| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Критерий существования двухточечно-колебательного решения возмущенной системы с реле В. В. Евстафьева Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070222 
Реферативные базы данных:
  1. Введение. Постановка задачиСистемы с гистерезисом, в том числе релейные системы, изучаются со второй половины прошлого века (см., например, [1], [2], а также библиографию в [3]–[5]). С развитием науки и появлением новых приложений в различных областях знаний (см., например, [6]–[9]) исследования таких систем в современном мире обрели новую актуальность. Многочисленные работы доказывают, что существенно нелинейные системы при воздействии внешних возмущений имеют большое разнообразие типов поведения. Ранее автором, в том числе в соавторстве, исследовались периодические (гармонические, субгармонические) решения релейных возмущенных систем (см. [10]–[18]). В работе [17] наряду с периодическим (гармоническим) решением системы, матрица которой имеет простые вещественные ненулевые собственные значения, рассматриваются непериодические решения с двумя точками переключения в фазовом пространстве и возвратом в каждую из этих точек за фиксированное время, соизмеримое с периодом функции возмущения заданного вида. Впервые дано определение двухточечно-колебательного решения с определенным поведением изображающей точки. Однако достаточные условия существования рассматриваемого непериодического решения не установлены. В [19] продолжено исследование двухточечно-колебательных решений релейной системы при непрерывном периодическом возмущении специального вида в случае вещественной симметричной матрицы, имеющей кратные собственные значения. Получено необходимое условие существования решения и установлен вид его параметров. Доказаны теоремы существования и несуществования таких решений для заданного вида вектора обратной связи. Настоящая статья продолжает изучение двухточечно-колебательных решений одого типа. В отличие от [17] и [19] в данной работе функция возмущения и вектор обратной связи рассматриваются в общем виде. Вводится общее определение двухточечно-колебательного решения, которое объединяет различные типы решений, отличающиеся поведением изображающей точки в фазовом пространстве, и определение одного типа решения с заданным поведением. Получены новые общие теоремы. Исследуется $n$-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь матрица системы $A$ и векторы $B=(b_1,\dots, b_n)^{\mathrm T}$, $K=(k_1,\dots, k_n)^{\mathrm T}$ являются вещественными, ненулевыми и не зависят от времени, $Y=(y_1,\dots, y_n)^{\mathrm T}$ – вектор состояний системы, символ $\mathrm T$ означает операцию транспонирования.Оператором $u(\sigma)$ задается характеристика гистерезисной нелинейности типа неидеального реле с нижним $\ell_1$ и верхним $\ell_2$ пороговыми значениями ($\ell_1<\ell_2$), двумя значениями выхода $m_1$, $m_2$ (пусть $m_1<m_2$), где $\ell_1,\ell_2,m_1,m_2\in\mathbb R$, и положительным направлением обхода петли гистерезиса на плоскости $(\sigma,u)$. Ниже приведем описание такого реле в соответствии с [4]. Непрерывная входная функция $\sigma (t)$, $t\geqslant t_0$, преобразуется в выходную кусочно-постоянную функцию $u(t)$, определяемую по формуле
$$
\begin{equation*}
u(t)= \begin{cases} m_1, & \text{если } (\sigma(t)\leqslant \ell_1)\vee\bigl(\sigma(t)\in (\ell_1,\ell_2)\wedge\sigma(\xi(t))=\ell_1\bigr), \\ m_2, &\text{если }(\sigma(t)\geqslant \ell_2)\vee\bigl(\sigma(t)\in (\ell_1,\ell_2)\wedge\sigma(\xi(t))=\ell_2\bigr), \\ u_0, &\text{если }\sigma(\tau)\in (\ell_1,\ell_2) \quad \forall\, \tau\in [t_0,t), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi(t)=\sup\bigl\{\tau\colon \tau\leqslant t,\,\sigma(\tau)=\ell_1\vee\sigma(\tau)=\ell_2\bigr\}, \qquad u_0=u(t_0)\in\{m_1,m_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Допустимыми состояниями реле называют все пары $(\sigma, u)\in {\mathbb R^2}$, удовлетворяющие условию $(u=m_1\wedge\sigma<\ell_2)\vee(u=m_2\wedge\sigma>\ell_1)$. Подробное описание двухпозиционного реле с гистерезисом можно найти также в [9], но для отрицательного направления обхода петли гистерезиса (обратного гистерезиса). Вектор $C=(c_1,\dots, c_n)^{\mathrm T}$ определяет обратную связь в системе, является