Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 2, страницы 306–311 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14006 (Mi mzm14006)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14006

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	20-01-00497
Данная работа была проделана при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 20-01-00497).

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages 265–270
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070271

Реферативные базы данных:

В связи с задачей описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей пространства $\mathbb C^4$ ниже обсуждается вопрос о 3-мерных орбитах 4-мерных линейных представлений одной алгебры Ли, а именно, 3-мерной алгебры Гейзенберга. Трубчатые поверхности в $\mathbb C^4$ над такими орбитами дают примеры голоморфно однородных гиперповерхностей; основной вопрос данного сообщения связан с поисками новых примеров и классификацией однородных поверхностей в терминах связанных с ними алгебр Ли.

Одна из возможных схем изучения подобных вопросов разработана в [1], [2]. В частности, в [1] получено большое количество новых орбит 3-мерных абелевых подалгебр Ли алгебры $\mathrm{gl}(4,\mathbb R)$, не сводимых друг к другу матричными подобиями; в [2] изучены орбиты линейных представлений в $\mathbb R^4$ разложимой 3-мерной алгебры Ли $g_2\oplus g_1$.

Многие из орбит полученных подалгебр $\mathrm{gl}(4,\mathbb R)$ являются линейно (и аффинно) однородными гиперповерхностями в $\mathbb R^4$, нетривиальными в смысле работы [3], т.е. отличными от цилиндрических поверхностей и поверхностей второго порядка.

Основной результат настоящего сообщения составляет следующее утверждение.

Доказательство этого результата проводится в рамках схемы работ [1], [2], которая может оказаться полезной при изучении других алгебр Ли и их нетривиальных орбит. В связи с этим в заметке приводится полный список возможных жордановых нормальных форм для вещественных матриц 4-го порядка.

Разумеется, подходы к изучению однородных многообразий и их обобщений (см., например, [4]) могут быть самыми разнообразными. При этом матричные вычисления с конкретными матрицами (реализуемые в том числе с помощью пакетов символьной математики) остаются простым и достаточно эффективным инструментом (см., например, [5]). Это относится как к вопросам об однородности, изучаемым в настоящей заметке, так и к относительно новым задачам, связанным с матрицами “больших” размеров (см. [6]).

1. Схема изучения 4-мерных представлений 3-мерных алгебр Ли

Напомним, что 3-мерная алгебра Гейзенберга описывается в некотором базисе следующими тремя коммутационными соотношениями

Мы начинаем рассмотрение линейных представлений этой алгебры Ли в пространстве $\mathbb R^4$ с матрицы $e_3$, считая ее заданной своей жордановой нормальной формой (ЖНФ). Далее в соответствии с формулами (1) предлагается выяснить вид матриц $e_1$, $e_2$, коммутирующих с матрицей $e_3$, имеющей фиксированную ЖНФ. Отметим, что решение такой задачи (задачи Фробениуса) для матриц любого порядка описано в [8]. Завершением схемы является уточнение итоговой информации о базисной тройке матриц $e_1,e_2,e_3$, вытекающей из коммутационного соотношения $[e_1,e_2]=e_3$, и получение выводов о возможных нетривиальных орбитах у изучаемых представлений.

Уточним, что интересующие нас матричные подалгебры Ли алгебры $\mathrm{gl}(4,\mathbb R)$ можно рассматривать как алгебры линейных векторных полей, сопоставляя каждой матрице $(a_{jk})$ векторное поле $Z=\sum_{j,k=1}^4a_{jk}x_k\partial/\partial x_j$ в пространстве $\mathbb R^4$.

