| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа в прямоугольной области Д. К. Дурдиевab, Ж. Ш. Cафаровac a Институт математики им. В. И. Романовского АН РУз, г. Ташкент b Бухарский государственный университет c Ташкентский университет информационных технологий
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070210 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиОбратные задачи возникают во многих областях прикладных исследований, таких как электродинамика, акустика, квантовая теория рассеяния, геофизика (обратные задачи электроразведки, сейсмика, теория потенциала), астрономии и других областях естествознания. Связаны они с тем, что получаются значения параметров модели по наблюдаемым данным, а на практике свойства рассматриваемой среды часто неизвестны и подлежат определению. Различные обратные задачи для уравнений в частных производных второго порядка разных типов (а именно, параболические, гиперболические и эллиптические) изучены достаточно подробно (см. [1]–[6] и обширную библиографию там). Обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа – бурно развивающееся в настоящее время направление современной математической физики. К таким уравнениям приводят задачи распространения упругих, электромагнитных волн в средах, где состояние среды в данный момент времени зависит от ее состояния во все предыдущие моменты времени. Математически, в правые части соответствующих уравнений добавляются интегралы типа свертки, которые описывают явление запаздывания. Первые результаты в теории обратных задач для интегро-дифференциалных уравнений, представлены в работах итальянских математиков Лоренци, Синестрари, Папарони [7]–[9]. К настоящему времени изучение одномерных и многомерных обратных задач определения ядра интегрального члена интегро-дифференциальных уравнений стало объектом исследования многих ученых. Различными постановками и исследованиями обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка можно ознакомиться в работах [10]–[20]. В частности, в [10]–[15] рассматривались одномерные задачи нахождения ядра, входящего в интегро-дифференциальное уравнение с дельта-функцией в правой части, либо на граничном условии. Для поставленных в этих работах задач доказаны теоремы существования, единственности и получены оценки устойчивости на основе принципа сжимающих отображений. Подобные задачи с распределенными источниками возмущений изучены в [16]–[18]. В работах [19]–[21] для многомерных обратных задач нахождения ядра в гиперболических интегро-дифференциальных уравнениях второго порядка доказаны теоремы однозначной локальной разрешимости. Численным методам решения обратных задач определения ядра в интегро-дифференциальных уравнениях гиперболического типа посвящены работы [22]–[24]. В данной работе исследуется обратная задача, заключающаяся в нахождении решения и одномерного ядра свертки интегрального члена неоднородного интегро-дифференциального уравнения с двумерным волновым оператором в главной части, из условий, составляющих прямую (в данном случае начально-краевую) задачу и некоторого дополнительного условия. В качестве последнего условия рассматривается след решения прямой задачи в фиксированной точке плоскости для всего временного интервала. Отметим, что методика исследования здесь близка технике, примененной в работе [25], в которой рассматривалась обратная (линейная) задача восстановления правой части двумерного уравнения теплопроводности. В отличие от работ [7]–[9] и [12] в данной статье пространственная область имеет определенную форму (квадрат), что позволяет явно вычислить спектральные данные эллиптического оператора и применить метод Фурье к решению задачи в конкретном виде. В области $D_{Tl}=\Omega_l\times(0,T)$, $\Omega_l=\{(x,y)\colon 0<x<l,\,0<y<l\}$ рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation}
