Аннотация:
Многие задачи, например, задачи о свойствах множества достижимости линейной управляемой системы, сводятся к нахождению проекции нуля на некоторое выпуклое компактное подмножество в конечномерном евклидовом пространстве. Последнее множество задано своей опорной функцией. В настоящей работе обсуждаются некоторые минимальные достаточные условия, которые надо наложить на выпуклое компактное множество для того, чтобы метод проекции градиента для решения задачи о нахождении проекции нуля на это множество сходился с линейной скоростью. На примере показана существенность указанных условий.
Библиография: 12 названий.
Ключевые слова:
метод проекции градиента, опорный шар, условия роста функции, негладкий анализ.
Рассмотрим n-мерное вещественное евклидово пространство Rn со скалярным произведением (⋅,⋅) и нормой ‖⋅‖=√(⋅,⋅). Определим шар Br(0) радиуса r>0 с центром в нуле. Для множества Z⊂Rn определим границу ∂Z и внутренность intZ.
Пусть Z⊂Rn∖{0} – выпуклое компактное подмножество, для которого известна опорная функция f(p)=s(p,Z)=max, p\in\mathbb R^n. Рассмотрим задачу нахождения метрической проекции точки 0\in\mathbb R^n на \mathcal Z. На языке опорной функции f(p) эту задачу можно переформулировать в виде
Пусть z_0\in\mathcal Z – метрическая проекция нуля на \mathcal Z. Легко видеть, что решение задачи (1.1) есть p_0=-z_0/\| z_0\|. При этом J=(p_0,z_0) и \| z_0\|=-J.
Обозначим для p\in\mathbb R^n через \partial f(p) субдифференциал функции f в смысле выпуклого анализа, т.е. множество всех субградиентов z\in\mathcal Z
Заметим, что субдифференциал \partial f(p) является опорным подмножеством \mathcal Z (p) множества \mathcal Z в направлении p, т.е. \mathcal Z (p)=\partial f(p).
Нормальный конус \mathcal N (\mathcal Z, z) в точке z\in\partial\mathcal Z определяется как
Пусть \mathcal S_1=\partial \mathcal B_1(0) евклидова сфера радиуса 1 с центром в нуле. Через P_{\mathcal S_1} обозначим метрический проектор на сферу \mathcal S_1. В работе обсуждается следующий вопрос: при каких минимальных условиях на множество \mathcal Z итерации проекционного алгоритма
сходятся к решению p_0 с линейной скоростью, т.е. со скоростью геометрической прогрессии? Шаг t>0 здесь один для всех k, выбор субградиента z_k\in \partial f(p_k) произволен.
Напомним [1], [2], что в общей ситуации для линейной сходимости метода проекции градиента нужна липшицева дифференцируемость целевой функции. В нашей задаче это означает липшицеву дифференцируемость f в окрестности \mathcal S_1. Известно, что условие Липшица градиента f'(p) на единичной сфере \mathcal S_1 с константой Липшица R>0 эквивалентно сильной выпуклости множества \mathcal Z с радиусом R>0, т.е. \mathcal Z=\bigcap_{x\in \mathcal N}\mathcal B_R(x) для некоторого подмножества центров \mathcal N\subset\mathbb R^n [3; теорема 4.3.2]. Последнее эквивалентно опорному принципу для сильно выпуклых множеств: для всякого p\in\mathcal S_1 выполнено \mathcal Z\subset B_R(\mathcal Z(p)-Rp).
Таким образом, сильная выпуклость множества \mathcal Z необходима и достаточна для липшицевости градиента f'(p). При этом, сильная выпуклость \mathcal Z также дает линейную сходимость итераций (1.2) при произвольном выборе p_1\in\mathcal S_1, f(p_1)\leqslant 0 [4].
При негладкости и выпуклости целевой функции имеются результаты о сублинейной скорости сходимости метода проекции градиента. Однако, она может быть линейной в случае т. н. условия острого минимума (sharpness condition), см. детали в [5; теорема 2, гл. 5, § 3]. Условие острого минимума в задаче (1.1) означает существование такого числа \alpha>0, что для всех p\in\mathcal S_1 (может быть из окрестности решения p_0) выполнено неравенство f(p)-f(p_0)\geqslant \alpha \| p-p_0\|. Последнее время условие острого минимума позволило доказать линейную скорость сходимости метода проекции градиента для некоторых классов задач минимизации невыпуклых функций при выпуклых и невыпуклых ограничениях [6], [7].