вещественным, ненулевым и не зависит от времени. Функция возмущения $f(t)$ описывает внешнее воздействие и является непрерывной ограниченной функцией вещественной переменной $t\geqslant 0$. Определение 1. Точкой переключения называется состояние системы (1.1), при котором входная функция $\sigma(t)$ достигает одного из пороговых значений $\ell_\mu$, $\mu=1,2$, а выходная функция $u(t)$ при этом меняет значение выхода $m_1$ на $m_2$ или наоборот. Определение 2. Гиперплоскостью переключения называется гиперплоскость $(C,Y)=\ell_\mu$, $\mu=1,2$, в фазовом пространстве системы (1.1). Гиперплоскость переключения обозначим через $L_\mu$, $\mu=1,2$. В силу определений 1, 2 точка переключения принадлежит гиперплоскости $L_\mu=\{Y\in {\mathbb R}^n\colon (C,Y)= \ell_\mu\}$. Рассмотрим решение из класса непрерывных вектор-функций с точками переключения в фазовом пространстве системы (1.1) и соответствующую ему фазовую траекторию, которая в точках переключения “сшивается” согласно методу припасовывания из частей траектории в силу разных правых частей системы (1.1), а именно, Для аналитического представления решения используем формулу Коши
$$
\begin{equation}
Y(t)=e^{A(t-t_0)}Y_0+\int_{t_0}^{t}e^{-A(\tau-t)} (Bm_\mu+Kf(\tau))\,d\tau, \qquad \mu=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $t_0$ – начальный момент времени, $Y_0=Y(t_0)$. Ниже приведем общее Определение 3. Решение $Y(\cdot)$ системы (1.1) называется двухточечно-колебательным с периодом возврата $T_r$ на гиперплоскость переключения, если в фазовом пространстве существуют точки переключения $Y^1$ и $Y^2$, в каждую из которых изображающая точка решения возвращается $k$ раз через время $T_r$, т.е. если $Y^1=Y_0$ или $Y^2=Y_0$, то Из определения 3 следует, что количество точек переключения в фазовом пространстве конечно и не может быть менее двух за период возврата. Действительно, в общем случае двухточечно-колебательное решение системы (1.1) может иметь сложное поведение с большим количеством точек переключения за период возврата (так называемое быстрое переключение), но только две из них удовлетворяют условию в определении 3. В данной статье будем рассматривать двухточечно-колебательное решение одного типа (простейшего) поведения изображающей точки с двумя точками переключения за период возврата в фазовом пространстве, которому дадим следующее Определение 4. Двухточечно-колебательное с периодом возврата $T_r$ на гиперплоскость $L_\mu$ решение $Y(\cdot)$ системы (1.1) называется $T_r$-двухточечно-колебательным простейшего поведения, если существуют вещественные положительные числа $\tau_1$ и $\tau_2$ такие, что $\tau_1+\tau_2=T_r$, и точки $Y^1\in L_1$ и $Y^2\in L_2$, для которых выполняются следующие условия: 1) для всех $\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ на интервале $\Delta^1_\kappa=[\kappa T_r, \tau_1+\kappa T_r)$ имеет место равенство $u=m_1$, а на интервале $\Delta^2_\kappa=[\tau_1+\kappa T_r, (\kappa+1) T_r)$ – равенство $u=m_2$; 2) $Y(\kappa T_r)=Y^1$ и $Y(\tau_1+\kappa T_r)=Y^2,$ $\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$. В дальнейшем $\tau_\mu$, $\mu=1,2$, будем называть временем перехода изображающей точки из $Y^\mu$ в $Y^{3-\mu}$, а времена перехода и точки переключения – параметрами решения. Заметим, что $u(t)$ является кусочно-постоянной функцией с периодом $T_r$ и значение $\kappa=0$ соответствует первому обходу петли гистерезиса. Полагаем, что в системе (1.1) элементы матрицы $A$ и вектора $B$ заданы и удовлетворяют условию
$$
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix} B & AB& \dots & A^{n-1}B\end{pmatrix} \ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Параметрами полагаем элементы векторов $C$, $K$ и функции $f(t)$, а также значения $\ell_1$, $\ell_2$, $m_1$ и $m_2$. Для системы (1.1) с функцией $f(t)$ общего вида ставится задача Коши о существовании $T_r$-двухточечно-колебательного решения системы (1.1) простейшего поведения, при этом период возврата может быть произвольным или заданным. Данная статья состоит из четырех пунктов. В п. 2 рассматривается каноническая форма системы (1.1) с диагональной матрицей и стоящим при операторе $u(\sigma)$ вектором из единиц. Для преобразованной системы с ненулевым вектором обратной связи и функцией возмущения общего вида устанавливаются необходимое и достаточное условие существования решения с произвольным периодом возврата $T_r$ и его единственность. Кроме того, получены формулы для координат точек переключения. В п. 3 рассматриваются система с периодической функцией возмущения общего вида и $T_r$-периодическое решение, которое является $T_r$-двухточечно-колебательным с периодом возврата, кратным периоду функции $f(t)$. Доказывается критерий существования решения и его единственность. В п. 4 представлено заключение. 