В. В. Горбацевич, “О расслоенной структуре компактных однородных пространств”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:6 (2023), 49–75; Izv. Math., 87:6 (2023), 1161

В статье изучается топологическое строение произвольных компактных однородных пространств. Первые работы автора в этом направлении были опубликованы около сорока лет назад. Было описано несколько расслоений, которые позволяют понять, как топологически устроено произвольное компактное многообразие, если на нем существует транзитивное действие некоторой конечномерной группы Ли (частичное изложение результатов этого рода было дано в обзоре [1]). Это описание (которое, как оказалось, естественно вести с точностью до конечнолистного накрытия) было довольно подробным, но в нем оставалось и немало нерешенных проблем. В настоящей статье содержатся результаты, продолжающие указанные исследования и содержащие решения некоторых из этих проблем. Это сделано как с использованием новых топологических результатов различных авторов, так и с помощью развития некоторых методов, использованных самим автором ранее. На самом деле почти все полученные ниже результаты справедливы и для более широкого класса однородных пространств – для плезиокомпактных однородных пространств (см. [2], [3]). Плезиокомпактные однородные пространства можно рассматривать как некоторое обобщение понятий компактного однородного пространства и однородного пространства с конечной инвариантной мерой. Мы ниже изредка будем отмечать возможность распространения полученных результатов на плезиокомпактный случай, но подробнее на этом здесь останавливаться не будем.

Иногда нам будет удобно не конкретизировать группу Ли, транзитивную на некотором многообразии. Тогда будем говорить об однородном многообразии, понимая под ним многообразие, на котором существует транзитивное действие некоторой конечномерной группы Ли.

В данном § 1 статьи будут даны (или напомнены) основные определения и конструкции, связанные с введенными автором понятиями натурального, структурного и борелевского расслоений для произвольных компактных однородных пространств. В § 2 рассмотрены некоторые свойства базы натурального расслоения, в § 3 – свойства структурного расслоения этой базы, в § 4 и § 5 – свойства структурной группы и слоя натурального расслоения соответственно. В § 6 рассмотрен слой борелевского расслоения, а в § 7 рассмотрено главное расслоение, соответствующее натуральному расслоению, и изучено понятие главного однородного пространства. Здесь же дано описание топологического строения компактных однородных пространств, близких к главным. В § 8 речь идет о взаимосвязи свойств слоя и базы натурального расслоения.

В статье будет приведен ряд примеров, иллюстрирующих некоторые введенные понятия и сделанные утверждения, а также несколько контрпримеров к некоторым естественным предположениям об элементах расслоенной структуры компактных однородных пространств.

Группы Ли мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, а их алгебры Ли – соответствующими строчными латинскими буквами. Группы Ли, транзитивные на многообразиях, мы будем обычно предполагать связными и односвязными, а сами их транзитивные действия – локально эффективными. Отметим, что локальная эффективность действия группы Ли эквивалентна тому, что множество ее элементов, действия которых на многообразии тривиальны, дискретно. В частности, и действие любой подгруппы такой группы Ли тоже будет локально эффективным. Для произвольной группы Ли

$F$ через

$F_0$ будем обозначать связную компоненту единицы этой группы Ли, а через

$\pi_0(F)$ – группу связных компонент. Вообще, через

$\pi_k$ будут обозначаться гомотопические группы. Гладкое, локально тривиальное расслоение многообразия

$M$ над базой

$B$ и со слоем

$F$ будет обозначаться

$F\to M \to B$ .

Начнем с изложения некоторых основных свойств компактных однородных пространств, связанных с их расслоенной структурой (подробнее см., например, [1], [3]).

Пусть

$M = G/H$ – компактное однородное пространство некоторой связной группы Ли

$G$ (подгруппа Ли

$H$ всегда предполагается замкнутой). Эту группу Ли мы можем (и будем) считать односвязной и локально эффективной на

$M$ (эффективной же она при этом будет не всегда). Пусть

$K$ – некоторая максимальная компактная подгруппа в

$G$ . Она односвязна (в силу односвязности группы Ли

$G$ ) и определена однозначно с точностью до сопряжения в

$G$ . Имеется естественное действие группы Ли

$K$ на многообразии

$M$ . В общем случае орбиты этого действия между собой не изоморфны, хотя все они здесь будут одной размерности. Они могут иметь разный орбитный тип (т. е. соответствующие разным точкам многообразия

$M$ стационарные подгруппы не всегда будут сопряжены в

$K$ ).

