма 1. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$. Пусть $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$. Тогда для любого $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ функция $M_S[f]$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$, а оператор $M_S[f]$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Доказательство. В силу условия $\gamma_1)$ пространство $\mathcal{E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига. Поэтому оператор $M_S$ корректно определен на $\mathcal{E}(\varphi)$ и для любой функции $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ функция $M_S[f]$ определена в ${\mathbb R}^n$. Покажем, что если $f \in {\mathcal E}(\varphi)$, то функция $M_S[f]$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$. Пусть $x_0 \in {\mathbb R}^n$ – произвольная точка, $h=(h_1,\dots,h_n)$ принадлежит ${\mathbb R}^n$ и по модулю не превосходит 1. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_S[f] (x_0+h)-M_S[f] (x_0)-\sum_{j=1}^n M_S[D_j f] (x_0) h_j \\ &\qquad =S_y(f (x_0+h+y))-S_y(f (x_0+y))-\sum_{j=1}^n S_y\bigl((D_j f) (x_0+y)\bigr) h_j \\ &\qquad =S_y\biggl(f (x_0+h+y)-f (x_0+y)-\sum_{j=1}^n (D_j f) (x_0+y) h_j\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и при некоторых $m \in {\mathbb N}$ и $C_m>0$
$$
\begin{equation*}
|S(f)|\leqslant C_m p_m (f), \qquad f \in {\mathcal E}(\varphi),
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\biggl|M_S[f] (x_0+h)-M_S[f] (x_0)-\sum_{j=1}^n M_S[D_j f] (x_0) h_j\biggr| \leqslant C_m p_m(g_{x_0, h}),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
g_{x_0, h}(y)=f (x_0+h+y)-f (x_0+y)-\sum_{j=1}^n (D_j f) (x_0+y) h_j, \qquad y \in {\mathbb R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя при каждом $\beta \in {\mathbb Z}_+^n$ формулу Тейлора для вещественной и мнимой части функции $D^{\beta} g_{x_0, h}$, получим оценку
$$
\begin{equation}
|(D^{\beta} g_{x_0, h} (y)|\leqslant 2 n^2\|h\|^2 \max_{\substack{\xi \in [x_0+y, x_0+y +h]\\ \alpha \in {\mathbb Z}_+^n\colon|\alpha|=2 }} |(D^{\alpha+\beta} f) (\xi)|,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $[x_0+y, x_0+y +h]$ – отрезок, соединяющий точки $x_0+y$ и $x_0+y +h$. Пользуясь условием $\gamma_1)$, найдем натуральное число $k \geqslant m+2$ и число $C=C(x_0)>0$, удовлетворяющие неравенству $\varphi_k (\xi) \leqslant \varphi_{m} (y)+C$ для всех $\xi \in {\mathbb R}^n$ таких, что $\|\xi-y\|\leqslant\|x_0\|+1$. Тогда для всех $\beta \in {\mathbb Z}_+^n$ с $|\beta|\leqslant m$
$$
\begin{equation*}
\max_{\substack{\xi \in [x_0+y, x_0+y +h]\\ \alpha \in {\mathbb Z}_+^n\colon|\alpha|=2 }} |(D^{\alpha+\beta} f) (\xi)|\leqslant e^C p_k (f) e^{\varphi_{m} (y)}, \qquad y \in {\mathbb R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.7) получим, что для всех $\beta \in {\mathbb Z}_+^n$ с $| \beta|\leqslant m$ Значит, Это означает, что функция $M_S[f]$ дифференцируема в точке $x_0 \in {\mathbb R}^n$ и поэтому $D_j (M_S[f])(x_0)=M_S[D_j f] (x_0)$. А так как точка $x_0$ была взята произвольно, то $M_S[f]$ дифференцируема всюду в ${\mathbb R}^n$. Также доказано, что $D_j (M_S[f])=M_S[D_j f]$, $j=1,\dots, n$. Из этого равенства и из того, что пространство ${\mathcal E}(\varphi)$ инвариантно относительно дифференцирования, следует, что функция $M_S[f]$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_3)$. Пусть $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$. Тогда оператор свертки $M_S[f](x)=S_y(f(x+y))$ действует из $\mathcal{E}(\varphi)$ в себя и является линейным непрерывным. Доказательство. В силу условия $\gamma_3)$ пространство $\mathcal{E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига. Поэтому оператор $M_S$ корректно определен на $\mathcal{E}(\varphi)$. Очевидно, он является линейным. Далее, так как $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$, то найдутся числа $k \in {\mathbb N}$ и $C_k>0$ такие, что Следовательно, каково бы ни было $x \in {\mathbb R}^n$, для любой функции $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ имеем Возьмем число $m \in {\mathbb N}$ произвольно. Пусть $l \in {\mathbb N}$ – число из условия $\gamma_3)$. Так как $l \geqslant k$, то, пользуясь принадлежностью $f$ пространству $\mathcal{E}(\varphi)$, получим, что
$$
\begin{equation*}
|M_S[f](x)|\leqslant C_k p_{l} (f) \sup_{y \in {\mathbb R}^n} \frac{\exp(\varphi_{l}(x+y))}{\exp(\varphi_{k} (y))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, воспользовавшись условием $\gamma_3)$, получим Отсюда следует, что Это неравенство означает, что линейный оператор $M_S$ действует из $\mathcal{E}(\varphi)$ в себя и является непрерывным. Лемма доказана.Пользуясь леммами 1 и 2, убеждаемся в справедливости следующей теоремы. Теорема 2. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условиям $\gamma_1)$ и $\gamma_3)$. Пусть $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$. Тогда оператор свертки $M_S[f]$ является гиперциклическим. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rak23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|