С. В. Пчелинцев, “О тождествах модельных алгебр”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:6 (2023), 103–120; Izv. Math., 87:6 (2023), 1210

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

Известия Российской академии наук. Серия математическая

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2023, том 87, выпуск 6, страницы 103–120
DOI: https://doi.org/10.4213/im9395 (Mi im9395)

О тождествах модельных алгебр

С. В. Пчелинцев^ab

^a Санкт-Петербургский государственный университет
^b Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва

PDF полного текста (633 kB) PDF английской версии (622 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/im9395

Аннотация: Указана точная верхняя оценка для индекса нильпотентности коммутаторного идеала

$2$ -порожденной подалгебры произвольной модельной алгебры; эта оценка почти вдвое меньше, чем в случае произвольных Ли нильпотентных алгебр той же ступени. Найдены все тождества от двух переменных, выполняющиеся в модельной алгебре кратности

$3$ . Для любого

$m\geqslant 3$ в свободной Ли нильпотентной алгебре

$F^{(2m+1)}$ ступени

$2m$ указан ядерный многочлен наименьшей возможной степени. Доказано, что степень любого тождества модельной алгебры больше ее кратности.
Библиография: 13 наименований.

Ключевые слова: Ли нильпотентная алгебра, модельная алгебра, тождество от двух переменных, ядро алгебры.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-11-00081
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 22-11-00081).

Поступило в редакцию: 25.06.2022
Исправленный вариант: 28.08.2022

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 6, Pages 1210–1226
DOI: https://doi.org/10.4213/im9395e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.552.4+512.572

MSC: 16R10, 16R40

§ 1. Введение

Пусть $\Phi$ – бесконечное поле характеристики, отличной от 2. Всюду ниже, если не оговорено противное, рассматриваются только ассоциативные унитальные $\Phi$ -алгебры. Введем следующие обозначения:

$F$ – свободная $\Phi$ -алгебра над счетным множеством $X = {\{x_1,x_2,\dots}\}$ свободных порождающих; $[x_1,\dots,x_{n}]$ – правонормированный коммутатор степени $n\geqslant 2$ , т. е. $[x_1,x_2]=x_1 x_2 -x_2 x_1$ и по индукции $[x_1, \dots,x_n]=[[x_1,\dots,x_{n-1}],x_n]$ ; $T^{(n)}$ обозначает $T$ -идеал в $F$ , порожденный правонормированным коммутатором степени $n$ ; $\mathrm{LN}(n)\colon [x_1,\dots,x_n]=0$ – тождество Ли нильпотентности степени $n$ ; $F^{(n)}$ – относительно свободная алгебра с тождеством $\mathrm{LN}(n)$ ; $F^{(n)}_{r}$ – относительно свободная алгебра с тождеством $\mathrm{LN}(n)$ от $r$ свободных порождающих; $A'$ – коммутаторный идеал (коммутант) алгебры $A$ ; $Z(A)$ – центр $A$ ; $Z^*(A)$ – ядро $A$ (наибольший идеал алгебры $A$ , содержащийся в центре); если $T$ – идеал алгебры $F$ и $A$ – ассоциативная алгебра, то через $T(A)$ обозначается множество значений идеала $T$ в алгебре $A$ .

Алгебра называется Ли нильпотентной ступени $n-1$ , если она удовлетворяет тождеству $\mathrm{LN}(n)$ , но в ней не выполнено тождество $\mathrm{ LN}(n-1)$ .

Многочлен $p\in F$ называется собственным (proper), если он содержится в подалгебре, порожденной коммутаторами

$\begin{equation*} [x_1, x_2,\dots,x_m ],\quad \text{где }\ x_1,x_2,\dots,x_m \in X\ \text{ и }\ m\geqslant 2. \end{equation*} \notag$

Напомним понятие модельной алгебры, появившееся впервые в [1]. Обозначим через $E$ ассоциативную (унитальную) алгебру над полем $\Phi$ , заданную множеством порождающих $\{e_m, \theta_{i,j}\mid m, i,j \in \mathbb{N}, i\leqslant j\}$ и определяющими соотношениями $e_i \circ e_j = \theta_{ij}$ , $[\theta_{ij}, e_m] = 0$ , где $x\circ y = xy + yx$ – йорданово произведение элементов $x,y\in E$ . Заметим, что $e_i^2 = \frac{1}{2}\theta_{ii}$ , а также, что алгебра $E$ порождается элементами $\{e_m|m \in \mathbb{N}\}$ .

Обозначим через $\Theta$ идеал в $E$ , порожденный элементами $\theta _{ij}$ . Модельной алгеброй кратности $m$ называется факторалгебра $E^{(m)} = E/\Theta ^m$ . Заметим, что $E^{(1)}$ – алгебра Грассмана.

Первоначальная гипотеза, высказанная в [1], состояла в том, что алгебра $E^{(m)}$ порождает многообразие ассоциативных алгебр с тождеством $\mathrm{LN}(2m+1)$ в случае нулевой характеристики поля $\Phi$ .

Модельные алгебры играют важную роль при изучении свободных Ли нильпотентных алгебр. В [2] были указаны некоторые общие свойства модельных алгебр, а также доказано, что алгебры $F^{(2m+1)}$ при $m\geqslant 2$ содержат ненулевые ядерные элементы, которые являются тождествами модельной алгебры $E^{(m)}$ . В [3] и [4] доказано, что для алгебры $F^{(5)}$ верно и обратное утверждение. Кроме того, в этих работах был найден базис тождеств алгебры $E^{(2)}$ (сначала над полем характеристики $0$ , а затем и в общем случае, когда характеристика бесконечного поля отлична от $2$ и $3$ ).

Некоторые конечно порожденные подалгебры модельных алгебр рассматривались в [5]. Так, было доказано, что индекс нильпотентности коммутаторного идеала подалгебры $E_{2m+1}^{(m)}$ модельной алгебры $E^{(m)}$ , порожденной элементами $\{e_1,\dots,e_{2m+1}\}$ , равен $2m$ . Для $n\leqslant 7$ доказан более общий факт: индекс нильпотентности коммутанта алгебры $F_n^{(n)}$ равен $n-1$ . Там же была высказана гипотеза о справедливости этого утверждения для всех значений $n$ .

В данной работе изучаются модельные алгебры и их тождества, в частности, произвольные 2-порожденные подалгебры и тождества от 2-х переменных модельных алгебр. Работа состоит из 10 параграфов.

В § 2 указана точная верхняя оценка для индекса нильпотентности коммутаторного идеала $A'$ 2-порожденной подалгебры $A$ модельной алгебры $E^{(m)}$ ; она почти вдвое меньше, чем в случае 2-порожденных алгебр с тождеством $\mathrm{LN}(2m+1)$ (см. [6], [7]).

В § 3 доказано, что всякий собственный многочлен от двух переменных степени не ниже $7$ является тождеством алгебры $E^{(3)}$ .

В [2] были указаны ядерные элементы алгебр $F^{(n)}$ , $n \geqslant 4$ . Для четных $n$ ядерным элементом является коммутатор степени $n-1$ , для нечетных $n$ таким элементом является слабый элемент Холла степени $n$ . В § 4 для любого $m\geqslant 3$ указаны ядерные элементы алгебры $F^{(2m+1)}$ степени $2m$ . Таким образом, алгебры $F^{(n)}$ , $n \geqslant 4$ , $n\neq 5$ , содержат ядерные элементы степени $n-1$ ; это минимальная возможная степень ядерных элементов, поскольку многочлен степени не выше $n-2$ не является центральным. Отметим, что наименьшая степень ядерного элемента алгебры $F^{(5)}$ равна $5$ (см. [2]), а алгебра $F^{(3)}$ не содержит ядерных элементов.

Наконец, в этом параграфе указан ненулевой элемент $p\in F^{(7)}$ , который является тождеством модельной алгебры $E^{(3)}$ , но не является центральным элементом в $F^{(7)}$ . Таким образом, ядро алгебры $F^{(7)}$ не совпадает с идеалом тождеств алгебры $E^{(3)}$ . В этом параграфе формулируется гипотеза о ядре алгебры $F^{(2m+1)}$ , $m\geqslant 3$ .

В § 5 описаны коммутаторные тождества степени $6$ от двух переменных, выполняющиеся в алгебре $E^{(3)}$ . Доказано, что все они являются следствиями тождества $[a,b,b,b,[a,b]]=0$ (в § 8 этот результат переносится на произвольные собственные $2$ -тождества степени $6$ ).

В § 6 указана более простая алгебра $C^{(m)}$ , имеющая те же тождества, что и модельная алгебра $E^{(m)}$ .

В § 7 доказано, что модельная алгебра $E^{(3)}$ не имеет тождеств степени $5$ от двух переменных. Напомним, что модельная алгебра $E^{(2)}$ не имеет тождеств степени $4$ .

