| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Задача Трикоми для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений С. А. Алдашев Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Алматы
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050024 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеГиперболо-эллиптические уравнения в частных производных описывают многие важные физические процессы (например, динамика плазмы подверженной электромагнитным волнам, поведение световых волн с около-каустической амплитудой, создание гидродинамических порогов, трансзвуковой и многофазный поток жидкости, истечение газов из сопла реактивного двигателя, и т.д.). Данные приложения и их математические модели изучались многими выдающимися математиками, начиная с А. В. Бицадзе и М. А. Лаврентьева [1], [2]. Более полную библиографию по приложениям можно найти в [3]–[5]. Теория краевых задач для гиперболо-эллиптических уравнений на плоскости хорошо изучена, а их многомерные аналоги интенсивно исследуются (см., например, монографии [4], [6] и приведенную в них библиографию). Насколько нам известно, пространственные задачи Трикоми для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений изучены мало [7]–[11]. В данной работе показана разрешимость пространственной задачи Трикоми для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений. 2. Постановка задачи и результатПусть $\Omega_\varepsilon$ – конечная область евклидова пространства ${E_{m+1}}$ точек $(x_{1},\dots,x_{m},t)$, ограниченная при $t>0$ сферической поверхностью а при $t<0$ конусами
$$
\begin{equation*}
K_\varepsilon\colon |x|=-t+\varepsilon, \quad K_1\colon |x|=1+t, \qquad \frac{\varepsilon-1}2\leqslant t \leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|x|$ – длина вектора $x=(x_{1},\dots,x_{m})$, а $0 \leqslant \varepsilon < 1$. Обозначим через $\Omega^+$ и $\Omega^-$ части области $\Omega_\varepsilon$, лежащие в полупространствах $t>0$ и $t<0$, через $S^\varepsilon$ – общую часть границ области $\Omega^+$, $\Omega_\varepsilon^-$ представляющих множество $\{t=0,\ 0 <|x| <1\}$ точек из $E_m$. Часть конусов $K_\varepsilon$, $K_1$, ограничивающих области $\Omega_\varepsilon^-$, обозначим через $S_\varepsilon$, $S_1$ соответственно. В области $\Omega_\varepsilon$ рассмотрим многомерные гиперболо-эллиптические уравнения
$$
\begin{equation}
\Delta_{x} u+(\operatorname{sgn} t)u_{tt}+ \sum_{i=1}^m a_i(x,t)u_{x_i}+b(x,t)u_t+c(x,t)u=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\Delta_{x}$ – оператор Лапласа по переменным $x_{1},\dots,x_{m}$, $m \geqslant 2$. Заметим, что уравнение (1) является обобщением известного уравнения Лаврентьева–Бицадзе. В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат $x_1,\dots,x_m,t$ к сферическим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r, \theta_1,\dots,\theta_{m-1}, \qquad t,r\geqslant 0, \quad 0\leqslant \theta_1 < 2\pi, \\ 0 \leqslant \theta_i \leqslant \pi, \quad i=2,\dots,m-1, \qquad \theta=(\theta_1,\dots,\theta_{m-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя [5], в качестве многомерной задачи Трикоми рассмотрим следующую задачу. Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области $\Omega_\varepsilon$ при $t\ne 0$ из класса $C(\overline{\Omega}_\varepsilon)\cap C^2(\Omega^+ \cup \Omega_\varepsilon^-)$ удовлетворяющее краевым условиям или при этом $\varphi(1,\theta)=\psi_2(1,\theta)$. Отметим, что в [8], [10] показано, что при $\varepsilon=0$ однородная задача, соответствующая задаче (1), (2), имеет бесчисленное множество нетривиальных решений. Пусть $\{Y_{n,m}^{k}(\theta)\}$ – система линейно независимых сферических функций порядка $n$, $1 \leqslant k \leqslant k_{n}$, $(m-2)!\,n!\,k_{n}=(n+m-3)!\,(2n+m-2)$, $W_{2}^{l}(S^\varepsilon)$, $l=0,1,\dots$ – пространства Соболева. Имеют место следующие леммы [12]. Лемма 1. Пусть $f(r,\theta)\in W_2^l (S^\varepsilon)$. Если $l\geqslant m-1$, то ряд а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка $p\leqslant l-m+1$, сходятся абсолютно и равномерно. Лемма 2. Для того, чтобы $f(r,\theta) \in W_2^l(S^\varepsilon)$, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам Через $a_{in}^k(r,t)$, $\widetilde{a}_{in}^k(r,t)$, $b_n^k(r,t)$, $c_n^k(r,t)$, $\rho_n^k$, $\varphi_n^k(r)$ обозначим коэффициенты разложения ряда (4), соответственно функций $a_i(r,\theta,t)\rho$, $a_i(x_i/r)\rho$, $b(r,\theta,t)\rho$, $c(r,\theta,t)\rho$, $\rho(\theta)$, $\varphi(r,\theta)$, $i=1,\dots,m$, причем $\rho(\theta)\in C^2(H)$, $H$ – единичная сфера в $E_m$. Пусть
$$
\begin{equation*}
a_i(r,\theta,t),b(r,\theta,t),c(r,\theta,t)\in W_2^l(\Omega^+\cup \Omega_\varepsilon^-), \qquad i=1,\dots,m, \quad l\geqslant m+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем множество функций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B^l(S^\varepsilon)&=\biggl\{f(r,\theta)\colon f \in W_2^l(S^\varepsilon),\ \sum_{n=1}^\infty\,\sum_{k=1}^{k_n} (\|f^k_n(r)\|^2_{C([\varepsilon,1])}+ \|f^k_n(r)\|^2_{C^2([\varepsilon,1])}) \\ &\phantom{=\biggl\{}\qquad\times\exp 2(n^2+(m-2) ) < \infty,\ l \geqslant m-1\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(r,\theta)\in B^l(\Gamma), \qquad \psi_1(r,\theta)=r^2\psi_1^*(r,\theta), \qquad \psi_1^*(r,\theta)\in B^l(S_\varepsilon), \\ \psi_2(r,\theta)=\biggl(r-\frac{1+\varepsilon}2\biggr)^{(m+1)/2} \psi_2^*(r,\theta), \qquad \psi_2^*(r,\theta)\in B^l(S_1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то справедливы следующие теоремы.
3. Доказательство теоремыВ сферических координатах уравнение (1) в области $\Omega^+$ имеет вид [12]
$$
\begin{equation}
u_{rr}+\frac{m-1}{r} u_r -\frac{1}{r^2}\delta u+u_{tt}+ \sum_{i=1}^m a_i(x,t)u_{x_i}+b(x,t)u_t+c(x,t)u=0,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta\equiv -\sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{g_j\sin^{m-j-1}\theta_j}\, \frac{\partial}{\partial\theta_j}\biggl(\sin^{m-j-1}\theta_j \frac{\partial}{\partial\theta_j}\biggr), \\ g_1=1, \qquad g_j=(\sin\theta_1\dotsb\sin\theta_{j-1})^2, \quad j>1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно [12], что спектр оператора $\delta$ состоит из собственных чисел $\lambda_n=n (n+m-2)$, $n=0,1,\dots$, каждому из которых соответствует $k_n$ ортонормированных собственных функций $Y_{n,m}^k(\theta)$. Решение задачи 1 области $\Omega^+$ будем искать в виде