2. Каноническая форма системы. Критерий существования и единственностиПолагаем, что собственные значения матрицы $A$ являются простыми, ненулевыми и вещественными. Применим к системе (1.1) неособое преобразование $Y=SX$ с матрицей $S$ вида
$$
\begin{equation}
S=-\begin{pmatrix} \dfrac{N_1(\lambda_1)}{D'(\lambda_1)} &\dots &\dfrac{N_1(\lambda_n)}{D'(\lambda_n)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{N_n(\lambda_1)}{D'(\lambda_1)} & \dots &\dfrac{N_n(\lambda_n)}{D'(\lambda_n)} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
D'(\lambda_i)=\frac{dD(p)}{dp}\bigg|_{p=\lambda_i}, \qquad N_k(p)=\sum_{i=1}^n b_i D_{ik}(p), \quad k=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
$D(p)=\det(a_{k\alpha}-\delta_{k\alpha}p)$, $\alpha=1,\dots,n$, $a_{k\alpha}$ – элементы матрицы $A$, $\delta_{k\alpha}$ – символ Кронекера, $D_{ik}(p)$ – алгебраическое дополнение элемента определителя $D(p)$, который расположен на пересечении строки $i$ и столбца $k$, $\lambda_i$ – корни характеристического уравнения $D(p)=0$, $p$ – некоторый параметр. После преобразования система (1.1) принимает удобную для интегрирования каноническую форму
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot x_i=\lambda_i x_i + u(\sigma)+k_i^0 f(t), \quad i=1,\dots,n, \\ \displaystyle \sigma=\sum_{i=1}^n \gamma_i x_i, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $x_i$ – элементы вектора $X=S^{-1}Y$, $k_i^0$ – элементы вектора $K_0=S^{-1}K$, $\gamma_i$ – элементы вектора $\Gamma=S^{\mathrm T}C$. Преобразование с матрицей $S$ вида (2.1) приводит $B$ к вектору, состоящему из единиц. Отметим, что данная каноническая форма была предложена известным механиком Лурье в конце сороковых годов прошлого века [20]. Используя (1.2) и обратное преобразование $X=S^{-1}Y$, выпишем формулу Коши для решения канонической системы (2.2) в векторном виде:
$$
\begin{equation*}
S^{-1}Y(t)=e^{S^{-1}AS(t-t_0)}S^{-1}Y_0+\int_{t_0}^{t}e^{-S^{-1}AS(\tau-t)} (S^{-1}Bm_\mu+S^{-1}Kf(\tau))\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S^{-1}Y_0=X(t_0)$, $\mu=1,2$, или для координат вектор-функции $X(t)$
$$
\begin{equation}
x_i(t)=e^{\lambda_i(t-t_0)}x_i(t_0)+\int_{t_0}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}(m_\mu+k_i^0 f(\tau))\,d\tau, \qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В силу того, что системы (1.1) и (2.2) связаны линейным неособым преобразованием, они взаимозаменяемы в процессе исследования. Пусть $X^\mu=(x_1^\mu,\dots ,x_n^\mu)^{\mathrm T}$ – точка переключения в фазовом пространстве системы (2.2). Далее будем рассматривать $T_r$-двухточечно-колебательное решение системы (2.2) простейшего поведения с параметрами $\tau_1$, $\tau_2$, $X^1$, $X^2$. Точка переключения $X^\mu$ определена равенством $X^\mu=S^{-1}Y^\mu$ и принадлежит гиперплоскости $L_\mu=\{X\in {\mathbb R}^n\colon (\Gamma,X)=\ell_\mu\}$, $\mu=1,2$. Сформулируем определение решения системы (2.2). Определение 5. Двухточечно-колебательное с периодом возврата $T_r$ на гиперплоскость $L_\mu$ решение $X(\cdot)=(x_1(\cdot),\dots ,x_n(\cdot))^{\mathrm T}$ системы (2.2) называется $T_r$-двухточечно-колебательным простейшего поведения, если существуют вещественные положительные числа $\tau_1$ и $\tau_2$ такие, что $\tau_1+\tau_2=T_r$, и точки $X^1\in L_1$ и $X^2\in L_2$, для которых выполняются следующие условия: Заметим, что в определении 5 требуется колебательность решения и возврат изображающей точки на гиперплоскость переключения через одно и то же время $T_r$ в одну и ту же точку фазового пространства. Значит, фазовая траектория при первом обходе характеристики ($\kappa=0$) может не совпадать с траекторией при последующих обходах ($\kappa\geqslant 1$), но существенно, что проходит траектория через две фиксированные точки $X^1$ и $X^2$. Далее устанавливается критерий существования и единственности решения. Теорема 1. Пусть вектор $\Gamma$ ненулевой. Cистема (2.2) имеет единственное $T_r$-двухточечно-колебательное решение простейшего поведения с параметрами $\tau_1$, $\tau_2$, $X^1$, $X^2$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) $\tau_1$, $\tau_2$ – решение системы уравнений
