Аннотация:
Ранее автором была введена непрерывная шкала монотонности
последовательностей (классы $M_\alpha$, $\alpha\ge 0$), где,
например, $M_0$ — множество всех неотрицательных
последовательностей, стремящихся к нулю, $M_1$ — это класс всех
невозрастающих последовательностей, стремящихся к нулю и т. д. При
этом удалось обобщить многие результаты о тригонометрических рядах
с монотонными и выпуклыми коэффициентами на более общие классы.
Основной результат данной статьи — это распространение известной
теоремы Харди–Литтлвуда на тригонометрические ряды с коэффициентами из классов $M_\alpha$, где $\alpha\in(\frac12,1)$. Точнее, справедлив такой результат.
Пусть $\alpha\in(\frac12,1)$, $\frac1\alpha<p<2$, последовательность $\mathbf a\in M_\alpha$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^p n^{p-2}<\infty$. Тогда ряд $\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx$ сходится на $(0,2\pi )$ к конечной функции $f(x)$ и $f(x)\in L_p(0,2\pi)$.
Ключевые слова:
ряды Фурье, обобщенно-монотонные коэффициенты, теорема Харди–Литтлвуда.
А. С. Белов, М. И. Дьяченко, С. Ю. Тихонов, “Функции с обобщенно монотонными коэффициентами Фурье”, УМН, 76:6(462) (2021), 3–70; A. S. Belov, M. I. Dyachenko, S. Yu. Tikhonov, “Functions with general monotone Fourier coefficients”, Russian Math. Surveys, 76:6 (2021), 951–1017
Dyachenko M., Mukanov A., Tikhonov S., “Hardy-Littlewood Theorems For Trigonometric Series With General Monotone Coefficients”, Studia Math., 250:3 (2020), 217–234
Dyachenko M. Mukanov A. Nursultanov E., “a Boas-Type Theorem For Alpha-Monotone Functions”, Math. Scand., 120:1 (2017), 39–58
Л. Н. Галоян, “О сходимости в метриках $L_p$ средних Чезаро для рядов Фурье с монотонными коэффициентами”, Изв. вузов. Матем., 2016, № 2, 24–30; L. N. Galoyan, “On a convergence in $L_p$ of the Cesaro means оf Fourier series with monotonic coefficients”, Russian Math. (Iz. VUZ), 60:2 (2016), 19–24
А. У. Бимендина, Е. С. Смаилов, “Коэффициенты Фурье–Прайса класса GM и наилучшие приближения функций в пространстве Лоренца $L_{p\theta}[0,1)$, $1<p<+\infty$, $1<\theta<+\infty$”, Функциональные пространства, теория приближений, смежные разделы математического анализа, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 293, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2016, 83–104; A. U. Bimendina, E. S. Smailov, “Fourier–Price coefficients of class GM and best approximations of functions in the Lorentz space $L_{p\theta}[0,1)$, $1<p<+\infty$, $1<\theta<+\infty$”, Proc. Steklov Inst. Math., 293 (2016), 77–98
Л. Н. Галоян, М. Г. Григорян, А. Х. Кобелян, “О сходимости рядов Фурье по классическим системам”, Матем. сб., 206:7 (2015), 55–94; L. N. Galoyan, M. G. Grigoryan, A. Kh. Kobelyan, “Convergence of Fourier series in classical systems”, Sb. Math., 206:7 (2015), 941–979
М. И. Дьяченко, Е. Д. Нурсултанов, “Теорема Харди–Литтлвуда для тригонометрических рядов с $\alpha$-монотонными коэффициентами”, Матем. сб., 200:11 (2009), 45–60; M. I. Dyachenko, E. D. Nursultanov, “Hardy-Littlewood theorem for trigonometric series with $\alpha$-monotone coefficients”, Sb. Math., 200:11 (2009), 1617–1631