| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Контактные векторы точечных решеток В. П. Гришухин Центральный экономико-математический институт Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050048 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПараллелоэдр – это такой выпуклый многогранник $P$, параллельными сдвигами которого можно замостить грань в грань объемлющее пространство без зазоров и пересечений по внутренним точкам, т.е. получить нормальное разбиение ${\mathcal T}$ пространства. Центры параллелоэдров разбиения ${\mathcal T}$ образуют трансляционную решетку $L$ параллелоэдра $P$. Выпуклая оболочка центров параллелоэдров, содержащих грань $G$ разбиения ${\mathcal T}$, называется дуальной ячейкой $D(G)$ решетки $L$. Пусть $P(l)$ есть параллелоэдр разбиения $\mathcal T$ с центром в точке $l\in L$, и начало 0 принадлежит $L$. Пусть $P=P(0)$. Частным случаем параллелоэдра является ячейка Дирихле–Вороного (кратко, ДВ-ячейка) $P(l)$ некоторой точки $l$ решетки $L$. Это есть выпуклая оболочка тех точек пространства, которые ближе к $l\in L$, чем к другим точкам $l'\in L$ в метрике, порожденной некоторой положительно определенной квадратичной формой. Грань $K$ параллелоэдра $P$ называется контактной, если $K=P\cap P(l)$, и тогда решетчатый вектор $l$ называется контактным. Впервые на контактные грани обратил внимание и изучил их Н. П. Долбилин (см., например, [1]). Оказывается, что множество контактных векторов параллелоэдра отражает многие важные свойства параллелоэдра. В работе это демонстрируется на примере классической ДВ-ячейки некоторой решетки $L$. Слово классический означает, что используется обычная евклидовая норма, задаваемая формой $f(x)=x^2=\sum_ix_i^2$. С решеткой $L$ связана ее метрическая форма $f(x)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j$, где $a_{ij}$ суть коэффициенты матрицы Грама некоторого базиса решетки $L$. Коэффициенты матрицы Грама суть попарные скалярные произведения базисных векторов $e_i$ выбранного базиса решетки $L$, т.е. $a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle$. В следующем разделе 2 дано описание классической ДВ-ячейки $P_L$ произвольной решетки $L$ системой линейных неравенств. Здесь же показано, что контактные векторы решетки $L$ суть минимальные векторы $l\in L$ по норме $l^2$ в своем классе четности (или классе смежности $L/2L$). В разделе 3 показано, что линейные зависимости между контактными векторами определяют подпространство $M(L)$ в пространстве всех симметричных матриц. В пространстве $M(L)$ лежит матрица $A$ метрической формы решетки $L$. Вводится понятие экстремального множества контактных векторов как множество контактных векторов ${\mathcal L}(L)$, для которого пространство $M(L)$ одномерно. Здесь же определена жесткая решетка, как решетка, множество ${\mathcal L}(L)$ которой экстремально. Так как вершины дуальной ячейки $D$ суть точки решетки $L$, вектор с концами в $D$ – решетчатый, более того, он контактный. Таким образом, дуальная ячейка $D$ имеет свое множество ${\mathcal L}(D)$ контактных векторов. Ячейка $D$ экстремальна, если ее множество ${\mathcal L}(D)$ экстремально. В разделе 4 доказывается экстремальность множества контактных векторов корневой решетки $D_n$, если $n\geqslant 4$, а следовательно, и жесткость решетки $D_n$. Впервые дано явное описание множества ${\mathcal L}(D_n)$ ее контактных векторов. На с. 16 статьи [2] сказано, что жесткость решетки $E_6^*$, дуальной корневой решетке $E_6$, была доказана независимо П. Энгелем и Р. Эрдалом. Но их