Задача (1.1) имеет самостоятельное значение в вычислительной геометрии и возникает в различных приложениях. Одно из приложений – это различные задачи о поведении множества достижимости \mathcal R(\tau) линейной управляемой системы
\begin{equation}
x'(\tau)\in Ax(\tau)+\mathcal U,
\end{equation}
\tag{1.3}
где x(\tau)\in\mathbb R^n, A\in\mathbb R^{n\times n}, \mathcal U\subset\mathbb R^n – компактное подмножество, содержащее ноль, и \mathcal R(\tau)=\int_{0}^{\tau}e^{As}\mathcal U\, ds. Последний интеграл понимается в смысле Аумана [8].
При решении для данного \tau>0 задачи о непустоте пересечения \mathcal R(\tau)\cap\mathcal M, где \mathcal M\subset\mathbb R^n – выпуклое компактное подмножество, вопрос может быть переформулирован так: выяснить, верно ли, что
В работе [9; пример 2] была доказана сходимость итераций (1.2) для сильно выпуклых множеств \mathcal R(\tau) и \mathcal M, т.е. каждое из множеств можно представить в виде пересечения замкнутых шаров одного радиуса (для каждого множества свой радиус). При этом \mathcal M дополнительно должно иметь в определенном смысле гладкую границу, а именно \mathcal M=\mathcal M_0+\mathcal B_r(0), где \mathcal M_0 – выпуклый компакт. Начальное приближение p_1\in\mathcal S_1 должно выбираться достаточно близко к решению p_0.
Приведем другой пример. Пусть \mathcal M, \mathcal M_0 и \mathcal R из \mathbb R^n – выпуклые компакты, такие, что \mathcal R\not\subset \mathcal M и
Величина J называется полурасстоянием по Хаусдорфу от \mathcal R до \mathcal M. Задача (1.4) и способы ее решения обсуждались в [10].
Пусть \mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R =\bigcap_{x\in\mathcal R}(\mathcal M-x) – геометрическая разность \mathcal M и \mathcal R. Легко видеть, что
С другой стороны, из свойства полного выметания для сильно выпуклых множеств, см. [3; теорема 3.1.2], \mathcal R+(B_r(0)\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R)=B_r(0). Добавляя к обеим частям \mathcal M_0, получаем \mathcal R + (\mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R)=\mathcal M. Отсюда и из включения \mathcal R\subset \mathcal M+B_J(0), вытекающего из (1.4), получаем 0\in (\mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R)+B_J(0), т.е. J\geqslant \varrho (0,\mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R).
Таким образом, J=\varrho (0,\mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R). Легко видеть, что из \mathcal R + (\mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R)=\mathcal M для всякого p\in\mathbb R^n вытекает равенство s(p,\mathcal M\,\frac{\,*}{}\ \mathcal R)=s(p,\mathcal M)-s(p,\mathcal R) и
В настоящей работе мы хотим по возможности ослабить условия на множество \mathcal Z, и в первую очередь условие сильной выпуклости. Условие сильной выпуклости \mathcal Z мы заменим на некоторое локальное опорное условие шаром для множества \mathcal Z в точке z_0. Введем определения.
Определение 1. Будем говорить, что выпуклый компакт \mathcal Z\subset\mathbb R^n удовлетворяет внешнему опорному условию в точке z_0\in\partial\mathcal Z для единичного нормального вектора p_0\in\mathcal N (\mathcal Z,z_0) и константы R>0, если
Заметим, что само множество \mathcal Z может не быть даже строго выпуклым.
Мы докажем, что при выполнении этого локального опорного условия в точке z_0\in\mathcal Z и для вектора p_0=-z_0/\| z_0\|, где p_0 – решение задачи (1.1), метод проекции градиента (1.2) сходится с линейной скоростью. При этом, отсутствие локального опорного условия в точке z_0\in\mathcal Z может влечь расходимость метода (1.2), например его зацикливание. Соответствующий пример 2 приведен в конце статьи.
Пример 1. Отметим, что если множество \mathcal Z удовлетворяет определению 1 для каждой граничной точки z_0\in\partial\mathcal Z и каждого единичного вектора p_0\in\mathcal N(\mathcal Z,z_0) с константой R=R(z_0,p_0), зависящей от z_0 и p_0, то множество \mathcal Z не обязательно сильно выпукло с некоторым радиусом. Рассмотрим пример на плоскости.