В § 8 доказано, что гипотеза о ядре алгебры $F^{(7)}$ справедлива для элементов от двух переменных. Пока неизвестно справедлива ли гипотеза о ядре в общем виде даже для алгебры $F^{(7)}$ .

Тем самым, получен ряд отрицательных ответов на вопросы, сформулированные в [2].

В § 9 доказывается, что не существует нетривиального тождества, выполняющегося во всех модельных алгебрах. Более того, показано, что модельная алгебра кратности $m$ не удовлетворяет тождеству степени $m$ .

Наконец, в § 10 формулируются открытые вопросы.

§ 2. $2$ -порожденные подалгебры модельных алгебр

Прежде чем переходить к основному содержанию, отметим три тождества, выполняющиеся в любой ассоциативной алгебре:

$\begin{equation} [xy,z]+[yz,x]+[zx,y]=0, \end{equation} \tag{2.1}$

$\begin{equation} [xy,z]=x[y,z]+[x,z]y, \end{equation} \tag{2.2}$

$\begin{equation} [x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0. \end{equation} \tag{2.3}$

Лемма 1. Если $p\in E$ и $p[x,y]\in \Theta^m$ для любых $x,y\in E$ , то $p\in \Theta^m$ .

Доказательство. Напомним (см. [2]), что алгебра

$E$ обладает аддитивным базисом из элементов

$\begin{equation} w=v(\theta _{kl})e_{i_1} \cdots e_{i_n}, \end{equation} \tag{2.4}$

где

$v(\theta _{kl})$ – стандартный нормированный ассоциативно-коммутативный одночлен от переменных вида

$\theta _{kl}$ , на которых введен лексикографический порядок, и

$1\leqslant i_1 <\dots<i_n$ .

Положим $\theta(w) = v$ и назовем его $\theta$ -коэффициентом элемента $w$ . Если элемент $q$ является линейной комбинацией элементов $w_k$ вида (2.4) и $q\in \Theta^m$ , то каждый из $\theta$ -коэффициентов $\theta(w_k)\in \Theta^m$ , значит, каждый $w_k\in \Theta^m$ .

Допустим, что $p=\sum_k \alpha_k w_k$ , где $\alpha_k\in \Phi$ , $w_k$ имеет вид (2.4). Допустим, что $p[x,y]\in \Theta^m$ для любых $x,y\in E$ . Выберем число $N$ , которое больше всех индексов $l$ таких, что $e_l$ входит в запись $p$ . Тогда элемент $p[e_N,e_{N+1}]$ является линейной комбинацией элементов $w_ke_Ne_{N+1}$ и $w_k\theta_{N,N+1}$ , причем $\theta$ -коэффициенты элементов $w_ke_Ne_{N+1}$ и $w_k$ совпадают, значит, $w_k\in \Theta^m$ для любого $k$ , т. е. $p\in \Theta^m$ . Лемма доказана.

Поскольку алгебра $F^{(2m+1)}$ имеет ненулевое ядро (см. [2]), то многообразие $\operatorname{var}(E^{(m)})$ , порожденное алгеброй $E^{(m)}$ , отличается от многообразия, заданного тождеством $\mathrm{LN}(2m+1)$ .

В этом параграфе мы покажем, что в модельной алгебре $E^{(m)}$ кратности $m$ индекс нильпотентности коммутанта любой $2$ -порожденной подалгебры почти в два раза меньше, чем в $2$ -порожденных алгебрах с тождеством Ли нильпотентности ступени $2m$ .

Теорема 1. Коммутант $2$ -порожденной подалгебры модельной алгебры $E^{(m)}$ кратности $m$ нильпотентен индекса не больше $m+1$ . Эта оценка точная, если $m$ нечетно, либо характеристика поля равна $0$ или не меньше $m/2$ при четном $m$ .

Доказательство. Покажем сначала, что указанная оценка является точной, т. е.

$[a,b]^m \neq 0$ для подходящих элементов

$a,b\in E^{(m)}$ .

Допустим, что $m = 2k+1$ . Пусть $w=[e_1,e_2]$ . Тогда имеем

$\begin{equation*} w = 2e_1e_2 - \theta _{12},\qquad 4e_1e_2e_1e_2 - 4e_1e_2\theta _{12}= -4e_1e_2e_2e_1=-\theta _{11}\theta _{22} \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} w^2 = (2e_1e_2 - \theta _{12})^2 = 4e_1e_2e_1e_2 - 4e_1e_2\theta _{12} + \theta _{12}^2 = \Delta, \end{equation*} \notag$

где

$\Delta = \theta _{12}^2 - \theta _{11}\theta _{22}$ . Наконец,

$\begin{equation*} w^m = w^{2k}w =\Delta ^k (2e_1e_2 - \theta _{12}) = 2 \Delta ^k e_1e_2 - \Delta ^k\theta _{12} \notin \Theta^{2k+1} = \Theta^m. \end{equation*} \notag$

Пусть теперь $m = 2k$ . Всюду ниже, переходя от $E$ к факторалгебре, будем сохранять для образов $e_i$ при каноническом гомоморфизме прежние обозначения. Допустим, что в факторалгебре выполнены соотношения

$\begin{equation*} \theta _{13}=\theta _{23}=\theta _{33}=\theta _{12}^2 =0. \end{equation*} \notag$

Положим

$w = [a,b]$ , где

$a = e_1, b = e_2 + e_2e_3$ . Учитывая равенства

$\begin{equation*} [e_1,e_2]= 2e_1e_2 - \theta _{12},\qquad [e_1, e_2e_3] = e_1e_2e_3 - e_2e_3 e_1 = (e_1\circ e_2)e_3 =\theta_{12}e_3, \end{equation*} \notag$

получаем

$\begin{equation*} w = 2e_1e_2 - \theta_{12} + \theta_{12}e_3. \end{equation*} \notag$

Вычислим теперь

$w^2$ . Во-первых,

$\begin{equation*} (2e_1e_2 - \theta _{12})^2 = 4e_1e_2e_1e_2 - 4e_1e_2\theta _{12} = - 4e_1^2e_2^2 = \Delta, \end{equation*} \notag$

где

$\Delta = - \theta _{11}\theta _{22}$ . Во-вторых, поскольку

$\theta _{13}=\theta _{23}=0$ , то

$e_3$ антикоммутирует с

$e_1$ и

$e_2$ , значит,

$e_1e_2e_3 = -e_1e_3e_2 = e_3e_1e_2$ , т. е.

$[e_1e_2,e_3] = 0$ . Тогда

$\begin{equation*} w^2 = \Delta + g,\quad \text{где}\quad g= 4e_1e_2e_3\theta_{12}. \end{equation*} \notag$

Учитывая, что

$\Delta$ централен и

$g^2 = 0$ , имеем по модулю

$\Theta^m$

$\begin{equation*} \begin{aligned} w^m &= w^{2k} = (w^2)^k = (\Delta + g)^k \equiv k \Delta^{k-1}g \\ &=4k e_1e_2e_3 \Delta^{k-1}\theta_{12}= 4k(-1)^{k-1}(\theta _{11}\theta_{22})^{k-1} \theta_{12}e_1e_2e_3. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\theta$ -степень одночлена

$(\theta _{11}\theta _{22})^{k-1}\theta_{12}$ равна

$2k-1=m-1$ , то

$w^m\notin\Theta^m$ .

Пусть $A$ – унитальная подалгебра в $E$ , порожденная элементами $a$ и $b$ . Докажем, что $(A')^{m+1} \subseteq \Theta^{m}$ . В силу тождества (2.1) и равноправия элементов $a$ и $b$ достаточно проверить индукцией по $m$ , что $(A')^m[a,E] \subseteq \Theta^m$ . Основание индукции при $m=1$ верно, поскольку в алгебре Грассмана справедливо тождество $[x,t][t,y]=0$ . Кроме того, по модулю $\Theta$ верно $A'\equiv A[a,b]$ . Заметим также, что $[\Theta^m,[E,E]] \subseteq \Theta^{m+1}$ . Сделав предположение индукции, докажем, что $(A')^{m+1}[a,E] \subseteq \Theta^{m+1}$ .

Пусть $x,y,z\in E$ . Тогда по модулю $\Theta^{m+1}$ имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &(A')^{m+1}[a,x][y,z] \equiv [a,x](A')^{m+1}[y,z] = [a,x](A')^m [a,b][y,z] \\ &\qquad\equiv -[a,x](A')^m [a,y][b,z] \equiv -[a,y][a,x] (A')^m[b,z] \subseteq \Theta \cdot \Theta^m \equiv 0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

т. е.

$\begin{equation*} (A')^{m+1}[a,x][y,z]\subseteq \Theta^{m+1}. \end{equation*} \notag$

Отсюда в силу леммы 1 получаем

$\begin{equation*} (A')^{m+1}[a,E] \subseteq \Theta^{m+1}. \end{equation*} \notag$

Тем самым, доказано включение

$(A')^m[a,E] \subseteq \Theta^m$ , а с ним и теорема 1.