$$
\begin{equation}
u(r,\theta ,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\,\sum_{k=1}^{k_{n}} \overline{u}_{n}^{k}(r,t)Y_{n,m}^{k}(\theta),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\overline{u}_{n}^{k} (r,t)$ – функции подлежащие определению. Подставив (6) в (5), умножив полученное выражение на $\rho(\theta)\ne 0$ и проинтегрировав по единичной сфере $H$ для $\overline{u}_n^k$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\rho_0^1\overline{u}_{0rr}^{1}+\rho_0^1 \overline{u}_{0t}^{1}+ \biggl(\frac{m-1}{r}\rho_0^1+\sum_{i=1}^m\widetilde{a}_{i0}^1\biggr) \overline{u}_{0r}^1+b_0^1\overline{u}_{0t}^1+c^1_0\overline{u}_0^1 \nonumber \\ &\qquad +\sum_{n=1}^\infty\,\sum_{k=1}^{k_n} \biggl\{\rho_n^k\overline{u}_{nrr}^{k}+\rho_n^k\overline{u}_{ntt}^k+ \biggl(\frac{m-1}{r}\rho_n^k+\sum_{i=1}^m \widetilde{a}_{in}^k\biggr)\overline{u}_{nr}^k \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\biggl[\widetilde{c}_n^k-\lambda_n \frac{\rho_n^k}{r^2}+ \sum_{i=1}^m(\widetilde{d}_{in-1}^k-n\widetilde{a}_{in}^k)\biggr] \overline{u}_n^k-\mu \rho_n^k \overline{u}_n^k\biggr\}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\rho_0^1\overline{u}_{0rr}^{1}+\rho_0^1 \overline{u}_{0tt}^{1}+ \frac{(m-1)}{r}\rho_0^1\overline{u}_{0r}^{1}=0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho_1^k \overline{u}_{1rr}^{k}+\rho_1^k \overline{u}_{1tt}^{k}+ \frac{(m-1)}{r} \rho_1^k \overline{u}_{1r}^{k}- \frac{\lambda_1}{r^2}\rho_1^k \overline{u}_1^k =-\frac{1}{k_1}\biggl(\sum_{i=1}^m \widetilde{a}_{i0}^1\overline{u}_{0r}^{1}+ b_0^1\overline{u}_{0t}^1+c_0^1\biggr), \\ n=1,\qquad k=1,\dots,k_1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\rho_n^k \overline{u}_{nrr}^{k}+\rho_n^k \overline{u}_{ntt}^{k}+ \frac{(m-1)}{r} \rho_n^k\overline{u}_{nr}^{k}- \frac{\lambda_n}{r^2}\rho_n^k \overline{u}_n^k =-\frac{1}{k_n}\sum_{k=1}^{k_{n-1}}\biggl\{\,\sum_{i=1}^m \widetilde{a}_{in-1}^k \overline{u}_{n-1r}^{k}+ b_{n-1}^k \overline{u}_{n-1t}^k \\ &\qquad+\biggl[c_{n-1}^k+ \sum_{i=1}^m(a_{in-2}^k-(n-1)\widetilde{a}_{in-1}^k)\biggr] \overline{u}_{n-1}^k \biggr\}, \qquad k=1,\dots,k_n, \quad n=2,3\dots\,. \end{split}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Суммируя уравнение (9) от 1 до $k_1$, а уравнение (10) от 1 до $k_n$, а затем сложив полученные выражения вместе с (8), приходим к уравнению (7). Отсюда следует, что если $\{\overline{u}_{n}^{k}\}$, $k=1,\dots,k_{n}$, $n=0,1,\dots$ , – решение системы (8)–(10), то оно является и решением уравнения (7). Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (8)–(10) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
L\overline{u}_n^k\equiv \overline{u}_{nrr}^{k}+\overline{u}_{ntt}^k+ \frac{(m-1)}{{r}}\overline{u}_{nr}^{k}- \frac{{\lambda_{n}}}{r^{2}}\overline{u}_{n}^{k}= \overline{f}_{n}^{k}(r,t),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\overline{f}_{n}^{k}(r,t)$ определяются из предыдущих уравнений этой системы, и $\overline{f}_{0}^{1}(r,t)\equiv 0$. Далее, из условий (2) и (3), в силу (6) будем иметь