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n {\gamma_i x_i^1}=\ell_1, \qquad \sum_{i=1}^n {\gamma_i x_i^2}=\ell_2,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_i^1=\frac{e^{\lambda_i T_r}}{1-e^{\lambda_i T_r}} \biggl(\frac{m_2-m_1}{\lambda_i e^{\lambda_i \tau_1}} +\frac{m_1}{\lambda_i}-\frac{m_2}{\lambda_ie^{\lambda_i T_r}} +k_i^0\int_0^{T_r}{e^{-\lambda_i\tau}f(\tau)\,d\tau}\biggr), \\ x_i^2=\frac{e^{\lambda_i \tau_1}}{1-e^{\lambda_i T_r}} \biggl(\frac{m_1-m_2}{\lambda_i}+\frac{m_2 e^{\lambda_i \tau_2}}{\lambda_i} -\frac{m_1}{\lambda_i e^{\lambda_i \tau_1}}+ \int_0^{\tau_1} \frac{k_i^0 f(\tau)}{e^{\lambda_i\tau}}\,d\tau+ \int_{\tau_1}^{T_r}\frac{k_i^0 f(\tau)}{e^{\lambda_i(\tau-T_r)}}\,d\tau \biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
причем $\tau_1$, $\tau_2$ – наименьшие положительные значения переменных, которые удовлетворяют равенству $\tau_1+\tau_2=T_r$; 2) интегралы не зависят от $\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$.Доказательство. Пусть система (2.2) имеет $T_r$-двухточечно-колебательное решение $X(\cdot)$ простейшего поведения с параметрами $\tau_1$, $\tau_2$, $X^1$ и $X^2$. Построим систему уравнений относительно параметров решения в соответствии с определением 5 и покажем, что выполняются условия теоремы 1. Согласно условию 1) определения 5 решение состоит из кусочно-непрерывных функций, которые строятся в силу разных правых частей системы (2.2) при $u=m_1$ и $u=m_2$, $m_1\ne m_2$, на соответствующих интервалах $\Delta^1_\kappa$ и $\Delta^2_\kappa$. Используя формулу Коши (2.3), выпишем уравнения для функций, которые определяют решение $X(\cdot)=(x_1(\cdot),\dots ,x_n(\cdot))^{\mathrm T}$. Для $i=1,\dots,n$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\kappa T_r)}x_i(\kappa T_r)+\int_{\kappa T_r}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}(m_1+k_i^0 f(\tau))\,d\tau \qquad\forall\, t\in\Delta^1_\kappa, \\ x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1-\kappa T_r)}x_i(\tau_1+\kappa T_r)+\int_{\tau_1+\kappa T_r}^{t}e^{\lambda_i(t-\tau)}(m_2+k_i^0 f(\tau))\,d\tau \qquad\forall\, t\in\Delta^2_\kappa. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Вместо переменной $t$ в первом уравнении системы (2.7) подставляем значение $\tau_1+\kappa T_r$ и во втором уравнении – значение $(\kappa+1)T_r$, для $i=1,\dots,n$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_i(\tau_1+\kappa T_r)=e^{\lambda_i\tau_1}x_i(\kappa T_r)+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_1}-\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0 e^{\lambda_i\tau_1}\int_{\kappa T_r}^{\tau_1+\kappa T_r} e^{\lambda_i(\kappa T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau, \\ x_i((\kappa+1)T_r)=e^{\lambda_i\tau_2}x_i(\tau_1+\kappa T_r)+\frac{m_2}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_2}-\frac{m_2}{\lambda_i}+ k_i^0 \int_{\tau_1+\kappa T_r}^{(\kappa+1) T_r}e^{\lambda_i((\kappa+1) T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Согласно условию 2) определения 5 выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
x_i(\kappa T_r)=x_i((\kappa+1) T_r)=x_i^1, \qquad x_i(\tau_1+\kappa T_r)=x_i^2
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$, $i=1,\dots,n$, т.е. в моменты переключения функции “сшиваются”, обеспечивая непрерывность решения. Последние равенства выполняются тогда и только тогда, когда правые части в (2.8), а следовательно, интегралы в (2.8) не зависят от $\kappa$. Функция $f(t)$ является непрерывной и ограниченной, поэтому подынтегральная функция $e^{\lambda_i(\kappa T_r-\tau)}f(\tau)$ интегрируема на отрезке $[\kappa T_r,\tau_1+\kappa T_r]$, а подынтегральная функция $e^{\lambda_i((\kappa+1) T_r-\tau)}f(\tau)$ – на отрезке $[\tau_1+\kappa T_r, (\kappa+1)T_r]$, т.