В. В. Евстафьева, “Критерий существования двухточечно-колебательного решения возмущенной системы с реле”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 260–273; Math. Notes, 114:2 (2023), 212

Системы с гистерезисом, в том числе релейные системы, изучаются со второй половины прошлого века (см., например, [1], [2], а также библиографию в [3]–[5]). С развитием науки и появлением новых приложений в различных областях знаний (см., например, [6]–[9]) исследования таких систем в современном мире обрели новую актуальность. Многочисленные работы доказывают, что существенно нелинейные системы при воздействии внешних возмущений имеют большое разнообразие типов поведения.

Ранее автором, в том числе в соавторстве, исследовались периодические (гармонические, субгармонические) решения релейных возмущенных систем (см. [10]–[18]).

В работе [17] наряду с периодическим (гармоническим) решением системы, матрица которой имеет простые вещественные ненулевые собственные значения, рассматриваются непериодические решения с двумя точками переключения в фазовом пространстве и возвратом в каждую из этих точек за фиксированное время, соизмеримое с периодом функции возмущения заданного вида. Впервые дано определение двухточечно-колебательного решения с определенным поведением изображающей точки. Однако достаточные условия существования рассматриваемого непериодического решения не установлены.

В [19] продолжено исследование двухточечно-колебательных решений релейной системы при непрерывном периодическом возмущении специального вида в случае вещественной симметричной матрицы, имеющей кратные собственные значения. Получено необходимое условие существования решения и установлен вид его параметров. Доказаны теоремы существования и несуществования таких решений для заданного вида вектора обратной связи.

Настоящая статья продолжает изучение двухточечно-колебательных решений одого типа. В отличие от [17] и [19] в данной работе функция возмущения и вектор обратной связи рассматриваются в общем виде. Вводится общее определение двухточечно-колебательного решения, которое объединяет различные типы решений, отличающиеся поведением изображающей точки в фазовом пространстве, и определение одного типа решения с заданным поведением. Получены новые общие теоремы.

Исследуется

$n$ -мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений

Оператором

$u(\sigma)$ задается характеристика гистерезисной нелинейности типа неидеального реле с нижним

$\ell_1$ и верхним

$\ell_2$ пороговыми значениями (

$\ell_1<\ell_2$ ), двумя значениями выхода

$m_1$ ,

$m_2$ (пусть

$m_1<m_2$ ), где

$\ell_1,\ell_2,m_1,m_2\in\mathbb R$ , и положительным направлением обхода петли гистерезиса на плоскости

$(\sigma,u)$ . Ниже приведем описание такого реле в соответствии с [4]. Непрерывная входная функция

$\sigma (t)$ ,

$t\geqslant t_0$ , преобразуется в выходную кусочно-постоянную функцию

$u(t)$ , определяемую по формуле

Вектор

$C=(c_1,\dots, c_n)^{\mathrm T}$ определяет обратную связь в системе, является вещественным, ненулевым и не зависит от времени.

Функция возмущения

$f(t)$ описывает внешнее воздействие и является непрерывной ограниченной функцией вещественной переменной

$t\geqslant 0$ .

Гиперплоскость переключения обозначим через

$L_\mu$ ,

$\mu=1,2$ . В силу определений 1, 2 точка переключения принадлежит гиперплоскости

$L_\mu=\{Y\in {\mathbb R}^n\colon (C,Y)= \ell_\mu\}$ .

Рассмотрим решение из класса непрерывных вектор-функций с точками переключения в фазовом пространстве системы (1.1) и соответствующую ему фазовую траекторию, которая в точках переключения “сшивается” согласно методу припасовывания из частей траектории в силу разных правых частей системы (1.1), а именно,

Из определения 3 следует, что количество точек переключения в фазовом пространстве конечно и не может быть менее двух за период возврата. Действительно, в общем случае двухточечно-колебательное решение системы (1.1) может иметь сложное поведение с большим количеством точек переключения за период возврата (так называемое быстрое переключение), но только две из них удовлетворяют условию в определении 3.

