А. И. Рахимова, “О гиперциклических операторах в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 297–305; Math. Notes, 114:2 (2023), 242

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 2, страницы 297–305
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13690 (Mi mzm13690)

О гиперциклических операторах в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций

А. И. Рахимова

Башкирский государственный университет, г. Уфа

PDF полного текста (544 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13690

Аннотация: Рассматривается инвариантное относительно дифференцирования весовое пространство Фреше

${\mathcal E}(\varphi)$ бесконечно дифференцируемых функций в

${\mathbb R}^n$ , порожденное счетным семейством

$\varphi$ непрерывных вещественнозначных функций в

${\mathbb R}^n$ . При минимальных ограничениях на

$\varphi$ показано, что любой линейный непрерывный оператор в пространстве

${\mathcal E}(\varphi)$ , коммутирующий с операторами частного дифференцирования и не являющийся скалярным кратным тождественного отображения, является гиперциклическим. Приведены примеры гиперциклических операторов в

${\mathcal E}(\varphi)$ для случаев, когда пространство

${\mathcal E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига.
Библиография: 8 названий.

Ключевые слова: бесконечно дифференцируемые функции, гиперциклический оператор, оператор свертки.

Поступило: 12.08.2022
Исправленный вариант: 15.02.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages 242–249
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070258

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.55

MSC: 30E99

1. Введение

1.1. Краткие сведения о гиперциклических операторах

Пусть $T$ – линейный непрерывный оператор на сепарабельном локально выпуклом пространстве $X$ . Оператор $T$ называют гиперциклическим, если существует элемент $x \in X$ такой, что его орбита $\operatorname{Orb}\{x,T\}=\{x,Tx,T^2x,\dots\}$ плотна в $X$ . Это свойство динамической системы $(X, T)$ стало особенно активно изучаться с 80-х годов прошлого века. Во многом это было вызвано появлением прорывной работы Кэрол Китаи [1], в которой было получено сравнительно простое достаточное условие гиперцикличности линейного непрерывного оператора в банаховом пространстве. Она послужила толчком для интенсивного изучения гиперциклических операторов в локально выпуклых пространствах. Обзор недавних достижений и современная трактовка классических результатов теории гиперциклических операторов даны в статье [2], из которых два следующих используются по существу в настоящей работе.

Теорема A (теорема Годфруа–Шапиро [3]). Пусть $T\colon X \to X$ – линейный непрерывный оператор в сепарабельном пространстве Фреше $X$ , подпространства

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, X_0=\operatorname{span}\{x\in{X}\colon Tx=\lambda{x},\,\lambda\in\mathbb{C},\,|\lambda|<1\}, \\ Y_0=\operatorname{span}\{x\in{X}\colon Tx=\lambda{x},\, \lambda\in\mathbb{C},\,|\lambda|>1\} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

плотны в

$X$ . Тогда

$T$ – гиперциклический оператор.

Теорема B (теорема Китаи–Гефнера–Шапиро [4]). Пусть $X$ – сепарабельное пространство Фреше и $T\colon X \to X$ – линейный непрерывный оператор. Пусть $X_0$ , $Y_0$ – плотные подмножества $X$ и последовательность ${(S_k)}_{k=1}^{\infty}$ отображений $S_k\colon Y_0 \to X$ таковы, что

1) $T^k \to 0$ поточечно на $X_0$ при $k \to \infty$ ;
2) $S_k \to 0$ поточечно на $Y_0$ при $k \to \infty$ ;
3) $T^kS_k=I$ на $Y_0$ .

Тогда оператор

$T$ является гиперциклическим.

1.2. Цель работы

Данная работа посвящена изучению гиперцикличности линейных операторов в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в ${\mathbb R}^n$ , инвариантных относительно дифференцирования или сдвига. Основной интерес к данной тематике связан с работой [5], в которой была доказана гиперцикличность дифференциальных операторов конечного порядка с постоянными коэффициентами в инвариантном относительно дифференцирования весовом пространстве Фреше ${\mathcal E}(\varphi)$ бесконечно дифференцируемых функций в $\mathbb{R}^n$ , определенном следующим образом.

Пусть $\varphi=\{\varphi_m\}_{m=1}^{\infty}$ – семейство непрерывных вещественнозначных функций $\varphi_m$ в ${\mathbb R}^n$ таких, что для любого $m \in {\mathbb N}$ имеют место следующие свойства:

$\alpha)$ $\lim_{x \to \infty}(\varphi_m(x)/\|x\|)=+\infty$ ;
$\beta)$ $\lim_{x \to \infty}(\varphi_m(x)-\varphi_{m+1}(x))=+\infty$ .