е. существуют интегралы в (2.8). Независимость интеграла от $\kappa$ означает равенство интеграла одному и тому же значению для любого $\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$. Воспользуемся в интеграле первого равенства системы (2.8) заменой переменной $\xi=\tau-\kappa T_r$, а в интеграле второго равенства – заменой $\xi=(\kappa+1)T_r-\tau$. Принимая во внимание, что множитель $e^{\lambda_i\tau_1}>0$ и не зависит от $\kappa$, а множитель $k_i^0$ может принимать нулевое значение, запишем условие на интегралы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &k_i^0 \int_{\kappa T_r}^{\tau_1+\kappa T_r} e^{\lambda_i(\kappa T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau= k_i^0\int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi+\kappa T_r)\,d\xi= k_i^0 \int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi)\,d\xi, \\ &k_i^0 \int_{\tau_1+\kappa T_r}^{(\kappa+1) T_r}e^{\lambda_i((\kappa+1) T_r-\tau)}f(\tau)\,d\tau \\ &\qquad=k_i^0\int_0^{\tau_2} e^{\lambda_i\xi}f((\kappa+1)T_r-\xi)\,d\xi= k_i^0 \int_0^{\tau_2}e^{\lambda_i\xi}f(T_r-\xi)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последние равенства для $i=1,\dots,n$ равносильны условию 2) теоремы 1. Таким образом, при условии независимости от $\kappa$ интегралов система равенств (2.8) равносильна следующей системе равенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_i^2&=e^{\lambda_i\tau_1}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_1}-\frac{m_1}{\lambda_i}+k_i^0 e^{\lambda_i\tau_1}\int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi)\,d\xi, \\ x_i^1&=e^{\lambda_i\tau_2}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i}e^{\lambda_i\tau_2}-\frac{m_2}{\lambda_i} +k_i^0\int_0^{\tau_2}e^{\lambda_i\xi}f(T_r-\xi)\,d\xi, \end{aligned} \qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Покажем, что равенства (2.9) равносильны равенствам (2.5) в условии 1) теоремы 1. Рассмотрим равенства (2.9) совместно как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных $x_i^1$ и $x_i^2$. Определитель этой системы для каждого $i=1,\dots,n$
$$
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} 1 & -e^{\lambda_i \tau_2} \\ -e^{\lambda_i \tau_1} & 1 \end{vmatrix} =1-e^{\lambda_i T_r}
\end{equation*}
\notag
$$
отличен от нуля, поскольку $\lambda_i$ ненулевые. Поэтому координаты $x_i^1$ и $x_i^2$ точек переключения $X^1$ и $X^2$ определяются однозначно равенствами (2.5) при известных $\tau_1$, $\tau_2$. Кроме того, согласно определению 5 имеем $X^1\in L_1$ и $X^2\in L_2$. В новых переменных гиперплоскость $L_\mu$, $\mu=1,2$, принимает вид
$$
\begin{equation*}
(\Gamma,X)=\gamma_1 x_1+\gamma_2 x_2+\dots +\gamma_n x_n=\ell_\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие $X^\mu\in L_\mu$ равносильно равенству $(\Gamma,X^\mu)=\ell_\mu$ или
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n {\gamma_i x_i^\mu}=\ell_\mu, \qquad \mu=1,2.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Подставим полученные выражения для $x_i^1$ и $x_i^2$ в (2.10) и, учитывая, что $T_r=\tau_1+\tau_2$, получим систему равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{i=1}^n \frac{\gamma_i \, e^{\lambda_i T_r}}{1-e^{\lambda_i T_r}} \biggl(\frac{m_2-m_1}{\lambda_i e^{\lambda_i \tau_1}} +\frac{m_1}{\lambda_i}-\frac{m_2}{\lambda_ie^{\lambda_i T_r}} +k_i^0\int_0^{T_r}{e^{-\lambda_i\tau}f(\tau)\,d\tau}\biggr) =\ell_1, \\ &\sum_{i=1}^n \frac{\gamma_i \, e^{\lambda_i \tau_1}}{1-e^{\lambda_i T_r}} \biggl(\frac{m_1-m_2}{\lambda_i}+\frac{m_2 e^{\lambda_i \tau_2}}{\lambda_i} -\frac{m_1}{\lambda_i e^{\lambda_i \tau_1}} \\ \notag &\qquad\qquad +\int_0^{\tau_1} \frac{k_i^0 f(\tau)}{e^{\lambda_i\tau}}\,d\tau+ \int_{\tau_1}^{T_r}\frac{k_i^0 f(\tau)}{e^{\lambda_i(\tau-T_r)}}\,d\tau \biggr)=\ell_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Система (2.11) эквивалентна системе (2.4) в условии 1) теоремы 1. Таким образом, параметры $\tau_1$ и $\tau_2$ решения удовлетворяют условию 2) теоремы 1 и системе равенств (2.4) в условии 1) теоремы 1. Параметры $X^1$ и $X^2$ удовлетворяют равенствам (2.5). Согласно определениям 1 и 5 через время перехода $\tau_1$ имеет место переключение с $u=m_1$ на $u=m_2$ и $\sigma=\ell_2$, через время $\tau_2$ – переключение с $u=m_2$ на $u=m_1$ и $\sigma=\ell_1$. Поскольку $\tau_1+\tau_2=T_r$, то существует две точки переключения за период возврата. Однако не только времена перехода, соответствующие