| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Прямые теоремы приближения периодических функций с высокой обобщенной гладкостью Н. В. Лактионова, К. В. Руновский Филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова в г. Севастополе
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030185 
Реферативные базы данных:
  Для обобщенных производных, порожденных быстро растущими генераторами, справедливость прямой оценки типа Джексона
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f)_p\leqslant c \lambda_n^{-1} \|f^{(\lambda, \beta)}\|_p, \qquad f \in W_p^{(\lambda, \beta)}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1}
$$
и ее прямых следствий
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_n(W^{(\lambda, \beta)}_p) \equiv \sup\bigl\{E_{n-1}(f)_p \colon\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant 1\bigr\} \asymp\lambda_n^{-1}, \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f)_p\leqslant c \lambda_n^{-1} E_{n-1}(f^{(\lambda, \beta)})_p, \qquad f \in W_p^{(\lambda, \beta)}, \quad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
изучается в пространствах $L_p$ интегрируемых в $p$-й степени при $1 \leqslant p < +\infty$ и непрерывных при $p=+\infty$ $2\pi$-периодических функций, снабженных стандартной интегральной нормой и, соответственно, нормой Чебышева. В (1), (3) положительные постоянные $c$ не зависят от $f$ и $n$, символ “$a_n \asymp b_n$”, где $a_n,b_n >0$, означает эквивалентность, т.е. выполнение неравенств $c_1 a_n \leqslant b_n \leqslant c_2 a_n$ с не зависящими от $n$ положительными константами,
$$
\begin{equation*}
E_n(f)_p=\inf_{T \in \mathcal{T}_n} \|f - T\|_p, \qquad \mathcal{T}_n =\biggl\{T(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_ke^{ikx} \colon c_{-k}=\overline{c}_k,\,|k| \leqslant n \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
– наилучшее приближение функции $f \in L_p$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n \in \mathbb{N}_0$,
$$
\begin{equation*}
(\,\cdot\,)^{(\lambda, \beta)}\colon e^{ikx}\to\lambda_k e^{\operatorname{sgn}k(i\pi\beta)/2} e^{ikx}, \qquad k \in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
– линейный оператор $(\lambda, \beta)$-производной, определенный на соответствующем классе гладких в обобщенном смысле функций
$$
\begin{equation*}
W_p^{(\lambda, \beta)} =\{g\colon g^{(\lambda, \beta)} \in L_p\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta \in \mathbb{R}$, $\lambda_k=\lambda(|k|)$, а $\lambda$ – вещественнозначная непрерывная монотонно возрастающая на $[0, +\infty)$ к $+\infty$ функция такая, что $\lambda(0)=0$. Нередко его называют также $(\psi,\beta)$-производной (см., например, [1]), где $\psi=1/\lambda$. Здесь и в дальнейшем, $\mathbb{N}$, $\mathbb{N}_0$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ – множества натуральных, целых неотрицательных, целых, вещественных и комплексных чисел, $\overline{c}$ – комплексное сопряжение к $c \in \mathbb{C}$.