Для произвольного

$m \in {\mathbb N}$ определим

$\begin{equation*} {\mathcal E}(\varphi_m)=\biggl\{f \in C^m({\mathbb R}^n)\colon p_m (f)=\sup_{x \in {\mathbb R}^n,\,|\alpha|\leqslant m} \frac{|(D_x^{\alpha} f)(x)|}{\exp(\varphi_m(x))} < \infty \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Положим

${\mathcal E}(\varphi)=\bigcap_{m=1}^{\infty}{\mathcal E}(\varphi_m)$ . С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа

${\mathcal E}(\varphi)$ – линейное пространство. Наделим

${\mathcal E}(\varphi)$ топологией проективного предела пространств

${\mathcal E}(\varphi_m)$ . Известно [6], что

${\mathcal E}(\varphi)$ – пространство Фреше и оно инвариантно относительно дифференцирования, а операторы частного дифференцирования непрерывны в нем. Из основного результата работы [7] следует, что

${\mathcal E}(\varphi)$ – сепарабельное пространство.

Ясно, что дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами конечного порядка коммутирует с операторами частного дифференцирования ${\partial}/{\partial x_j}$ , где $j \in (1, n)$ . Это очевидное наблюдение вместе с установленным в [4; теорема 5.1] результатом о гиперцикличности линейных непрерывных операторов в пространстве $H ({\mathbb C}^n)$ целых функций многих переменных (рассматриваемом с обычной топологией компактной сходимости), коммутирующих с операторами частного дифференцирования, мотивирует к рассмотрению задачи о гиперцикличности такого типа операторов в пространстве ${\mathcal E}(\varphi)$ . Решение этой задачи – одна из целей данной работы. Оно получено в разделе 2 (теорема 1).

Отметим, что пространство ${\mathcal E}(\varphi)$ не обязано быть инвариантным относительно сдвига, что в целом сужает класс линейных операторов, действующих в ${\mathcal E}(\varphi)$ , и ограничивает возможности для изучения гиперциклических операторов в нем. В связи с этим обстоятельством на семейство $\varphi$ в данной работе в ряде специально оговариваемых случаев может накладываться одно из следующих трех условий, гарантирующих инвариантность ${\mathcal E}(\varphi)$ относительно сдвига:

$\gamma_1)$ $\sup_{x\in\mathbb{R}^n} (\varphi_{m+1}(x+\eta)- \varphi_m(x)) < \infty$ для любых $m \in \mathbb{N}$ и произвольных $\eta \in {\mathbb R}^n$ с $\|\eta\| \leqslant 1$ ;

либо более жесткое условие

$\gamma_2)$ $\sup_{x\in\mathbb{R}^n} (\varphi_{m+1}(x+\eta)- \varphi_m(x)) < \infty$ для любых $m \in \mathbb{N}$ и произвольных $\eta \in {\mathbb R}^n$ ;
$\gamma_3)$ для любых $m,k\in\mathbb N$ существуют числа $l=l_{m, k} \in {\mathbb N}$ и $r=r_{m, k}>0$ такие, что для любых $x,y\in \mathbb R^n$
$\begin{equation*} \varphi_{l} (x+y) \leqslant \varphi_m (x)+\varphi_k (y)+r. \end{equation*} \notag$

Примерами функции $\varphi_m$ являются

1) функция $\varphi_m(x)=(c+1/m)\|x\|^p$ , где $p>1$ , $c,p \in \mathbb{R}$ ;
2) полином $\varphi_m(x)=(c+1/m)\sum_{j=1}^q c_j\|x\|^{p_j}$ , где $2 \leqslant q < \infty$ , $q\in\mathbb{N}$ и $p_j>1$ , $c,c_j,p_j \in \mathbb{R}$ , причем хотя бы один коэффициент $c_j$ не равен нулю.

1.3. Обозначения

Для точек $u=(u_1,\dots,u_n)$ , $v=(v_1,\dots,v_n)$ из ${\mathbb R}^n$ ( ${\mathbb C}^n$ ) определим $\langle u, v \rangle =u_1v_1+\dots+u_n v_n$ , $\|u\|$ – евклидова норма в ${\mathbb R}^n$ ( ${\mathbb C}^n$ ). Для мультииндекса $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \in {\mathbb Z}_+^n$ , точек $x=(x_1,\dots,x_n) \in {\mathbb R}^n$ , $z=(z_1,\dots,z_n) \in {\mathbb C}^n$ полагаем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, |\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n, \qquad x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1} \dotsb x_n^{\alpha_n}, \qquad z^{\alpha}=z_1^{\alpha_1} \dotsb z_n^{\alpha_n}, \\ D_j=\frac{\partial}{\partial x_j}, \quad j=1, 2, \dots , \qquad D_x^{\alpha}=\frac{{\partial}^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotsb \partial x_n^{\alpha_n}}, \qquad D_z^{\alpha}=\frac{{\partial}^{|\alpha|}}{\partial z_1^{\alpha_1}\dotsb \partial z_n^{\alpha_n}}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Для произвольной вещественнозначной функции $\varPhi$ в ${\mathbb R}^n$ такой, что