u_{tt}-\Delta u=\int_0^tk(\tau)u(x,y,t-\tau)\,d\tau+g(x,y,t)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с начальными
$$
\begin{equation}
u|_{t=0}=\varphi(x,y),\quad u_t|_{t=0}=\psi(x,y),\qquad 0\leqslant x,y\leqslant l,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
и граничными условиями
$$
\begin{equation}
u|_{x=0} =0, \quad u|_{x=l} =0, \qquad 0\leqslant y\leqslant l, \quad 0\leqslant t\leqslant T,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
u|_{y=0} =0, \quad u|_{y=l} =0, \qquad 0\leqslant x\leqslant l, \quad 0\leqslant t\leqslant T,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\varphi(x,y)$, $\psi(x,y)$ и $g(x,y,t)$ – заданные функции. Нахождение функции $u(x,y,t)$, $(x,y,t) \in D_{Tl}$, при известной $k(t)$ назовем прямой задачей. Определение 1. Функция $u(x,y,t)$, дважды непрерывно дифференцируемая по всем переменным $x$, $y$ и $t$ в области $D_{Tl}$ ($u(x,y,t) \in C^{2}(D_{Tl})$), и непрерывная вплоть до границы этой области ($u(x,y,t) \in C(\overline{D}_{Tl})$), называется решением (классическим) прямой задачи, если она удовлетворяет равенствам (1.1)–(1.4). Обратная задача заключается в определении неизвестного коэффициента $k(t)$, $t>0$, по имеющейся дополнительной информации о решении прямой задачи где $h(t)$ – заданная функция.Определение 2. Функции $u(x,y,t)$ и $k(t)$ из классов $C^{2}(D_{Tl})\cap C(\overline{D}_{Tl})$ и $C[0,T]$ соответственно, удовлетворяющие соотношениям (1.1)–(1.5), назовем решением обратной задачи (1.1)–(1.5). 2. Исследование прямой задачиИзучение прямой задачи начнем с рассмотрения следующей задачи для уравнения с однородными условиями Дирихле на границе
$$
\begin{equation*}
v|_{x=0}=0, \qquad v|_{x=l}=0, \qquad v|_{y=0}=0, \qquad v|_{y=l}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что [25] собственные функции и соответствующие собственные значения этой задачи имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_{mn}(x,y)=\frac{2}{l}\sin\lambda_mx \sin\lambda_ny, \\ \lambda_{mn}^2=\lambda_m^2+\lambda_{n}^2,\qquad \lambda_m=\frac{\pi m}{l}\,,\quad \lambda_n=\frac{\pi n}{l}\,,\quad m,n\in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Предположим, что функция $u(x,y,t)$ является решением задачи (1.1)–(1.4). Введем в рассмотрение следующий интеграл:
$$
\begin{equation}
u_{mn}(t)=\iint_{\Omega_l} u(x,y,t)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Обозначим интеграл по области $\Omega_l^{\varepsilon\theta}=\{(x,y)\colon \varepsilon\leqslant x \leqslant l-\varepsilon,\, \theta \leqslant y \leqslant l-\theta\}$ через $u_{mn}^{\varepsilon,\theta}(t)$:
$$
\begin{equation}
u_{mn}^{\varepsilon,\theta}(t)= \iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}}u(x,y,t)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\varepsilon>0$ и $\theta>0$ – достаточно малые вещественные числа. Продифференцировав уравнение (2.3) два раза по $t$ и используя уравнение (1.1), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (u_{mn}^{\varepsilon,\theta}(t))''&= \iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}}u_{tt}(x,y,t)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy \nonumber \\ &=\iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}} \biggl[\Delta u+ \int_0^tk(\tau)u(x,y,t-\tau)\,d\tau+g(x,y,t)\biggr] v_{mn}(x,y)\,dx\,dy \nonumber \\ &=\iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}}u_{xx}v_{mn}(x,y)\,dx\,dy+ \iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}}u_{yy}v_{mn}(x,y)\,dx\,dy \nonumber \\ &\qquad+\iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}} \biggl[\int_0^tk(\tau)u(x,y,t-\tau)\,d\tau+g(x,y,t)\biggr] v_{mn}(x,y)\,dx\,dy \nonumber \\ &=:J_1+J_2+G_{mn}^{\varepsilon\theta}(t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