Для классическoй производной прямая оценка (1) была доказана Д. Джексоном [2]. Для производных, порожденных имеющими степенной порядок роста генераторами, соотношения (1)–(3) изучались во многих работах (см., например, [3]–[8]). Касательно генераторов, растущих быстрее любой степени, было известно следующее. В [1] справедливость (1) в шкале $\mathcal{E}$, состоящей из генераторов $\lambda(t)=e^{at^r}$, $a>0$, $r>0$, $t\geqslant t_0>0$, была установлена для всех $r>0$ при $1<p<+\infty$ и для $r\geqslant 1$ при $p=1,+\infty$. При этом, в обоих случаях наилучший порядок приближения доставляют частичные суммы ряда Фурье. В дальнейшем также выяснилось, что в случае $0<r<1$, $p=1,+\infty$, отвечающем классам бесконечно дифференцируемых, но не аналитических функций, не только частичные суммы ряда Фурье, но и средние Валле-Пусссена не обеспечивают наилучшего порядка приближения (см., например, [9]). В [7] была установлена справедливость (1) при $1< p <+\infty$ для произвольного возрастающего генератора с константами, не зависящими не только от $f$ и $n$, но и от $\lambda$. В данной работе справедливость неравенства (1) будет доказана для достаточно широкого класса генераторов без ограничений сверху на их рост. Символом $C^2[a, +\infty)$, $a \geqslant 0$, обозначим класс непрерывных на $\mathbb{R}$ и равных $0$ при $x \leqslant a$ функций с абсолютно непрерывной на каждом конечном замкнутом интервале из $[a, +\infty)$ производной. Класс ${\mathfrak N}$ состоит, по определению, из строго монотонно возрастающих вместе со своей производной на $[t_0 , +\infty)$, $t_0 \geqslant 0$, функций $\lambda \in C^2[0, +\infty)$, таких, что $\lambda'/\lambda$ и $\lambda'/\lambda^2$ монотонны на $[t_0 , +\infty)$, при этом, если $\eta \equiv \lambda'/\lambda$ убывает, то существует $\lim_{t \to +\infty}\eta(2t)/\eta(t)$. Теорема 1. Пусть $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, $\beta \in \mathbb{R}$ и $\lambda \in {\mathfrak N}$. Тогда наилучший порядок приближения полиномами порядка не выше $n-1$, $n \in \mathbb{N}$, на классе $W_p^{(\lambda, \beta)}$ равен $\lambda_n^{-1}$, при этом, для $f \in W_p^{(\lambda, \beta)}$ и $n \in \mathbb{N}$, где положительная постоянная $c$ не зависит от $f$, $n$ и $\beta$. Доказательство. Ясно, что достаточно доказать (1), причем начиная с некоторого номера. Воспользуемся полученной в [8] оценкой где $\psi \in C^2[a,+\infty)$, $a \geqslant 0$, $\psi^{+}(t) =\psi(t) + \psi(-t)$, $\psi^{-}(t) = \psi(t) - \psi(-t)$, $E_t(f)_p=E_n(f)_p$ для $n \leqslant t <n+1$, $n \in \mathbb{N}_0$, $A=A_1$, $c_0$ – абсолютная положительная постоянная. Выберем $t_1$ из условия $\lambda'(t_1) \geqslant \lambda(t_0)/t_0$. Тогда для всех $n \geqslant n_0 =[\max(t_0, t_1)]+1$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\lambda(n)}{n} &=\frac{\lambda(t_0)}{n}+\frac{1}{n}\int_{t_0}^n \lambda'(t)\,dt <\frac{\lambda(t_0)}{n}+\frac{n-t_0}{n}\lambda'(n) \\ &=\lambda'(n)-\frac{t_0\lambda'(n)-\lambda(t_0)}{n} \leqslant \lambda'(n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Учитывая, что $\rho_n \equiv n-\lambda(n)/\lambda'(n)>0$ в силу (5), для $n \geqslant n_0$ рассмотрим линейные операторы
$$
\begin{equation}
V_n^{(\lambda)} =A(\varphi_n)\colon e^{ikx}\to\varphi_n(k)e^{ikx}, \qquad k \in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\varphi_n(t) =\begin{cases} 1, & 0 \leqslant |t| \leqslant \rho_n , \\ \dfrac{\lambda(|t|)}{\lambda(n)}\biggl(\dfrac{2(\lambda'(n))^2}{\lambda^2(n)}(|t|-n)^2 +\dfrac{\lambda'(n)}{\lambda(n)}(|t|-n)+\dfrac{\lambda(n)-\lambda(|t|)}{\lambda(|t|)}\biggr), &\rho_n < |t| \leqslant n , \\ 0,& |t| > n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Покажем, что начиная с некоторого $N \in \mathbb{N}$,