Замечание 1. Коммутант алгебры $F_{2}^{(2m+1)}$ нильпотентен индекса $2m$ (см. [6], [7]). С другой стороны, коммутанты каждой из алгебр $E_{2m+1}^{(m)}$ и $F_{2m+1}^{(2m+1)}$ для $m=1,2,3$ имеют одинаковые индексы нильпотентности, равные числу $2m$ (см. [5]), где $E_{2m+1}^{(m)}$ – подалгебра в $E^{(m)}$ , порожденная $e_1,\dots,e_{2m+1}$ .

Замечание 2. В разделе 8 статьи [5] была высказана гипотеза:

$\begin{equation*} \psi_E (m, 2) < \psi(2m + 1,2)\quad \text{при}\quad m\geqslant 2, \end{equation*} \notag$

где

$\psi_E(m, 2)$ – индекс нильпотентности коммутанта 2-порожденной подалгебры модельной алгебры

$E^{(m)}$ ,

$\psi(2m+1, 2)$ – индекс нильпотентности коммутанта алгебры

$F_{2}^{(2m+1)}$ . Теорема 1 подтверждает эту гипотезу, поскольку

$\begin{equation*} \psi_E (m, 2)=m+1,\qquad \psi(2m + 1,2) = 2m. \end{equation*} \notag$

§ 3. Собственные тождества от двух переменных степени не ниже $7$ алгебры $E^{(3)}$

Всюду ниже, если не оговорено противное, используются обозначения:

$\Theta$ – идеал алгебры $E$ , порожденный элементами $\theta _{ij}$ ;

$A$ – унитальная подалгебра в $E$ , порожденная элементами $a$ и $b$ ;

$u_i$ , $u'_i$ – правонормированные коммутаторы степени $i$ от $a$ и $b$ ;

$w_i = [c_1,\dots,c_i]$ – правонормированные коммутаторы от $c_j\in E$ ;

$W_i$ – подпространство, порожденное элементами $w_i$ ;

запись $x\equiv_k y$ , где $x,y\in E$ , означает сравнение по модулю идеала $\Theta^k$ , т. е. $x-y\in \Theta^k$ .

Заметим также, что по модулю $W_{i+j+1}E$ справедливы сравнения

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [w_{i+1},w_j] \equiv 0, \\ 2[w_i,x][w_j,x] \equiv [w_i,x]\circ [w_j,x] = [w_i,x\circ [w_j,x]]-x\circ [w_i,[w_j,x]] \equiv 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Кроме того,

$\begin{equation*} W_{2k+1}\subseteq \Theta^k. \end{equation*} \notag$

Эти замечания далее используется без дополнительных пояснений.

Лемма 2. Верно соотношение $u_3u_2u_2\equiv_3 0$ .

Доказательство. Заметим, что

$u_2=[a,b]$ и можно считать, что

$u_3=[a,b,b]$ . В силу леммы 1 достаточно доказать, что для любых

$x,y\in E$

$\begin{equation*} u_3u_2u_2[x,y] \equiv_3 0. \end{equation*} \notag$

Доказательство представим в виде последовательности пунктов.

$1^{\circ}$ . Верны соотношения $[x,y,z] \equiv_1 0$ и $[x,y][x,z] \equiv_1 0$ для любых $x,y,z\in E$ , поскольку в алгебре Грассмана $E^{(1)}$ выполнены тождества $[x,y,z]=[x,y][x,z]=0$ .

$2^{\circ}$ . Верно соотношение $u_3u_2 \equiv_2 0$ , поскольку в алгебре $E^{(2)}$ выполнено слабое тождество Холла $[[a,b]^2,b] = 0$ (см. [2], [4]).

$3^{\circ}$ . Верно соотношение $[\Theta^k,E,E] + [\Theta^k,[E,E]] \subseteq \Theta^{k+1}$ , поскольку всякий элемент из $\Theta^k$ линейно выражается через элементы $v(\theta _{ij})e$ , где $v(\theta _{ij})$ – одночлен степени $k$ от переменных $\theta _{ij}$ , $e\in E$ , причем $v(\theta _{ij})\in Z(E)$ и $[E,E,E] \subseteq \Theta$ .

$4^{\circ}$ . Докажем, что $[b,y]u_3 = [b,y][a,b,b] \equiv_2 [a,b][y,b,b]$ . Достаточно провести линеаризацию $a \to y$ сравнения $[a,b][a,b,b] \equiv_2 0$ из п. $2^{\circ}$ .

$5^{\circ}$ . Докажем, что $[a,x][a,b]^2\equiv_2 0$ . Ввиду пп. $1^{\circ}$ и $3^{\circ}$ получаем

$\begin{equation*} [a,x][a,b]^2[y,z] \equiv_2 -[a,x][a,b][a,y][b,z] \equiv_2 -[a,y][a,x][a,b][b,z] \equiv_2 0. \end{equation*} \notag$

$6^{\circ}$ . Докажем, что $u_3u_2u_2[x,y] \equiv_3 0$ . Имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, u_3u_2u_2[x,y] &= u_3u_2[a,b][x,y]\stackrel{\text{п.} 1^{\circ}, \text{ п. }2^{\circ}}{\equiv_3} - u_3u_2[a,x][b,y] \stackrel{\text{п. }2^{\circ}, \text{ п. }3^{\circ}}{\equiv_3} - [a,x][b,y]u_3u_2 \\ &\equiv_3 -[a,x][a,b][y,b,b]u_2 \stackrel{\text{п. }4^{\circ}}{\equiv_3} -[a,x][a,b]^2[y,b,b]\stackrel{\text{п. }5^{\circ}}{\equiv_3} 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Из п. $6^{\circ}$ очевидно вытекает требуемое. Лемма доказана.

Лемма 3. Верно соотношение $u_4u_3 \equiv_3 0$ .

Доказательство. Достаточно понять, что

$u_4u_3[x,y] \equiv_3 0$ , где

$u_3=[a,b,b]$ . Допустим сначала, что

$u_4=[u'_3,b]$ . Рассуждая аналогично лемме 2, имеем по модулю идеала

$\Theta^3$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, u_4u_3 [x,y] &\equiv u_3 u_4 [x,y] = u_3 [u'_3,b] [x,y] \equiv - u_3 [u'_3,x] [b,y] = - [u'_3,x] u_3 [b,y] \\ &= - [u'_3,x] [a,b,b] [b,y] \equiv [u'_3,x] [y,b,b] [b,a] \equiv [y,b,b] [u'_3,x] [b,a] \\ &= - [y,b,b] [u'_3,x]u_2 = [y,b,b] (-[u'_3 u_2,x] + u'_3 [u_2,x]) \equiv 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

По той же схеме рассматривается случай

$u_4=[u'_3,a]$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, u_4u_3 [x,y] &\equiv u_3 u_4 [x,y] = u_3 [u'_3,a] [x,y] \equiv - u_3 [u'_3,x] [a,y]=- [u'_3,x] u_3 [a,y] \\ &= - [u'_3,x] [a,b,b] [a,y] \equiv [u'_3,x] ([a,y,b] + [a,b,y])[a,b] \\ &\equiv ([a,y,b] + [a,b,y])[u'_3,x][a,b] = ([a,y,b] + [a,b,y])[u'_3,x]u_2 \\ &= ([a,y,b] + [a,b,y])([u'_3 u_2,x] - u'_3 [u_2,x]) \equiv 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Лемма 4. Верно соотношение $u_5u_2 \equiv_3 0$ .

Доказательство. Отображение

$D_x\colon r\mapsto [r,x]$ в силу тождества (2.2) является дифференцированием алгебры

$A$ , которое называется внутренним дифференцированием. По формуле Лейбница имеем

$\begin{equation*} (rs)D_xD_y = (rD_xD_y)s + r(sD_xD_y) + (rD_x)(sD_y) + (rD_y)(sD_x). \end{equation*} \notag$

Значит,

$\begin{equation*} (u_3u_2)D_xD_y = (u_3D_xD_y)u_2 + u_3(u_2D_xD_y) + (u_3D_x)(u_2D_y) + (u_3D_y)(u_2D_x) \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} (u_3D_xD_y)u_2 = - u_3(u_2D_xD_y) - (u_3D_x)(u_2D_y) - (u_3D_y)(u_2D_x)+ (u_3u_2)D_xD_y, \end{equation*} \notag$

т. е. элемент

$u_5u_2$ является линейной комбинацией элементов

$u_4u_3$ ,

$u_3u_4$ и элементов вида

$(u_3u_2)D_xD_y$ , где

$x, y \in \{a,b\}$ . Отсюда в силу пп.

$2^{\circ}$ и

$3^{\circ}$ из леммы 2 и леммы 3 получаем требуемое. Лемма доказана.

Теорема 2. Собственный многочлен $p(a,b)$ от двух переменных степени не ниже $7$ является тождеством алгебры $E^{(3)}$ .