Пусть выпуклый компакт \mathcal Z имеет границу \partial B_1(0) во 2–4 четвертях. Пусть
При k=0,1,\dots зададим дугу D_k окружности радиуса k+1 с концами a_k и a_{k+1}, радианной мерой меньше \pi и лежащую выше отрезка [a_k,a_{k+1}]. В первой четверти определим границу \partial \mathcal Z как \bigcup_{k\geqslant 0}D_k. Легко видеть, что для каждой точки z_0\in \partial \mathcal Z и любого единичного вектора p_0\in \mathcal N(\mathcal Z,z_0) выполнено определение 1. Однако множество \mathcal Z не сильно выпукло, поскольку \sup_{z_0,p_0}R(z_0,p_0)=+\infty.
Определение 2. Будем говорить, что выпуклый компакт \mathcal Z\subset\mathbb R^n удовлетворяет внутреннему опорному условию в точке z_0\in\partial\mathcal Z для единичного нормального вектора p_0\in\mathcal N (\mathcal Z,z_0) и константы r>0, если
\begin{equation*}
\mathcal B_{r}(z_0-rp_0)\subset\mathcal Z.
\end{equation*}
\notag
Определение 2 и его обобщения рассматривались ранее в работе [11].
Для множества \mathcal N\subset\mathbb R^n через \operatorname{aff}\mathcal N обозначим аффинную оболочку множества \mathcal N, через \operatorname{cone}\mathcal N обозначим коническую оболочку множества \mathcal N. Здесь и ниже мы используем обозначение f(p)=s(p,\mathcal Z).
т.е. для любых z\in\mathcal Z и q\in\operatorname{cone} \{z\}\subset\mathcal K выполнено (p,q)\leqslant 0 и p\in \mathcal K^-.
Допустим, p\notin \mathcal S. Для любого z\in \partial f(p) имеем (p,z)=f(p)>0. Зафиксируем z\in \partial f(p) и q\in \operatorname{cone}\{z\}\subset \mathcal K, q\ne 0. Тогда (p,q)>0 и p\notin \mathcal K^-. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть u,v\in\mathbb R^n\setminus\{ 0\}. Тогда
Доказательство. Для доказательства надо умножить обе части доказываемого неравенства на \sqrt{\| u\|\cdot \| v\|} и возвести в квадрат.
Пусть \mathcal K – выпуклый замкнутый конус и p_0\in\mathcal S_1\cap\operatorname{int} \mathcal K. Через \mathcal K_0(p_0) будем обозначать максимальный по включению конус вращения с осью \operatorname{cone}p_0, вписанный в \mathcal K. Конусом вращения называется конус, у которого угол между осью и любой прямолинейной образующей один и тот же.
2. Леммы об опорных шарах
Лемма 3. Пусть \mathcal Z\subset\mathbb R^n – выпуклый компакт, 0\notin \mathcal Z, f(p)=s(p,\mathcal Z). Положим z_0=P_{\mathcal Z}0, p_0=-z_0/\| z_0\|, \mathcal K=\operatorname{cone}\mathcal Z и \mathcal K_0^-=\mathcal K_0^-(p_0) – максимальный конус вращения с осью \operatorname{cone}p_0, вписанный в \mathcal K^-. Допустим, что \mathcal Z удовлетворяет определению 1 в точке z_0\in\partial\mathcal Z для единичного нормального вектора p_0 и константы R>0. Тогда итерации \{p_k\} алгоритма (1.2) при k=1,2,\dots, произвольном выборе p_1\in \mathcal S_1\cap \mathcal K_0^-, t\in (0,1/R) и z_k\in\partial f(p_k) удовлетворяют условию
Перед доказательством отметим, что из включения \mathcal Z\subset \mathcal B_{R}(z_0-Rp_0) следует \mathcal K\subset \mathcal N=\operatorname{cone}\mathcal B_{R}(z_0-Rp_0), и отсюда \mathcal N^-\subset \mathcal K^-. Легко видеть, что \mathcal N – конус вращения с осью \operatorname{cone}z_0= \operatorname{cone}(-p_0) и углом между осью и образующей \arcsin(R/(R+\|z_0\|)). Значит, конус \mathcal N^- также есть конус вращения с осью \operatorname{cone}p_0 и углом между осью и образующей
Из полученной оценки \| p_{k+1}-p_0\|\leqslant \| p_k-p_0\| и поэтому p_{k+1}\in \mathcal S_1\cap\mathcal K_0^-\subset\mathcal S. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть \mathcal Z\subset\mathbb R^n – выпуклый компакт, 0\notin \mathcal Z, f(p)=s(p,\mathcal Z). Положим z_0=P_{\mathcal Z}0, p_0=-z_0/\| z_0\|. Допустим, что \mathcal Z удовлетворяет определению 2 в точке z_0\in\partial\mathcal Z для единичного нормального вектора p_0 и константы r>0. Тогда для любого единичного вектора p и точки z_p\in\partial f(p) выполняется неравенство
Зафиксируем p\in\mathcal S_1\setminus\{ p_0\} и z_p\in\partial f(p). В силу определения 2 точка z_p содержится в пересечении полупространств \mathcal N=\mathcal H_{p_0}^-\cap \mathcal H_p^+.