В данной статье будем рассматривать двухточечно-колебательное решение одного типа (простейшего) поведения изображающей точки с двумя точками переключения за период возврата в фазовом пространстве, которому дадим следующее

В дальнейшем

$\tau_\mu$ ,

$\mu=1,2$ , будем называть временем перехода изображающей точки из

$Y^\mu$ в

$Y^{3-\mu}$ , а времена перехода и точки переключения – параметрами решения. Заметим, что

$u(t)$ является кусочно-постоянной функцией с периодом

$T_r$ и значение

$\kappa=0$ соответствует первому обходу петли гистерезиса.

Полагаем, что в системе (1.1) элементы матрицы

$A$ и вектора

$B$ заданы и удовлетворяют условию

Для системы (1.1) с функцией

$f(t)$ общего вида ставится задача Коши о существовании

$T_r$ -двухточечно-колебательного решения системы (1.1) простейшего поведения, при этом период возврата может быть произвольным или заданным.

Данная статья состоит из четырех пунктов. В п. 2 рассматривается каноническая форма системы (1.1) с диагональной матрицей и стоящим при операторе

$u(\sigma)$ вектором из единиц. Для преобразованной системы с ненулевым вектором обратной связи и функцией возмущения общего вида устанавливаются необходимое и достаточное условие существования решения с произвольным периодом возврата

$T_r$ и его единственность. Кроме того, получены формулы для координат точек переключения. В п. 3 рассматриваются система с периодической функцией возмущения общего вида и

$T_r$ -периодическое решение, которое является

$T_r$ -двухточечно-колебательным с периодом возврата, кратным периоду функции

$f(t)$ . Доказывается критерий существования решения и его единственность. В п. 4 представлено заключение.

2. Каноническая форма системы. Критерий существования и единственности

Полагаем, что собственные значения матрицы

$A$ являются простыми, ненулевыми и вещественными. Применим к системе (1.1) неособое преобразование

$Y=SX$ с матрицей

$S$ вида

После преобразования система (1.1) принимает удобную для интегрирования каноническую форму

Отметим, что данная каноническая форма была предложена известным механиком Лурье в конце сороковых годов прошлого века [20].

Используя (1.2) и обратное преобразование

$X=S^{-1}Y$ , выпишем формулу Коши для решения канонической системы (2.2) в векторном виде:

В силу того, что системы (1.1) и (2.2) связаны линейным неособым преобразованием, они взаимозаменяемы в процессе исследования. Пусть

$X^\mu=(x_1^\mu,\dots ,x_n^\mu)^{\mathrm T}$ – точка переключения в фазовом пространстве системы (2.2). Далее будем рассматривать

$T_r$ -двухточечно-колебательное решение системы (2.2) простейшего поведения с параметрами

$\tau_1$ ,

$\tau_2$ ,

$X^1$ ,

$X^2$ . Точка переключения

$X^\mu$ определена равенством

$X^\mu=S^{-1}Y^\mu$ и принадлежит гиперплоскости

$L_\mu=\{X\in {\mathbb R}^n\colon (\Gamma,X)=\ell_\mu\}$ ,

$\mu=1,2$ .

Сформулируем определение решения системы (2.2).

Заметим, что в определении 5 требуется колебательность решения и возврат изображающей точки на гиперплоскость переключения через одно и то же время

$T_r$ в одну и ту же точку фазового пространства. Значит, фазовая траектория при первом обходе характеристики (

$\kappa=0$ ) может не совпадать с траекторией при последующих обходах (

$\kappa\geqslant 1$ ), но существенно, что проходит траектория через две фиксированные точки

$X^1$ и

$X^2$ .

Далее устанавливается критерий существования и единственности решения.

Доказательство. Пусть система (2.2) имеет $T_r$ -двухточечно-колебательное решение $X(\cdot)$ простейшего поведения с параметрами $\tau_1$ , $\tau_2$ , $X^1$ и $X^2$ . Построим систему уравнений относительно параметров решения в соответствии с определением 5 и покажем, что выполняются условия теоремы 1.

Согласно условию 1) определения 5 решение состоит из кусочно-непрерывных функций, которые строятся в силу разных правых частей системы (2.2) при $u=m_1$ и $u=m_2$ , $m_1\ne m_2$ , на соответствующих интервалах $\Delta^1_\kappa$ и $\Delta^2_\kappa$ .