$\begin{equation*} \lim_{\|x\|\to +\infty}\frac{\varPhi(x)}{\|x\|}=+\infty, \end{equation*} \notag$

положим

${\widetilde \varPhi} (x)=-\inf_{y \in {\mathbb R}^n}(\langle x, y \rangle+\varPhi(y))$ ,

$x \in {\mathbb R}^n$ .

Если пространство ${\mathcal E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига, то для любого $a \in {\mathbb R}^n$ через $T_a$ обозначаем оператор сдвига на вектор $a$ в ${\mathcal E}(\varphi)$ , т.е. $T_a\colon f \in {\mathcal E}(\varphi) \to f(x+a)$ .

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть линейный непрерывный оператор $T$ в пространстве ${\mathcal E}(\varphi)$ коммутирует с операторами частного дифференцирования и не является скалярным кратным тождественного отображения. Тогда $T$ – гиперциклический оператор.

Доказательство. Отметим вначале, что для любого $z \in {\mathbb C}^n$ функция $f_z(\xi):=\exp(i \langle \xi, z \rangle)$ принадлежит ${\mathcal E}(\varphi)$ , поскольку для каждого $m \in {\mathbb N}$

$\begin{equation*} p_m(f_z) \leqslant (1+\|z\|)^m \exp({\widetilde \varphi_m}(\operatorname{Im}z)). \end{equation*} \notag$

Поэтому на

${\mathbb R}^n \times {\mathbb C}^n$ корректно определена функция

$F_T(\xi, z)=T(f_z)(\xi)$ . Так как

$T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования, то

$\begin{equation*} D_j T(f_z)=T D_j (f_z)=T(i z_j f_z)=iz_j T(f_z), \qquad z \in {\mathbb C}^n. \end{equation*} \notag$

Отсюда следует, что найдется число

$a_T(z) \in {\mathbb C^n}$ такое, что

$\begin{equation} T(f_z)=a_T(z) f_z. \end{equation} \tag{2.1}$

Таким образом, для любых $z \in {\mathbb C}^n$ , $\xi \in {\mathbb R}^n$ имеем $F_T(\xi, z)=a_T(z)e^{i \langle \xi, z \rangle}$ . Отметим, что $F_T$ по переменной $z$ является целой функцией. Действительно, так как $T$ – линейный непрерывный оператор на ${\mathcal E}(\varphi)$ , то для любого $k \in {\mathbb N}$ найдутся числа $c_k>0$ и $m \in {\mathbb N}$ такие, что

$\begin{equation} p_k(T(g)) \leqslant c_k p_m(g), \qquad g \in {\mathcal E}(\varphi). \end{equation} \tag{2.2}$

Пусть $\xi \in {\mathbb R}^n$ , $\zeta \in {\mathbb C}^n$ – произвольные точки. Для любого $z \in {\mathbb C}^n$ такого, что $\|z-\zeta\|< 1$ , рассмотрим функцию

$\begin{equation*} g_{z, \zeta}(\xi):=e^{i \langle \xi, z \rangle} -e^{i \langle \xi, \zeta \rangle}- i \langle \xi, z-\zeta \rangle e^{i \langle \xi, \zeta \rangle}, \qquad \xi \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

В силу (2.2) выполняется

$\begin{equation*} |T(g_{z, \zeta})(\xi)|\leqslant c_0 p_m(g_{z, \zeta})e^{\varphi_m (\xi)}, \qquad \xi \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

Отсюда из неравенства (см. [7])

$\begin{equation*} p_m(g_{z, \zeta}) \leqslant C {\|z-\zeta\|}^2, \end{equation*} \notag$

справедливого при некотором зависящем от

$\zeta$ положительном

$C$ , и линейности оператора

$T$ получим, что для любого

$\xi \in {\mathbb R}^n$

$\begin{equation*} F_T(\xi, z)-F_T(\xi, \zeta)=\sum_{j=1}^{n} T(f_{j, \zeta})(\xi) (z_j-{\zeta}_j)+ o(\|z-\zeta\|), \qquad z \to \zeta, \end{equation*} \notag$

где

$f_{j, \zeta}(\xi):=i \xi_j \exp(i \langle \xi, \zeta \rangle)$ .