точкам переключения, но и времена перехода, которые соответствуют точкам пересечения с гиперплоскостями, удовлетворяют системе (2.11) в случае, если для них выполняется равенство $\tau_1+\tau_2=T_r$. Рассмотрим систему (2.11) как систему уравнений относительно $\tau_1$, $\tau_2$ и покажем, что наименьшие положительные значения переменных отвечают точкам переключения. Из условия 1) определения 5 следует, что выполнено следующее. Условие (i). На интервале $\Delta^1_\kappa$ изображающая точка решения $X(t)$ не попадает на гиперплоскость $L_2$, а на интервале $\Delta^2_\kappa$ – на гиперплоскость $L_1$. Равенство $(\Gamma,X(t))=\ell_\mu$ равносильно утверждению, что изображающая точка решения $X(t)$ принадлежит гиперплоскости $L_\mu$. В силу этого равенства и неравенства $\ell_1<\ell_2$ условие (i) равносильно следующему условию. Условие (ii). Выполнено $(\Gamma,X(t))<\ell_2$ для любого $t\in \Delta^1_\kappa$ и $(\Gamma,X(t))>\ell_1$ для любого $t\in \Delta^2_\kappa$. Выполнимость неравенств в условии (ii) равносильна тому, что время перехода изображающей точки с гиперплоскости $L_\mu$ на $L_{3-\mu}$ совпадает с временем перехода из точки переключения $X^\mu$ в точку $X^{3-\mu}$. Это означает, что $\tau_1$, $\tau_2$ принимают наименьшие положительные значения среди решений системы (2.11) в силу эквивалентности системы (2.4) и отвечают точкам переключения. При однозначно определяемых значениях $\tau_1$ и $\tau_2$ точки переключения находятся по формулам (2.5). Таким образом, выполняются условия теоремы 1. Далее установим, что условия теоремы 1 являются не только необходимыми, но и достаточными. Пусть имеют место условия теоремы 1. Нетрудно показать, что $\tau_1$, $\tau_2$, $X^1$ и $X^2$ являются параметрами $T_r$-двухточечно-колебательного решения $X(\cdot)$ системы (2.2) простейшего поведения, т.е. удовлетворяют определению 5. Действительно, по определению 5 построена система (2.11) совместно с (2.8), которая при выполнении условия 2) теоремы 1 равносильна системе (2.4) совместно с (2.5). Полагаем, что параметры системы (2.2) таковы, что система (2.4) разрешима относительно $\tau_1>0$ и $\tau_2>0$. Пусть $\tau_1$, $\tau_2$ являются решением системы (2.4) совместно с (2.5) и удовлетворяют равенству $\tau_1+\tau_2=T_r$. Как показано выше, среди решений $\tau_1$, $\tau_2$ системы (2.11) или равносильной системы (2.4) могут появиться посторонние решения, которые соответствуют точкам пересечения с гиперплоскостями. Поскольку $\tau_1$, $\tau_2$ принимают наименьшие положительные значения среди решений, то они однозначно находятся и соответствуют точкам переключения $X^1$ и $X^2$, координаты которых определяются по формулам (2.5). Значит, $\tau_1$, $\tau_2$, $X^1$ и $X^2$ удовлетворяют определению 5, т.е. являются параметрами искомого решения, причем однозначно определяемыми. Следовательно, существует $T_r$-двухточечно-колебательное решение $X(\cdot)$ системы (2.2) простейшего поведения с указанными параметрами, и это решение является единственным. Теорема 1 доказана. Замечание 1. В данной статье мы не обсуждаем условия разрешимости системы трансцендентных уравнений (2.4), которая получена в общем виде для ненулевого вектора обратной связи $\Gamma$. Эта задача нетривиальная и требует отдельного рассмотрения. Здесь полагаем, что существуют такие параметры системы (2.2), при которых система (2.4) разрешима относительно $\tau_1>0$ и $\tau_2>0$. В частном случае, когда вектор $\Gamma$ состоит из одного ненулевого элемента, получены условия разрешимости системы вида (2.4) (см., например, [10] и [17]). Замечание 2. В случае периодической функции $f(t)$ условие 2) теоремы 1 выполняется, если период возврата $T_r$ соизмерим с периодом функции возмущения. В следующем пункте рассматривается частный случай, когда $T_r$ равен или кратен периоду функции возмущения. В примере ниже представлен случай, когда $T_r$ не является ни равным, ни кратным. Если функция $f(t)$ не является периодической, например, $f(t)=e^{\alpha t} \sin (\omega t+\phi)$, $\alpha<0$, то условие 2) теоремы 1 выполняется при следующих условиях: $\tau_1=\pi m/\omega$, $\tau_2=\pi \ell /\omega$, $m,\ell\in {\mathbb N}$; $\phi+\operatorname{arctg}(\omega/(\lambda_s-\alpha))=\pi h$ для некоторого индекса $s$, $h\in \mathbb Z$; $k_j^0=0$ для любого $j\ne s$, $j=1,\dots,n$. Далее приведем пример существования двухточечно-колебательного решения. Функция возмущения имеет вид и период $T=\pi$. При $m_1=-5$, $m_2=3.84$, $\ell_1=-6$ и $\ell_2=6.63$ существует $(3T/2)$-двухточечно-колебательное решение системы (2.12) со следующими параметрами:На рис. 1 представлен график траектории $(3\pi/2)$-двухточечно-колебательного решения в фазовом пространстве системы (2.12). Гиперплоскости переключения расположены ортогонально оси $x_1$. 