доказательства так и не были опубликованы. Поэтому в разделах 5 и 6 дано доказательство жесткости решетки $E_6^*$. Здесь используется удобное описание решетки $E_6^*$ (ср., например, [3]). Следует отметить, что для описания решеток $D_n$ и $E_6^*$ используется базис объемлющего пространства, не являющийся базисом соответствующей решетки. Коэффициенты матрицы Грама базиса решетки линейно выражаются через коэффициенты матрицы Грама используемого базиса, если векторы базиса решетки выражены через векторы используемого базиса. Хотя метрическая форма любой решетки зависит от выбранного базиса решетки, свойства множества ее контактных векторов не зависят от выбранного базиса. 2. Классическая ДВ-ячейка и контактные векторыДВ-ячейка $P_L$ произвольной решетки $L$ описывается следующими неравенствами
$$
\begin{equation*}
P_L=\bigl\{x\in{\mathbb R}^n\colon x^2\leqslant (x-l)^2\text{ для всех }l\in L\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Раскрывая скобки, получим следующее описание классической ДВ-ячейки $P_L$ решетки $L$ линейными относительно переменной $x$ неравенствами
$$
\begin{equation}
P_L=\biggl\{x\in{\mathbb R}^n\colon \langle x,l\rangle\leqslant\frac{1}{2}l^2 \text{ для всех }l\in L\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $\langle x,y\rangle$ есть скалярное произведение векторов $x,y\in{\mathbb R}^n$. Еще Вороной показал в [4], что здесь достаточно ограничиться конечным множеством $\mathcal F$ фасетных векторов, т.е. таких $l\in L$, что пересечение $P(l)\cap P(0)$ есть фасета обоих ДВ-ячеек. Напомним, что фасета есть грань коразмерности 1. Иногда более удобно использовать множество контактных векторов ${\mathcal L}(L)$, так как точки $l_K/2$ для всех контактных векторов $l_K\in{\mathcal L}(L)$ лежат на границе ДВ-ячейки $P_L$. Следующий факт был доказан Вороным для фасетных векторов в [4]. Предложение 1. Контактный вектор $l_K\in{\mathcal L}(L)$ ДВ-ячейки $P_L$ минимален по норме $l^2$ в своем классе четности. Если $l_{K'}\neq \pm l_K$ есть другой контактный вектор класса четности вектора $l_K$, то Доказательство. Так как точка $l_K/2$ принадлежит ДВ-ячейке $P_L$, согласно (2.1) для всех $l\in L$ выполнены неравенства $\langle l_K,l\rangle\leqslant l^2$. Нетрудно убедиться, что это неравенство эквивалентно неравенству $l_K^2\leqslant(l_K-2l)^2$, доказывающему первое утверждение предложения.
В частности, справедливы неравенства $l_K^2\leqslant l_{K'}^2$ и $l_{K'}^2\leqslant l_K^2$, откуда вытекает второе утверждение предложения. Пусть ${\mathcal E}^n=\{e_i\colon i\in N\}$, где $N=\{1,2,\dots,n\}$, есть некоторый базис решетки $L$. Тогда суть коэффициенты матрицы $A$ положительной квадратичной формы, называемой метрической формой $f(L)$ решетки $L$. Матрица $A$ называется матрицей Грама базиса ${\mathcal E}^n$.3. Зависимости между контактными векторамиПусть $P$ есть произвольный параллелоэдр, не обязательно ДВ-ячейка, $L$ есть его трансляционная решетка и $\mathcal T$ есть разбиение пространства, порожденное $P$. Пусть ${\mathcal K}(P)$ есть множество всех контактных граней параллелоэдра $P$. Пусть $G$ – некоторая грань параллелоэдра $P$. Обозначим через ${\mathcal K}(G)\subseteq {\mathcal K}(P)$ множество всех контактных граней, содержащих грань $G$. Дуальной ячейкой $D(G)$ называется выпуклая оболочка центров всех параллелоэдров разбиения $\mathcal T$, имеющих грань $G$. Доказано, что все эти центры суть вершины дуальной ячейки $D(G)$ (см., например, гл. 6 диссертации [5]). Лемма 1. Для грани $G$ параллелоэдра $P$ дуальная ячейка $D(G)$ имеет также следующее представление: Доказательство. Пусть параллелоэдр $P(l)$ с центром в точке $l\in L$ имеет грань $G$. Тогда $l=l_K$, где $K=P\cap P(l)\supseteq G$. Поэтому конец вектора $l_K$ есть вершина многогранника $D(G)$. Обратно, если $l_K$ есть контактный вектор контактной грани $K$, содержащей $G$, то параллелоэдр $P(l_K)$ имеет грань $G$. Так как вершины любой дуальной ячейки $D$ суть точки решетки $L$, вектор $l$ между любыми двумя ее вершинами есть решетчатый вектор. Более того, это есть некоторый контактный вектор. Скажем, что этот контактный вектор $l\in{\mathcal L}(L)$ содержится в дуальной ячейке $D$. Обозначим через ${\mathcal L}(D)$ множество контактных векторов, содержащихся в дуальной ячейке $D$. Если $G=K$ есть контактная грань, то ее дуальная ячейка $D(K)$ центрально симметрична и вектор $l_K$ есть ее диагональ. Потому множество ее вершин есть объединение пар противоположных вершин $l$, $l^*$ таких, что $0^*=l_K$, $l+l^*=l_K$ и $l-l^*=l_{K'}$, где $l_{K'}$ – другой контактный вектор класса четности вектора $l_K$, если грань $K$ отлична от фасеты (см. [6], [1]). В работе [6] Барановский доказывает эти свойства дуальной ячейки $D(K)$, называя ее первичным элементом. Напомним, что ${\mathcal L}(L)={\mathcal L}=\{l_K\colon K\in{\mathcal K}(P)\}$ есть множество всех контактных векторов решетки $L$. Множество ${\mathcal L}$ образует еж векторов с началом в нуле. Выпуклые оболочки вида (3.1) векторов ежа образуют звезду ${\mathcal Z}(L)$ дуальных ячеек. Каждая дуальная ячейка входит в звезду ${\mathcal Z}(L)$ столько раз, сколько у нее вершин. Между векторами ежа существуют линейные зависимости вида где $Q\subseteq{\mathcal K}$ есть некоторое минимальное по включению множество контактных граней, для которых справедливо равенство (3.1).Определение 1. Линейная зависимость (3.1) между контактными векторами называется полезной, если пересечение $\bigcap_{K\in Q}K=G\neq \varnothing$ есть не пустая грань параллелоэдра $P$. Это определение показывает, что полезная зависимость существует только для векторов, содержащихся в некоторой дуальной ячейке $D(G)$. Предположим, что параллелоэдр $P$ есть ДВ-ячейка $P_L$ с описанием (2.1). Тогда для любой точки $x\in K$ его контактной грани $K\in{\mathcal K}$ справедливо равенство Предложение 2. Из полезной линейной зависимости (3.1) между контактными векторами ДВ-ячейки $P_L$ вытекает равенство Доказательство. Так как зависимость (3.1) полезна, пересечение $\bigcap_{K\in Q}K=G$ есть не пустая грань. Поэтому для любой точки $x\in G$ и любой грани $K\in Q$ справедливо равенство (3.2). Умножая это равенство на $\mu_K$, затем суммируя по всем $K\in Q$ и учитывая равенство (3.1), получаем искомое равенство (3.3). Очевидно, что с каждым вектором $l\in{\mathcal L}(L)$ еж ${\mathcal L}(L)$ содержит и противоположный вектор $-l$. Исключая тривиальную зависимость $l+(-l)=0$, не являющуюся полезной, минимальная полезная зависимость содержит по крайней мере 3 вектора, т.е. $|Q|\geqslant 3$. Примеры зависимостей с $|Q|=3$ дают дуальные ячейки $D(K)$ контактных граней $K$: $l+l^*=l_K$. Доказательство. Действительно, для любой пары $l$, $l^*$ противоположных вершин дуальной ячейки $D(K)$ справедливо полезная зависимость $l+l^*=l_K$. Соответственно, пара $l$, $-l^*$ содержится в такой дуальной ячейке $D(K')$, что $l+(-l^*)= l_{K'}$ есть полезная зависимость. Согласно предложению 2 эти зависимости влекут равенства $l^2+(l^*)^2=l_K^2$ и $l^2+(-l^*)^2=l_{K'}^2$. Отсюда вытекает равенство $l_K^2= l_{K'}^2$. Иногда удобно выражать векторы решетки $L$ не в некотором базисе, а в порождающем множестве ${\mathcal L}_S=\{l_s\colon s\in S\}$, содержащем $|S|>n$ векторов, где $n$ есть размерность решетки. (см., например, решетку $E_6^*$, рассмотренную ниже). В этом случае между векторами $l_s$ есть зависимости вида $\sum_{s\in T}\beta_sl_s=0$. Умножая это равенство на $l_t$, получаем следующее уравнение для коэффициентов матрицы $A$