Следовательно, для каждого фиксированного $\xi \in {\mathbb R}^n$ функция $F_T(\xi, z)$ голоморфна в точке $\zeta$ как функция переменного $z$ . Так как $\zeta \in {\mathbb C}^n$ была взята произвольно, то $F_T$ по переменной $z$ является целой функцией. Отсюда и из (2.1) следует, что $a_T$ – целая функция в ${\mathbb C}^n$ . Поскольку по условию оператор $T$ не является скалярным кратным тождественного отображения, то $a_T$ – непостоянная функция.

Отметим теперь, что если $\Omega$ – непустое открытое множество ${\mathbb C}^n$ , то система $\{f_z\}_{z \in \Omega}$ полна в ${\mathcal E}(\varphi)$ [5; лемма 1].

Рассмотрим множества

$\begin{equation*} W_1=\{z \in {\mathbb C}^n\colon |a_T(z)|< 1 \}, \qquad W_2=\{z \in {\mathbb C}^n\colon |a_T(z)|> 1 \}. \end{equation*} \notag$

Они непустые и открытые в

${\mathbb C}^n$ . Пусть

$X_0$ – линейная оболочка системы

$\{f_z\}_{z \in W_1}$ ,

$Y_0$ – линейная оболочка системы

$\{f_z\}_{z \in W_2}$ . Множества

$X_0$ и

$Y_0$ плотны в

${\mathcal E}(\varphi)$ .

Следовательно, линейные оболочки множеств $\bigcup_{|\lambda|< 1} \operatorname{ker} (T-\lambda)$ и $\bigcup_{|\lambda|> 1} \operatorname{ker} (T-\lambda)$ плотны в ${\mathcal E}(\varphi)$ . Таким образом, все условия теоремы A выполнены. Следовательно, оператор $T$ гиперциклический. Теорема доказана.

Из теоремы 1 получаем такое следствие.

Следствие 1. Пусть полином $P(x)=\sum_{|\alpha|\leqslant m} a_{\alpha} x^{\alpha}$ , $x \in {\mathbb R}^n$ , отличен от постоянной. Тогда оператор $T=\sum_{|\alpha| \leqslant m} a_{\alpha} D_x^{\alpha}$ является гиперциклическим в ${\mathcal E}(\varphi)$ .

Следствие 1 – это в точности теорема 1 из статьи [5].

Следствие 2. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$ . Тогда для любого $a \in {\mathbb R}^n$ , $a \ne (0, 0,\dots,0)$ , оператор $T_a\colon f \in {\mathcal E}(\varphi) \to f(x+a)$ гиперциклический в ${\mathcal E}(\varphi)$ .

Доказательство. Очевидно, оператор $T_a$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Поэтому чтобы применить теорему 1, достаточно убедиться, что линейный оператор $T_a$ является непрерывным.

Возьмем число $m \in {\mathbb N}$ произвольно. Ввиду условия $\gamma_1)$ на систему функций $\varphi$ можно найти числа $l \in {\mathbb N}$ и $c_m>0$ такие, что

$\begin{equation} \varphi_{m+l}(x+a)-\varphi_m(x) \leqslant c_m, \qquad x \in {\mathbb R}^n. \end{equation} \tag{2.3}$

Пусть $f\in\mathcal{E}(\varphi)$ . Тогда для любого $\alpha\in\mathbb {Z}_+^n$ с $|\alpha|\leqslant m+l$

$\begin{equation*} |(D^\alpha f) (x)|\leqslant p_{m+l}(f) e^{\varphi_{m+l}(x)}, \qquad x\in\mathbb{R}^n. \end{equation*} \notag$

Пользуясь этой оценкой и неравенством (2.3), имеем для любых

$\alpha\in\mathbb {Z}_+^n$ с

$|\alpha|\leqslant m$ и

$x \in \mathbb{R}^n$

$\begin{equation*} |(D^\alpha T_a f)(x)|=|(D^\alpha f) (x+a)|\leqslant p_{m+l}(f) e^{\varphi_{m+l}(x+a)} \leqslant p_{m+l} (f) e^{\varphi_m(x)+c_m}. \end{equation*} \notag$

Отсюда следует, что

$\begin{equation*} p_m(T_af)\leqslant\widetilde{c}_m p_{m+l}(f), \end{equation*} \notag$

где

$\widetilde{c}_m=e^{c_m}$ . Таким образом,

$T_a f\in \mathcal{E}(\varphi)$ для любого

$f\in\mathcal{E}(\varphi)$ , а линейное отображение

$T_a$ непрерывно. Применяя теперь теорему 1, заключаем, что

$T_a$ – гиперциклический оператор в

${\mathcal E}(\varphi)$ . Следствие доказано.