$$
\begin{equation}
\overline{u}_n^k(r,\sqrt{1-r^2}\,)=g_n^k(\varphi), \qquad k=1,\dots,k_{n}, \quad n=0,1,\dots, \quad 0 \leqslant r \leqslant 1.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Выполняя в (11), (12) замену переменных а затем полагая
$$
\begin{equation*}
r=\rho\cos\varphi, \quad t=\rho\sin\varphi, \qquad \rho \geqslant 0, \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\upsilon_{n\rho\rho}^{k}+\frac{1}{\rho}\upsilon_{n\rho}^k+ \frac{1}{\rho^2}\upsilon_{n\varphi\varphi}^k+ \frac{\overline{\lambda}_n}{\rho^2\cos^2\varphi}\upsilon_{n}^{k}= f_n^k(\rho,\varphi),
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
\upsilon_n^k(\rho,\varphi)= u_n^k(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi),\qquad \overline{\lambda_n}=\frac{[(m-1)(3-m)-4\lambda_n]}{4}\,, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
f_n^k(\rho,\varphi)=(\rho \cos \varphi)^{(m-1)/2} \overline{f}_n^k(\rho\cos\varphi,\rho \sin \varphi),\qquad g_{n}^k(\varphi)=( \cos \varphi)^{(m-1)/2} \varphi_n^k(\cos\varphi). \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Сначала рассмотрим случай $n=0$, $k=1$. Тогда из (13), (14) находим
$$
\begin{equation}
\upsilon_{0\rho\rho}^{k}+\frac{1}{\rho}\upsilon_{0\rho}^k+ \frac{1}{\rho^2}\upsilon_{0\varphi\varphi}^k+ \frac{\overline{\lambda}_0}{\rho^2\cos^2\varphi}\upsilon_{0}^{k}=0,
\end{equation}
\tag{15}
$$
Решение задачи (15), (16) будем искать в виде
$$
\begin{equation}
\phi_{\varphi\varphi}+\biggl(\mu+ \frac{\overline{\lambda_0}}{\cos^2\varphi}\biggr)\phi=0,\qquad \mu={\rm const}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Ограниченным решением уравнения (18) является функция $R(\rho)=\rho^s$, $\mu=s^2$, $0 \leqslant s={\rm const}$. Далее, уравнение (19) запишем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\phi_{\varphi\varphi}= \biggl[\frac{l(l-1)}{\cos^2\varphi}- s^2\biggr]\phi,\qquad l=-\frac{(m-3)}{2}\,.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Выполняя замену $\xi=\sin^2\varphi$ в уравнении (20), приходим к уравнению
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi(\xi-1)g_{\xi\xi}+\biggl[(\alpha+\beta+1)\xi- \frac{1}{2}\biggr]g_\xi+\alpha \beta g=0, \\ g(\xi)=\frac{\phi(\varphi)}{\cos^l \varphi}\,,\qquad \alpha=\frac{(l+s)}{2}\,,\qquad \beta=\frac{(l-s)}{2}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
общее решение которого представимо в виде (13)
$$
\begin{equation}
g_s(\xi)=c_{1s}F\biggl(\alpha,\beta,\frac{1}{2}\,;\xi\biggr)+ c_{2s}\sqrt{\xi}F\biggl(\alpha+\frac{1}{2}\,,\beta+ \frac{1}{2}\,,\frac{3}{2}\,;\xi\biggr),
\end{equation}
\tag{21}
$$