$$
\begin{equation}
\sum_{s\in T}\beta_s\langle l_t,l_s\rangle=0 \qquad\text{для любого}\quad l_t\in {\mathcal L}_S.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Назовем такие уравнения тривиальными. Пусть фиксирован базис ${\mathcal E}^n$ и векторы $l\in L$ рассматриваются в этом базисе. При выражении векторов решетки $L$ в этом базисе уравнения (3.3) и (3.4) становятся уравнениями, где неизвестными являются коэффициенты $a_{ij}$ матрицы Грама $A$ базиса ${\mathcal E}^n$. Эти однородные уравнения определяют в пространстве ${\mathbb R}^{n(n+1)/2}$ всех $n\times n$ симметричных матриц подпространство $M(L)$. Если все дуальные ячейки решетки $L$ суть симплексы, т.е. если решетка $L$ примитивна, то нет никаких полезных зависимостей. В этом случае пространство $M(L)$ совпадает с пространством ${\mathbb R}^{n(n+1)/2}$ всех $n\times n$ симметричных матриц. Дадим следующие определения. Определение 2. Множество контактных векторов ${\mathcal L}(L)$ называется $C$-экстремальным, если система уравнений (2.2), рассмотренная для всех классов четности, определяет одномерное пространство $M(L)$. Определение 3. Множество контактных векторов ${\mathcal L}(L)$ называется экстремальным, если определяемое им пространство $M(L)$ одномерно. Согласно лемме 2 $C$-экстремальное множество экстремально. Определение 4. Решетка $L$ называется жесткой, если ее множество контактных векторов ${\mathcal L}(L)$ экстремально. Нетрудно убедиться, что это определение жесткости решетки эквивалентно определениям, данным в работах [7] и [2]. В работе [7] приведены 7 жестких пятимерных решеток. Напомню, что каждая дуальная ячейка $D$ содержит множество контактных векторов ${\mathcal L}(D)$. Уравнения (3.3), рассмотренные для всех зависимостей между контактными векторами $l\in{\mathcal L}(D)$, определяют подпространство матриц, которое обозначим через $M(D)$. Это определение согласуется с определением 15.1.1 экстремальной дуальной ячейки, данное в гл. 15 книги [8], поскольку, как показано в [7], существует соответствие между зависимостями коэффициентов матрицы Грама и зависимостями между элементами гиперметрик. Экстремальными дуальными ячейками являются хорошо известные многогранники Шлефли и Госсета, см., например, [3], [8]. 4. Жесткость корневой решетки $D_n$Обозначим через ${\mathcal B}^n= \{b_i\colon i\in N\}$ ортонормированный базис, где $N$ есть множество индексов мощности $|N|=n$. Корневая решетка $D_n$ порождается системой корней
$$
\begin{equation*}
{\mathbb D}_n=\bigl\{\pm b_i\pm b_J\colon 1\leqslant i<j\leqslant n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в базисе ${\mathcal B}^n$ векторы решетки $D_n$ имеют вид $\sum_{i\in N}z_ib_i$, где $z_i\in{\mathbb Z}$ суть целые числа и $\sum_{i\in N}z_i\equiv 0 \ (\operatorname{mod}2)$. В качестве полезного примера рассмотрим множество ${\mathcal L}(D^n)$ контактных векторов корневой решетки $D_n$. Я не нашел в литературе описание этого множества. Поэтому ниже дано его явное описание. Напомню, что ${\mathcal L}(D^n)= \bigcup_k{\mathcal L}_k$, где $1\leqslant k\leqslant 2^n-1$ и ${\mathcal L}_k$ есть множество контактных векторов