Следствие 3. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$ . Пусть $N \in {\mathbb N}$ , $c_j \in {\mathbb C}$ и точки $a^j \in {\mathbb R}^n$ , $j=1, 2,\dots,N$ . Тогда оператор

$\begin{equation*} T\colon f \in \mathcal{E}(\varphi) \to \sum_{j=1}^Nc_jf(x+a^j) \end{equation*} \notag$

при условии, что он не кратен тождественному, является гиперциклическим.

Доказательство. Очевидно, оператор $T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Кроме того, в предыдущем следствии было показано, что для любого $a \in {\mathbb R}^n$ оператор $T_a$ непрерывен в $\mathcal{E}(\varphi)$ . Значит, и линейный оператор $T$ является непрерывным в $\mathcal{E}(\varphi)$ . Осталось воспользоваться утверждением теоремы 1, из которой получается, что $T$ гиперциклический в $\mathcal{E}(\varphi)$ .

Следствие 4. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$ . Пусть $N\in\mathbb{N}$ и для каждого $j=1, 2,\dots, N$ заданы числа $c_j\in\mathbb{C}$ , точки $a^j\in\mathbb{R}^n$ и мультииндексы $\alpha^j\in\mathbb{Z}_+^n$ . Тогда оператор $Tf(x)=\sum_{j=1}^N c_j (D_x^{\alpha^j}f)(x+a^j)$ , действующий в $\mathcal{E}(\varphi)$ и не кратный тождественному, является гиперциклическим.

Доказательство. Из доказательства теоремы 1 в [5] известно, что для любого $\alpha\in \mathbb {Z}_+^n$ оператор $D^\alpha$ действует непрерывно из $\mathcal{E}(\varphi)$ в $\mathcal{E}(\varphi)$ . Согласно следствию 2 оператор сдвига также непрерывен в $\mathcal{E}(\varphi)$ . Следовательно, линейный оператор $T$ непрерывен. Очевидно, оператор $T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Но тогда по теореме 1 оператор $T$ является гиперциклическим.

Пусть $\Lambda=(\lambda_j)_{j=1}^{\infty}$ – последовательность точек $\lambda_j \in {\mathbb R}^n$ . При условии, что семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_2)$ , для любых $m, j \in {\mathbb N}$ можно определить числа

$\begin{equation*} b_{j,m} (\Lambda)=\sup_{x\in\mathbb{R}} (\varphi_{m+1}(x+\lambda_j)- \varphi_m(x)). \end{equation*} \notag$

Следствие 5. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_2)$ . Пусть заданы последовательность $(d_j)_{j=1}^{\infty}$ комплексных чисел $d_j$ и последовательность $\Lambda=(\lambda_j)_{j=1}^{\infty}$ точек $\lambda_j \in {\mathbb R}^n$ таких, что $\lim_{j\to\infty} \lambda_j=\infty$ и $\sum_{j=1}^\infty|d_j|e^{b_{j,m}(\Lambda)}<\infty$ для любого $m \in {\mathbb N}$ .

Тогда оператор $T$ , определенный на $\mathcal{E}(\varphi)$ по правилу

$\begin{equation*} T(f)(x)=\sum_{j=1}^\infty d_j f(x+\lambda_j), \qquad x \in {\mathbb R}^n, \end{equation*} \notag$

является гиперциклическим в

$\mathcal{E}(\varphi)$ .

Доказательство. Пусть $f\in\mathcal{E}(\varphi)$ . Тогда каково бы ни было $m \in {\mathbb N}$ , для любого $\alpha\in\mathbb {Z}_+^n$ с $|\alpha|\leqslant m$

$\begin{equation*} |D^\alpha (f (x+\lambda_j))|\leqslant p_{m+1}(f) e^{\varphi_{m+1}(x+\lambda_j)}, \qquad x \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

Пользуясь условием $\gamma_2)$ , имеем

$\begin{equation*} |D^\alpha (f (x+\lambda_j))|\leqslant p_{m+1}(f) e^{\varphi_{m}(x)+b_{j,m}(\Lambda)}, \qquad x \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} p_{m}(Tf) \leqslant \sum_{j=1}^\infty|d_j|e^{b_{j,m}(\Lambda)}p_{m+1}(f). \end{equation*} \notag$

Итак, линейный оператор $T$ действует из $\mathcal{E}(\varphi)$ в $\mathcal{E}(\varphi)$ и является непрерывным. Так как $T$ коммутирует с операторами частного дифференцирования, то по теореме 1 $T$ – гиперциклический оператор. Следствие доказано.