Используя формулу Коши (2.3), выпишем уравнения для функций, которые определяют решение $X(\cdot)=(x_1(\cdot),\dots ,x_n(\cdot))^{\mathrm T}$ . Для $i=1,\dots,n$ имеем

$\begin{equation} \begin{gathered} \, x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\kappa T_r)}x_i(\kappa T_r)+\int_{\kappa T_r}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}(m_1+k_i^0 f(\tau))\,d\tau \qquad\forall\, t\in\Delta^1_\kappa, \\ x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1-\kappa T_r)}x_i(\tau_1+\kappa T_r)+\int_{\tau_1+\kappa T_r}^{t}e^{\lambda_i(t-\tau)}(m_2+k_i^0 f(\tau))\,d\tau \qquad\forall\, t\in\Delta^2_\kappa. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.7}$

Вместо переменной $t$ в первом уравнении системы (2.7) подставляем значение $\tau_1+\kappa T_r$ и во втором уравнении – значение $(\kappa+1)T_r$ , для $i=1,\dots,n$ получаем

$\begin{equation} \begin{gathered} \, x_i(\tau_1+\kappa T_r)=e^{\lambda_i\tau_1}x_i(\kappa T_r)+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_1}-\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0 e^{\lambda_i\tau_1}\int_{\kappa T_r}^{\tau_1+\kappa T_r} e^{\lambda_i(\kappa T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau, \\ x_i((\kappa+1)T_r)=e^{\lambda_i\tau_2}x_i(\tau_1+\kappa T_r)+\frac{m_2}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_2}-\frac{m_2}{\lambda_i}+ k_i^0 \int_{\tau_1+\kappa T_r}^{(\kappa+1) T_r}e^{\lambda_i((\kappa+1) T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.8}$

Согласно условию 2) определения 5 выполняются равенства

$\begin{equation*} x_i(\kappa T_r)=x_i((\kappa+1) T_r)=x_i^1, \qquad x_i(\tau_1+\kappa T_r)=x_i^2 \end{equation*} \notag$

для любого

$\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ ,

$i=1,\dots,n$ , т.е. в моменты переключения функции “сшиваются”, обеспечивая непрерывность решения. Последние равенства выполняются тогда и только тогда, когда правые части в (2.8), а следовательно, интегралы в (2.8) не зависят от

$\kappa$ . Функция

$f(t)$ является непрерывной и ограниченной, поэтому подынтегральная функция

$e^{\lambda_i(\kappa T_r-\tau)}f(\tau)$ интегрируема на отрезке

$[\kappa T_r,\tau_1+\kappa T_r]$ , а подынтегральная функция

$e^{\lambda_i((\kappa+1) T_r-\tau)}f(\tau)$ – на отрезке

$[\tau_1+\kappa T_r, (\kappa+1)T_r]$ , т.е. существуют интегралы в (2.8). Независимость интеграла от

$\kappa$ означает равенство интеграла одному и тому же значению для любого

$\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ .

Воспользуемся в интеграле первого равенства системы (2.8) заменой переменной $\xi=\tau-\kappa T_r$ , а в интеграле второго равенства – заменой $\xi=(\kappa+1)T_r-\tau$ . Принимая во внимание, что множитель $e^{\lambda_i\tau_1}>0$ и не зависит от $\kappa$ , а множитель $k_i^0$ может принимать нулевое значение, запишем условие на интегралы

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &k_i^0 \int_{\kappa T_r}^{\tau_1+\kappa T_r} e^{\lambda_i(\kappa T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau= k_i^0\int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi+\kappa T_r)\,d\xi= k_i^0 \int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi)\,d\xi, \\ &k_i^0 \int_{\tau_1+\kappa T_r}^{(\kappa+1) T_r}e^{\lambda_i((\kappa+1) T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau \\ &\qquad=k_i^0\int_0^{\tau_2} e^{\lambda_i\xi}f((\kappa+1)T_r-\xi)\,d\xi= k_i^0 \int_0^{\tau_2}e^{\lambda_i\xi}f(T_r-\xi)\,d\xi. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Последние равенства для

$i=1,\dots,n$ равносильны условию 2) теоремы 1.