3. Периодическое решениеРассмотрим систему (2.2) с периодической функцией $f(t)$ и покажем, что $T_r$-двухточечно-колебательное решение при дополнительном ограничении на период возврата является $T_r$-периодическим решением. В работе [9] для невозмущенной замкнутой системы с реле получено аналогичное утверждение о том, что колебательное решение является периодическим при дополнительных условиях на первый момент переключения. Теорема 2. Пусть вектор $\Gamma$ ненулевой. Cистема (2.2) с $T$-периодической функцией $f(t)$ имеет единственное $kT$-двухточечно-колебательное решение $X(t)$ с параметрами $\tau_1$, $\tau_2$, $X^1$ и $X^2$ при заданном $k\in\mathbb{N}$; более того, решение $X(t)$ является периодической вектор-функцией с периодом $kT$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: При этом координаты точек переключения находятся по формулам (2.5). Доказательство теоремы 2 вытекает из теоремы 1. Покажем, что условия 1) и 2) теоремы 2 эквивалентны условию 1) теоремы 1 для $T_r=kT$ и заданном $k\in\mathbb{N}$. Действительно, рассмотрим условие 1) теоремы 1. Если в систему (2.4) вместо $x_i^1$ и $x_i^2$ подставить определяющие их выражения, то получим систему (3.1), т.е. системы (2.4) и (3.1) при $z=\tau_1$ являются равносильными. Для некоторого заданного $k\in\mathbb{N}$ время возврата фиксировано, поскольку $T_r=kT$. Отсюда имеем $\tau_2=kT-\tau_1$. Тогда система (3.1) зависит от одной переменной $z\in (0,kT)$. Наименьшее решение $\tau_1$ этой системы соответствует времени перехода изображающей точки решения $X(t)$ с гиперплоскости $L_1$ на $L_2$, из точки $X^1$ в $X^2$. Кроме того, по условию 1) теоремы 1 величина $\tau_2$ является наименьшим решением системы (2.4), поскольку соответствует времени перехода с гиперплоскости $L_2$ на $L_1$, из точки $X^2$ в $X^1$. Поэтому, с одной стороны, $\tau_2$ является наименьшим решением системы (3.1) при $T_r=\tau_1+\tau_2$, где величина $\tau_1$ определена в условии 1) теоремы 2. С другой стороны, при фиксированном времени возврата значение $\tau_2$ известно, поскольку определяется равенством $\tau_2=kT-\tau_1$. Таким образом, условие 1) теоремы 1 при заданном $T_r=kT$, $k\in\mathbb{N}$, равносильно условиям 1) и 2) теоремы 2. Теперь рассмотрим условие 2) теоремы 1. Поскольку определенная на полуоси $t\geqslant 0$ функция $f(t)$ является $T$-периодической, то $f(\xi)=f(\xi+T)$ для $\xi\geqslant 0$. Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^{\tau_2} e^{\lambda_i\xi}f((\kappa+1)kT-\xi)\,d\xi= \int_0^{\tau_2} e^{\lambda_i\xi}f(kT-\xi)d\,\xi, \\ \int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi+\kappa kT)\,d\xi= \int_0^{\tau_1} e^{-\lambda_i\xi}f(\xi)\,d\xi, \qquad i=1,\dots,n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
интегралы (2.6) не зависят от $\kappa\in \mathbb{N}\cup\{0\}$. Единственность $kT$-двухточечно-колебательного решения $X(t)$ следует из того, что его параметры определяются единственным образом, а именно, $\tau_1$ – как наименьшее решение системы (3.1), $\tau_2$ – равенством $\tau_2=kT-\tau_1$ при заданном $k$ и известном $\tau_1$, а координаты точек переключения находятся по формулам (2.5). Далее покажем, что решение $X(t)$ является периодической вектор-функцией. Воспользуемся (2.7). Имеем для $i=1,\dots,n$ сужение функции на интервал $\Delta^1_0$
$$
\begin{equation*}
x_i(t)=e^{\lambda_it}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_it}-\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{0}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau \qquad\forall\, t\in [0, \tau_1),
\end{equation*}
\notag
$$
и сужение функции на интервал $\Delta^1_1$
$$
\begin{equation*}