Доказательство. Пусть

$A$ – унитальная подалгебра в

$E^{(3)}$ , порожденная элементами

$a$ и

$b$ . Положим

$T^{(n)}=T^{(n)}(A)$ . Из лемм 2–4 вытекает

$\begin{equation*} T^{(5)}\ast T^{(2)} = T^{(4)}\ast T^{(3)} = T^{(3)}\ast T^{(2)} \ast T^{(2)} = 0, \end{equation*} \notag$

где

$P\ast Q = PQ + QP$ для произвольных подпространств

$P$ и

$Q$ в алгебре

$E$ . Осталось заметить, что

$\begin{equation*} p(a,b)\in T^{(5)}\ast T^{(2)} + T^{(4)}\ast T^{(3)} + T^{(3)}\ast T^{(2)} \ast T^{(2)}. \end{equation*} \notag$

Теорема доказана.

§ 4. О ядре алгебры $F^{(2m+1)}$

Известно описание ядерных элементов алгебры $F^{(5)}$ , а именно, ядро $Z^*(F^{(5)})$ совпадает с идеалом тождеств модельной алгебры $E^{(2)}$ кратности $2$ и как $T$ -идеал порождается коммутатором степени $5$ и слабым элементом Холла (см. [3], [4]).

По лемме 2 элемент $[a,b,b] \cdot [a,b]^2$ является тождеством алгебры $E^{(3)}$ , но он не является центральным в $F^{(7)}$ , поскольку его вес равен $5$ , а центральными элементами от двух переменных являются только элементы веса не меньше $6$ (см. [7]).

Представляется правдоподобной следующая гипотеза.

Гипотеза о ядре. Справедливо $Z^*(F^{(2m+1)})=Z(F^{(2m+1)})\cap T(E^{(m)})$ при $m\geqslant 3$ .

Известно, что $0 \neq Z^*(F^{(2m+1)}) \subsetneq Z(F^{(2m+1)})$ . Более точно, при $m\geqslant 2$ в [2] были введены элементы степени $2m+1$ вида

$\begin{equation*} H_{m-2} = [h,x_1,y_1,\dots,x_{m-2},y_{m-2}],\qquad H'_{m-2} = [h',x_1,y_1,\dots,x_{m-2},y_{m-2}], \end{equation*} \notag$

где $h=[[a,b]^2,c]$ и $h'=[[a,b]^2,b]$ – элементы Холла; и доказано, что

a) $H_{m-2}\in Z(F^{(2m+1)})$ ;

b) $0 \neq H'_{m-2} \in Z^*(F^{(2m+1)})$ .

Заметим, что минимальная степень центрального элемента в алгебре $F^{(n)}$ равна $n-1$ . Легко понять (см. [2; теорема 2]), что в алгебре $F^{(2m)}$ коммутатор степени $2m-1$ является ядерным. Теперь мы укажем ядерный элемент алгебры $F^{(2m+1)}$ минимальной возможной степени $2m$ .

Положим $[a,b]_1=[a,b]$ и определим по индукции $[a,b]_{k+1}=[[a,b]_k,b]$ .

Теорема 3. Пусть $c_k=[a,b]_{k-1}$ , $k\geqslant 2$ . Многочлен $p_{2m}$ вида

$\begin{equation*} p_{2m} = [c_{2m-2},c_2] \in Z^*(F^{(2m+1)}),\qquad m\geqslant 3, \end{equation*} \notag$

является ядерным элементом степени

$2m$ . В частности,

$p_{2m}=0$ – тождество степени

$2m$ модельной алгебры

$E^{(m)}$ кратности

$m$ .

Доказательство. Пусть

$x,y\in F^{(2m+1)}$ . Поскольку

$p_{2m} \in Z(F^{(2m+1)})$ , то достаточно понять, что

$p_{2m}[x,y]=0$ в алгебре

$F^{(2m+1)}$ . Представим дальнейшие рассуждения в виде последовательности пунктов.

$1^{\circ}$ . Сначала заметим, что элемент $[c_k,x]$ представим в виде линейной комбинации правонормированных коммутаторов степени $k+1$ , которые начинаются с $x$ и заканчиваются либо $a$ , либо $b$ . В самом деле, в силу тождества Якоби (2.3) имеем

$\begin{equation*} [c_{k+1},x]=[[c_k,b],x]=[[c_k,x],b] + [c_k,[b,x]]. \end{equation*} \notag$

К каждому из слагаемых можно применить индукцию по

$k$ .

$2^{\circ}$ . Значит, коммутатор $[c_{2m-2},[x,y]]$ линейно выражается через коммутаторы $[v_{2m-1},a]$ и $[v_{2m-1},b]$ , где $v_{2m-1}$ – коммутатор степени $2m-1$ .

$3^{\circ}$ . В силу леммы Латышева (см. [8]) верно включение

$\begin{equation*} [v_k,x][x,y] \subseteq T^{(k+2)}, \end{equation*} \notag$

где

$v_k$ – правонормированный коммутатор степени

$k$ .

$4^{\circ}$ . Из пп. $2^{\circ}$ и $3^{\circ}$ следует, что в алгебре $F^{(2m+1)}$ справедливы равенства

$\begin{equation*} c_2 [c_{2m-2},[x,y]] = [c_{2m-2},[x,y]] c_2 = 0. \end{equation*} \notag$

$5^{\circ}$ . В силу леммы Воличенко (см. [9]) справедливы включения

$\begin{equation*} T^{(k)} T^{(3)} \subseteq T^{(k+2)},\qquad [v_k,T^{(3)}] \subseteq T^{(k+3)}, \end{equation*} \notag$

где

$v_k$ – правонормированный коммутатор степени

$k$ .

$6^{\circ}$ . Учитывая теорему о произведении для 3-порожденной алгебры (см. [7]) и лемму 2 из [2], имеем в алгебре $F^{(2m+1)}$

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [c_{2m-2} c_2, [x,y]] \in [T^{(2m-1)}, [x,y]] \subseteq T^{(2m+1)} =0, \\ [[ c_{2m-3},x] c_2, [b,y]] \in [T^{(2m-1)}, [b,y]] \subseteq T^{(2m+1)} =0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

$7^{\circ}$ . Покажем, что $[[c_{2m-3},x] [b,y],c_2]=0$ .

В самом деле, учитывая соотношение $[b,y] c_2 = [b,y][a,b]\in T^{(3)}$ , пп. $5^{\circ}$ и $6^{\circ}$ и тождество (2.1), последовательно получаем

$\begin{equation*} [[c_{2m-3},x] [b,y],c_2]= [[c_{2m-3},x],[b,y] c_2] - [[c_{2m-3},x] c_2,[b,y]] = 0. \end{equation*} \notag$

$8^{\circ}$ . Преобразуем теперь элемент

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, p_{2m} [x,y] &= [c_{2m-2},c_2] [x,y] = [c_{2m-2},c_2 [x,y]] - c_2 [c_{2m-2}, [x,y]] \\ &\!\!\stackrel{\text{п. }4^{\circ}}{=} [c_{2m-2},c_2 [x,y]]\stackrel{(2.1)}{=} [c_{2m-2} c_2, [x,y]] + [[x,y] c_{2m-2},c_2] \\ &\!\!\stackrel{\text{п. }6^{\circ}}{=} [c_{2m-2} [x,y],c_2] \stackrel{\text{п. }3^{\circ}}{=} -[[c_{2m-3},x] [b,y],c_2]\stackrel{\text{п. }7^{\circ}}{=} 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теорема 3 доказана.

§ 5. Коммутаторные тождества от двух переменных степени $6$ алгебры $E^{(3)}$

Лемма 5. Пусть $w(a,b)$ – однородный лиев многочлен от двух переменных $a$ , $b$ степени $6$ . Если $w(a,b)=0$ – тождество алгебры $E^{(3)}$ , то оно является следствием коммутаторного тождества

$\begin{equation} [c_4,c_2] = 0, \end{equation} \tag{5.1}$

где

$c_k=[c_{k-1},b]$ ,

$k\geqslant 3$ ,

$c_2=[a,b]$ .

Доказательство. В силу теоремы 3 в алгебре

$E^{(3)}$ выполнено тождество (5.1). Дальнейшие рассуждения представим в виде последовательности пунктов.

$1^{\circ}$ . Пусть $v=v(a,b)$ – коммутатор (лиев одночлен) и $\operatorname{deg}_a v=2$ , $\operatorname{deg}_b v=4$ . Тогда элемент $v$ пропорционален коммутатору $v_0=[[a,b]_4,a]$ .