Действие компактной группы

$K$ на многообразии

$M$ называется эквиорбитным, если все его орбиты одного орбитного типа, т. е. если для любых точек

$m, m' \in M$ соответствующие им стационарные подгруппы

$K_m$ ,

$K_{m'}$ сопряжены в

$K$ . Оказывается, что для произвольного компактного однородного пространства

$G/H$ существует некоторое компактное однородное пространство

$M' = G/H'$ (той же группы Ли

$G$ ), его конечнолистно накрывающее (здесь

$H'$ – некоторая подгруппа конечного индекса в

$H$ ) и которое является эквиорбитным относительно естественного действия максимальной компактной подгруппы

$K$ . В таком случае пространство орбит

$K \setminus M'$ этого действия является гладким многообразием, а естественное отображение

$M' \to K \setminus M'$ – гладким, локально тривиальным расслоением. Это расслоение называется натуральным расслоением для

$M$ (хотя фактически нередко расслаивается не само многообразие

$M$ , а подходящее многообразие

$M'$ , конечнолистно его накрывающее). Базу этого расслоения обозначим

$M_a$ , а его слой –

$M_c$ .

В общем случае при построении натурального расслоения переход к

$M'$ необходим, если мы хотим получить на

$K \setminus M'$ структуру гладкого многообразия. При этом какого-то канонического выбора конечнолистного накрытия здесь не существует. Однако и для исходного многообразия

$M$ тоже имеется своего рода расслоение – это будет расслоение Зейферта над базой

$K \setminus M$ , которая является орбиобразием (а потому, вообще говоря, многообразием с особенностями; подробнее см. [4]). Это обобщение натурального расслоения мы здесь рассматривать не будем.

Итак, натуральное расслоение

$M_c \to M' \to M_a$ – это гладкое, локально-тривиальное расслоение для подходящего многообразия

$M'$ , конечнолистно накрывающего исходное компактное однородное пространство

$M$ . Это расслоение по многообразию

$M'$ определяется однозначно с точностью до послойной гомотопической эквивалентности.

База натурального расслоения

$M_a$ имеет вид

$K \setminus M'$ и является асферичным гладким многообразием (асферичность означает, что гомотопические группы

$\pi_i(M_a)$ тривиальны при всех

$i \geqslant 2$ ). Более того, универсальное накрывающее

$M_a$ многообразие диффеоморфно евклидову пространству (отметим, что не всякое асферичное многообразие обладает таким свойством, хотя универсальное накрывающее многообразие для них всегда будет стягиваемо). При этом с точностью до диффеоморфизма базу натурального расслоения можно записать (возможно, снова переходя к некоторому конечнолистному накрытию) в виде

$\Gamma \setminus F/C$ , где

$F$ – некоторая связная, хотя и не обязательно односвязная, группа Ли (на самом деле она тесно связана с исходной транзитивной группой Ли; см., например, [5], [2]),

$C$ – максимальная компактная подгруппа Ли в

$F$ , а

$\Gamma$ – равномерная решетка (т. е. дискретная подгруппа с компактным факторпространством) в

$F$ , свободная от кручения. При этом можно считать, переходя при необходимости к подгруппе конечного индекса в

$\Gamma$ (что эквивалентно переходу от

$M_a$ к некоторому многообразию, его конечнолистно накрывающему), что

$\Gamma \cap C$ содержится в центре

$Z(F)$ группы Ли

$F$ (нужное рассуждение из [5] будет напомнено ниже в § 7). Более того, тогда мы можем считать, что это пересечение тривиально, факторизуя по нему группу Ли

$F$ .

Представление базы

$M_a$ натурального расслоения в виде

$\Gamma \setminus F/C$ (где

$C$ – максимальная компактная подгруппа в связной группе Ли

$F$ , а

$\Gamma$ – равномерная решетка в

$F$ , свободная от кручения) мы будем называть стандартным представлением базы. База натурального расслоения может иметь несколько различных (причем существенно различных) стандартных представлений.

Слой натурального расслоения имеет вид

$M_c = K/L$ , где

$L = K \cap H'$ – стационарная подгруппа для некоторой точки

$m_0 \in M'$ (она является замкнутой подгруппой в компактной группе Ли

$K$ ). Если мы предполагаем, что группа Ли

$G$ односвязна (а мы так и будем делать), то и максимальная компактная подгруппа

$K$ будет, как известно, односвязна, а потому она обязательно будет полупростой. Поэтому

$M_c$ – однородное пространство компактной полупростой группы Ли. Слой

$M_c$ натурального расслоения почти односвязен, т. е. его фундаментальная группа

$\pi_1(M_c)$ конечна. Важный частный случай – когда этот слой односвязен. Необходимое и достаточное условие односвязности слоя

$M_c$ (или, что эквивалентно, связности подгруппы

$L = K \cap H'$ ) – это условие отсутствия кручения у фундаментальной группы

$\pi_1(M)$ многообразия

$M$ (в предположении, что действие

$K$ на

$M$ эквиорбитно).