Если угол \alpha\leqslant {\pi}/{4}, то расстояние \| z_0-z_p\| не менее \| z_0-w\|. Последняя величина есть расстояние от z_0 до \mathcal N\ni z_p. Поскольку \angle (w,z_0,z_0-rp_0)={\pi}/{2}, то
Если угол {\pi}/{4}<\alpha<{\pi}/{2} , то расстояние \| z_0-z_p\| не менее расстояния от точки z_0 до стороны угла \mathcal N\cap \mathcal L, продолжение которой не содержит z_0. Пусть u – проекция точки z_0 на соответствующую сторону угла \mathcal N\cap \mathcal L. Тогда вектор z_0-u параллелен вектору z_0-rp_0+rp и тем самым вектор z_0-u перпендикулярен плоскости \partial \mathcal H_p^+.
Таким образом, в любом случае выполнено утверждение леммы. Лемма доказана.
3. Сходимость итераций: скорость сходимости и выбор начального приближения
Теорема 1. Пусть \mathcal Z\subset\mathbb R^n – выпуклый компакт, 0\notin \mathcal Z. Положим z_0=P_{\mathcal Z}0, p_0=-z_0/\| z_0\|, \mathcal K=\operatorname{cone}\mathcal Z и \mathcal K_0^-=\mathcal K_0^-(p_0) – максимальный конус вращения с осью \operatorname{cone}p_0, вписанный в \mathcal K^-. Допустим, что \mathcal Z удовлетворяет определению 1 в точке z_0\in\partial\mathcal Z для единичного нормального вектора p_0 и константы R>0. Тогда итерации \{p_k\} алгоритма (1.2) при k=1,2,\dots, произвольном выборе p_1\in \mathcal S_1\cap \mathcal K_0^-, t\in (0,1/R) и z_k\in\partial f(p_k) удовлетворяют условию
и тем самым \{p_k\} сходится к решению p_0 с линейной скоростью.
Доказательство. Доказательство состоит в применении леммы 3.
Заметим, что скорость сходимости зависит от величины \| z_0\| и мала при малом \| z_0\|. В случае выполнения внутреннего опорного условия, скорость сходимости равномерно оценивается по z_0.
Теорема 2. Пусть выполнено условие теоремы 1. Допустим, что \mathcal Z удовлетворяет определению 2 в точке z_0\in\partial\mathcal Z для единичного нормального вектора p_0 и константы r>0. Тогда
Выбор начальной точки итераций p_1\in\mathcal S_1\cap \mathcal K_0^- также зависит от величины \| z_0\|. В частности, конус \mathcal K_0^- может иметь малый угловой размер, например, если величина \| z_0\| мала, а множество \mathcal Z имеет гладкую границу. Это может составить проблему при поиске начальной точки итераций p_1. Покажем, что в некоторых случаях выбор p_1 можно осуществлять независимо от значения \| z_0\|.
Теорема 3. Пусть выполнено условие теоремы 2 и C=1+\max_{z\in\mathcal Z}\| z\|. Тогда при произвольном выборе 0<t < \min\{1/R,1/C\} такого, что
Таким образом, \| p_{k+1}-p_0\|\leqslant L. Теорема доказана.
Отметим еще один важный случай гладкого множества \mathcal Z: \mathcal Z=\mathcal Z_0+ \mathcal B_r(0), где \mathcal Z_0 – выпуклый компакт. В этом случае можно рассмотреть множество \mathcal Z_1=\mathcal Z_0+\mathcal B_{r/2}(0), для которого расстояние от нуля до \mathcal Z_1 будет не менее r/2. Решив задачу (1.1) для множества \mathcal Z_1, мы очевидно получаем и решение для \mathcal Z.