В самом деле, учитывая (2.3) и (5.1), имеем

$\begin{equation} [c_3,[b,a],b] = [c_3,[[b,a],b]] + [c_3,b,[b,a]] = -[c_3,c_3] - [c_4,c_2] =0, \end{equation} \tag{5.2}$

значит, в силу равенств (2.3), (5.1) и (5.2) имеем

$\begin{equation*} v_0 = [c_4,b,a] = [c_4,a,b] = [c_3,a,b,b] + [c_3,[b,a],b] = [c_2,b,a,b,b] = [c_2,a,b,b,b]. \end{equation*} \notag$

$2^{\circ}$ . Докажем, что в алгебре $E^{(3)}$ выполнены тождества

$\begin{equation} [a,b,a,b,[a,b]] = [a,b,b,a,[a,b]] =0. \end{equation} \tag{5.3}$

В самом деле, линеаризацией из (5.1) получаем

$\begin{equation*} 0=[a,b,a,b,[a,b]] + [a,b,b,a,[a,b]] = 2[a,b,a,b,[a,b]]. \end{equation*} \notag$

$3^{\circ}$ . Пространство, порожденное коммутаторами от двух переменных (степени $3$ по каждой из них), является $2$ -мерным с базисом из элементов

$\begin{equation} u_1=[a,b,a,b,a,b],\quad u_2=[a,b,b,[b,a,a]]. \end{equation} \tag{5.4}$

На основании (2.3) и (5.3) последовательно получаем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [c_3,a] = [a,b,b,a] = [a,b,a,b], \\ u:=[c_3,[a,b],a] = [c_3,[[a,b],a]] + [c_3,a,[a,b]] = - u_2, \\ v=[c_3,a,b,a]=[a,b,a,b,b,a] = [a,b,a,b,a,b]=u_1, \\ w:=[c_3,b,a,a] = [c_3,a,b,a] + [c_3,[b,a],a] = v - u = u_1 + u_2, \\ t:=[c_2,a,[a,b],b] = [c_2,a,[[a,b],b]]= -[b,a,a,[[a,b],b]] =u_2, \\ z:=[c_2,a,a,b,b] = [c_2,a,b,a,b] + [c_2,a,[a,b],b] = u_1 + t = u_1 + u_2. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Для остальных элементов проверка проводится аналогично. Прежде чем доказывать линейную независимость элементов

$u_1$ и

$u_2$ , проведем некоторые специальные вычисления.

$4^{\circ}$ . Считая $\theta_{12} = 0$ , проверим равенство

$\begin{equation} [e_1,e_2,e_2] = 2 e_1 \theta_{22}. \end{equation} \tag{5.5}$

В самом деле, поскольку $[e_1,e_2] = 2e_1e_2$ , то

$\begin{equation*} [e_1,e_2,e_2] = 2[e_1e_2,e_2] = 2[e_1,e_2]e_2 = 4 e_1e_2^2= 2 e_1 \theta_{22}. \end{equation*} \notag$

$5^{\circ}$ . Докажем теперь, что элементы $u_1$ и $u_2$ линейно независимы. Для этого вычислим элементы $u_1(a,b)=[a,b,a,b,a,b]$ и $u_2(a,b)=[a,b,b,[b,a,a]]$ при $a= e_1$ , $b=e_2$ и условии $\theta_{12} = 0$ . В силу (5.5) имеем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, u_1(e_1,e_2) = [e_1,e_2,e_1,e_2,e_1,e_2] = [e_1,e_2,e_2,e_1,e_1,e_2] = 2\theta_{11} [e_1,e_1,e_1,e_2] = 0, \\ u_2(e_1,e_2) = [e_1,e_2,e_2,[e_2,e_1,e_1]] = 2 \theta_{22}[e_1, 2\theta_{11}e_2] = 8\theta_{11}\theta_{22} e_1e_2 \neq 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Проверим теперь, что

$u_1\neq 0$ . От противного, если

$u_1= 0$ , то, проводя его линеаризацию

$a\to b$ , получаем равенство для

$a$ -линейной компоненты

$\begin{equation*} 0= 2[a,b,b,b,b,b] = 2[a,b]_5, \end{equation*} \notag$

что невозможно в силу (5.5), поскольку

$\begin{equation*} [e_1,e_2]_5 = 2 \theta_{22} [e_1,e_2]_3 = 4 \theta_{22}^2 [e_1,e_2] = 8 \theta_{22}^2 e_1e_2\neq 0. \end{equation*} \notag$

Лемма 5 доказана.

§ 6. Каноническая алгебра $C^{(m)}$ кратности $m$

Поскольку в модельной алгебре $E^{(m)}$ довольно трудно проводить вычисления, введем более простой объект – каноническую (canonical) алгебру $C^{(m)}$ кратности $m$ . Эта алгебра получается факторизацией модельной алгебры $E^{(m)}$ по идеалу, порожденному элементами $\theta_{ij}$ , $i\neq j$ . Договоримся далее считать, что $e_i^2 = \theta_i$ . Итак, каноническая алгебра $C^{(m)}$ порождается элементами $e_i$ , $\theta_j$ , $i, j \in \mathbb{N}$ , и удовлетворяет определяющим соотношениям

$\begin{equation*} e_i \circ e_j = 0, \quad i\neq j,\qquad e_i^2 = \theta_i,\qquad [\theta_i, e_j] = 0, \qquad \prod_{j=1}^m \theta_{i_j} =0. \end{equation*} \notag$

Кроме того, аддитивный базис этой алгебры состоит из элементов вида

$\begin{equation} v(\theta_j)e_{i_1} \cdots e_{i_n}, \end{equation} \tag{6.1}$

где

$v(\theta_j)$ – стандартный нормированный одночлен от указанных переменных степени ниже

$m$ и

$1\leqslant i_1 <\dots<i_n$ . Докажем, что алгебры

$E^{(m)}$ и

$C^{(m)}$ нельзя различить никаким полилинейным тождеством.

Предложение 1. Алгебры $E^{(m)}$ и $C^{(m)}$ обладают одинаковыми наборами полилинейных тождеств.

Доказательство. Рассмотрим случай

$m=3$ , заметив, что общий случай не отличается принципиально от этого. Достаточно понять, что если полилинейный многочлен

$f(x_1,\dots,x_n)$ не является тождеством в

$E^{(3)}$ , то он отличен от нуля и в алгебре

$C^{(3)}$ . Одночлен вида (6.1) назовем нормированным, если его

$\theta$ -коэффициент

$v(\theta_j)$ равен

$1$ . Если

$f(x_1,\dots,x_n)\neq 0$ в

$E^{(3)}$ , то существуют базисные элементы

$w_i$ вида (2.4) такие, что

$f(w_1,\dots,w_n)\neq 0$ . Без ограничения общности можно считать, что никакая из переменных

$e_k$ не входит в два базисных элемента

$w_i$ ,

$i=1,\dots,n$ . Тогда имеет место представление

$\begin{equation*} f(w_1,\dots,w_n) = \sum \beta_{ij,kl} \theta_{ij} \theta_{kl} \widehat{w}_{ijkl}, \end{equation*} \notag$

где

$\beta_{ij,kl}\in \Phi^{\times}=\Phi\setminus \{0\}$ ,

$\widehat{w}_{ijkl}$ – нормированные одночлены вида (2.4), не содержащие символов

$e_i$ ,

$e_j$ ,

$e_k$ ,

$e_l$ .

Конечно, может оказаться, что в этом представлении отсутствует один из сомножителей $\theta$ . Однако этот случай легко свести к рассматриваемому после умножения обеих частей на $\theta_{ij}$ для подходящих индексов $i$ , $j$ . Заметим, что нормированный одночлен $\widehat{w}_{ijkl}$ может возникнуть только вместе со следующими произведениями: $\theta_{ij} \theta_{kl}$ , $\theta_{ik} \theta_{jl}$ , $\theta_{il} \theta_{jk}$ . Обозначим через $\varphi$ эндоморфизм алгебры $E^{(3)}$ , переводящий $e_j\mapsto e_i$ , $e_l\mapsto e_k$ и оставляющий остальные порождающие неподвижными (такой эндоморфизм существует, поскольку для образов выполнены те же определяющие соотношения, что и для исходных порождающих). Тогда получаем

$\begin{equation*} \theta_{ij}^ \varphi = (e_i\circ e_j)^\varphi = e_i\circ e_i = \theta_{ii}, \end{equation*} \notag$

значит,

$\begin{equation*} (f(w_1,\dots,w_n))^{\varphi} = \sum(\beta_{ij,kl} \theta_{ii} \theta_{kk} + \gamma \theta_{ik}^2) \widehat{w}_{ijkl}. \end{equation*} \notag$

Тем самым, в канонической алгебре

$C^{(3)}$ имеем

$\begin{equation*} (f(w_1,\dots,w_n))^{\varphi} = 4\beta_{ij,kl} \theta_{i} \theta_{k}\widehat{w}_{ijkl} \neq 0. \end{equation*} \notag$

Предложение 1 доказано.