Структурной группой натурального расслоения является компактная группа Ли

$Q = N_K (L)/L$ , где

$N_K(L)$ – нормализатор подгруппы Ли

$L$ в

$K$ . Эта группа Ли

$Q$ (вообще говоря, несвязная) может рассматриваться как группа всех автоморфизмов однородного пространств

$K/L$ (т. е. диффеоморфизмов, перестановочных с транзитивным действием группы Ли

$K$ ). Естественное действие группы

$Q$ на слое натурального расслоения свободно.

Переходя к подходящему многообразию

$M'$ , структурную группу Ли можно считать связной (редуцировав к ней натуральное расслоение). Если удается редуцировать структурную группу к

$\{ e \}$ , то натуральное расслоение будет тривиально (что имеет место далеко не всегда; условия такой тривиальности в некоторых частных случаях даны в [6]). Структурная группа

$Q$ натурального расслоения, указанная выше, в некоторых частных случаях может быть редуцирована к некоторой своей подгруппе или же расширена (что тоже иногда оказывается полезным).

Рассмотрим теперь естественное действие фундаментальной группы

$\pi_1(M_a)$ (которая является единственной нетривиальной гомотопической группы асферичного многообразия

$M_a$ ) базы натурального расслоения на его слое

$M_c$ . При подходящем выборе

$M'$ , конечнолистно накрывающего многообразие

$M$ , это действие будет гомотопически тривиально (и потому натуральное расслоение будет гомотопически просто). В частности, тогда и действие

$\pi_1(M_a)$ на

$\pi_1(M_c)$ будет тривиально.

Имеется расслоение, называемое нами борелевским, компактного однородного пространства

$M=G/H$ , которое в некотором смысле двойственно к натуральному расслоению. Оно имеет вид

$M^L \to M' \to K/N_K(L)$ , где

$K$ – максимальная компактная подгруппа в односвязной группе Ли

$G$ ,

$L$ – стационарная подгруппа естественного действия

$K$ на многообразии

$M$ ,

$M^L$ – множество (на самом деле – подмногообразие) неподвижных точек действия

$L$ на

$M'$ . Структурной группой этого расслоения является группа

$Q=N_K(L)/L$ – та же, что и для натурального расслоения. В отличие от случая натурального расслоения, база и слой борелевского расслоения, даже их размерности, в общем случае не будут определены топологически однозначно (в том числе и с точностью до конечнолистного накрытия). Но борелевское расслоение позволяет в некоторых частных случаях подробно описать строение компактных однородных пространств, и потому его изучение нередко оказывается полезным.

Для базы

$M_a$ натурального расслоения (или для некоторого многообразия

$M'_a$ , соответствующего подходящему однородному пространству

$M''$ , конечнолистно накрывающему

$M'$ ) может быть, в свою очередь, построено еще одно полезное расслоение – структурное расслоение

$M_r \to M_a \to M_s$ . Это – гладкое локально тривиальное расслоение, слой которого имеет вид

$M_r=R/D$ (где

$D$ – равномерная решетка в некоторой односвязной разрешимой группе Ли

$R$ ), а база

$M_s$ имеет вид

$U\setminus S/\Pi$ , где

$S$ – некоторая полупростая связная группа Ли с конечным центром,

$U$ – максимальная компактная подгруппа Ли в

$S$ , а

$\Pi$ – равномерная решетка в

$S$ . При этом

$U \setminus S$ является симметрическим пространством отрицательной кривизны, а

$U \setminus S/\Pi$ – локально симметрическим пространством, являющемся компактной геометрической формой для симметрического пространства

$U\setminus S$ . Структурное расслоение можно рассматривать как некоторый аналог разложения Леви для групп Ли, построенный для компактных однородных пространств (точнее, для баз их натуральных расслоений).

Отметим, что случаи, когда компоненты расслоений, такие как

$M_c$ ,

$M_r$ ,

$M_s$ , вырождаются в точку, были ранее подробно исследованы автором.

Рассмотрим два примера натуральных расслоений для компактных трехмерных однородных пространств. Положим

$M_1= (\mathrm{SU}(2)/\mathrm{SO}(2)) \times \mathrm{SO}(2)$ – это однородное пространство компактной группы Ли

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SO}(2)$ . Оно диффеоморфно

$S^2\times S^1$ . Натуральное расслоение для него тривиально, база диффеоморфна окружности

$S^1$ , а слой – двумерной сфере

$S^2$ .