G_{mn}^{\varepsilon\theta}(t):=\iint_{\Omega_l^{\varepsilon\theta}} \biggl[\int_0^tk(\tau)u(x,y,t-\tau)\,d\tau+g(x,y,t)\biggr] v_{mn}(x,y)\,dx\,dy.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Интегрируя по частям интегралы $J_1$ (два раза по $x$) и $J_2$ (два раза по $y$), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1&=\int_{\theta}^{l-\theta}dy \int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon}u_{xx}v_{mn}(x,y)\,dx \\ &=\int_{\theta}^{l-\theta}dy \biggl(u_{x}v_{mn}(x,y)|_\varepsilon^{l-\varepsilon}- u(x,y,t)(v_{mn}(x,y))_{x}|_\varepsilon^{l-\varepsilon} \\ &\qquad+\int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon} u(x,y,t) (v_{mn}(x,y))_{xx}\,dx\biggr); \\ J_2&=\int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon}dx \int_{\theta}^{l-\theta}u_{yy}v_{mn}(x,y)\,dy \\ &=\int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon}dx \biggl(u_{y}v_{mn}(x,y)|_\theta^{l-\theta}- u(x,y,t)(v_{mn}(x,y))_{y}|_\theta^{l-\theta} \\ &\qquad+ \int_{\theta}^{l-\theta}u(x,y,t) (v_{mn}(x,y))_{yy}\,dy\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть выполнены следующие условия:
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to 0+}u_x\sin\lambda_mx = \lim_{x\to l-}u_x\sin\lambda_mx=0, \qquad 0 \leqslant y\leqslant l, \quad 0 \leqslant t\leqslant T;
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{y\to 0+}u_y\sin\lambda_ny = \lim_{y\to l-}u_y\sin\lambda_ny=0, \qquad 0 \leqslant x\leqslant l, \quad 0 \leqslant t\leqslant T.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Тогда переходя в интегралах $J_1$ и $J_2$ к пределу при $\varepsilon\to 0$, $\theta\to 0$ и используя формулы (1.3), (1.4), из (2.4) получим
$$
\begin{equation}
u_{mn}''(t)=-\lambda_{mn}^2\iint_{\Omega_l} u(x,y,t) v_{mn}(x,y)\,dx\,dy+G_{mn}(t)=-\lambda_{mn}^2u_{mn}(t)+G_{mn}(t),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_{mn}(t)&:=\iint_{\Omega_l} g(x,y,t)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy +\iint_{\Omega_l}\biggl[\int_0^tk(\tau)u(x,y,t-\tau)\, d\tau\biggr]v_{mn}(x,y)\,dx\,dy \nonumber \\ &=g_{mn}(t)+\int_0^tk(\tau)u_{mn}(t-\tau)\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Уравнение (2.8) эквивалентно следующему интегральному уравнению:
$$
\begin{equation}
u_{mn}(t)=\frac{1}{\lambda_{mn}}\int_0^t \sin \lambda_{mn}(t-s)G_{mn}(s)\,ds+ (C^1_{mn}\cos \lambda_{mn}t+C^2_{mn}\sin\lambda_{mn}t),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $C^i_{mn}$, $i=1,2$, – произвольные постоянные. Используя начальные условия (1.2), из формулы (2.2) получим
$$
\begin{equation}
u_{mn}(0) =\iint_{\Omega_l} u(x,y,0)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy= \iint_{\Omega_l} \varphi(x,y)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy=\varphi_{mn},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
u'_{mn}(0) =\iint_{\Omega_l}u_t(x,y,0)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy= \iint_{\Omega_l} \psi(x,y)v_{mn}(x,y)\,dx\,dy=\psi_{mn}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из (2.10), (2.11) и (2.12) следует, что
$$
\begin{equation*}
C^1_{mn}= \varphi_{mn}, \qquad C^2_{mn}=\frac{1}{\lambda_{mn}}\psi_{mn}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этого (2.10) записывается в виде
$$
\begin{equation}
u_{mn}(t)=\varphi_{mn}\cos \lambda_{mn}t+ \frac{1}{\lambda_{mn}}\psi_{mn}\sin\lambda_{mn}t+ \frac{1}{\lambda_{mn}}\int_0^t\sin\lambda_{mn}(t-s)G_{mn}(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Следовательно, решение задачи (1.1)–(1.4) единственно, так как при $\varphi(x,y)\equiv 0$, $\psi(x,y)\equiv 0$ и $g(x,y,t)\equiv0$ получаем тождества $\varphi_{mn}\equiv0$, $\psi_{mn}\equiv0$, $g_{mn}(t)\equiv0 $. Тогда из формулы (2.13) следует, что $u_{mn}\equiv0$, так как $u_{mn}$ является решением однородного уравнения
$$
\begin{equation*}