Орбитой алгебры Ли $g$, проходящей через точку $Q\in\mathbb R^4$, называется интегральное многообразие этой алгебры. Если в точке $Q$ значения полей 3-мерной алгебры $g$ образуют 3-мерное подпространство $\mathbb R^4$, существование и трехмерность орбиты $\Gamma$ такой алгебры гарантируются известной теоремой Фробениуса. В координатах такую орбиту можно задать уравнением $\Gamma=\{\Phi(x_1,x_2,x_3,x_4)=0\}$, где $\Phi$ – некоторая аналитическая функция, имеющая ненулевой градиент в точке $Q$ и удовлетворяющая условиям $e_k(\Phi)|_\Gamma=0$ для базисных полей $e_k$, $k=1,2,3$, обсуждаемой алгебры.

Начальным шагом описанной выше схемы является фиксация ЖНФ для матрицы $e_3$. Перебор случаев, связанных с количеством различных (вещественных и комплексных) собственных значений у матрицы 4-го порядка $M$ и с наличием у нее (или у ее комплексификации $M^{\mathbb C}$) присоединенных векторов, приводит к следующему утверждению.

2. Доказательство основного результата

С учетом предложения 1 описанную выше схему изучения представлений алгебры Гейзенберга достаточно рассмотреть для 20 перечисленных типов матриц $e_3=M^{(k)}$. Мы покажем, что ни один из таких типов не допускает алгебр требуемой структуры, имеющих нетривиальные орбиты в $\mathbb R^4$.

Отметим, что для многих из этих типов обозначенная схема допускает упрощения. Соображениями, вытекающими из коммутационных соотношений (1) и приводящими (для отдельных типов) к таким упрощениям, являются, например, следующие:

• 1) равенство нулю следа матрицы $e_3$;
• 2) коммутирование матриц $e_1$, $e_2$;
• 3) наличие единственного ненулевого элемента в матрице $e_3$.

Разобьем 20 возможных типов ЖНФ матрицы $e_3=M^{(k)}$ на четыре группы и рассмотрим использование этих соображений на примере первой из групп.

Группа 1: простейшие случаи $k=1,2,3,4,5,7,8,10,11$. Для матрицы $M^{(1)}$ с простым спектром любая коммутирующая с ней матрица также является диагональной в силу известных утверждений линейной алгебры. Но тогда коммутатор $[e_1,e_2]$ является нулевым, что невозможно для базисной матрицы $e_3=[e_1,e_2]$.

Нулевой след скалярной матрицы $e_3=M^{(10)}$ означает, что эта базисная матрица обсуждаемой алгебры является нулевой. Для матрицы $e_3=M^{(11)}$ требование нулевого следа означает, что в ней содержится единственный ненулевой элемент. В этом случае все орбиты обсуждаемых алгебр могут быть только тривиальными в силу замечания 1.

Несколько более тонкие ситуации возникают в случаях $e_3=M^{(2)}$ и $e_3=M^{(5)}$. Общий вид матриц $N^{(2)}$ и $N^{(5)}$, коммутирующих с $M^{(2)}$ и $M^{(5)}$ соответственно, наследует, как несложно убедиться, их блочно-диагональную структуру:

Заметим, что блочная структура матриц $e_1$, $e_2$ таких видов сохраняется у коммутатора $e_3=[e_1,e_2]$. В случае $e_3=M^{(2)}$ это означает равенство нулю левого верхнего $(2\times 2)$-блока у матрицы $e_3$. В частности, оказываются равными $\lambda_1$ и $\lambda_2$ в противоречии с начальным условием на $e_3=M^{(2)}$. А в случае $e_3=M^{(5)}$ оказываются нулевыми следы как верхнего, так и нижнего $(2\times 2)$-блоков матрицы $e_3$, что снова приводит к противоречивому равенству $\lambda_1=\lambda_2=0$.

Аналогичными соображениями приводятся к тому же равенству $\lambda_1=\lambda_2=0$ случаи $e_3=M^{(3)}$ и $e_3=M^{(4)}$. Так же с опорой на блочную структуру матриц, коммутирующих с $e_3=M^{(7)}$ (диагональные блоки порядков 3 и 1) и $e_3=M^{(8)}$ (два диагональных блока порядка 2), получаем в этих случаях равенство $\lambda_2=0$. Затем в силу условия $\operatorname{tr}(e_3)=0$ приходим к тому же противоречию $\lambda_1=\lambda_2=0$.