Теперь рассмотрим еще одно однородное пространство

$M_2= \mathrm{U}(2)/\mathrm{O}(2)$ . Для него база натурального расслоения тоже диффеоморфна

$S^1$ , а слой – многообразию

$S^2$ (подробнее см. ниже). Другими словами, два рассматриваемых нами однородных многообразия имеют одинаковые слои и базы натуральных расслоений. Отметим, что однородное многообразие

$M_2$ в [7] было пропущено (при неполном использовании результата из статьи [8]). Фундаментальные группы обоих однородных пространств изоморфны, как нетрудно проверить, группе

$\mathbf{Z}$ . Многообразие

$M_1$ двулистно накрывает многообразие

$M_2$ (накрытие это соответствует подгруппе

$2\mathbf{Z} \subset \mathbf{Z}$ в фундаментальной группе

$\pi_1(M_2)$ ). В статье [7] (а потом и в [1]) утверждалось, что трехмерное компактное однородное многообразие определяется с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой. Однако это общее утверждение имеет одно исключение – приведенные выше однородные пространства

$M_1$ ,

$M_2$ имеют изоморфные фундаментальные группы, но ниже доказано, что они не диффеоморфны. При этом у них и все гомотопические группы попарно изоморфны.

Докажем недиффеоморфность двух многообразий

$M_1$ ,

$M_2$ . Для этого подробнее изучим

$M_2$ . Cледуя общей конструкции натурального расслоения, нужно перейти от группы Ли

$\mathrm{U}(2)$ к ее универсальной накрывающей, изоморфной в данном случае группе Ли

$\mathrm{SU}(2)\times \mathbf R$ , и рассмотреть в ней соответствующую подгруппе

$\mathrm{O}(2)$ стационарную подгруппу. Но действие группы

$\mathrm{SU}(2)$ на

$M_2$ при этом не изменится и пространство орбит тоже. Поэтому можно просто рассматривать естественное действие подгруппы (максимальной компактной полупростой)

$\mathrm{SU}(2) \subset \mathrm{U}(2)$ на многообразии

$M_2=\mathrm{U}(2)/\mathrm{O}(2)$ . Отметим, что

$\mathrm{SU}(2)\cap \mathrm{O}(2) =\mathrm{SO}(2)$ . Ясно, что пространство орбит этого действия диффеоморфно окружности

$S^1$ , которая и будет базой натурального расслоения. Слой натурального расслоения для этого однородного пространства

$M_2$ имеет вид

$\mathrm{SU}(2)/(\mathrm{SU}(2)\cap \mathrm{O}(2))$ и он диффеоморфен двумерной сфере

$S^2$ . Структурной группой этого расслоения является группа

$Q=N_{\mathrm{SU}(2)} (\mathrm{SU}(2) \cap \mathrm{O}(2)) / (\mathrm{SU}(2) \cap \mathrm{O}(2))$ . Так как

$N_{\mathrm{SU}(2)} (\mathrm{SU}(2) \cap \mathrm{O}(2))$ – это в точности

$\mathrm{O}(2)$ , то ясно, что группа

$Q$ изоморфна

$\mathbf{Z}_2$ . Действие группы

$Q$ на слое натурального расслоения

$S^2$ свободно и фактор по нему в данном случае – это двумерная проективная плоскость

$\mathbf RP^2$ .

В результате получаем натуральное расслоение

$S^2\to \mathrm{U}(2)/\mathrm{O}(2) \to S^1$ . Естественное действие группы

$\pi_1(S^1)$ на слое этого расслоения нетривиально (оно факторизуется через свободное действие группы

$Q=\mathbf{Z}_2$ ), откуда вытекает, что действие группы

$\pi_1(M_2)$ (изоморфной, как легко проверить, группе

$\pi_1(S^1) = \mathbf{Z}$ ) на второй гомотопической группе

$\pi_2(M_2)$ (изоморфной

$\pi_2(S^2) = \mathbf{Z}$ ) нетривиально. Так как действие

$\pi_1$ на

$\pi_2$ для многообразия

$M_1$ , очевидно, тривиально, то получаем, что многообразия

$M_1$ и

$M_2$ не гомеоморфны (они даже не будут гомотопически эквивалентны). Тем самым мы получили пример двух компактных трехмерных однородных многообразий, у которых все гомотопические группы попарно изоморфны, но сами эти многообразия не являются гомотопически эквивалентными (и, тем более, гомеоморфными). Для трехмерных компактных однородных многообразий это – единственный пример подобного рода.

Если однородное пространство

$M=G/H$ плезиокомпактно, то для него тоже имеется натуральное расслоение, однако база этого расслоения не обязательно компактна, хотя имеет конечную меру (относительно естественным образом введенной на ней меры). Для такой базы

$M_a$ также строится структурное расслоение, слой которого компактен, а база имеет конечную меру. Все сказанное выше о структурной группе сохраняется и для плезиокомпактного случая. Обобщается на плезиокомпактный случай и конструкция борелевского расслоения.

Переходим теперь к изложению новых результатов. Начнем с базы натурального расслоения.

§ 2. База натурального расслоения

База

$M_a$ натурального расслоения в силу своей асферичности определяется однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности своей фундаментальной группой

$\pi_1(M_a)$ . А сама эта фундаментальная группа определяется исходным компактным однородным пространством

$M=G/H$ однозначно с точностью до слабой соизмеримости. Поясним это.

