Базисы перестановочно-инвариантных пространств

Доказано, что если $E$ — перестановочно-инвариантное пространство, то в $E$ существует ограниченно полный базис тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий: 1) $E$ максимально и $E\ne L_1[0, 1]$; 2) некоторая (всякая) ортонормированная система функций из $L_\infty[0,1]$, обладающих свойствами базиса Шаудера для пространства непрерывных на $[0,1]$ функций с нормой $L_\infty$, образует ограниченно полный базис в $E$. Как следствие получено утверждение: любая (некоторая) ортонормированная система функций из $L_\infty[0,1]$, обладающих свойствами базиса Шаудера для пространства непрерывных на $[0,1]$ функций с нормой $L_\infty$, образует натягивающий базис в сепарабельном перестановочно-инвариантном пространстве $E$ тогда и только тогда, когда сопряженное пространство $E^*$ сепарабельно. Доказано, что в любом сепарабельном перестановочно-инвариантном пространстве $E$ система Хаара образует либо безусловный, либо усиленно условный базис. Для того чтобы система Хаара была усиленно условным базисом в сепарабельном перестановочно-инвариантном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из индексов Бойда этого пространства был тривиальным.