периодическом по $\varphi$, если $s=0,1,\dots$, где $c_{1s}$, $c_{2s}$ – произвольные независимые постоянные, а $F(\alpha,\beta,\gamma;\xi)$ – гипергеометрическая функция Гаусса. Таким образом, в силу (17), (21) общее решение уравнения (15) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \upsilon_{n,\mu}^k(\rho,\varphi)&= \sum_{s=0}^\infty J_s(\sqrt{-\mu}\,\rho)\cos^l\varphi \biggl[c_{1s}F\biggl(\alpha,\beta,\frac{1}{2}\,;\sin^2\varphi\biggr) \nonumber \\ &\qquad+c_{2s}\sin \varphi F\biggl(\alpha+\frac{1}{2}\,,\beta+ \frac{3}{2}\,;\sin^2\varphi\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Поскольку $|\upsilon_{0,\mu}^k(\rho,\pi/2)|<\infty$, из (22) имеем
$$
\begin{equation*}
c_{1s}F\biggl(\alpha,\beta,\frac{1}{2}\,;1\biggr)+ c_{2s}F\biggl(\alpha+\frac{1}{2}\,,\beta+\frac{3}{2}\,;1\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
c_{2s}=-\frac{2\Gamma(1-\alpha)\Gamma(1-\beta)}{\Gamma(1/2-\alpha) \Gamma(1/2-\beta)}c_{1s},
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $\Gamma(z)$ – гамма-функция. Подставляя (23) в (22), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \upsilon_{0,\mu}^k(\rho,\,\varphi)&=\sum_{s=0}^\infty c_{1s} \rho^s\cos^l\varphi\biggl[F\biggl(\alpha,\beta,\frac{1}{2}\,; \sin^2\varphi\biggr) \nonumber \\ &\qquad-\frac{2\Gamma(1-\alpha)\Gamma(1-\beta)} {\Gamma(1/2-\alpha)\Gamma(1/2-\beta)} \sin \varphi F\biggl(\alpha+\frac{1}{2}\,,\beta+ \frac{1}{2}\,,\frac{3}{2}\,;\sin^2\varphi\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Известно [14], что система функций $\{1/2,\cos 2s\varphi,\sin 2s\varphi,s=1,2,\dots\}$ полна, ортогональна в $C([0,\pi])$, и следовательно, замкнута. Отсюда следует, что функция $g_0^1(\varphi) \in C([0,\pi])$ разложима в ряд
$$
\begin{equation}
g_0^1(\varphi)=a_{0,0}^1+\sum_{s=1}^\infty(a_{s,0}^1 \cos 2s\varphi+b_{s,0}^1\sin 2s\varphi),
\end{equation}
\tag{25}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_{0,0}^1=\frac{1}{2\pi} \int_0^\pi g_0^1(\varphi)\, d\varphi,\qquad a_{s,0}^1=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi g_n^k(\varphi) \cos 2s\varphi\,d\varphi, \\ b_{s,0}^1=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi g_0^1(\varphi) \sin 2s \varphi\, d\varphi,\qquad s=1,2\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Далее, удовлетворяя функцию (24) условию (16), учитывая разложение (25) и полагая $\varphi=0$, получим Подставляя (27) в (24), получим решение задачи (15), (16) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \upsilon_{0}^1(\rho,\varphi)&=\sum_{s=0}^\infty a_{s,0}^1 \rho^s \cos^l \varphi\biggl[F\biggl(\alpha,\beta,\frac{1}{2}\,; \sin^2\varphi\biggr) \nonumber \\ &\qquad-\frac{2\Gamma(1-\alpha)\Gamma(1-\beta)} {\Gamma(1/2-\alpha)\Gamma(1/2-\beta)}\sin \varphi F\biggl(\alpha+\frac{1}{2}\,,\beta+\frac{1}{2}\,,\frac{3}{2}\,; \sin^2 \varphi\biggr)\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $a_{s,0}^1$ определяются из (26). Как замечено в [12], наличие главного элементарного решения $G_{1}^k(r,t)$ эллиптического уравнения $L\overline{u}_1^k=0$ позволяет редуцировать задачу
$$
\begin{equation*}
L\overline{u}_n^k=\overline{f}_1^k(r,t), \quad \overline{u}_1^k(r,\sqrt{1-r^2}\,)=\widetilde{\varphi}^k_1(r), \qquad k=1,\dots,k_1, \quad 0\leqslant r \leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
к следующей задаче:
$$
\begin{equation}
\overline{u}_1^k(r,\sqrt{1-r^2}\,)=\widetilde{\varphi}^k_1(r),