Следствие 6. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$ , $S$ – обобщенная функция с компактным носителем, преобразование Фурье–Лапласа которой $\widehat{S}(z)=S_\xi(e^{-i\langle \xi, z \rangle})$ не является постоянной. Тогда определяемый по ней оператор свертки $M_S[f](x)=S_y(f(x+y))$ является гиперциклическим в $\mathcal{E}(\varphi)$ .

Доказательство. Так как $S$ – обобщенная функция с компактным носителем, а всякая функция $f$ из $\mathcal{E}(\varphi)$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$ , то $M_S[f] \in C^{\infty} ({\mathbb R}^n)$ . Убедимся, что $M_S [f] \in \mathcal{E}(\varphi)$ для любой функции $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ и что линейный оператор $M_S$ действует непрерывно из $\mathcal{E}(\varphi)$ в себя. Найдутся компакт $K$ в ${\mathbb R}^n$ и числа $p \in {\mathbb Z}_+$ и $C>0$ такие, что

$\begin{equation*} |S(f)|\leqslant C \max_{y \in K,\,|\alpha|\leqslant p} |(D_x^{\alpha} f) (y)|, \qquad f \in C^{\infty}({\mathbb R}^n). \end{equation*} \notag$

Поэтому для

$f\in\mathcal{E}(\varphi)$

$\begin{equation} |M_S[f](x)|\leqslant C_1 \max_{y \in K,\,|\alpha|\leqslant p} |(D^{\alpha} f) (x+y)|. \end{equation} \tag{2.4}$

Пусть $m \in {\mathbb N}$ произвольно. Ввиду условия $\gamma_1)$ на систему функций $\varphi$ можно найти числа $l \in {\mathbb N}$ и $c_m>0$ такие, что

$\begin{equation} \varphi_{m+l}(x+y)-\varphi_m (x) \leqslant c_m, \qquad x \in {\mathbb R}^n, \quad y \in K. \end{equation} \tag{2.5}$

Можно считать, что

$m+l \geqslant p$ . Тогда из (2.4) имеем

$\begin{equation*} |M_S[f](x)|\leqslant C_1 p_{m+l}(f)\exp\Bigl(\max_{y \in K} \varphi_{m+l}(x+y)\Bigr), \qquad x\in\mathbb{R}^n. \end{equation*} \notag$

Отсюда с учетом (2.5) получим, что

$\begin{equation*} |M_S[f](x)|\leqslant C_2 p_{m+l}(f)e^{\varphi_{m}(x)}, \qquad x\in\mathbb{R}^n, \end{equation*} \notag$

где

$C_2=C_1 e^{c_m}$ . Таким образом, оператор

$M_S$ действует из

${\mathcal E}(\varphi)$ в себя, а из неравенства

$\begin{equation*} p_{m}(M_S[f]) \leqslant C_2 p_{m+l}(f) \end{equation*} \notag$

следует, что оператор

$M_S$ действует из

$\mathcal{E}(\varphi)$ в

$\mathcal{E}(\varphi)$ непрерывно.

Известно [8], что оператор $M_S$ коммутирует с операторами частного дифференцирования. Кроме того, по условию он не является кратным тождественному оператору. Тогда с учетом доказанного по теореме 1 следует, что оператор $M_S$ гиперциклический в пространстве $\mathcal{E}(\varphi)$ . Следствие доказано.

Лемма 1. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_1)$ . Пусть $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$ . Тогда для любого $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ функция $M_S[f]$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$ , а оператор $M_S[f]$ коммутирует с операторами частного дифференцирования.

Доказательство. В силу условия $\gamma_1)$ пространство $\mathcal{E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига. Поэтому оператор $M_S$ корректно определен на $\mathcal{E}(\varphi)$ и для любой функции $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ функция $M_S[f]$ определена в ${\mathbb R}^n$ .

Покажем, что если $f \in {\mathcal E}(\varphi)$ , то функция $M_S[f]$ бесконечно дифференцируема в ${\mathbb R}^n$ . Пусть $x_0 \in {\mathbb R}^n$ – произвольная точка, $h=(h_1,\dots,h_n)$ принадлежит ${\mathbb R}^n$ и по модулю не превосходит 1.

