On the Kernel of the Affine Dirac Operator

Рассмотрим конечномерную полупростую алгебру Ли $\mathfrak g$ с невырожденной инвариантной билинейной формой $(\cdot,\cdot)$. Рассмотрим эллиптический элемент $\sigma$ алгебры Ли $\mathfrak g$ и ее $\sigma$-инвариантную подалгебру $\mathfrak a$, ограничение на которую билинейной формы $(\cdot,\cdot)$ невырождено. Рассмотрим ассоциированные аффинные алгебры Ли $\widehat L(\mathfrak g,\sigma)$ и $\widehat L(\mathfrak a,\sigma)$ и $\sigma$-твистованный модуль Клиффорда $F^\sigma(\mathfrak p)$ над $\widehat L(\mathfrak a,\sigma)$, ассоциированный с ортогональным дополнением $\mathfrak p$ к $\mathfrak a$ в $\mathfrak g$. При некоторых предположениях на $\sigma$ и $\mathfrak a$ мы доказываем общую формулу для разложения ядра аффинного оператора Дирака, действующего на тензорном произведении неприводимого интегрируемого представления со старшим весом алгебры $\widehat L(\mathfrak g,\sigma)$ и $F^\sigma(\mathfrak p)$ на неприводимые представления алгебры $\widehat L(\mathfrak a,\sigma)$.
В качестве приложения мы выводим разложение всех неприводимых интегрируемых представлений уровня 1 ортогональных аффинных алгебр Ли, ограниченных на аффинизацию подалгебры изотропии произвольного симметрического пространства.