Напомним, что две группы

$D_1$ и

$D_2$ называются слабо соизмеримыми, если в них существуют такие подгруппы конечных индексов

$D_i' \subset D_i$ , а в тех – такие конечные нормальные делители

$\Phi_i\subset D_i'$ (

$i=1,2$ ), что факторгруппы

$D_1'/\Phi_1$ и

$D_2'/\Phi_2$ между собой изоморфны. Соизмеримыми же группы называются в случае, когда изоморфны между собой сами подходящие подгруппы

$D_i'$ . Аналогично два многообразия называются соизмеримыми, если они оба конечнолистно накрываются некоторым третьим многообразием. Как нетрудно понять, два многообразия соизмеримы тогда и только тогда, когда соизмеримы их фундаментальные группы.

Из описания конструкции натурального расслоения, данного выше, выводится, что фундаментальные группы всех баз натуральных расслоений некоторого компактного однородного пространства соизмеримы. А потому эти базы или некоторые многообразия, их конечнолистно накрывающие, гомотопически эквивалентны.

Возникает естественный вопрос – нет ли более тесной связи для компактного однородного пространства между различными базами натуральных расслоений, рассматриваемыми с точностью до конечнолистного накрытия, чем гомотопическая эквивалентность? Оказывается, такая связь существует – они диффеоморфны с точностью до конечнолистного накрытия. Это было доказано автором (усовершенствованный вариант доказательства можно найти в [2]). Но возникает и другой вопрос – а если имеются два компактных асферичных многообразия с изоморфными (а не только соизмеримыми) фундаментальными группами (причем не обязательно оба – базы натуральных расслоений), то будут ли они гомеоморфны? Предположение о диффеоморфности здесь уже неверно, как видно из следующего примера.

Отметим, что обычные (не фальшивые) торы сами являются однородными пространствами (даже компактными группами Ли).

Далее, интересен вопрос о том, насколько необходим для гомеоморфности (уж не говоря о диффеоморфности) баз натуральных расслоений переход к конечнолистным накрытиям (неизбежный в доказательстве из [2])? Ниже даны ответы на эти вопросы.

Существует одна очень общая гипотеза, принадлежащая А. Борелю. В ней предполагается, что если два асферичных компактных многообразия гомотопически эквивалентны (что равносильно тому, что их фундаментальные группы изоморфны), то эти многообразия гомеоморфны (но они не обязательно диффеоморфны; см. пример 1 выше). Эта гипотеза вытекает из гипотез Фаррелла–Джонса (FJC), сформулированных в рамках

$K$ - и

$L$ -теорий (есть также ряд обобщений этих гипотез). В [10] было доказано, что гипотезы FJC справедливы для произвольных равномерных решеток в почти связных группах Ли (там такие группы Ли называют виртуально связными – они характеризуются тем, что имеют только конечное число связных компонент). Затем для того же класса групп в [11] было дано другое доказательство, причем даже в более общей ситуации. В частности, из указанных результатов вытекает следующее утверждение.

Для размерности

$4$ в случае баз натуральных расслоений необходимо отдельное рассмотрение. Если фундаментальная группа базы натурального расслоения полициклична (а так всегда будет, если фундаментальная группа компактного однородного пространства разрешима), то такие группы и соответствующие солвмногообразия нетрудно описать. Для них на самом деле гипотеза FJC уже была проверена. Если же группа

$\pi_1(M_a)$ для четырехмерного

$M_a$ не полициклична, то она изоморфна прямому произведению

$\mathbf{Z}$ и решетки в трехмерной простой группе Ли

$\mathcal A$ – универсальной накрывающей для

$\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ . Здесь все в некоторой степени сводится к трехмерному случаю, для которого применимы указанные выше результаты о FJC. Тем самым для компактных однородных пространств (точнее, для четырехмерных баз натуральных расслоений) утверждение теоремы 1 и приведенного ниже следствия 1 тоже, видимо, верно.

Отметим, что фундаментальная группа асферичного многообразия всегда не имеет кручения, а потому фигурирующие в теореме 1 решетки не имеют кручения. Из теоремы 1 в силу сказанного выше о базах натуральных расслоений получаем следствие.

Доказательство. Как уже было сказано выше, базу натурального расслоения можно (при необходимости переходя к конечнолистному накрытию) записать в стандартном виде

$\Gamma \setminus F /L$ , где

$F$ – некоторая связная группа Ли (на самом деле она тесно связана с исходной транзитивной группой Ли),

$L$ – максимальная компактная подгруппа Ли в

$F$ , а

$\Gamma$ – равномерная решетка (т. е. дискретная подгруппа с компактным факторпространством) в

$F$ . При этом факторпространство

$F/L$ стягиваемо, а действие подгруппы

$\Gamma$ на нем можно считать свободным (что следует из

$\Gamma \cap L = \{e\}$ , см. выше).