Поскольку

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &M_S[f] (x_0+h)-M_S[f] (x_0)-\sum_{j=1}^n M_S[D_j f] (x_0) h_j \\ &\qquad =S_y(f (x_0+h+y))-S_y(f (x_0+y))-\sum_{j=1}^n S_y\bigl((D_j f) (x_0+y)\bigr) h_j \\ &\qquad =S_y\biggl(f (x_0+h+y)-f (x_0+y)-\sum_{j=1}^n (D_j f) (x_0+y) h_j\biggr) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

и при некоторых

$m \in {\mathbb N}$ и

$C_m>0$

$\begin{equation*} |S(f)|\leqslant C_m p_m (f), \qquad f \in {\mathcal E}(\varphi), \end{equation*} \notag$

то

$\begin{equation} \biggl|M_S[f] (x_0+h)-M_S[f] (x_0)-\sum_{j=1}^n M_S[D_j f] (x_0) h_j\biggr| \leqslant C_m p_m(g_{x_0, h}), \end{equation} \tag{2.6}$

где

$\begin{equation*} g_{x_0, h}(y)=f (x_0+h+y)-f (x_0+y)-\sum_{j=1}^n (D_j f) (x_0+y) h_j, \qquad y \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

Применяя при каждом $\beta \in {\mathbb Z}_+^n$ формулу Тейлора для вещественной и мнимой части функции $D^{\beta} g_{x_0, h}$ , получим оценку

$\begin{equation} |(D^{\beta} g_{x_0, h} (y)|\leqslant 2 n^2\|h\|^2 \max_{\substack{\xi \in [x_0+y, x_0+y +h]\\ \alpha \in {\mathbb Z}_+^n\colon|\alpha|=2 }} |(D^{\alpha+\beta} f) (\xi)|, \end{equation} \tag{2.7}$

где

$[x_0+y, x_0+y +h]$ – отрезок, соединяющий точки

$x_0+y$ и

$x_0+y +h$ . Пользуясь условием

$\gamma_1)$ , найдем натуральное число

$k \geqslant m+2$ и число

$C=C(x_0)>0$ , удовлетворяющие неравенству

$\varphi_k (\xi) \leqslant \varphi_{m} (y)+C$ для всех

$\xi \in {\mathbb R}^n$ таких, что

$\|\xi-y\|\leqslant\|x_0\|+1$ . Тогда для всех

$\beta \in {\mathbb Z}_+^n$ с

$|\beta|\leqslant m$

$\begin{equation*} \max_{\substack{\xi \in [x_0+y, x_0+y +h]\\ \alpha \in {\mathbb Z}_+^n\colon|\alpha|=2 }} |(D^{\alpha+\beta} f) (\xi)|\leqslant e^C p_k (f) e^{\varphi_{m} (y)}, \qquad y \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

Отсюда и из (2.7) получим, что для всех

$\beta \in {\mathbb Z}_+^n$ с

$| \beta|\leqslant m$

$\begin{equation*} |(D^{\beta} g_{x_0, h} (y)|\leqslant 2 n^2 e^C\|h\|^2p_k (f) e^{\varphi_{m} (y)}, \qquad y \in {\mathbb R}^n. \end{equation*} \notag$

Значит,

$\begin{equation} p_m(g_{x_0, h}) \leqslant 2 n^2 e^C\|h\|^2 p_k (f). \end{equation} \tag{2.8}$

Пользуясь неравенством (2.6) и оценкой (2.8), имеем

$\begin{equation*} \biggl|M_S[f] (x_0+h)-M_S[f] (x_0)-\sum_{j=1}^n M_S[D_j f] (x_0) h_j\biggr|\leqslant C_m 2 n^2 e^C\|h\|^2 p_k (f). \end{equation*} \notag$

Это означает, что функция

$M_S[f]$ дифференцируема в точке

$x_0 \in {\mathbb R}^n$ и поэтому

$D_j (M_S[f])(x_0)=M_S[D_j f] (x_0)$ . А так как точка

$x_0$ была взята произвольно, то

$M_S[f]$ дифференцируема всюду в

${\mathbb R}^n$ . Также доказано, что

$D_j (M_S[f])=M_S[D_j f]$ ,

$j=1,\dots, n$ . Из этого равенства и из того, что пространство

${\mathcal E}(\varphi)$ инвариантно относительно дифференцирования, следует, что функция

$M_S[f]$ бесконечно дифференцируема в

${\mathbb R}^n$ . Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условию $\gamma_3)$ . Пусть $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$ .