одного $k$-го класса четности, а контактный вектор $l_K$ минимален по норме $l^2$ в своем классе четности. Ради удобства обозначений положим $b(S)=\sum_{i\in S}b_i$ для любого подмножества $S\subseteq N$. Назовем подмножество $S\subseteq N$ четным или нечетным, если его мощность $|S|$ четна или нечетна, соответственно. Несложные вычисления показывают, что для $n\geqslant 4$ в базисе ${\mathcal B}^n$ множества ${\mathcal L}_k\subset{\mathcal L}(D^n)$ контактных векторов одного класса четности суть следующие множества: и для целого $k$ в границах $1\leqslant k\leqslant [n/2]$ и четного множества $Y\subseteq N$
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}_{2k}(Y)=\bigl\{b(Y)-2b(S)\colon \varnothing\subseteq S\subseteq Y\subseteq N,\text{ множество }S\text{ четно},\, |Y|=2k\bigr\},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}_{2k+1}(Y)=\bigl\{b(Y)-2b(S)\colon S\subseteq Y\subseteq N,\text{ множествo }S\text{ нечетнo},\, |Y|=2k\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Здесь для $k=1$, когда $|Y|=2$, множества ${\mathcal L}_2(Y)$ и ${\mathcal L}_3(Y)$ соответствуют простым классам четности. Они состоят из фасетных векторов вида $\pm(b_i+b_j)$ и $\pm(b_i-b_j)$, соответственно. Это суть корни корневой системы ${\mathbb D}_n$. Докажем жесткость решетки $D_n$ для всех $n\geqslant 4$. Ее жесткость будет следовать из доказанного ниже предложения 3 и определений 2 и 4. Предложение 3. Множество ${\mathcal L}(D^n)$ контактных векторов корневой решетки $D^n$ $C$-экстремально для $n\geqslant 4$. Доказательство. Рассмотрим уравнения (2.2) для следующих сложных классов четности контактных векторов решетки $D_n$: класс ${\mathcal L}_1$, см. (4.1), классы ${\mathcal L}_4(Y)$, см. (4.2), и ${\mathcal L}_5(Y)$, см. (4.3).
Положим $a_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle$. Уравнения (2.2) для $c,c'\in{\mathcal L}_1$ дают равенства $a_{ii}=\alpha$ для всех $i\in N$ и некоторого $\alpha>0$. Уравнения (2.2), рассмотренные для всех пар $c,c'\in{\mathcal L}_q(Y)$ и всех $Y\subseteq N$ мощности $|Y|=4$, где $q=4,5$, дают равенства $a_{ij}=0$ для всех пар $i,j\in N$, где $i\neq j$. Получили, что уравнения (2.2) влекут равенство $A=\alpha I$, т.е. получили доказываемое утверждение. 5. Решетка $E_6^*$В пространстве ${\mathbb R}^6$ рассмотрим семейство из 9 векторов $a_i$, $b_i$, $c_i$, где $i\in N_3=\{1,2,3\}$, со следующими скалярными произведениями:
$$
\begin{equation}
t_i^2=\frac{2}{3}, \quad \langle t_i,t_j\rangle=-\frac{1}{3}, \quad\langle t_i,s_j\rangle=\langle t_i,s_i\rangle=0 \qquad\text{для всех}\quad i,j\in N_3, \quad i\neq j,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $t,s\in\{a,b,c\}$ и $t\neq s$. Так как для каждого $t\in\{a,b,c\}$ сумма $\sum_{i\in N_3}t_i=0$, множество ${\mathcal E}_t=\{t_1,t_2,t_3\}$ есть двумерный правильный репер Зеллинга. Плоскости разных реперов попарно ортогональны и начало 0 есть общая точка их пересечения. Шесть векторов, взятые по паре из каждого репера, образуют базис пространства ${\mathbb R}^6$. Именно в таком базисе рассматривается решетка $E_6^*$ в работе [9]. Пусть $\{e_i\colon i\in N_6\}$, где $N_6=\{1,2,3,4,5,6\}$, есть один из этих базисов. Тогда векторы решетки $E_6^*$ имеют вид $\sum_{i\in N_6}y_ie_i$, где $y_i$ суть такие целые числа, что $\sum_{i\in N_6}y_i\equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$ (см. [9]). Это есть решетка, дуальная корневой решетке $E_6$. В таблице 1 ниже приведены все (с точностью до знака) ненулевые контактные векторы решетки $E_6^*$, представленные