Таким образом, при условии независимости от $\kappa$ интегралов система равенств (2.8) равносильна следующей системе равенств:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, x_i^2&=e^{\lambda_i\tau_1}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_1}-\frac{m_1}{\lambda_i}+k_i^0 e^{\lambda_i\tau_1}\int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi)\,d\xi, \\ x_i^1&=e^{\lambda_i\tau_2}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_2}-\frac{m_2}{\lambda_i} +k_i^0\int_0^{\tau_2}e^{\lambda_i\xi}f(T_r-\xi)\,d\xi, \end{aligned} \qquad i=1,\dots,n. \end{equation} \tag{2.9}$

Покажем, что равенства (2.9) равносильны равенствам (2.5) в условии 1) теоремы 1. Рассмотрим равенства (2.9) совместно как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

$x_i^1$ и

$x_i^2$ . Определитель этой системы для каждого

$i=1,\dots,n$

$\begin{equation*} \begin{vmatrix} 1 & -e^{\lambda_i \tau_2} \\ -e^{\lambda_i \tau_1} & 1 \end{vmatrix} =1-e^{\lambda_i T_r} \end{equation*} \notag$

отличен от нуля, поскольку

$\lambda_i$ ненулевые. Поэтому координаты

$x_i^1$ и

$x_i^2$ точек переключения

$X^1$ и

$X^2$ определяются однозначно равенствами (2.5) при известных

$\tau_1$ ,

$\tau_2$ .

Кроме того, согласно определению 5 имеем $X^1\in L_1$ и $X^2\in L_2$ . В новых переменных гиперплоскость $L_\mu$ , $\mu=1,2$ , принимает вид

$\begin{equation*} (\Gamma,X)=\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2+\dots +\gamma_n x_n=\ell_\mu. \end{equation*} \notag$

Условие

$X^\mu\in L_\mu$ равносильно равенству

$(\Gamma,X^\mu)=\ell_\mu$ или

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n {\gamma_i x_i^\mu}=\ell_\mu, \qquad \mu=1,2. \end{equation} \tag{2.10}$

Подставим полученные выражения для

$x_i^1$ и

$x_i^2$ в (2.10) и, учитывая, что

$T_r=\tau_1+\tau_2$ , получим систему равенств

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\sum_{i=1}^n \frac{\gamma_i \, e^{\lambda_i T_r}}{1-e^{\lambda_i T_r}} \biggl(\frac{m_2-m_1}{\lambda_i e^{\lambda_i \tau_1}} +\frac{m_1}{\lambda_i}-\frac{m_2}{\lambda_ie^{\lambda_i T_r}} +k_i^0\int_0^{T_r}{e^{-\lambda_i\tau}f(\tau)\,d\tau}\biggr) =\ell_1, \\ &\sum_{i=1}^n \frac{\gamma_i \, e^{\lambda_i \tau_1}}{1-e^{\lambda_i T_r}} \biggl(\frac{m_1-m_2}{\lambda_i}+\frac{m_2 e^{\lambda_i \tau_2}}{\lambda_i} -\frac{m_1}{\lambda_i e^{\lambda_i \tau_1}} \\ \notag &\qquad\qquad +\int_0^{\tau_1} \frac{k_i^0 f(\tau)}{e^{\lambda_i\tau}}\,d\tau+ \int_{\tau_1}^{T_r}\frac{k_i^0 f(\tau)}{e^{\lambda_i(\tau-T_r)}}\,d\tau \biggr)=\ell_2. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.11}$

Система (2.11) эквивалентна системе (2.4) в условии 1) теоремы 1.

Таким образом, параметры $\tau_1$ и $\tau_2$ решения удовлетворяют условию 2) теоремы 1 и системе равенств (2.4) в условии 1) теоремы 1. Параметры $X^1$ и $X^2$ удовлетворяют равенствам (2.5).