§ 7. Собственные многочлены от двух переменных степени $5$ , не являющиеся тождествами в $E^{(3)}$

Лемма 6. В алгебре $C^{(3)}$ для подходящих элементов $a$ , $b$

$\begin{equation*} [a,[a,b],[a,b]] \neq 0. \end{equation*} \notag$

Доказательство. В самом деле, имеем

$[e_1,e_2] = 2 e_1 e_2$ и далее

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [e_1,[e_1,e_2]] = 2[e_1,e_1e_2] = 2e_1[e_1,e_2]= 4 \theta_{1}e_2, \\ [e_2,[e_1,e_2]] = -[e_2,[e_2,e_1]] = - 4 \theta_2e_1, \qquad [[e_1, [e_1,e_2], [e_1,e_2]] = - 16 \theta_{1}\theta_2e_1 \neq 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Лемма 7. В алгебре $C^{(3)}$ для подходящих элементов $a$ , $b$

$\begin{equation*} [[a,b]^2,a,b]\neq 0. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Допустим, от противного, что в

$C^{(3)}$ выполнено тождество

$[[a,b]^2,a,b]= 0$ . Тогда верно тождество

$[[a,b],[a,b^2],a]=0$ , а значит, и его полная линеаризация

$\begin{equation*} f= \sum_{\sigma\in S_3}\sum_{\tau\in A_3} [[a_{1\sigma},b_{1\tau}],[a_{2\sigma},b_{2\tau}\circ b_{3\tau}], a_{3\sigma}], \end{equation*} \notag$

где

$S_3$ и

$A_3$ – симметрическая и знакопеременная группы степени

$3$ .

Пусть $e_1$ , $e_2$ , $g=e_3$ , $h=e_4$ – порождающие алгебры $C^{(3)}$ . Вычислим значение многочлена $f$ в точке:

$\begin{equation*} a_1=e_1e_2,\quad a_2=e_1,\quad a_3=g,\qquad b_1=e_1e_2,\quad b_2=e_2,\quad b_3=h. \end{equation*} \notag$

Во-первых, вычислим йордановы произведения элементов

$b_i$ ,

$i=1,2,3$ :

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, b_1\circ b_2=(e_1e_2)\circ e_2 = e_1e_2e_2 + e_2e_1e_2=(e_1\circ e_2)e_2=0, \\ b_2\circ b_3=0,\qquad b_1\circ b_3=e_1e_2 h + h e_1e_2= 2he_1e_2. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Тогда

$f$ имеет вид

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, f &= \sum_{\sigma\in S_3}\sum_{\tau\in A_3} [[a_{1\sigma},b_{1\tau}],[a_{2\sigma},b_{2\tau}\circ b_{3\tau}], a_{3\sigma}] \\ &=\sum_{\sigma\in S_3} [[a_{1\sigma},b_2],[a_{2\sigma},b_1\circ b_3], a_{3\sigma}]= 2\sum_{\sigma\in S_3} [[a_{1\sigma},e_2],[a_{\sigma},he_1e_2], a_{3\sigma}]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Во-вторых,

$[e_ie_j, e_k] =0$ , если индексы

$i$ ,

$j$ ,

$k$ попарно различны, значит,

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [a_1, he_1e_2] = [e_1e_2, he_1e_2] =0,\qquad [a_2, he_1e_2] = [e_1, he_1e_2] = -e_1[e_1,he_2]= 0, \\ [a_3, he_1e_2] = [g, he_1e_2] = 2gh e_1 e_2. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, f &= 2 \sum_{\sigma\in S_3} [[a_{1\sigma},e_2],[a_{2\sigma},he_1e_2], a_{3\sigma}] \\ &=2 \{[[a_1,e_2],[a_3,he_1e_2], a_2] + [[a_2,e_2],[a_3,he_1e_2], a_1]\} \\ &=4gh \{[[a_1,e_2], e_1e_2, a_2] + [[a_2, e_2], e_1e_2, a_1] \} \\ &=4gh \{[[e_1e_2,e_2], e_1e_2, e_1] + [[e_1, e_2], e_1e_2, e_1e_2] \} \\ &=4gh [[e_1e_2,e_2], e_1e_2, e_1]= 4gh\theta_2 [e_1, e_1e_2, e_1] \\ &=8gh \theta_1\theta_2 [e_2, e_1] = -16 \theta_1\theta_2 e_1e_2 gh \neq 0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

поскольку последний элемент в силу (6.1) является базисным. Лемма 7 доказана.

Теорема 4. Модельная алгебра $E^{(3)}$ не имеет тождеств от двух переменных степени $5$ .

Доказательство. Допустим, что

$f(a,b)=0$ – тождество степени

$5$ алгебры

$E^{(3)}$ . Без ограничения общности можно считать, что

$f(a,b)$ – собственный многочлен (см. [10]). Если

$f$ линеен по

$a$ , то он пропорционален коммутатору

$[a,b,b,b,b]$ , т. е.

$f=\alpha [a,b,b,b,b]$ . Поскольку

$[a,b,b,b,b]\neq 0$ , то

$\alpha =0$ .

Поскольку полная степень $f$ равна $5$ , то $f$ можно считать квадратичным по $a$ . Тогда в силу соотношений

$\begin{equation*} [a,b,a,b]=[a,b,b,a],\qquad [a,b]\circ [a,b,b]=[[a,b]^2,b] \end{equation*} \notag$

для подходящих скаляров

$\alpha, \beta, \gamma\in \Phi$ имеем

$\begin{equation*} f(a,b) = \alpha [a,b,b,a,b] + \beta [a,b,b,b,a] + \gamma [[a,b]^2,b] . \end{equation*} \notag$

Отсюда после линеаризации

$a\to b$ получаем

$(\alpha + \beta) [a,b,b,b,b] = 0$ , значит,

$\alpha + \beta = 0$ и в алгебре

$E^{(3)}$ верно тождество

$\begin{equation*} \alpha [a,b,b,[a,b]] + \gamma [[a,b]^2,b] = 0. \end{equation*} \notag$

Отсюда в силу леммы 5 получаем

$\gamma [[a,b]^2,b,b] = 0$ . Линеаризация

$b\to a$ дает тождество

$\gamma [[a,b]^2,a,b] = 0$ . Учитывая лемму 7, получаем

$\gamma = 0$ и

$\alpha [a,b,b,[a,b]]=0$ . Отсюда ввиду леммы 5 имеем

$\alpha =0$ и

$f=0$ .

Теорема 4 доказана.

§ 8. Собственные тождества от двух переменных степени $6$ алгебры $E^{(3)}$

Теорема 5. Всякое собственное тождество степени $6$ от двух переменных алгебры $E^{(3)}$ является следствием коммутаторного тождества (5.1).

Доказательство. Допустим, что

$f(a,b)$ – однородное тождество степени

$6$ . В силу доказательства теоремы 4 можно считать, что

$\operatorname{deg}_a(f)\geqslant 2$ . Пусть

$f$ квадратичен по

$a$ . Тогда в силу (5.1) имеем

$\begin{equation*} f = \alpha [a,b,b,a,b,b] + \beta [a,b,b,b,a,b] + \gamma [a,b,b,b][a,b] + \delta [a,b,b][a,b,b] = 0. \end{equation*} \notag$

Отсюда после линеаризации

$a\to b$ получаем

$\begin{equation*} (\alpha + \beta)[a,b,b,b,b,b] = 0, \end{equation*} \notag$

значит,

$\alpha + \beta = 0$ и тогда имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, 0 &= \alpha ([a,b,b,a,b,b] - [a,b,b,b,a,b]) + \gamma [a,b,b,b][a,b] + \delta [a,b,b][a,b,b] \\ &=\alpha [a,b,b,[a,b],b] + \gamma [a,b,b,b][a,b] + \delta [a,b,b][a,b,b] \\ &=\gamma [a,b,b,b][a,b] + \delta [a,b,b][a,b,b]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Отсюда в силу леммы 5 получаем

$\begin{equation*} \gamma [a,b,b,b]\circ [a,b] + \delta [a,b,b]\circ [a,b,b] = 0. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$[a,b,b]\circ [a,b,b] = [[a,b]^2,b,b] - [a,b,b,b]\circ [a,b]$ , то

$\begin{equation} (\gamma - \delta) [a,b,b,b]\circ [a,b] + \delta [[a,b]^2,b,b] = 0. \end{equation} \tag{8.1}$

Заметим, что $[[a,b]^2,b,b] = [[a,b],[a,b^2],b] = 0$ , если $b=e_2$ . Покажем, что $[a,b,b,b]\circ [a,b]\neq 0$ при $b=e_2$ . В самом деле, если $a=e_1e_2 + g$ , $b=e_2$ и $g=e_3$ , то

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, [e_1e_2,b,b,b]\circ [g,b] + [g,b,b,b]\circ [e_1e_2,b] &=[e_1e_2,b,b,b]\circ [g,b] \\ &= 8\theta_2^2 e_1 \circ [g,b] = -32\theta_2^2 ge_1 e_2 \neq 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Отсюда ввиду (8.1) имеем

$\gamma = \delta = 0$ . Тем самым, доказано, что если

$\operatorname{deg}_a(f)= 2$ , то

$f=0$ является следствием тождества (5.1).