u_{mn}(t)=\frac{1}{\lambda_{mn}}\int_0^t u_{mn}(\tau)\,d\tau \int_0^{t-\tau}\sin \lambda_{mn}(t-\tau-s)k(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $u_{mn}\equiv0$ в равенство (2.4) получим Поскольку система $v_{mn}$ полна в пространстве $L_2(\Omega_l)$, функция $u(x,y,t)=0$ почти всюду в $\Omega_l$ и при любом $t \in[0,T]$. Так как функция $u(x,y,t)\in C^2(D_{Tl})$, заключаем, что $u(x,y,t)\equiv 0$ на $D_{Tl}$. Таким образом, мы доказали следующее утверждение о единственности решения задачи (1.1)–(1.4): Теорема 1. Если решение задачи (1.1)–(1.4) существует, то при выполнении условий (2.6), (2.7), оно единственно. Здесь следует отметить тот факт, что условия (2.6) и (2.7) означают, что производные $u_x$, $u_y$ могут иметь особенности порядка меньше единицы, вблизи соответствующих граней параллелепипеда $D_{Tl}$. Прежде чем переходить к доказательству существования решения, докажем следующие две леммы. Лемма 1. При достаточно больших $m$ и $n$ справедливы следующие оценки: где $H_1$, $H_2$ – положительные постоянные, зависящие только от $T$; $g_{mn}(t_0)=\max_{t\in[0,T]}|g_{mn}(t)|$. Доказательство. Оценка (2.14) непосредственно следует из формулы (2.13) с применением неравенства Гроноулла, а для того чтобы доказать формулу (2.15), продифференцируем (2.13) два раза по $t$ и проделаем ту же самую процедуру. Лемма 2. Если $\varphi(x,y)\in C^2(\overline{\Omega_l})$, $\psi(x,y)\in C^2(\overline{\Omega_l})$, $g(x,y,t)\in C^2(\overline{D}_{Tl})$ и выполнены условия Доказательство. Из формулы (2.9) следует, что коэффициенты Фурье функции $g(x,y,t)$ имеют вид Интегрируя по частям два раза это уравнение (один раз по $x$ и один раз по $y$) и учитывая условия (2.18), получим,
$$
\begin{equation*}
g_{mn}(t)=\frac{1}{\lambda_m\lambda_n}\iint_{\Omega_l} g_{xy}(x,y,t)\cos\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy= \frac{g^{(2)}_{mn}(t)}{\lambda_m\lambda_n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поступая аналогично, интегрируя по частям два раза в равенствах (2.11) и (2.12) и учитывая условия (2.16) и (2.17), получаем первые две формулы (2.19). Неравенства (2.20), (2.21) и (2.22) представляют собой неравенства Бесселя относительно ортонормированной системы
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{1}{l}\,,\frac{2}{l}\cos\lambda_mx \cos\lambda_ny \biggr\},\qquad m\geqslant 0,\quad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. Решение задачи (1.1)–(1.4) будем искать в виде двойного ряда Фурье
$$
\begin{equation}
u(x,y,t)=\sum_{m,n=1}^{\infty}u_{mn}(t)v_{mn}(x,y).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Формально продифференцировав ряд (2.23) почленно, получим следующие ряды:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{tt}&=\sum_{m,n=1}^{\infty}u''_{mn}(t)v_{mn}(x,y), \\ u_{xx}&=\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda_m^2u_{mn}(t)v_{mn}(x,y), \\ u_{yy}&=\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda_n^2u_{mn}(t)v_{mn}(x,y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Нетрудно видеть, что полученные ряды в силу леммы 1 мажорируются числовым рядом
$$
\begin{equation}
H_3\sum_{m,n=1}^{\infty}\bigl(\lambda_{mn}^2|\varphi_{mn}|+ \lambda_{mn}|\psi_{mn}|+\lambda_{mn}|g_{mn}(t_0)|\bigr),
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $H_3$ – положительная постоянная, зависящая только от $T$. Докажем сходимость этого ряда. Лемма 3. Пусть $\varphi(x,y)\in C^4(\overline{\Omega_l})$, $\psi(x,y)\in C^3(\overline{\Omega_l})$ и $g(x,y,t)\in C^{3,0}_{xy,t}(\overline{D}_{Tl})$; пусть, кроме того, Доказательство. Интегрируя по частям (2.11) четыре раза по $x$, с учетом условий леммы получим Интегрируя по частям (2.11) три раза по $x$ и один раз по $y$ (два раза по $x$, два раза по $y$ и т.