Нелокальная модель формирования рельефа под воздействием потока ионов. Неоднородные наноструктуры

Рассматривается новая математическая модель процесса формирования неоднородного рельефа на поверхности плоской пластинки под воздействием потока ионов, которая носит название нелокальной модели эрозии.
Данную математическую модель можно рассматривать как один из этапов в развитии детерминистских подходов при изучении соответствующего физико-технологического процесса. Основу этой модели составляет нелинейное эволюционное уравнение с частными производными с отклоняющимся пространственным аргументом, то есть уравнение из относительно нового класса функционально-дифференциальных уравнений. Для него рассмотрена обобщенная периодическая краевая задача.
Предложен механизм формирования наноструктур как процесса самоорганизации. Показана возможность формирования неоднородных структур при смене устойчивости у пространственно однородных состояний равновесия. Выявлены условия, при которых такая потеря устойчивости происходит на высоких модах, что приводит к рождению коротковолнового рельефа. Такой рельеф особенно актуален в наноэлектронике.
Для изучения поставленной задачи использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий): метод интегральных (инвариантных) многообразий, нормальных форм, асимптотические методы анализа локальных бифуркаций. В частности, получены асимптотические формулы для тех решений краевой задачи, которые описывают форму формируемого рельефа.
Приведены достаточные условия, при которых семейство таких решений формирует экспоненциальный локальный аттрактор. При этом оказалось, что все решения, принадлежащие этому аттрактору неустойчивы в смысле классического определения Ляпунова. В иной терминологии, они «чувствительны» к начальным условиям. В такой ситуации затруднено прогнозирование формы рельефа, который может быть описан в результате изучаемого физико-технологического процесса. Физики в аналогичных ситуациях, например, в гидродинамике, говорят о проявлении «слабой турбулентности» для данного динамического процесса.
Большинство результатов получено аналитически. Численный анализ был частично использован при изучении характеристического уравнения для точек спектра устойчивости у однородных состояний равновесия.