Теорема Харди–Литтлвуда для тригонометрических рядов с обобщенно-монотонными коэффициентами

Ранее автором была введена непрерывная шкала монотонности последовательностей (классы $M_\alpha$, $\alpha\ge 0$), где, например, $M_0$ — множество всех неотрицательных последовательностей, стремящихся к нулю, $M_1$ — это класс всех невозрастающих последовательностей, стремящихся к нулю и т. д. При этом удалось обобщить многие результаты о тригонометрических рядах с монотонными и выпуклыми коэффициентами на более общие классы.
Основной результат данной статьи — это распространение известной теоремы Харди–Литтлвуда на тригонометрические ряды с коэффициентами из классов $M_\alpha$, где $\alpha\in(\frac12,1)$. Точнее, справедлив такой результат.
Пусть $\alpha\in(\frac12,1)$, $\frac1\alpha<p<2$, последовательность $\mathbf a\in M_\alpha$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^p n^{p-2}<\infty$. Тогда ряд $\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx$ сходится на $(0,2\pi )$ к конечной функции $f(x)$ и $f(x)\in L_p(0,2\pi)$.