Пусть теперь $\operatorname{deg}_a(f)= 3$ . Тогда можно считать, что $f=0$ имеет вид

$\begin{equation*} g(a,b) + \gamma [a,b,a,b]\circ [a,b] + \delta [[a,b]^2,a,b] = 0, \end{equation*} \notag$

где

$g(a,b)$ – лиев многочлен. После линеаризации подстановкой

$a\to b$ получаем тождество вида (8.1), из которого следует, что

$\gamma = \delta = 0$ и

$g(a,b)=0$ . Однако последнее тождество в силу леммы 5 является следствием тождества (5.1). Теорема 5 доказана.

Предложение 2. Пусть $A$ – подалгебра в $E^{(3)}$ , порожденная двумя элементами $a,b$ . Тогда $A$ удовлетворяет тождеству

$\begin{equation*} [[x,y],[z,t],[u,v]]=0. \end{equation*} \notag$

Однако она не удовлетворяет никакому тождеству степени

$5$ .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что

$x=a$ ,

$y=b$ . Положим

$w=[a,b]$ . Тогда, полагая

$T^{(3)}=T^{(3)}(A)$ , имеем

$\begin{equation} [z,t]\in wA + T^{(3)},\qquad [u,v]\in wA + T^{(3)}. \end{equation} \tag{8.2}$

Через

$H'$ обозначим

$T$ -идеал в

$E$ , порожденный слабым элементом Холла

$[w^2,a]$ , через

$\Theta_0$ – подалгебру в

$E$ , порожденную элементами

$\theta_{ij}$ . Поскольку слабый элемент Холла является тождеством алгебры

$E^{(2)}$ (см. [2]), то

$\begin{equation} H'\subseteq \Theta_0^2E,\qquad [H',[A,A]] \subseteq [\Theta_0^2E, [A,A]]\subseteq \Theta^3. \end{equation} \tag{8.3}$

Значит, для любых

$z,t,u,v\in A$ в силу (8.2) и (8.3) имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, [[x,y],[z,t],[u,v]] &\in [w,wA+T^{(3)},[u,v]] \subseteq [w,wA+T^{(3)},[u,v]] \\ &\subseteq [w,wA,[u,v]] \subseteq [w^2,A,[u,v]] \subseteq [H',[u,v]] = 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Предложение доказано.

Покажем теперь, что гипотеза о ядре справедлива в алгебре $F^{(7)}$ для элементов от двух переменных. Пока неизвестно, справедлива ли гипотеза о ядре в общем виде даже для алгебры $F^{(7)}$ .

Предложение 3. Центральный элемент $f(a,b)$ алгебры $F^{(7)}$ является ядерным тогда и только тогда, когда $f(a,b)$ – тождество алгебры $E^{(3)}$ .

Доказательство. Заметим, что ядерный элемент алгебры

$F^{(7)}$ является тождеством алгебры

$E^{(3)}$ . Обратно, пусть

$f$ централен и

$f=0$ – тождество алгебры

$E^{(3)}$ . Используя частные производные, можно считать, что элемент

$f$ является собственным. Ввиду центральности

$f$ его вес не меньше

$6$ (см. [7]). Если его степень равна

$6$ , то

$f$ должен быть лиевым многочленом и тогда в силу леммы 5 элемент

$f$ является следствием ядерного элемента

$p_6$ (см. теорему 3). Если же степень собственного многочлена

$f$ не ниже

$7$ , то доказательство ядерности

$f$ проводится по той же схеме, что и теоремы 1–3. Предложение доказано.

§ 9. О тождествах совокупности всех модельных алгебр

Предложение 4. Не существует ненулевых тождеств, справедливых во всех модельных алгебрах. В частности, алгебра $E$ не является $\mathrm{PI}$ -алгеброй.

Доказательство. Поскольку в алгебре

$E$ верно равенство

$\bigcap_m \Theta ^m = 0$ , то алгебра

$E$ аппроксимируется модельными алгебрами

$E^{(m)}$ . Значит, алгебра

$E$ является

$\mathrm{PI}$ -алгеброй тогда и только тогда, когда все модельные алгебры обладают некоторым общим тождеством.

Алгебра $E$ обладает следующим универсальным свойством. Пусть $V_n$ – линейное пространство над полем $\Phi$ с базисом $b_1,\dots, b_n$ , на котором задана симметрическая билинейная форма $f$ . Тогда отображение

$\begin{equation*} e_m\mapsto b_m,\qquad \theta_{ij}\mapsto f(b_i,b_j),\quad \textit{где }\ m,i,j\leqslant n \end{equation*} \notag$

(образы всех остальных порождающих

$e_m$ ,

$\theta_{ij}$ равны нулю), можно продолжить до гомоморфизма алгебры

$E$ на алгебру Клиффорда

$\mathrm{Cl}(V_n, f)$ .

Поскольку алгебра $\mathrm{Cl}(V_{2n}, f)$ для невырожденной формы $f$ является центральной простой (см. [11]), то $\overline{\Phi} \otimes _{\Phi} \mathrm{Cl}(V_{2n}, f)$ , где $\overline{\Phi}$ – алгебраическое замыкание поля $\Phi$ , является полной матричной алгеброй над полем $\overline{\Phi}$ размерности $2^{2n}$ и, как хорошо известно (см. [12; гл. X]), в ней нет тождеств степени ниже $2^{n+1}$ . Тем самым, доказано, что $E$ не является $\mathrm{PI}$ -алгеброй. Предложение доказано.

В качестве применения канонических алгебр приведем теорему.

Теорема 6. Модельная алгебра $E^{(m)}$ кратности $m$ не удовлетворяет никакому тождеству степени не выше $m$ .

Доказательство. Допустим, что в алгебре

$E^{(m)}$ выполнено тождество степени

$m$ . Положим, как обычно,

$\operatorname{ad}(x)$ – оператор умножения в присоединенной алгебре Ли, т. е.

$a\operatorname{ad}(x)= [a,x]$ ,

$S_{k}$ – группа подстановок, действующая на множестве

$\{2,\dots,k\}$ . Тогда алгебра

$E^{(m)}$ удовлетворяет полилинейному тождеству

$\begin{equation*} f(x_1,\dots,x_m)=0. \end{equation*} \notag$

Допустим сначала, что многочлен

$f(x_1,\dots,x_m)$ является лиевым. Известно [13], что всякий лиев многочлен является линейной комбинацией правонормированных коммутаторов, начинающихся с наименьшей переменной

$x_1$ :

$\begin{equation*} f(x_1,\dots,x_m) = \sum _{\sigma \in S_{m-1}} \alpha(\sigma) x_1 \operatorname{ad}(x_{2\sigma}) \cdots \operatorname{ad}(x_{m\sigma}), \end{equation*} \notag$

$\alpha(\sigma)\in \Phi$ . Вычислим значение многочлена

$f(x_1,\dots,x_m)$ в точке:

$\begin{equation*} x_1=e_1,\quad x_ 2=e_1e_2,\quad x_3 =e_2e_3,\quad\dots,\quad x_m = e_{m-1}e_m. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\begin{equation*} [e_1,e_1e_2]=e_1^2e_2-e_1e_2e_1=2 e_1^2e_2=2{\theta}_1^2e_2,\qquad [e_1,e_2e_3]=0, \end{equation*} \notag$

то ненулевым является только одно слагаемое, отвечающее тождественной подстановке

$\varepsilon$ . Поэтому имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, f(x_1,\dots,x_m) &= \alpha(\varepsilon) e_1 \operatorname{ad}(e_1e_2)\operatorname{ad}(e_2e_3)\cdots \operatorname{ad}(e_{m-1}e_m) \\ &=\alpha(\varepsilon)\cdot 2^{m-1}\biggl(\prod_{i=1}^{m-1}\theta_i\biggr)e_m \neq 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тем самым, получили противоречие.

При рассмотрении общего случая нам потребуется базис Шпехта свободной ассоциативной алгебры (см. [13]).

Без ограничения общности многочлен $f(x_1,\dots,x_m)$ можно считать собственным. Каждый собственный многочлен представим в виде линейной комбинации произведений коммутаторов $\pi = w_1w_2\cdots w_k$ . Каждый коммутатор $w_i$ является правонормированным и начинается с наименьшей переменной, входящей в запись этого коммутатора; эту наименьшую переменную обозначим через $x(w_i)$ . Кроме того, для произведения $\pi$ выполнены неравенства

$\begin{equation*} x(w_1)<x(w_2)<\dots<x(w_k) \end{equation*} \notag$

(переменные упорядочены по возрастанию индексов). Указанные произведения

$\pi$ образуют аддитивный базис пространства полилинейных собственных многочленов свободной ассоциативной алгебры [13]. Покажем, что рассматриваемые произведения

$\pi$ линейно независимы на канонической алгебре

$C^{(m)}$ . Пусть задано произведение

$\begin{equation*} \pi = [x_1,x_2,\dots, x_{n_1}][y_1,y_2,\dots, y_{n_2}]\cdots [z_1,z_2,\dots, z_{n_k}] \end{equation*} \notag$

такое, что

$\sum_{i=1}^k n_i = m$ и

$x_1<y_1<\dots<z_1$ . Кроме того, справедливы ограничения:

$x_1$ – наименьшая переменная,

$y_1$ – наименьшая переменная из переменных, входящих во все коммутаторы, кроме первого, и так далее. Итак, будем считать, что

$f(x_1,\dots,x_m)$ является линейной комбинацией произведений типа

$\pi$ , причем допустим, что число сомножителей

$k$ является максимальным среди всех произведений

$\pi$ , входящих в

$f$ .