Приведем способ выбора p_1 из лебегова множества функции f. Это имеет практический смысл при условии, что имеется информация о радиусе R из определения 1 для множества \mathcal Z и оптимальном значении J.
Лемма 5. Пусть в условиях леммы 3p_1\in\mathcal S_1 выбрано так, что
Таким образом, угол между p_1 и p_0 не более \operatorname{arccos}(R/(R+|J|)), т.е. p_1\in \mathcal K_0^{-}, см. (2.2). Лемма доказана.
Покажем, что в задаче (1.1) выполнено условие квадратичного роста. Для функции f(p)=s(p,\mathcal Z) имеем для решения p_0\in\mathcal S_1, произвольной точки p\in\mathcal S_1 и произвольной точки z_p\in\partial f(p)
Последнее означает, что условие острого минимума в задаче (1.1) может не выполняться.
В заключение приведем пример, который показывает важность опорного условия из определения 1 для сходимости алгоритма (1.2).
Пример 2. Пусть множество \mathcal Z\subset\mathbb R^2 локально устроено как надграфик функции y=x^4+1 в окрестности точки (0,1). Допустим, для любого единичного вектора p=(\mathrm p_1,\mathrm p_2)\in\mathcal K, где \mathcal K – выпуклый конус с непустой внутренностью и осью симметрии \operatorname{cone}(0,-1), опорный элемент \mathcal Z есть опорный элемент надграфика y=x^4+1, т.е.
В силу симметрии графика y=x^4+1 относительно оси ординат, для указанных выше начального условия p=(\mathrm p_1,\mathrm p_2) и числа t(p)>0 метод проекции градиента зацикливается: при итерациях последовательно получаются точки (\mathrm p_1,\mathrm p_2) и (-\mathrm p_1,\mathrm p_2). Заметим также, что t(p)\to 0 при p\to (0,-1).
Заключение
Полученные в работе результаты доказаны в предположении, что опорные условия из определений 1 или 2 выполнены в точке z_0\in\mathcal Z для нормального вектора p_0=-z_0/\| z_0\|, где p_0 – решении задачи (1.1). Такие априорно непроверяемые в общей ситуации условия иногда возникают в задачах оптимизации. Например, аналогичные предположения делаются о выполнении в задачах условия острого минимума, условия квадратичного роста и ряда других условий.
В то же время доказанные результаты показывают, что для линейной сходимости метода (1.2) достаточно выполнения определения 1 для решения p_0\in\mathcal N(\mathcal Z,z_0). Больше от выпуклого компактного множества \mathcal Z требовать ничего не нужно. В частности, не нужна даже локальная в том или ином смысле сильная выпуклость множества \mathcal Z в окрестности z_0, что раньше было не очевидно.
Важным примером множеств, для которых определение 1 типично, являются множества достижимости линейной управляемой системы (1.3) когда множество управлений \mathcal U есть многогранник. В теореме 3.1 и замечании 3.2 [12] доказано, что при достаточно общих условиях для почти всех в некотором смысле точек z_0 границы такого множества достижимости \mathcal R (t) выполнено условие локальной сильной выпуклости через модуль выпуклости: существует c=c(z_0)>0 такое, что для любой точки z\in \mathcal R (t) выполнено включение
\begin{equation}
\frac{z+z_0}{2}+c\| z-z_0\|^2B_1(0)\subset \mathcal R (t).
\end{equation}
\tag{3.3}
Из этого условия вытекает включение из определения 1 для любого единичного p_0\in\mathcal N (\mathcal R (t),z_0) и некоторого R_0>0. Покажем это от противного.
Пусть для последовательности \delta_k\to 0 найдутся точки z_k\in B_{\delta_k}(z_0) \cap \mathcal R (t) такие, что z_k\notin B_k (z_0-kp_0). Пусть
Тогда точка z_k содержится во множестве \mathcal H^-_{p_0}\setminus B_k (z_0-kp_0). Поэтому при малых значениях \| z_k-z_0\| расстояние от точки (z_k+z_0)/2 до \partial\mathcal H_{p_0}^- имеет порядок (\| z_k-z_0\|^2)/k, что противоречит включению (3.3) для z=z_k. Следовательно, найдутся такие \delta>0 и R>0, что
\begin{equation}
B_{\delta}(z_0)\cap \mathcal R (t)\subset B_{\delta}(z_0)\cap B_R(z_0-Rp_0).