В результате получаем, что для базы $M_a$ натурального расслоения, рассматриваемой с точностью до конечнолистного накрытия, фундаментальная группа $\pi_1(M_a)$ изоморфна равномерной решетке $\Gamma$ в связной группе Ли $F$ . А потому применима теорема 1 (т. е. для многообразия $M_a$ справедлива гипотеза Бореля). Следствие 1 доказано.

Есть основания надеяться, что во второй части следствия 1 можно будет утверждение о гомеоморфности баз заменить на их диффеоморфность (пока же это верно только при переходе к подходящим конечнолистным накрытиям).

Что же касается обобщения приведенных в этом параграфе результатов на случай плезиокомпактных однородных пространств, то вопрос остается открытым (ибо он связан с решетками в группах Ли, не являющимися равномерными, для которых FJC пока не проверена).

§ 3. Структурное расслоение базы натурального расслоения

Здесь, основываясь на результатах § 2, мы рассмотрим вопросы единственности объектов структурного расслоения – его слоя и базы.

Для базы

$M_a$ натурального расслоения компактного однородного пространства

$M=G/H$ структурное расслоение имеет вид

$M_r \to M_a\to M_s$ . Выделение многообразий

$M_r$ и

$M_s$ аналогично выделению в группе Ли ее радикала и полупростой части.

Обозначим фундаментальные группы асферичных многообразий

$M_r$ и

$M_s$ через

$\pi_r$ и

$\pi_s$ соответственно. Они определяются фундаментальной группой

$\pi_1(M)$ однозначно с точностью до соизмеримости. А само это расслоение в силу асферичности многообразия

$M_a$ определяется однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности расслоений (с учетом возможности перехода к конечнолистному накрытию). Так же, как в случае многообразия

$M_a$ , многообразия

$M_r$ ,

$M_s$ определены с точностью до диффеоморфизма и конечнолистного накрытия. Для этих двух многообразий также справедлива гипотеза Бореля (см. выше), и потому в случае, если базы (или слои) структурного расслоения размерности

$\ne 4$ имеют изоморфные фундаментальные группы, то они гомеоморфны (предположительно, они будут и диффеоморфны).

Структурное расслоение порождает следующую точную последовательность групп (это – единственный нетривиальный отрезок точной гомотопической последовательности этого расслоения):

$\{e\} \to \pi_r \to \pi_1(M_a) \to \pi_s \to \{ e \}$ .

Все три группы здесь свободны от кручения. В силу этой точной последовательности группа

$\pi_1(M_a)$ представляет собой расширение (вообще говоря, неабелево) разрешимой группы

$\pi_r$ с помощью группы

$\pi_s$ (отметим, что иногда используется другая терминология – говорят о расширении группы

$\pi_s$ с помощью группы

$\pi_r$ ). Как известно, такое (неабелево) расширение задается классом когомологий

$c \in H^2(\pi_s, Z(\pi_r))$ – характеристическим классом расширения, лежащим в группе двумерных когомологий группы

$\pi_s$ с коэффициентами в центре

$Z(\pi_r)$ группы

$\pi_r$ (см., например, [12]). В частности, если этот класс когомологий равен

$0$ (так будет, например, если группа

$H^2(\pi_s, Z(\pi_r))$ тривиальна, что вполне возможно – это всегда будет, если центр

$Z(\pi_r)$ тривиален), то расширение расщепляется и группа

$\pi_1(M_a)$ может быть представлена в виде полупрямого произведения подгруппы, изоморфной

$\pi_s$ , и разрешимого нормального делителя, изоморфного

$\pi_r$ . В этом случае структурное расслоение имеет сечение. В общем случае, однако, этот класс когомологий

$c$ , построенный для базы натурального расслоения, будет нетривиален. Вот простейший возможный пример.

Пример 2. Рассмотрим компактное трехмерное однородное пространство $M = \mathrm{SL}(2, \mathbf{R})/\Gamma$ , где $\Gamma$ – некоторая равномерная решетка в $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ , свободная от кручения. Таких решеток (причем даже арифметических) в группе $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ имеется очень много. Сама группа $\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})$ асферична, и поэтому слой натурального расслоения $M_c$ здесь вырождается в точку, а потому $M_a=M$ . Структурное расслоение здесь имеет вид $S^1\to M_a\to F_g$ – это расслоение на окружности $S^1$ над компактной ориентируемой поверхностью $F_g$ рода $g \geqslant 2$ (род $g$ зависит от выбора решетки $\Gamma$ ). Интересующая нас группа когомологий $H^2(F_g, \mathbf{Z})$ здесь изоморфна $\mathbf{Z}$ , и характеристический класс этого расслоения $k \in \mathbf{Z}$ (зависящий от $\Gamma)$ , как хорошо известно, не равен нулю.