Согласно определениям 1 и 5 через время перехода $\tau_1$ имеет место переключение с $u=m_1$ на $u=m_2$ и $\sigma=\ell_2$ , через время $\tau_2$ – переключение с $u=m_2$ на $u=m_1$ и $\sigma=\ell_1$ . Поскольку $\tau_1+\tau_2=T_r$ , то существует две точки переключения за период возврата. Однако не только времена перехода, соответствующие точкам переключения, но и времена перехода, которые соответствуют точкам пересечения с гиперплоскостями, удовлетворяют системе (2.11) в случае, если для них выполняется равенство $\tau_1+\tau_2=T_r$ . Рассмотрим систему (2.11) как систему уравнений относительно $\tau_1$ , $\tau_2$ и покажем, что наименьшие положительные значения переменных отвечают точкам переключения.

Из условия 1) определения 5 следует, что выполнено следующее.

Условие (i). На интервале $\Delta^1_\kappa$ изображающая точка решения $X(t)$ не попадает на гиперплоскость $L_2$ , а на интервале $\Delta^2_\kappa$ – на гиперплоскость $L_1$ .

Равенство $(\Gamma,X(t))=\ell_\mu$ равносильно утверждению, что изображающая точка решения $X(t)$ принадлежит гиперплоскости $L_\mu$ . В силу этого равенства и неравенства $\ell_1<\ell_2$ условие (i) равносильно следующему условию.

Условие (ii). Выполнено $(\Gamma,X(t))<\ell_2$ для любого $t\in \Delta^1_\kappa$ и $(\Gamma,X(t))>\ell_1$ для любого $t\in \Delta^2_\kappa$ .

Выполнимость неравенств в условии (ii) равносильна тому, что время перехода изображающей точки с гиперплоскости $L_\mu$ на $L_{3-\mu}$ совпадает с временем перехода из точки переключения $X^\mu$ в точку $X^{3-\mu}$ . Это означает, что $\tau_1$ , $\tau_2$ принимают наименьшие положительные значения среди решений системы (2.11) в силу эквивалентности системы (2.4) и отвечают точкам переключения. При однозначно определяемых значениях $\tau_1$ и $\tau_2$ точки переключения находятся по формулам (2.5). Таким образом, выполняются условия теоремы 1.

Далее установим, что условия теоремы 1 являются не только необходимыми, но и достаточными. Пусть имеют место условия теоремы 1. Нетрудно показать, что $\tau_1$ , $\tau_2$ , $X^1$ и $X^2$ являются параметрами $T_r$ -двухточечно-колебательного решения $X(\cdot)$ системы (2.2) простейшего поведения, т.е. удовлетворяют определению 5.

Действительно, по определению 5 построена система (2.11) совместно с (2.8), которая при выполнении условия 2) теоремы 1 равносильна системе (2.4) совместно с (2.5). Полагаем, что параметры системы (2.2) таковы, что система (2.4) разрешима относительно $\tau_1>0$ и $\tau_2>0$ . Пусть $\tau_1$ , $\tau_2$ являются решением системы (2.4) совместно с (2.5) и удовлетворяют равенству $\tau_1+\tau_2=T_r$ . Как показано выше, среди решений $\tau_1$ , $\tau_2$ системы (2.11) или равносильной системы (2.4) могут появиться посторонние решения, которые соответствуют точкам пересечения с гиперплоскостями. Поскольку $\tau_1$ , $\tau_2$ принимают наименьшие положительные значения среди решений, то они однозначно находятся и соответствуют точкам переключения $X^1$ и $X^2$ , координаты которых определяются по формулам (2.5). Значит, $\tau_1$ , $\tau_2$ , $X^1$ и $X^2$ удовлетворяют определению 5, т.е. являются параметрами искомого решения, причем однозначно определяемыми. Следовательно, существует $T_r$ -двухточечно-колебательное решение $X(\cdot)$ системы (2.2) простейшего поведения с указанными параметрами, и это решение является единственным. Теорема 1 доказана.

Далее приведем пример существования двухточечно-колебательного решения.

На рис. 1 представлен график траектории

$(3\pi/2)$ -двухточечно-колебательного решения в фазовом пространстве системы (2.12). Гиперплоскости переключения расположены ортогонально оси

$x_1$ .