в виде линейных комбинаций введенных выше векторов $t_i$. Напомню, что сумма коэффициентов этих комбинаций должна быть кратна 3. Это суть 27 векторов нормы $4/3$ первой строки таблицы 1. В двух остальных строках таблицы 1 представлены (с точностью до знака) 36 векторов нормы 2, являющиеся корнями классической системы корней ${\mathbb E}_6$. Все эти векторы принадлежат разным классам четности. Отсюда следует, что все 63 ненулевые классы четности решетки $E_6^*$ простые, а контактные векторы суть фасетные векторы. См. также [6], где решетка $E_6^*$ обозначена как $\Gamma^6_4$. Таблица 1.Фасетные векторы решетки $E^*_6$
Здесь $n_c$ есть число разных с точностью до знака векторов данного вида. Обозначим через ${\mathcal M}$ множество из 27 пар противоположных векторов $\pm(t_i-s_j)$ первой строки таблицы 1, а через ${\mathcal M}_0$ множество из 27 векторов вида $a_i-b_j$, $b_i-c_j$, $c_i-a_j$ для всех 9 неупорядоченных пар $i,j\in N_3$, где возможно равенство $i=j$. Тогда ${\mathcal M}={\mathcal M}_0\cup(-{\mathcal M}_0)$. Множество ${\mathcal M}_0$ обладает замечательным свойством, а именно, скалярное произведение любых двух разных его векторов принимает лишь два значения $1/3$ и $-2/3$. Пусть $T\subset{\mathcal M}_0$ и $T'\subset(-{\mathcal M}_0)$ суть такие подмножества мощности 3, что $\langle p,p'\rangle=\langle q,q'\rangle=1/3$ для всех пар $p,p'\in T$ и $q,q'\in T$. В [9] показано, что вершины ДВ-ячейки $P(E_6^*)$ решетки $E_6^*$ суть точки вида
$$
\begin{equation}
v(T)=\frac{1}{3}\sum_{p\in T}p=\frac{1}{3}\sum_{q\in T'}p=\frac{1}{3}(r_1+r_2), \qquad\text{где}\quad T\subset{\mathcal M}_0,T'\subset(-{\mathcal M}_0), \quad r_1,r_2\in{\mathbb E}_6.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Нетрудно проверить, что второе равенство в (5.2) возможно только, если справедливы равенства $\langle p,q\rangle=2/3$ для всех 9 пар $p\in T$, $q\in T'$. Это значит, что $p-q\in{\mathcal M}$. Кроме того, $r_1,r_2\in{\mathbb E}_6$ суть 2 таких корня, что $\langle r_1,r_2\rangle=1$ и $p-r_k,q-r_k\in{\mathcal M}$ для всех $p\in T$, $q\in T'$ и $k=1,2$. Очевидно, что $(\sum_{p\in T}p)^2=(r_1+r_2)^2=6$, т.е. $\sum_{p\in T}p$ и $r_1+r_2$ суть 2 вектора решетки $E_6^*$ нормы $l_6^2=6$. Как отмечено в [3], все вершины ДВ-ячейки $P(E_6^*)$ суть точки вида $(1/3)l_6$ для всех векторов $l_6\in E_6^*$ нормы $l_6^2=6$. Выпуклая оболочка 8-ми векторов множества $\{p_i,q_i\colon i\in N_3\}\cup\{r_1,r_2\}$ есть дуальная ячейка $D(v)$ вершины $v=v(T)$. Ради удобства введем обозначения для любых $t,s\in\{a,b,c\}$ и $i,j\in N_3$. Кроме того, зависимости $\sum_{i\in N_3} t_i=0$ для всех $t\in\{a,b,c\}$, влекут тривиальные зависимости между $t_is_j$. Например, Для $s=t$ введем еще одно обозначение: $t_it_j=t_{ij}$ для всех $t\in\{a,b,c\}$. Введем также обозначение
$$
\begin{equation}
\gamma(t)=\sum_{i\in N_3}t_{ii}, \qquad\text{где}\quad t\in\{a,b,c\}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Напомню, что для любого $t\in\{a,b,c\}$ справедливо равенство $t_i+t_j+t_k=0$, где $\{i,j,k\}=N_3$. Умножая его последовательно на $t_i$, $t_j$ и $t_k$ и вспоминая, что $\langle t_i,t_j\rangle= t_it_j=t_{ij}$, получаем тривиальные равенства
$$
\begin{equation*}
t_{ii}+t_{ij}+t_{ik}=0, \qquad t_{ij}+t_{jj}+t_{jk}=0, \qquad t_{ik}+t_{jk}+t_{kk}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Складывая первое и второе равенства, а затем вычитая третье и используя значение $\gamma(t)$ из (5.4), получаем равенство справедливое для всех троек $i$, $j$, $k$ попарно не равных индексов.