Для плезиокомпактных однородных пространств единственности (с точностью до конечнолистного накрытия) базы натурального расслоения, базы и слоя структурного расслоения вытекают из теоремы жесткости Мостова (см. [1]). Отметим, что здесь многообразие

$M_r$ всегда компактно.

§ 4. Структурная группа натурального расслоения

Перейдем теперь к рассмотрению второго элемента натурального расслоения – его структурной группы. Как было уже сказано, для компактного однородного пространства

$M=G/H$ , рассматриваемого с точностью до конечнолистного накрытия, структурной группой натурального расслоения можно взять компактную группу Ли

$N_K L/L$ , где

$K$ – максимальная связная компактная подгруппа Ли в транзитивной группе Ли

$G$ , предполагаемой односвязной (в силу чего подгруппа

$K$ полупроста и тоже односвязна), а

$L=K\cap H$ – стационарная подгруппа, тоже являющаяся компактной (но не обязательно связной или односвязной). На самом деле иногда удается уменьшить (редуцировать) структурную группу

$Q$ к некоторой ее подгруппе. Например, всегда можно редуцировать группу

$Q$ к ее связной компоненте единицы

$Q_0$ (получив тем самым связную структурную группу). Правда, при этом, возможно, потребуется заменить однородное пространство

$G/H$ на некоторое другое – вида

$G/H'$ – его конечнолистно накрывающее (где

$H'$ – некоторая подгруппа конечного индекса в

$H$ ). В частности, иногда возможна даже редукция к единичной подгруппе, что дает нам тривиальность натурального расслоения (некоторые возможности для такой редукции см. в [6]). С другой стороны, иногда бывает полезно расширить структурную группу

$Q$ , чтобы потом ее редуцировать, выйдя за пределы

$Q$ (пример см. в [13]).

Говоря о редукциях или расширениях структурной группы, мы имеем в виду переходы к расслоениям компактного однородного пространства, для которых две структурные группы (старая и новая) имеют различные размерности. Но естественно возникает и такой вопрос – а могут ли на некотором компактном многообразии существовать транзитивно и локально эффективно действующие связные группы Ли, для которых структурные группы имеют одинаковые размерности, но не являются изоморфными? Оказывается, что такое явление возможно. Классический пример такого рода получаем из факта, что группы Ли

$\mathrm{SO}(4)$ и

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SO}(3)$ диффеоморфны, но не изоморфны (они обе двулистно накрываются спинорной группой Ли

$\operatorname{Spin}(4)$ ). Прямое доказательство диффеоморфности этих групп Ли можно найти, например, в [14]. Что касается их неизоморфности, то это следует из факта, что подгруппы в

$\operatorname{Spin}(4)$ , изоморфные

$\mathbf{Z}_2$ , факторгруппы по которым дают нам

$\mathrm{SO}(4)$ и

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SO}(3)$ , не будут сопряжены в группе автоморфизмов группы Ли

$\operatorname{Spin}(4)$ с помощью какого-либо автоморфизма (ни внутреннего, ни внешнего). Две эти диффеоморфные между собой группы Ли, рассматриваемые как однородные пространства, имеют разные структурные группы натуральных расслоений (базы этих расслоений вырождаются в точку, а слои и структурные группы совпадают с этими самыми группами Ли).

Но оказывается, что имеет место и множество других примеров такого рода. Вот описание некоторой серии подобных примеров.

Пример 3. Пусть $K$ – некоторая полупростая односвязная компактная группа Ли, а $Z$ – некоторая нетривиальная подгруппа ее центра (который всегда конечен).

Рассмотрим компактную полупростую группу $G = K \times K$ и отображение $f\colon K \,{\times}\, K \,{\to}\, K \,{\times}\, K$ , переводящее $(k_1,k_2) \,{\in}\, K \,{\times}\, K$ в $(k_1, k_1^s k_2)$ (здесь $s$ – некоторое ненулевое целое число, взаимно простое с порядком подгруппы $Z$ ). Нетрудно понять, что это отображение является диффеоморфизмом. Под его действием подгруппа $Z \times \{ e\} \subset K \times K$ переходит в центральную подгруппу группы $K \times K$ , состоящую из элементов вида $(z_1, z_1^s z_2)$ , где $z_1,z_2 \in Z$ .

Рассмотрим теперь две группы Ли $G_1= G/Z\times \{e\}$ и $G_2= G/f(Z)$ . Эти две группы диффеоморфны – нужный нам диффеоморфизм индуцируется диффеоморфизмом $f$ в силу того, что отображение $f$ перестановочно с действием изоморфных групп $Z$ и $f(Z)$ . Но вот изоморфными группы Ли $G_1$ , $G_2$ будут далеко не всегда.

