Восстановление оператора Коши–Римана по операторам комплексного интегрирования вдоль окружностей

Одним из хорошо известных интегральных условий голоморфности функции является следующая классическая теорема Г. Мореры: если функция $f:\mathcal{O}\to \mathbb{C}$ непрерывна в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{C}$ и имеет нулевые интегралы по всем спрямляемым контурам в $\mathcal{O}$, то $f$ голоморфна в $\mathcal{O}$. Этот факт допускает далеко идущие обобщения в разных направлениях. В частности, если непрерывная функция $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ имеет нулевые интегралы по всем окружностям фиксированных радиусов $r_1$ и $r_2$ в $\mathbb{C}$ и $r_1/r_2$ не является отношением положительных нулей функции Бесселя $J_{1}$, то $f$ голоморфна на всей комплексной плоскости (целая). Пример функции $\frac{\partial}{\partial {z}}\big(J_0(\lambda |z|)\big)$ при подходящем параметре $\lambda$ показывает, что это условие на $r_1/r_2$ опустить нельзя. В данной статье изучается задача о восстановлении производной $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$ по заданным контурным интегралам от $f$. Нашим основным результатом является теорема 4, которая дает новую формулу для нахождения $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$ в терминах интегралов от $f$ по окружностям с указанным выше условием. Ключевым шагом в доказательстве теоремы 4 является разложение дельта-функции Дирака по системе радиальных распределений с носителями в $\overline{B}_r$, биортогональной к некоторой системе сферических функций. Подобный подход можно использовать для обращения ряда операторов свертки с радиальными распределениями из $\mathcal{E}'(\mathbb{C})$.