Тогда оператор свертки $M_S[f](x)=S_y(f(x+y))$ действует из $\mathcal{E}(\varphi)$ в себя и является линейным непрерывным.

Доказательство. В силу условия $\gamma_3)$ пространство $\mathcal{E}(\varphi)$ инвариантно относительно сдвига. Поэтому оператор $M_S$ корректно определен на $\mathcal{E}(\varphi)$ . Очевидно, он является линейным. Далее, так как $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$ , то найдутся числа $k \in {\mathbb N}$ и $C_k>0$ такие, что

$\begin{equation*} |S(f)|\leqslant C_k p_k(f), \qquad f \in {\mathcal E}(\varphi). \end{equation*} \notag$

Следовательно, каково бы ни было

$x \in {\mathbb R}^n$ , для любой функции

$f \in {\mathcal E}(\varphi)$ имеем

$\begin{equation*} |M_S[f](x)|\leqslant C_k p_k(T_x f)=C_k \sup_{y \in {\mathbb R}^n, \,|\alpha|\leqslant k} \frac{|(D^{\alpha} f)(x+y)|}{\exp(\varphi_k(y))}. \end{equation*} \notag$

Возьмем число $m \in {\mathbb N}$ произвольно. Пусть $l \in {\mathbb N}$ – число из условия $\gamma_3)$ . Так как $l \geqslant k$ , то, пользуясь принадлежностью $f$ пространству $\mathcal{E}(\varphi)$ , получим, что

$\begin{equation*} |M_S[f](x)|\leqslant C_k p_{l} (f) \sup_{y \in {\mathbb R}^n} \frac{\exp(\varphi_{l}(x+y))}{\exp(\varphi_{k} (y))}. \end{equation*} \notag$

Теперь, воспользовавшись условием $\gamma_3)$ , получим

$\begin{equation*} |M_S[f](x)|\leqslant C_k e^{r_{m, k}} p_{l} (f) \exp(\varphi_{m} (x)). \end{equation*} \notag$

Отсюда следует, что

$\begin{equation*} p_m (M_S[f])|\leqslant C_k e^{r_{m, k}} p_{l} (f), \qquad f \in {\mathcal E}(\varphi). \end{equation*} \notag$

Это неравенство означает, что линейный оператор

$M_S$ действует из

$\mathcal{E}(\varphi)$ в себя и является непрерывным. Лемма доказана.

Пользуясь леммами 1 и 2, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть семейство $\varphi$ удовлетворяет условиям $\gamma_1)$ и $\gamma_3)$ . Пусть $S$ – линейный непрерывный функционал на $\mathcal{E}(\varphi)$ .

Тогда оператор свертки $M_S[f]$ является гиперциклическим.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	C. Kitai, Invariant Closed Sets for Linear Operators, University of Toronto, Toronto, ON, Canada, 1982
2.	K. G. Grosse-Erdmann, “Universal families and hypercyclic operators”, Bull. Amer. Math. Soc., 36:3 (1999), 345–381
3.	G. Godefroy, J. H. Shapiro, “Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds”, J. Funct. Anal., 98:2 (1991), 229–269
4.	R. M. Gethner, J. Shapiro, “Universal vectors for operators on spaces of holomorphic functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 100:2 (1987), 281–288
5.	И. Х. Мусин, “О гиперцикличности некоторых дифференциальных операторов в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в $\mathbb{R}^n$ ”, Труды международной конференции “Крымская осенняя математическая школа-симпозиум”, Издательство Диайпи, Симферополь, 2010, 21–27
6.	И. Х. Мусин, “О преобразовании Фурье–Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в $\mathbb R^n$ ”, Матем. сб., 195:10 (2004), 83–108
7.	И. Х. Мусин, С. В. Попенов, “О весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в $\mathbb R^n$ ”, Уфимск. матем. журн., 2:3 (2010), 54–62
8.	В. В. Напалков, Уравнения свертки в многомерных пространствах, Наука, М., 1982

Образец цитирования: А. И. Рахимова, “О гиперциклических операторах в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 297–305; Math. Notes, 114:2 (2023), 242–249

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Rak23}

\by А.~И.~Рахимова

\paper О гиперциклических операторах в~весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 2

\pages 297--305

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13690}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13690}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 2

\pages 242--249

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070258}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168602977}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13690

https://doi.org/10.4213/mzm13690

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i2/p297

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	173
PDF полного текста:	21
HTML русской версии:	122
Список литературы:	56
Первая страница:	7

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

1.1. Краткие сведения о гиперциклических операторах

1.2. Цель работы

1.3. Обозначения

2. Основные результаты

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