3. Периодическое решение

Рассмотрим систему (2.2) с периодической функцией

$f(t)$ и покажем, что

$T_r$ -двухточечно-колебательное решение при дополнительном ограничении на период возврата является

$T_r$ -периодическим решением. В работе [9] для невозмущенной замкнутой системы с реле получено аналогичное утверждение о том, что колебательное решение является периодическим при дополнительных условиях на первый момент переключения.

Доказательство теоремы 2 вытекает из теоремы 1. Покажем, что условия 1) и 2) теоремы 2 эквивалентны условию 1) теоремы 1 для $T_r=kT$ и заданном $k\in\mathbb{N}$ .

Действительно, рассмотрим условие 1) теоремы 1. Если в систему (2.4) вместо $x_i^1$ и $x_i^2$ подставить определяющие их выражения, то получим систему (3.1), т.е. системы (2.4) и (3.1) при $z=\tau_1$ являются равносильными. Для некоторого заданного $k\in\mathbb{N}$ время возврата фиксировано, поскольку $T_r=kT$ . Отсюда имеем $\tau_2=kT-\tau_1$ . Тогда система (3.1) зависит от одной переменной $z\in (0,kT)$ . Наименьшее решение $\tau_1$ этой системы соответствует времени перехода изображающей точки решения $X(t)$ с гиперплоскости $L_1$ на $L_2$ , из точки $X^1$ в $X^2$ . Кроме того, по условию 1) теоремы 1 величина $\tau_2$ является наименьшим решением системы (2.4), поскольку соответствует времени перехода с гиперплоскости $L_2$ на $L_1$ , из точки $X^2$ в $X^1$ . Поэтому, с одной стороны, $\tau_2$ является наименьшим решением системы (3.1) при $T_r=\tau_1+\tau_2$ , где величина $\tau_1$ определена в условии 1) теоремы 2. С другой стороны, при фиксированном времени возврата значение $\tau_2$ известно, поскольку определяется равенством $\tau_2=kT-\tau_1$ . Таким образом, условие 1) теоремы 1 при заданном $T_r=kT$ , $k\in\mathbb{N}$ , равносильно условиям 1) и 2) теоремы 2.

Теперь рассмотрим условие 2) теоремы 1. Поскольку определенная на полуоси $t\geqslant 0$ функция $f(t)$ является $T$ -периодической, то $f(\xi)=f(\xi+T)$ для $\xi\geqslant 0$ . Отсюда имеем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_0^{\tau_2} e^{\lambda_i\xi}f((\kappa+1)kT-\xi)\,d\xi= \int_0^{\tau_2} e^{\lambda_i\xi}f(kT-\xi)d\,\xi, \\ \int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi+\kappa kT)\,d\xi= \int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi)\,d\xi, \qquad i=1,\dots,n, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

интегралы (2.6) не зависят от

$\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ .

Единственность $kT$ -двухточечно-колебательного решения $X(t)$ следует из того, что его параметры определяются единственным образом, а именно, $\tau_1$ – как наименьшее решение системы (3.1), $\tau_2$ – равенством $\tau_2=kT-\tau_1$ при заданном $k$ и известном $\tau_1$ , а координаты точек переключения находятся по формулам (2.5).

Далее покажем, что решение $X(t)$ является периодической вектор-функцией. Воспользуемся (2.7). Имеем для $i=1,\dots,n$ сужение функции на интервал $\Delta^1_0$

$\begin{equation*} x_i(t)=e^{\lambda_it}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_it}-\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{0}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau \qquad\forall\, t\in [0, \tau_1), \end{equation*} \notag$

и сужение функции на интервал

$\Delta^1_1$

$\begin{equation*} x_i(t)=e^{\lambda_i(t-kT)}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_i(t-kT)} -\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{kT}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau \qquad \forall\, t\in [kT, \tau_1+kT). \end{equation*} \notag$

Вместо

$t\in [kT, \tau_1+kT)$ рассмотрим

$kT+t$ , где

$t\in [0, \tau_1)$ . Сделаем замену

$\xi=\tau-kT$ и используем равенство

$f(\xi)=f(\xi+kT)$ . Тогда сужение функции на интервал

$\Delta^1_1$ принимает вид

$\begin{equation*} x_i(kT+t)=e^{\lambda_it}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_it} -\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{0}^{t} e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad \forall\, t\in [0, \tau_1). \end{equation*} \notag$