Будем считать, что множество порождающих алгебры $C^{(m)}$ является объединением непересекающихся счетных множеств

$\begin{equation*} \{e_1,e_2,\dots\},\quad \{g_1,g_2,\dots\},\quad \dots, \quad \{h_1,h_2,\dots\}. \end{equation*} \notag$

Сделаем следующую подстановку значений вместо переменных:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, x_1=e_1,\quad x_ 2 =e_1e_2,\quad x_3 =e_2e_3,\quad \dots,\quad x_{n_1} = e_{n_1-1}e_{n_1}, \\ y_1=g_1,\quad y_2 =g_1g_2,\quad y_3 =g_2g_3,\quad\dots,\quad y_{n_2} = g_{n_2-1}g_{n_2}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ z_1=h_1,\quad z_2 =h_1h_2,\quad z_3 =h_2h_3,\quad\dots,\quad z_{n_k} = h_{n_k-1}h_{n_k}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Заметим, что если

$i$ ,

$j$ ,

$k$ различны, то

$[e_i, e_je_k] = 0$ и

$[e_i, e_ie_j] = 2 \theta_i e_j$ . Кроме того, значение коммутатора

$[x_1,x_2,\dots, x_{n_1}]$ в этой точке, как отмечалось ранее, равно

$\begin{equation*} 2^{n_1-1}\biggl(\prod_{i=1}^{n_1-1}\theta_i\biggr)e_{n_1}. \end{equation*} \notag$

Аналогичный вид имеют значения остальных коммутаторов, входящих в произведение

$\pi$ . Значит, произведение

$\pi$ в указанной точке получается умножением на некоторую степень двойки базисного элемента вида

$\begin{equation*} \biggl(\prod_{i=1}^{n_1-1}\theta_i\biggr)\biggl(\prod_{i=1}^{n_2-1}\lambda_i\biggr)\cdots \biggl(\prod_{i=1}^{n_k-1}\mu_i\biggr)e_{n_1}g_{n_2}\cdots h_{n_k}, \end{equation*} \notag$

где

$g_i^2=\lambda_i$ ,

$\dots$ ,

$h_i^2=\mu_i$ .

Заметим, что если в произведении типа $\pi$ произошла перестановка переменных либо внутри одного коммутатора, либо из разных коммутаторов, то новое произведение в указанной точке будет равно $0$ . Теорема 6 доказана.

§ 10. Открытые вопросы

В заключении работы сформулируем некоторые открытые вопросы.

1. Верно ли, что в модельной алгебре $E^{(m)}$ выполнены все собственные тождества от двух переменных степени не ниже $2m+1$ ?

2. Какова минимальная степень тождества от двух переменных, выполняющегося в модельной алгебре $E^{(m)}$ ?

3. Выполняется ли в $E^{(m)}$ при $m\geqslant 3$ какое-нибудь тождество степени $2m-1$ ?

4. Справедлива ли гипотеза о ядре для алгебры $F^{(7)}$ ?



Список литературы

1.	А. В. Гришин, Л. М. Цыбуля, А. А. Шокола, “О $T$ -пространствах и соотношениях в относительно свободных лиевски нильпотентных ассоциативных алгебрах”, Фундамент. и прикл. матем., 16:3 (2010), 135–148 ; англ. пер.: A. V. Grishin, L. M. Tsybulya, A. A. Shokola, “On $T$ -spaces and relations in relatively free, Lie nilpotent, associative algebras”, J. Math. Sci. (N.Y.), 177:6 (2011), 868–877
2.	А. В. Гришин, С. В. Пчелинцев, “О центрах относительно свободных ассоциативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности”, Матем. сб., 206:11 (2015), 113–130 ; англ. пер.: A. V. Grishin, S. V. Pchelintsev, “On centres of relatively free associative algebras with a Lie nilpotency identity”, Sb. Math., 206:11 (2015), 1610–1627
3.	А. В. Гришин, С. В. Пчелинцев, “Собственные центральные и ядерные многочлены относительно свободных ассоциативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности степени 5 и 6”, Матем. сб., 207:12 (2016), 54–72 ; англ. пер.: A. V. Grishin, S. V. Pchelintsev, “Proper central and core polynomials of relatively free associative algebras with identity of Lie nilpotency of degrees 5 and 6”, Sb. Math., 207:12 (2016), 1674–1692
4.	С. В. Пчелинцев, “Тождества модельной алгебры кратности 2”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1389–1411 ; англ. пер.: S. V. Pchelintsev, “Identities of the model algebra of multiplicity 2”, Siberian Math. J., 59:6 (2018), 1105–1124
5.	V. Glizburg, S. Pchelintsev, “Some finitely generated associative algebras with a Lie nilpotency identity”, J. Algebra Appl., 20:7 (2021), 2150112, 20 pp.
6.	R. R. Dangovski, On the maximal containments of lower central series ideals, arXiv: 1509.08030
7.	С. В. Пчелинцев, “Относительно свободные ассоциативные Ли нильпотентные алгебры ранга 3”, Сиб. электрон. матем. изв., 16 (2019), 1937–1946
8.	В. Н. Латышев, “О конечной порожденности $T$ -идеала с элементом – $[x_1,x_2, x_3,x_4]$ ”, Сиб. матем. журн., 6:6 (1965), 1432–1434
9.	И. Б. Воличенко, $T$ -идеал, порожденный элементом $[{x}_1,{x}_2,{x}_3,{x}_4]$ , Препринт № 22, Ин-т матем. АН БССР, Минск, 1978, 13 с.
10.	G. Falk, “Konstanzelemente in Ringen mit Differentiation”, Math. Ann., 124 (1952), 182–186
11.	N. Jacobson, Structure and representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, x+453 pp.
12.	Н. Джекобсон, Строение колец, ИЛ, М., 1961, 392 с. ; пер. с англ.: N. Jacobson, Structure of rings, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1956, vii+263 с.
13.	W. Specht, “Gesetze in Ringen. I”, Math. Z., 52 (1950), 557–589

Образец цитирования: С. В. Пчелинцев, “О тождествах модельных алгебр”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:6 (2023), 103–120; Izv. Math., 87:6 (2023), 1210–1226

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Pch23}

\by С.~В.~Пчелинцев

\paper О~тождествах модельных алгебр

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2023

\vol 87

\issue 6

\pages 103--120

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9395}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9395}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4700020}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07794516}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023IzMat..87.1210P}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2023

\vol 87

\issue 6

\pages 1210--1226

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9395e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146044700005}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85180716209}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/im9395

https://doi.org/10.4213/im9395

https://www.mathnet.ru/rus/im/v87/i6/p103

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Известия Российской академии наук. Серия математическая

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	416
PDF русской версии:	9
PDF английской версии:	61
HTML русской версии:	29
HTML английской версии:	252
Список литературы:	102
Первая страница:	2

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

§ 1. Введение

§ 2. 22-порожденные подалгебры модельных алгебр

§ 3. Собственные тождества от двух переменных степени не ниже 77 алгебры E(3)E^{(3)}

§ 4. О ядре алгебры F(2m+1)F^{(2m+1)}

§ 5. Коммутаторные тождества от двух переменных степени 66 алгебры E^{(3)}E^{(3)}

§ 6. Каноническая алгебра C^{(m)}C^{(m)} кратности mm

§ 7. Собственные многочлены от двух переменных степени 55, не являющиеся тождествами в E^{(3)}E^{(3)}

§ 8. Собственные тождества от двух переменных степени 66 алгебры E^{(3)}E^{(3)}

§ 9. О тождествах совокупности всех модельных алгебр

§ 10. Открытые вопросы

Список литературы

§ 2. $2$ -порожденные подалгебры модельных алгебр

§ 3. Собственные тождества от двух переменных степени не ниже $7$ алгебры $E^{(3)}$

§ 4. О ядре алгебры $F^{(2m+1)}$

§ 5. Коммутаторные тождества от двух переменных степени $6$ алгебры $E^{(3)}$

§ 6. Каноническая алгебра $C^{(m)}$ кратности $m$

§ 7. Собственные многочлены от двух переменных степени $5$ , не являющиеся тождествами в $E^{(3)}$

§ 8. Собственные тождества от двух переменных степени $6$ алгебры $E^{(3)}$