д.) и воспользовавшись условиями леммы, имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(3,1)}_{mn}=\lambda^3_m\lambda_n \varphi_{mn},\qquad \! \varphi^{(2,2)}_{mn}=\lambda^2_m\lambda^2_n \varphi_{mn},\qquad \! \varphi^{(1,3)}_{mn}=\lambda_m\lambda^3_n \varphi_{mn},\qquad \! \varphi^{(0,4)}_{mn}=\lambda^4_n \varphi_{mn}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы получим следующее представление для $|\varphi_{mn}|$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi_{mn}|&=\frac{|\varphi^{(4,0)}_{mn}|+ 4|\varphi^{(3,1)}_{mn}|+6|\varphi^{(2,2)}_{mn}|+ 4|\varphi^{(1,3)}_{mn}|+|\varphi^{(0,4)}_{mn}|} {(\pi/l)^4(m+n)^4} \nonumber \\ &=\frac{1}{(\pi/l)^4(m+n)^4}\sum_{i+j=4}\begin{pmatrix} 4 \\ j \end{pmatrix}|\varphi^{(i,j)}_{mn}|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi^{(4,0)}_{mn}&=\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \varphi^{(4,0)}_{xxxx}(x,y)\sin\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \varphi^{(3,1)}_{mn}&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \varphi^{(3,1)}_{xxxy}(x,y)\cos\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \varphi^{(2,2)}_{mn}&=\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \varphi^{(2,2)}_{xxyy}(x,y)\sin\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \varphi^{(1,3)}_{mn}&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \varphi^{(1,3)}_{xyyy}(x,y)\cos\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \varphi^{(0,4)}_{mn}&=\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \varphi^{(0,4)}_{yyyy}(x,y)\sin\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проделав аналогичную процедуру для $|\psi_{mn}|$ и $|g_{mn}(t)|$, имеем
$$
\begin{equation}
|\psi_{mn}| =\frac{|\psi^{(3,0)}_{mn}|+3|\psi^{(2,1)}_{mn}|+ 3|\psi^{(1,2)}_{mn}|+|\psi^{(0,3)}_{mn}|}{(\pi/l)^3(m+n)^3}= \frac{1}{(\pi/l)^3(m+n)^3}\sum_{i+j=3} \begin{pmatrix} 3 \\ j \end{pmatrix}|\psi^{(i,j)}_{mn}|,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
$$
\begin{equation}
|g_{mn}(t)| =\frac{|g^{(3,0)}_{mn}(t)|+3|g^{(2,1)}_{mn}(t)|+ 3|g^{(1,2)}_{mn}(t)|+|g^{(0,3)}_{mn}(t)|}{(\pi/l)^3(m+n)^3 } \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{1}{(\pi/l)^3(m+n)^3 }\sum_{i+j=3} \begin{pmatrix} 3 \\ j \end{pmatrix}|g^{(i,j)}_{mn}(t)|,
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi^{(3,0)}_{mn}&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \psi^{(3,0)}_{xxx}(x,y)\cos\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \psi^{(2,1)}_{mn}&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \psi^{(2,1)}_{xxy}(x,y)\sin\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \psi^{(1,2)}_{mn}&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \psi^{(1,2)}_{xyy}(x,y)\cos\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy, \\ \psi^{(0,3)}_{mn}&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} \psi^{(0,3)}_{yyy}(x,y)\sin\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy, \\ g^{(3,0)}_{mn}(t)&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} g^{(3,0)}_{xxx}(x,y,t)\cos\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy, \\ g^{(2,1)}_{mn}(t)&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} g^{(2,1)}_{xxy}(x,y,t)\sin\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy, \\ g^{(1,2)}_{mn}(t)&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} g^{(1,2)}_{xyy}(x,y,t)\cos\lambda_mx \sin\lambda_ny\,dx\,dy, \\ g^{(0,3)}_{mn}(t)&=-\frac{2}{l}\iint_{\Omega_l} g^{(0,3)}_{yyy}(x,y,t)\sin\lambda_mx \cos\lambda_ny\,dx\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (2.26)–(2.28) по неравенству Бесселя получим
$$
\begin{equation}
\sum_{m,n=1}^{\infty}|\varphi^{(i,j)}_{mn}|^2 \leqslant \iint_{\Omega_l}\biggl(\frac{\partial^4\varphi(x,y)} {\partial x^i\,\partial y^j}\biggr)^2\,dx\,dy, \qquad i+j =4,
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{m,n=1}^{\infty}|\psi^{(i,j)}_{mn}|^2 \leqslant \iint_{\Omega_l}\biggl(\frac{\partial^3\psi(x,y)} {\partial x^i\,\partial y^j}\biggr)^2\,dx\,dy, \qquad i+j =3,
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{m,n=1}^{\infty}|g^{(i,j)}_{mn}|^2 \leqslant \iint_{\Omega_l}\biggl(\frac{\partial^3g(x,y)} {\partial x^i\,\partial y^j}\biggr)^2\,dx\,dy, \qquad i+j =3.