6. Жесткость решетки $E_6^*$Предположим, что фасетные векторы решетки выражены через 9 векторов $t_i$ так, как показано в таблице 1, и эти векторы удовлетворяют равенства $\sum_{i\in N_3}t_i=0$, т.е. любые шесть векторов, взятые по паре из каждого репера, образуют базис пространства ${\mathbb R}^6$. Покажем, что матрица Грама любого из этих базисов определяется однозначно с точностью до положительного множителя. Согласно предложению 2 из линейных зависимостей (5.2) между фасетными векторами ДВ-ячейки $P(E^*_6)$ вытекают равенства
$$
\begin{equation}
\frac{1}{6}\sum_{p\in T}p^2=\frac{1}{6}\sum_{q\in T'}q^2= \frac{1}{6}(r_1^2+r_2^2).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Доказательство. Достаточно показать, что система уравнений (6.1), рассмотренная для всех вершин $v$ ДВ-ячейки $P(E_6^*)$, имеет с точностью до множителя $\alpha>0$ единственное решение, а именно, скалярные произведения векторов $t_i$ с точностью до положительного множителя удовлетворяют условия (5.1).
Для фиксированного $i\in N_3$ рассмотрим следующие две тройки векторов:
$$
\begin{equation}
T=\{a_i-b_j\colon j\in N_3\}\subset{\mathcal M}_0, \qquad T'=\{a_i-c_j\colon j\in N_3\} \subset -{\mathcal M}_0
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
и два корня $r(a,i,j)=a_i-a_j$ и $r(a,i,k)=a_i-a_k$. В этом случае равенства (5.2) дают $v(T)=a_i$. Все остальные вершины ДВ-ячейки $P(E_6^*)$ получаются из вершины $a_i$ применением элементов группы симметрий решетки $E_6^*$.
Применим уравнения (6.1) к случаю (6.2), когда $p=a_i-b_j$, $q=a_i-c_j$ для всех $j\in N_3$ и $r_1=a_i-a_j$, $r_2=a_i-a_k$. Вспомним тривиальные равенства (5.3), которые в нашем случае имеют вид $\sum_{j\in N_3}a_ib_j=\sum_{j\in N_3}a_ic_j=0$. Уравнения (6.1) принимают вид
$$
\begin{equation}
\sum_{j\in N_3}(a_{ii}+b_{jj})=\sum_{j\in N_3}(a_{ii}+c_{jj}) = 2a_{ii}+a_{jj}+a_{kk}-2(a_{ij}+a_{ik}).
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
В частности, вспоминая обозначение (5.4), отсюда получаем $\gamma(b)=\gamma(c) =\gamma$. Симметрия по перестановкам множества $\{a,b,c\}$ дает $\gamma(a)=\gamma$. Остальные равенства, выводимые из равенств (6.3) тривиальны.