\end{equation}
\tag{3.4}
Легко видеть, что \mathcal H=\partial\mathcal H^-_{p_0}-\varrho (z_0,\mathcal H)p_0 есть сдвиг \partial\mathcal H^-_{p_0} на ненулевое расстояние вдоль вектора -p_0. Между плоскостями \mathcal H и \partial \mathcal H_{p_0}^- и вне шара B_R(z_0-Rp_0) нет точек z\in\mathcal R (t). Если бы такая точка существовала, то в силу (3.4)z\notin B_{\delta}(z_0), поэтому отрезок [z,z_0]\subset\mathcal R(t) пересекал бы границу шара \partial B_{\delta}(z_0) в точке x\in\mathcal R (t). В силу включения x\notin B_R(z_0-Rp_0) получаем противоречие с (3.4).
в силу компактности \mathcal R (t) можно подобрать число R_0\geqslant R такое, что
\begin{equation*}
\mathcal R (t)\subset B_{R_0}(z_0-R_0p_0).
\end{equation*}
\notag
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Б. Т. Поляк, “Градиентные методы минимизации функционалов”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 3:4 (1963), 643–653
2.
Е. С. Левитин, Б. Т. Поляк, “Методы минимизации при наличии ограничений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 6:5 (1966), 787–823
3.
Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, М., 2007
4.
М. В. Балашов, “Некоторые оптимизационные задачи с множеством достижимости линейной управляемой системы”, Современные проблемы теории функций и их приложения (Материалы 21-й международной Саратовской зимней школы), Саратовсий ун-т, Саратов, 2022, 40–43
5.
Б. Т. Поляк, Введение в оптимизацию, Наука, М., 1983
6.
D. Davis, D. Drusvyatskiy, K. J. MacPhee, C. Paquette, “Subgradient methods for sharp weakly convex functions.”, J. Optim. Theory Appl., 179:3 (2018), 962–982
7.
М. В. Балашов, “О методе проекции градиента для слабо выпуклой функции на проксимально гладком множестве”, Матем. заметки, 108:5 (2020), 657–668
8.
R. J. Aumann, “Integrals of set-valued functions”, J. Math. Anal. Appl., 12 (1) (1965), 1–12
9.
М. В. Балашов, “Сильная выпуклость множеств достижимости линейных систем”, Матем. сб., 213:5 (2022), 30–49
10.
М. В. Балашов, “Вложение гомотета в выпуклый компакт: алгоритм и его сходимость”, Вестник российских университетов. Математика, 27:138 (2022), 143–149
11.
P. Cannarsa, H. Frankowska, “Interior sphere property of attainable sets and time optimal control problems”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 12:2 (2006), 350–370
12.
V. M. Veliov, “On the convexity of integrals of multivalued mappings: applications in control theory”, J. Optim. Theory Appl., 54:3 (1987), 541–563
Образец цитирования:
М. В. Балашов, “Достаточные условия линейной сходимости одного алгоритма для нахождения метрической проекции точки на выпуклый компакт”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 655–666; Math. Notes, 113:5 (2023), 632–641
\RBibitem{Bal23}
\by М.~В.~Балашов
\paper Достаточные условия линейной сходимости одного алгоритма для нахождения метрической проекции точки на выпуклый компакт
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 5
\pages 655--666
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13745}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13745}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4602425}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 5
\pages 632--641
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623050036}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85162665651}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mzm13745
https://doi.org/10.4213/mzm13745
https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i5/p655
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
М. В. Балашов, К. З. Биглов, “Опорное условие сильной выпуклости и условие Липшица для метрической проекции”, Матем. заметки, 115:2 (2024), 197–207; M. V. Balashov, K. Z. Biglov, “The Strong Convexity Supporting Condition and the Lipschitz Condition for the Metric Projection”, Math. Notes, 115:2 (2024), 164–172
М. В. Балашов, “Условие Липшица метрической проекции и сходимость градиентных методов”, Матем. сб., 215:4 (2024), 62–80; M. V. Balashov, “Lipschitz continuity of the metric projection operator and convergence of gradient methods”, Sb. Math., 215:4 (2024), 494–510
M. V. Balashov, A. A. Tremba, “The Gradient Projection Method for a Supporting Function on the Unit Sphere and Its Applications”, Comput. Math. and Math. Phys., 64:4 (2024), 676