x_i(t)=e^{\lambda_i(t-kT)}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_i(t-kT)} -\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{kT}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau \qquad \forall\, t\in [kT, \tau_1+kT).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместо $t\in [kT, \tau_1+kT)$ рассмотрим $kT+t$, где $t\in [0, \tau_1)$. Сделаем замену $\xi=\tau-kT$ и используем равенство $f(\xi)=f(\xi+kT)$. Тогда сужение функции на интервал $\Delta^1_1$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
x_i(kT+t)=e^{\lambda_it}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_it} -\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{0}^{t} e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad \forall\, t\in [0, \tau_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $x_i(t)=x_i(kT+t)$ для любого $t\in [0, \tau_1)$. Поскольку в силу $T$-периодичности $f$, очевидно, что сужение функции на интервал $\Delta^1_\kappa$, $\kappa>1$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
x_i(\kappa kT+t)=e^{\lambda_it}x_i^1+\frac{m_1}{\lambda_i}e^{\lambda_it} -\frac{m_1}{\lambda_i}+ k_i^0\int_{0}^{t} e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad \forall\, t\in [0, \tau_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
x_i(t)=x_i(\kappa kT+t) \qquad\forall\, t\in [0, \tau_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $X(t)=X(t+kT)$ для $t\in\Delta^1_\kappa$, $\kappa\geqslant 0$. Далее по аналогии выпишем сужение вектор-функции $X(t)$ на интервал $\Delta^2_\kappa$. Для $i=1,\dots,n$ имеем на интервале $\Delta^2_0$
$$
\begin{equation*}
x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i}e^{\lambda_i(t-\tau_1)} -\frac{m_2}{\lambda_i}+k_i^0\int_{\tau_1}^{t} e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT),
\end{equation*}
\notag
$$
на интервале $\Delta^2_1$ для $t\in [\tau_1+kT,2kT)$
$$
\begin{equation*}
x_i(t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1-kT)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i} e^{\lambda_i(t-\tau_1-kT)}-\frac{m_2}{\lambda_i} +k_i^0\int_{\tau_1+kT}^{t}e^{\lambda_i(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместо $t\in [\tau_1+kT,2kT)$ рассмотрим $kT+t$, где $t\in [\tau_1,kT)$. Сделаем также замену $\xi=\tau-kT$ и воспользуемся равенством $f(\xi)=f(\xi+kT)$. Тогда на интервале $\Delta^2_1$ перепишем
$$
\begin{equation*}
x_i(kT+t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i} e^{\lambda_i(t-\tau_1)}- \frac{m_2}{\lambda_i}+k_i^0\int_{\tau_1}^{t}e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT).
\end{equation*}
\notag
$$
На интервале $\Delta^2_\kappa$, $\kappa>1$, имеем
$$
\begin{equation*}
x_i(\kappa kT+t)=e^{\lambda_i(t-\tau_1)}x_i^2+\frac{m_2}{\lambda_i} e^{\lambda_i(t-\tau_1)}- \frac{m_2}{\lambda_i}+k_i^0\int_{\tau_1}^{t}e^{\lambda_i(t-\xi)}f(\xi)\,d\xi \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
x_i(t)=x_i(\kappa kT+t) \qquad\forall\, t\in [\tau_1,kT).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $X(t)=X(t+kT)$, где $t\in\Delta^2_\kappa$, $\kappa\geqslant 0$. Таким образом, т.е. $X(t)$ является периодической вектор-функцией. Теорема 2 доказана. Замечание 3. В силу теоремы 2 рассмотренное в примере 1 $(3T/2)$-двухточечно-колебательное решение системы (2.12) является периодической вектор-функцией с периодом $3T$, т.е. траектория решения, построенная за два обхода характеристики, совпадает с траекторией при последующих обходах. 4. ЗаключениеРассмотрены система (1.1) с простыми ненулевыми вещественными собственными значениями постоянной матрицы и ее каноническая форма с диагональной матрицей, вектором из единиц при нелинейности и ненулевым вектором обратной связи. Доказан критерий существования двухточечно-колебательного решения простейшего поведения с произвольным периодом возврата в точки переключения для преобразованной системы с непрерывной ограниченной функцией возмущения общего вида. Получены формулы для нахождения координат точек переключения. В случае периодической функции возмущения установлены необходимое и достаточное условие существования и единственность периодического решения. Приведен пример существования двухточечно-колебательного решения. Автор выражает благодарность рецензенту за полезные замечания и рекомендации. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yev23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|