Группа 2: матрицы $ M^{(6)}$, $M^{(9)}$, $M^{(14)}$ с жордановыми клетками. Эти случаи также оказываются противоречивыми в силу уже описанных соображений и использования двух следующих замечаний.

В каждом из трех названных случаев матрица $e_3=[e_1,e_2]$ оказывается нулевой.

Группа 3: матрицы $ M^{(15)}$, $M^{(16)}$, $M^{(17)}$, $M^{(18)}$. Случаи $e_3=M^{(k)}$, при $k=15,16,17$, связанные с наличием у матрицы $e_3$ лишь одной пары комплексно сопряженных собственных значений, также противоречивы. Здесь диагонально-блочная структура $e_3$ обеспечивает аналогичную структуру у любой коммутирующей с ней матрицы с аналогичным правым нижним $(2\times 2)$-блоком вида

Из коммутирования таких $(2\times 2)$-блоков, содержащихся в $e_1$, $e_2$, следует вывод о нулевом нижнем блоке у матрицы $e_3$ и, в частности, о запрещенном равенстве $a_2=0$.

К этим трем случаям можно добавить еще случай $e_3=M^{(18)}$ с двумя разными парами комплексно-сопряженных собственных значений у этой матрицы. Матрица, коммутирующая с $M^{(18)}$, является блочно-диагональной с двумя $(2\times 2)$-блоками вида (3). Любые две матрицы $e_1$, $e_2$ такого вида перестановочны, что приводит к противоречивому равенству $e_3=[e_1,e_2]=0$ в этом случае.

Группа 4: особые случаи $ M^{(12)}$, $M^{(13)}$, $M^{(19)}$, $M^{(20)}$. Наиболее тонкие обсуждения и вычисления связаны с оставшимися четырьмя случаями $e_3=M^{(k)}$, при $k=12,13,19,20$. У каждой из этих матриц имеется по два диагональных блока, отвечающих кратным (вещественным или комплексным) собственным значениям. Вычисления, которые мы опускаем, приводят к следующему утверждению.

В качестве примера такого представления можно привести тройку базисных матриц $e_1=E_{13}$, $e_2=E_{32}$, $e_3=E_{12}$, каждая из которых содержит лишь по одному ненулевому (равному 1) элементу в позициях $(1,3)$, $(3,2)$ и $(1,2)$ соответственно. Трехмерные орбиты этого представления, поверхности с уравнениями $F(x_2,x_4)=0$, являются тривиальными гиперповерхностями в соответствии с доказанной теоремой.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Б. М. Даринский, А. В. Лобода, Материалы междунар. научной конф. ВЗМШ–2022, Изд. дом ВГУ, Воронеж, 2022, 147–150
2.	Р. С. Акопян, Б. М. Даринский, А. В. Лобода, Материалы междунар. научной конф. УОМШ–2022, т. 1, РИЦ БашГУ, Уфа, 2022, 88–90
3.	Н. П. Можей, Изв. вузов. Матем., 2000, № 7, 41–52
4.	В. В. Горбацевич, Матем. заметки, 109:5 (2021), 691–704
5.	А. В. Лобода, Т. Т. З. Нгуен, Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Сборник статей, Труды МИАН, 279, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2012, 102–119
6.	Я. Н. Шитов, Матем. заметки, 110:6 (2021), 954
7.	F. Hindeleh, G. Thompson, Algebras Groups Geom., 25:3 (2008), 243–265
8.	Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Наука, М., 1966

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AkoDar23}
\by Р.~С.~Акопян, Б.~М.~Даринский
\paper Об орбитах 4-мерных представлений 3-мерной алгебры Гейзенберга
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 2
\pages 306--311
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14006}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14006}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 2
\pages 265--270
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070271}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168594567}