$$
\begin{equation}
\lambda(n)\|((I-V_n^{(\lambda)})g)_{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\|g\|_p, \qquad g \in L_p,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $(\,\cdot\,)_{(\lambda, \beta)}$ – обратный $(\lambda, \beta)$-производной оператор, определенный на функциях из $L_p$ с нулевым средним, а $I$ – тождественный оператор. В самом деле, в силу определения $(\lambda, \beta)$-производной и (6), (7)
$$
\begin{equation}
\lambda(n)(I-V_n^{(\lambda)})_{(\lambda, \beta)} = \cos\frac{\pi\beta}{2}A(\psi_n^{+}) - i\sin\frac{\pi\beta}{2}A(\psi_n^{-}),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где
$$
\begin{equation}
\psi_n(t)=\begin{cases} 0 ,& t \leqslant \rho_n, \\ -\dfrac{2(\lambda'(n))^2}{\lambda^2(n)}(t-n)^2 - \dfrac{\lambda'(n)}{\lambda(n)}(t-n)+1, & \rho_n < t \leqslant n, \\ \dfrac{\lambda(n)}{\lambda(t)} ,& t > n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Учитывая, что $\psi_n \in C^2[\rho_n, +\infty)$ и $E_t(f)_p \leqslant \|f\|_p$, на основании (4) и (9) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lambda(n)\|(I-V_n^{(\lambda)})_{(\lambda, \beta)}\|_{(p)} \leqslant 2c_0\int_{\rho_n}^{+\infty}\biggl(\frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}+ |\psi_n'(t)| +(t-\rho_n)|\psi_n''(t)|\biggr) \,dt \\ \notag &\qquad= 2c_0\biggl(\int_{\rho_n}^n \biggl(\frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}+ |\psi_n'(t)| +(t-\rho_n)|\psi_n''(t)|\biggr) \,dt \\ \notag &\qquad\quad+ \int_n^{+\infty}|\psi_n'(t)|\,dt +\int_{n}^{+\infty}(t-\rho_n)|\psi_n''(t)| \,dt +\int_n^{2n} \frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}\,dt +\int_{2n}^{+\infty} \frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}\, dt\biggr) \\ &\qquad\equiv 2c_0(I_1+I_2+I_3+I_4+I_5), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\|\cdot\|_{(p)}$ – операторная норма в $L_p$. Замечая, что $0 \leqslant \psi_n(t) \leqslant 3(\lambda'(n)/\lambda(n))(t-\rho_n)$ для $\rho_n \leqslant t \leqslant n$, на основании (10) имеем
$$
\begin{equation}
I_1 \leqslant \frac{3\lambda'(n)}{\lambda(n)}(n-\rho_n) +3\max_{\rho_n \leqslant t\leqslant n} |\psi_n(t)|+ \frac{(n-\rho_n)^2}{2}\,\frac{4(\lambda'(n))^2}{\lambda^2(n)} \leqslant 14.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Ясно также, что для $n \geqslant n_0 > t_0$
$$
\begin{equation}
I_2 =\lambda(n) \int_n^{+\infty} \biggl(-\frac{1}{\lambda(t)}\biggr)'\,dt =1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
В частности, функция $\lambda'/\lambda^2=(-1/\lambda)'$, будучи монотонной на $[t_0, +\infty)$, может только убывать, что влечет
$$
\begin{equation*}
t\biggl(-\frac{1}{\lambda(t)}\biggr)' \leqslant 2\int_{t/2}^t \biggl(-\frac{1}{\lambda(\tau)}\biggr)'\,d\tau =\frac{2}{\lambda(t/2)} - \frac{2}{\lambda(t)}
\end{equation*}
\notag
$$
для $t \geqslant 2t_0$ и $\lim_{t\to+\infty} t(-1/\lambda(t))' =0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
I_3=-(n-\rho_n)\psi'(n)-\int_n^{+\infty}\psi_n'(t)\,dt =-(n-\rho_n)\psi'_n(n)+\psi_n(n)=2.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Так как $t-\rho_n \geqslant \lambda(n)/\lambda'(n)$ для $t\leqslant n \leqslant 2n$, то
$$
\begin{equation}
I_4\leqslant \lambda'(n)\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)}
\end{equation}
\tag{15}
$$