Отсюда следует, что

$x_i(t)=x_i(kT+t)$ для любого

$t\in [0, \tau_1)$ . Поскольку

$\begin{equation*} f(\xi)=f(\xi+\kappa kT) \end{equation*} \notag$

в силу

$T$ -периодичности

$f$ , очевидно, что сужение функции на интервал

$\Delta^1_\kappa$ ,

$\kappa>1$ , имеет вид

$\begin{equation*} x_i(\kappa kT+t)=e^{\lambda_it}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_it} -\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{0}^{t} e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad \forall\, t\in [0, \tau_1). \end{equation*} \notag$

Отсюда

$\begin{equation*} x_i(t)=x_i(\kappa kT+t) \qquad\forall\, t\in [0, \tau_1). \end{equation*} \notag$

Это означает, что

$X(t)=X(t+kT)$ для

$t\in\Delta^1_\kappa$ ,

$\kappa\geqslant 0$ . Далее по аналогии выпишем сужение вектор-функции

$X(t)$ на интервал

$\Delta^2_\kappa$ . Для

$i=1,\dots,n$ имеем на интервале

$\Delta^2_0$

$\begin{equation*} x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i}e^{\lambda_i(t-\tau_1)} -\frac{m_2}{\lambda_i}+k_i^0\int_{\tau_1}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT), \end{equation*} \notag$

на интервале

$\Delta^2_1$ для

$t\in [\tau_1+kT,2kT)$

$\begin{equation*} x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1-kT)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i} e^{\lambda_i(t-\tau_1-kT)}-\frac{m_2}{\lambda_i} +k_i^0\int_{\tau_1+kT}^{t}e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau. \end{equation*} \notag$

Вместо

$t\in [\tau_1+kT,2kT)$ рассмотрим

$kT+t$ , где

$t\in [\tau_1,kT)$ . Сделаем также замену

$\xi=\tau-kT$ и воспользуемся равенством

$f(\xi)=f(\xi+kT)$ . Тогда на интервале

$\Delta^2_1$ перепишем

$\begin{equation*} x_i(kT+t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i} e^{\lambda_i(t-\tau_1)}- \frac{m_2}{\lambda_i}+k_i^0\int_{\tau_1}^{t}e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT). \end{equation*} \notag$

На интервале

$\Delta^2_\kappa$ ,

$\kappa>1$ , имеем

$\begin{equation*} x_i(\kappa kT+t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i} e^{\lambda_i(t-\tau_1)}- \frac{m_2}{\lambda_i}+k_i^0\int_{\tau_1}^{t}e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT). \end{equation*} \notag$

Отсюда

$\begin{equation*} x_i(t)=x_i(\kappa kT+t) \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT). \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$X(t)=X(t+kT)$ , где

$t\in\Delta^2_\kappa$ ,

$\kappa\geqslant 0$ . Таким образом,

$\begin{equation*} X(t)=X(t+kT), \qquad t\geqslant 0, \end{equation*} \notag$

т.е.

$X(t)$ является периодической вектор-функцией. Теорема 2 доказана.

4. Заключение

Рассмотрены система (1.1) с простыми ненулевыми вещественными собственными значениями постоянной матрицы и ее каноническая форма с диагональной матрицей, вектором из единиц при нелинейности и ненулевым вектором обратной связи. Доказан критерий существования двухточечно-колебательного решения простейшего поведения с произвольным периодом возврата в точки переключения для преобразованной системы с непрерывной ограниченной функцией возмущения общего вида. Получены формулы для нахождения координат точек переключения. В случае периодической функции возмущения установлены необходимое и достаточное условие существования и единственность периодического решения. Приведен пример существования двухточечно-колебательного решения.

Автор выражает благодарность рецензенту за полезные замечания и рекомендации.

1. Введение. Постановка задачи

2. Каноническая форма системы. Критерий существования и единственности

3. Периодическое решение

4. Заключение

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