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Из соотношений (2.26)–(2.31) следует сходимость ряда (2.25). Лемма 3 доказана. Из доказанной леммы вытекает, что ряды (2.24) равномерно будут сходиться. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 2. Пусть $k(t)\in C[0,T].$ Если функции $\varphi(x,y)$, $\psi(x,y)$ и $g(x,y,t)$ удовлетворяют условиям леммы 3, то существует единственное решение задачи (1.1)–(1.4). 3. Решение обратной задачиИспользуя (2.13), с учетом (2.9) перепишем формулу (2.23) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(x,y,t)&=\sum_{m,n=1}^{\infty}\biggl[\varphi_{mn}\cos\lambda_{mn}t+ \frac{1}{\lambda_{mn}}\psi_{mn}\sin\lambda_{mn}t+ \frac{1}{\lambda_{mn}}\int_{0}^t \sin \lambda_{mn}(t-s)g_{mn}(s)\,ds \\ &\qquad+\frac{1}{\lambda_{mn}}\int_{0}^t\sin\lambda_{mn}(t-s) \int_0^sk(\tau)u_{mn}(s-\tau)\,d\tau\,ds\biggl]v_{mn}(x,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом уравнении положим $x=x_0$, $y=y_0$ и воспользуемся дополнительным условием (1.5). Затем, изменяя порядок интегрирования и суммирования, для искомой функции $k(t)$ получим следующее интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода:
$$
\begin{equation}
\int_{0}^t V(t-\tau)k(\tau)\,d\tau=\widetilde{h}(t),\qquad 0\leqslant t\leqslant T;
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
здесь введены следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
V(t)=\sum_{m,n=1}^{\infty}\frac{v_{mn}(x_0,y_0)}{\lambda_{mn}} \int_{0}^tu_{mn}(s)\sin \lambda_{mn}(t-s)\,ds,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
h_1(t)=\sum_{m,n=1}^{\infty}\biggl[\varphi_{mn}\cos\lambda_{mn}t+ \frac{1}{\lambda_{mn}}\psi_{mn}\sin\lambda_{mn}t\biggr] v_{mn}(x_0,y_0),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
h_2(t)=\sum_{m,n=1}^{\infty}\frac{v_{mn}(x_0,y_0)}{\lambda_{mn}} \int_{0}^t\sin \lambda_{mn}(t-s)g_{mn}(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из (3.2) следует, что $V(0)=0$. Лемма 4. Пусть $\varphi(x,y)\in C^5(\overline{\Omega_l}_l)$, $\psi(x,y)\in C^4(\overline{\Omega_l}_l)$ и $g(x,y,t)\in C^{4,0}_{xy,t}(\overline{D}_{Tl})$; пусть, кроме того, Доказательство. По аналогии с доказательством леммы 3 получаем равенства Следовательно, ряды (3.2)–(3.4) и их производные до третьего порядка по $t$ (включительно) сходятся равномерно при $0\leqslant t\leqslant T$. Продифференцируем уравнение (3.1) по $t$
$$
\begin{equation}
\int_{0}^t V'(t-\tau)k(\tau)\,d\tau=\widetilde{h}'(t),
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
V'(t)=\sum_{m,n=1}^{\infty}v_{mn}(x_0,y_0)\int_{0}^tu_{mn}(s) \cos\lambda_{mn}(t-s)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно $V'(0)=0$. Дифференцируя еще два раза по $t$ уравнение (3.11), получим следующее уравнение относительно $k(t$):
$$
\begin{equation}
k(t)=-\frac{1}{h(0)}\int_{0}^t V'''(t-\tau)k(\tau)\,d\tau+ \frac{1}{h(0)}\widetilde{h}'''(t),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где
$$
\begin{equation*}
V'''(t)=h'(t)+\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda^2_{mn}v_{mn}(x_0,y_0) \int_{0}^tu_{mn}(s)\cos \lambda_{mk}(t-s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получили интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода относительно функции $k(t)$. Теорема 3. Если выполнены условия леммы 4 и, кроме того, Доказательство. Уравнение (3.12) представим в виде операторного уравнения Оператор $A$ имеет вид где $k_0(t)=(1/h(0))\widetilde{h}'''(t)$. Обозначим через $S_\sigma$ банахово пространство непрерывных функций, порожденных семейством весовых норм
$$
\begin{equation*}
\|k\|_\sigma=\max\Bigl\{\sup_{t\in [0,T]} |k(t)e^{-\sigma t}|\Bigr\},\qquad \sigma\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что при $\sigma=0$ данное пространство совпадает с пространством непрерывных функций с обычной нормой $\|k\|$. В силу неравенства
$$
\begin{equation*}
e^{-\sigma t}\|k\|\leqslant \|k\|_\sigma \leqslant \|k\|,
\end{equation*}
\notag
$$