в силу (10). Если $\lambda'/\lambda \nearrow$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_4 &\leqslant \lambda(n) \frac{\lambda'(n)}{\lambda(n)}\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)} \leqslant \lambda(n)\int_n^{2n} \frac{\lambda'(t)}{\lambda^2(t)}\,dt =\lambda(n)\int_n^{2n} \biggl(-\frac{1}{\lambda(t)}\biggr)'\,dt \\ & = 1-\frac{\lambda(n)}{\lambda(2n)} \leqslant 1 . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
В случае $\eta \equiv \lambda'/\lambda \searrow$ покажем, что $\lim_{t \to +\infty}\eta(2t)/\eta(t) >0$. В самом деле, если это не так, то существует $\tau \geqslant t_0$ такое, что $\eta(2t) \leqslant \eta(t)/3$ для всех $t \geqslant \tau$. Тогда $\eta(2^k\tau) \leqslant 3^{-k}\eta(\tau)$, $k \in \mathbb{N}_0$, и
$$
\begin{equation*}
\int_{\tau}^{+\infty} \eta(t)\,dt =\sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2^{k-1}\tau}^{2^k\tau} \eta(t)\,dt \leqslant \sum_{k=1}^{+\infty} 2^{k-1} \tau \eta(2^{k-1})\leqslant \tau\eta(\tau)\sum_{k=1}^{+\infty}\biggl(\frac23\biggr)^{k-1} = 3\tau\eta(\tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $\ln\lambda$ оказывается ограниченной, что противоречит условию неограниченного возрастания $\lambda$. Следовательно, существует $t_2 \geqslant t_0$ и $\alpha>0$, такие, что $\eta(2t) \geqslant \alpha\eta(t)$ для всех $t\geqslant t_2$. Тогда в силу (15) по аналогии с (16) имеем для всех $n \geqslant N =\max(n_0, [t_2]+1)$
$$
\begin{equation}
I_4 \leqslant \alpha^{-1}\lambda(n) \frac{\lambda'(2n)}{\lambda(2n)}\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)} \leqslant \alpha^{-1}\lambda(n)\int_n^{2n} \frac{\lambda'(t)}{\lambda^2(t)}\,dt \leqslant \alpha^{-1}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для оценки $I_5$ отметим, что в силу возрастания $\lambda'$
$$
\begin{equation*}
\lambda(t) =\lambda(t_0)+\int_{t_0}^{t} \lambda'(\tau)\,d\tau \leqslant \lambda(t_0) + t\lambda'(t) \leqslant t_0\lambda'(t_1)+ t \lambda'(t)\leqslant 2t\lambda'(t)
\end{equation*}
\notag
$$
для $t \geqslant \max(t_0, t_1)$. Более того, для $t \geqslant 2n \geqslant 2\rho_n$ имеем $t -\rho_n \geqslant t/2$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
I_5 \leqslant 2\lambda(n)\int_{2n}^{+\infty}\frac{dt}{t\lambda(t)}\leqslant 4\lambda(n) \int_{2n}^{+\infty}\frac{\lambda'(t)} {\lambda^2(t)}\,dt \leqslant \frac{4\lambda(n)}{\lambda(2n)} <4.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Теперь (8) следует из (11)–(14) и (16)–(18). Применяя (8) к функции $g =f^{(\lambda,\beta)}$, имеем для $n \geqslant N$
$$
\begin{equation*}
E_{n-1}(f)_p \leqslant \|f-V_n^{(\lambda)}(f)\|_p =\|(I-V_n^{(\lambda)})_{(\lambda, \beta)} f^{(\lambda,\beta)}\|_p \leqslant c(\lambda(n))^{-1}\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p.
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство теоремы 1. Теорема 1 дополняет аналогичные результаты, полученные как для генераторов не более чем степенного роста, так и для генераторов, растущих быстрее экспоненты (см., например, [6] и, соответственно, [1]). В частности, из нее следует, что (1)–(3) справедливы для всех генераторов из шкалы $\mathcal{E}$, а не только для ее представителей, отвечающих $r \geqslant 1$. Ясно также, что класс ${\mathfrak N}$ содержит, например, и более “мелкую” шкалу, состоящую из функций $e^{at^r\ln^q t}$, $t \geqslant t_0 >0$, $a>0$, $r \geqslant 0$, $q \in \mathbb{R}$ при $r>0$ и $q >0$ при $r =0$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LakRun23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|