Группа симметрий решетки $E_6^*$ содержит перестановки как множества $N_3=\{1,2,3\}$, так и множества $\{a,b,c\}$. Кроме того, решетка $E_6^*$ инвариантна относительно действия группы отражений, определяемых корнями $r\in{\mathbb E}_6$. Отражение $s_r(l)$ вектора $l\in E_6^*$ определяется как Рассмотрим отражения использованных выше векторов $p=a_i-b_k$, $q=a_i-c_k$ для всех $k\in N_3$ и $r_1=a_i-a_j$, $r_2=a_i-a_k$ относительно корня $r=a_i+b_j+c_k$. Учитывая равенства (5.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{|l|l|l|} \hline s_r(a_i-b_i)=b_k-c_k, & s_r(a_i-c_i)=c_j-b_j, &s_r(a_i-a_j)=-(a_j+b_j+c_k) \\ s_r(a_i-b_j)=a_i-b_j, & s_r(a_i-c_j)=c_i-b_j, &s_r(a_i-a_k)=-(a_k+b_j+c_k) \\ s_r(a_i-b_k)=b_i-c_k, & s_r(a_i-c_k)=a_i-c_k. & \\ \hline \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом получаем равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{p\in T}p^2 &=a_{ii}+b_{ii}+b_{jj}+b_{kk}+2c_{kk}-2(a_ib_j+b_ic_k+ b_kc_k) \\ &= a_{ii}+\gamma+2c_{kk}+2(b_jc_k-a_ib_j), \\ \sum_{q\in T}q^2 &=a_{ii}+2b_{jj}+c_{ii}+c_{jj}+c_{kk}-2(a_ic_k+b_jc_i+b_jc_j) \\ &=a_{ii}+2b_{jj}+\gamma+2(b_jc_k-a_ic_k), \\ \sum_{i=1,2}r_i^2 &=a_{jj}+a_{kk}+2(b_{jj}+c_{kk})+2(a_jb_j+a_jc_k+2b_jc_k)+ a_kb_j+a_kc_k \\ &=\gamma-a_{ii}+2(b_{jj}+c_{kk})+2(-a_ib_j-a_ic_k+2b_jc_k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство $\sum_{p\in T}p^2=\sum_{q\in T}q^2$ дает Равенства вида $\sum_{p\in T}p^2=\sum_{i=1,2}r_i^2$ дают равенства, аналогичные равенству (6.4), т.е. получаемое перестановками множеств $N_3$ и $\{a,b,c\}$.
Суммируя равенство (6.4) по всем $i\in N_3$ и учитывая равенства (5.3), получаем равенства Суммируя здесь второе равенство по всем $k\in N_3$, получаем $a_ib_j=0$. Симметрия по перестановкам множеств $N_3$ и $\{a,b,c\}$ показывает, что величины $t_{ii}$ и $t_is_j$, где $t\neq s$ и $i\neq j$, не зависят как от $i,j\in N_3$, так и от $t,s\in\{a,b,c\}$. Поэтому $t_is_j=0$, если $s\neq t$ и $i\neq j$. Так как, согласно (5.3), $\sum_{i\in N_3}t_is_j=-(t_k+t_j)s_j=0$, то отсюда, учитывая, что $t_ks_j=0$, получаем, что $t_js_j=0$, если $s\neq t$.Теперь, учитывая, что $\gamma(t)=\gamma=3t_{ii}$ не зависит от $t$, равенства (5.5), т.е. равенства $2t_{kk}=\gamma+2t_{ij}$, влекут равенства
$$
\begin{equation*}
t_{ii}=\frac{1}{3}\gamma \quad\text{и}\quad t_{ij}=-\frac{1}{6}\gamma \qquad\text{если}\quad i\neq j \quad\text{для всех}\ \ t\in\{a,b,c\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечу, что $t_{ii}>0$, так как $t_{ii}=t_i^2$. Вспоминая, что произведения $t_is_j=0$, для любых $i,j\in N_3$, если $s\neq t$, видим что скалярные произведения векторов $t_i$ с точностью до множителя $\gamma/2>0$ удовлетворяют условия (5.1). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gri23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|