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $\varphi^k_1(r)$ выражается через $\varphi_1^k(r)$, $\overline{f}_1^k(r,\sqrt{1-r^2}\,)$ и $G_1^k(r,\sqrt{1-r^2}\,)$, $k=1,\dots,k_1$. Далее, решая задачу (29), (30) аналогично решению задачи (15), (16), найдем $\overline{u}_1^k(r,t)$. Продолжая этот процесс, находим все $\overline{f}_n^k(r,t)$, так как $\overline{u}_n^k(r,t)$ известны, $k=1,\dots,k_n$, $n=0,1,\dots$ . Таким образом, решение задачи 1 в области $\Omega^+$ в виде ряда (6) найдено и при $t\to +0$ будет иметь Известно, что если $g_n^k(\varphi)\in C^q((0,\pi))$, то имеет место оценка [16]
$$
\begin{equation*}
|a_{s,n}^k| \leqslant \frac{C_1}{S^q+2}\,,\qquad q=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
а также справедливы формулы [17]
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{d^q}{dz^q}F(a,b,c;z)=\frac{{(a)_q}(b)_q}{(c)_q} F(a+q,b+q,c+q;z),\qquad q=0,1,\dots, \\ (a)_q=\frac{\Gamma(a+q)}{\Gamma(a)}\,,\qquad \frac{\Gamma(z+\alpha)}{\Gamma(z+\beta)}= z^{\alpha-\beta}\biggl[1+\frac{1}{2z}(\alpha-\beta)(\alpha-\beta-1)+ O(z^{-2})\biggr], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки [12]
$$
\begin{equation*}
|k_n|\leqslant c_1 n^{m-2}, \quad \biggl|\frac{\partial^q}{\partial\theta_j^q}Y_{n,m}^k(\theta)\biggr| \leqslant c_1 n^{m/2-1+q}, \qquad j=1,\dots,m-1, \quad q=0,1\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы вложения [18] следует, что $W_2^l(S)\subset C^q(S)\cap C(\overline{S})$, если $l>q+m/2$. Из вышеизложенного и учитывая лемму 2, а также граничное условие получим, что решение (6)
$$
\begin{equation*}
u(r,\theta,t) \in C(\overline{\Omega}^+)\cap C^2(\Omega^+),
\end{equation*}
\notag
$$
при этом
$$
\begin{equation*}
\tau(r,\theta)=r^2\tau^*(r,t), \qquad \tau^*(r,\theta)\in B^l(S^\varepsilon), \quad l>\frac{3m}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, учитывая краевые условия (2), (3) и (31), приходим к задачам Дарбу–Проттера в области $\Omega_\varepsilon^-$ для гиперболического уравнения
$$
\begin{equation}
\Delta_{x}u-u_{tt}+\sum_{i=1}^m a_i(x,t)u_{x_i}+b(x,t)u_t+c(x,t)u=0
\end{equation}
\tag{32}
$$
с данными
$$
\begin{equation}
u|_{S^\varepsilon}=\tau(r,\theta),\qquad u|_{S_\varepsilon}=\psi_1(r,\theta)
\end{equation}
\tag{33}
$$
или
$$
\begin{equation}
u|_{S^\varepsilon}=\tau(r,\theta),\qquad u|_{S_1}=\psi_2(r,\theta),
\end{equation}
\tag{34}
$$
для которых имеет место следующая теорема [19]–[21]. Теорема 4. 1) При $\varepsilon=0$ задача (32), (33) имеет бесчисленное множество решений, 2) если $\varepsilon>0$, то задача (32), (33) имеет единственное решение, 3) $\forall\,\varepsilon \geqslant0$ задача (32), (34) однозначно разрешима. Используя теорему 4, приходим к справедливости сформулированных теорем. Отметим, что в случае, когда младшие члены уравнения (1) равны нулю (т.е. для многомерного уравнения Лаврентьева–Бицадзе), в работе [22] получен критерий единственности решения однородной задачи (1), (2). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ald23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|