нормы $\|k\|_\sigma$ и $\|k\|$ эквивалентны для любого фиксированного $l\in (0,\infty)$. Число $\sigma$ выберем позже. Пусть $Q_\sigma(k_0,\|k_0\|):=\{k\colon \|k-k_0\|\leqslant\|k_0\|\}$ – шар радиуса $\|k_0\|$ с центром в точке $k_0$ некоторого весового пространства $Q_\sigma$, $\sigma\geqslant0$. Вычисляя $\widetilde{h}'''(t)$, нетрудно убедиться, что при выполнении условий леммы 3.1 $\|k_0\|$ существует и конечна. Отметим, что для $Q_{\sigma}(k_0,\|k_0\|)$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\|k\|_\sigma \leqslant\|k_0\|_\sigma+\|k_0\|\leqslant 2\|k_0\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что при подходящем выборе $\sigma>0$ оператор $A$ является сжимающим в шаре $Q_\sigma(k_0,\|k_0\|)$. Пусть $k(t)\in Q_\sigma(k_0,\|k_0\|)$. Выполняется следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Ak-k_{0}|&=\max_{t\in [0,T]}|(Ak-k_{0})e^{-\sigma t}|= \max_{t\in [0,T]}\biggl|\frac{1}{h(0)}\int_0^t V'''(t-\tau) k(\tau)e^{-\sigma \tau} e^{-\sigma (t-\tau)}\,d\tau\biggr| \\ &\leqslant \frac{2}{h(0)}\biggl[\|h'\|+ K_1\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda^2_{mn} \biggl(|\varphi_{mn}|+\frac{1}{\lambda_{mn}}|\psi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_n}|g_{mn}(t_0)|\biggr) \\ &\qquad\times u_{mn}(x_0,y_0)\biggr]\frac{\|k_0\|}{\sigma} =:\frac{\|k_0\|}{\sigma}\alpha_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая получим, что $A$ переводит шар $Q_\sigma(k_0,\|k_0\|)$ в шар $Q_\sigma(k_0,\|k_0\|)$. Прежде чем переходить к проверке второго условия сжимаемости оператора, докажем следующее утверждение. Лемма 5. Пусть $u^{1}_{mn}(t)$ и $u^{2}_{mn}(t)$ – два решения уравнения (2.13), соответствующие различным $k^1(t)$, $k^2(t)$, с одинаковыми данными $\varphi_{mn}$, $\psi_{mn}$ и $g_{mn}(t)$. Тогда имеет место следующая оценка: где $H_7$ – положительная постоянная, зависящая только от $T$. Доказательство. Так как $u^{1}_{mn}(t)$, $u^{2}_{mn}(t)$ – два решения уравнения (2.13), соответствующие функциям $k^1(t)$, $k^2( t)$, то для модуля разности этих функций имеет место оценка Оцениваем каждое слагаемое в правой части (3.15) по отдельности. Используя формулу (2.14), получим следующую оценку для первого слагаемого:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda_{mn}}\int_0^t|\sin\lambda_{mn}(t-\alpha)| \int_0^{\alpha}|u_{mn}^2(\alpha-\tau)|\, |k^1(\tau)-k^2(\tau)|\,d\tau\,d\alpha \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{T^2}{2\lambda_{mn}}H_1\biggl(|\varphi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_{mn}}|\psi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_n}|g_{mn}(t_0)|\biggr)\|k^1-k^2\|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
где $\|k^1-k^2\|=\max_{t\in [0,T]}|k^1(t)-k^2(t)|$. Для оценки второго слагаемого (3.15), изменив порядок интегрирования, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\lambda_{mn}}\int_0^t |\sin \lambda_{mn}(t-\alpha)| \int_0^{\alpha}|k^1(\tau)|\,|u_{mn}^1(\alpha-\tau)- u_{mn}^2(\alpha-\tau)|\,d\tau\,d\alpha \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{\lambda_{mn}}\|k^1\|T \int_0^t |u_{mn}^1(\tau)-u_{mn}^2(\tau)|\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Подставляя (3.17) и (3.18) в (3.15), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |u^{1}_{mn}(t)-u^{2}_{mn}(t)|&\leqslant \frac{T^2}{2\lambda_{mn}}H_1\biggl(|\varphi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_{mn}}|\psi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_n}|g_{mn}(t_0)|T\biggr)\|k^1-k^2\| \\ &\qquad+\|k^1\|T\int_0^t|u_{mn}^1(\tau)- u_{mn}^2(\tau)|\,d\tau, \qquad t\in [0,T]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства по лемме Гроноулла следует оценка (3.14). Теперь проверим выполнение второго условия сжимаемости оператора $A$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|(Ak^1-Ak^2)\|_\sigma=\max_{t\in [0,T]}|(Ak^1-Ak^2)e^{-\sigma t}| \nonumber \\ &\qquad=\max_{t\in [0,T]}\biggl|\frac{1}{h(0)} \int_0^t[(V''')^1(t-\tau) k^1(\tau) -(V''')^2(t-\tau)k^2(\tau)]e^{-\sigma\tau} e^{-\sigma (t-\tau)}\,d\tau\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\max_{t\in [0,T]}\frac{1}{h(0)}\int_0^t \biggl|\biggl[h'(t-\tau) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad+\sum_{m,n=1}^{\infty} \lambda^2_{mn}v_{mn}(x_0,y_0)\int_{0}^{t-\tau}u^1_{mn}(s) \cos\lambda_{mn}(t-\tau-s)\,ds\biggl]k^1(\tau) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\biggl[h'(t-\tau)+\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda^2_{mn} v_{mn}(x_0,y_0)\int_{0}^{t-\tau}u^2_{mn}(s) \cos\lambda_{mn}(t-\tau-s)\,ds\biggl] k^2(\tau)\biggl| \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\times e^{-\sigma\tau} e^{-\sigma (t-\tau)}\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\leqslant\max_{t\in [0,T]}\frac{1}{|h(0)|}\int_0^t \biggl[|h'(t-\tau)|\,|k^1(\tau)-k^2(\tau)| e^{-\sigma \tau}e^{-\sigma(t-\tau)} \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{t-\tau}\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda^2_{mn}v_{mn} (x_0,y_0)\bigl|\cos\lambda_{mn}(t-\tau-s)[u_{mn}^1(\tau-s)k^1(\tau) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad-u_{mn}^2(\tau-s)k^2(\tau)]e^{-\sigma\tau} e^{-\sigma(t-\tau)}\bigr|\,ds\biggr]\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
И здесь каждое слагаемое оцениваем по отдельности. Первое слагаемое оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\max_{t\in [0,T]}\frac{1}{|h(0)|}\int_0^t\bigl[|h'(t-\tau)|\,|k^1(\tau)- k^2(\tau)|e^{-\sigma \tau}e^{-\sigma (t-\tau)}\bigr]\,d\tau\leqslant \frac{\|h'\|}{|h(0)|}\cdot\frac{\|k^1-k^2\|_{\sigma}}{\sigma}\,.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Для оценки второго слагаемого воспользуемся еще раз неравенством (3.16). Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\max_{t\in [0,T]}\frac{1}{|h(0)|}\int_0^t\,\int_0^{t-\tau} \sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda^2_{mn}v_{mn}(x_0,y_0)\bigl| \cos\lambda_{mn}(t-\tau-s) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times[u_{mn}^1(\tau-s)k^1(\tau)- u_{mn}^2(\tau-s)k^2(\tau)]e^{-\sigma \tau} e^{-\sigma (t-\tau)}\bigr|\,ds\, d\tau \nonumber \\ &\qquad\leqslant\max_{t\in [0,T]}\frac{1}{|h(0)|} \int_0^t\,\int_0^{t-\tau}\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda^2_{mn} v_{mn}(x_0,y_0)|\sin\lambda_{mn}(t-\tau-s)| \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \bigl[|u_{mn}^1(s-\tau)-u_{mn}^2(s-\tau)|\, |k^1(\tau)| \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad+|u_{mn}^2(s-\tau)|\,|k^1(\tau)-k^2(\tau)|\bigr] e^{-\sigma \tau}e^{-\sigma (t-\tau)}\,ds\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{2T}{l|h(0)|}\sum_{m,n=1}^{\infty} \lambda_{mn}\bigl[H_7T^2\|k_0\|e^{\|k_0\|T^2/\lambda_{11}}+ \lambda_{mn}H_1\bigr] \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\biggl(|\varphi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_{mn}}|\psi_{mn}|+ \frac{1}{\lambda_n}|g_{mn}(t_0)|\biggr) \frac{\|k^1-k^2\|_\sigma}{\sigma}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Подставляя (3.20) и (3.21) в (3.19), получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(Ak^1-Ak^2)\|_\sigma&=\max_{t\in [0,T]}|(Ak^1-Ak^2)e^{-\sigma t}| \\ &\leqslant\frac{1}{|h(0)|}\biggl[\|h'\|+ \frac{2T}{l}\sum_{m,n=1}^{\infty}\lambda_{mn}\bigl[H_7T^2\|k_0\| e^{\|k_0\|T^2/\lambda_{11}}+\lambda_{mn}H_1\bigr] \\ &\qquad\times\biggl(|\varphi_{mn}|+\frac{1}{\lambda_{mn}}|\psi_{mn}| +\frac{1}{\lambda_n}|g_{mn}(t_0)|\biggr)\biggr] \frac{\|k^1-k^2\|_{\sigma}}{\sigma} \\ &=:\frac{\alpha_1}{\sigma}\|k^1-k^2\|_{\sigma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученных оценок следует, что если число $\sigma$ выбрать из условия то оператор $A$ будет сжимающим на $Q_\sigma(k_0,\|k_0\|)$. Тогда согласно принципу Банаха уравнение (3.13) имеет, и притом единственное, решение в $Q_\sigma(k_0,\|k_0\|)$ при любом фиксированном $T>0$ [26]. Теорема 3 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DurSaf23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|