При $K=\mathrm{SU}(2)$ и $s=1$ приведенная нами общая конструкция порождает уже упоминавшийся выше пример диффеоморфных, но не изоморфных групп $\mathrm{SO}(3) \times \mathrm{SU}(2)$ и $\mathrm{SO}(4)$ . Вообще, если группа $K$ проста и $s=1$ , то построенные нами диффеоморфные компактные полупростые группы Ли $G_1$ , $G_2$ никогда не будут между собой изоморфны.

Отметим, что значения

$s$ , отличные от

$\pm 1$ , могут быть нам полезны, только если в рассмотрениях участвует группа

$\mathrm{SU}(n)$ при

$n >2$ , ибо только тогда центр этой группы содержит элементы порядка

$>2$ (мы при этом позволим себе игнорировать две группы

$\operatorname{Spin}(8)$ и исключительную группу

$E_6$ , центры которых изоморфны

$S_3$ и

$\mathbf{Z}_3$ соответственно). (Подробнее о связи изоморфности и диффеоморфности компактных групп Ли см. [15], а также статью [16], где подробно изучена эта связь и рассмотрен пример 3 в более общей ситуации.)

При рассмотрении структурных групп

$Q_0$ естественно возникает и такой вопрос – какие компактные связные группы Ли могут быть реализованы в виде структурных групп вида

$(N_K (L)/L)_0$ для компактных однородных пространств? Ответом на этот вопрос является следующее утверждение.

Доказательство. Для начала отметим, что в качестве группы Ли, имеющей вид

$N_K(L)/L$ (для некоторых

$K,L$ ), мы можем реализовать любой тор (т. е. абелеву компактную группу Ли). Любой тор

$T$ можно представить в виде прямого произведения нескольких одномерных связных групп Ли (изоморфных

$\mathrm{SO}(2)$ ):

$T=\times_i\, \mathrm{SO}(2)$ . Рассмотрим односвязную простую группу Ли

$K=\mathrm{SU}(3)$ , некоторый ее максимальный (двумерный) тор

$A$ , а в нем некоторый одномерный тор

$A'$ общего положения. Ясно, что для таких

$K$ и

$L=A'$ группа

$(N_K(L)/L)_0$ изоморфна

$\mathrm{SO}(2)$ . Отсюда следует, что для компактного однородного пространства группы Ли

$\times_i\, \mathrm{SU}(3)$ со стационарной подгруппой

$\times_i\, \mathrm{SO}(2)$ связная компонента группы автоморфизмов изоморфна группе Ли

$\times_i\, \mathrm{SO}(2)$ , т. е. исходному тору

$T$ . Тем самым мы получили реализацию заданного тора в виде связной компоненты единицы группы автоморфизмов компактного однородного пространства

$\times_i \, \mathrm{SU}(3)/\times_i\, \mathrm{SO}(2)$ компактной полупростой группы Ли.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.

Произвольная связная компактная группа Ли $U$ , как известно, может быть представлена в виде почти прямого произведения центрального тора (связной компоненты единицы центра этой группы Ли) и полупростой компактной группы Ли (совпадающей с коммутантом исходной компактной группы Ли). Почти прямое произведение – это разложение группы в произведение двух подгрупп, пересечение которых дискретно. В случае компактной группы Ли $U$ ее центр и полупростая часть компактны, а их пересечение конечно. Поэтому для каждой такой группы Ли $U$ существует такое конечнолистное накрытие группой Ли $U'$ , которая будет компактной группой Ли, разлагающейся в прямое произведение тора (=компактной абелевой группы Ли) и полупростой компактной группы Ли. Заменив исходную группу Ли $U$ на локально изоморфную ей компактную группу Ли $U'$ , мы можем считать, что уже исходная группа Ли $U$ разлагается в прямое произведение полупростой компактной группы Ли $C$ и тора $T$ : $U=C\times T$ .

Положим $K= C \times (\times _i\, \mathrm{SU}(3))$ (где группа Ли $\times_i\, \mathrm{SU}(3)$ описана выше и строится по тору $T$ ). Группа Ли $K$ компактна, связна, полупроста. Положим $L=\times\, A_i'$ (где одномерные торы $A'$ описаны выше). Как легко понять, имеем изоморфизм $(N_K(L)/L)_0 \simeq Q$ . Тем самым для произвольного компактного однородного пространства $K/L$ связная компонента единицы группы автоморфизмов локально изоморфна заданной компактной связной группе Ли $Q$ .

Но в теореме 2 еще утверждается, что группу Ли $K$ можно выбрать односвязной. Мы уже доказали, что $(N_K(L)/L_0) \simeq Q$ . Пусть $p\colon \widetilde C \to C$ – универсальное накрытие группы Ли $C$ . Положим $\widetilde K=\widetilde C \times (\times _i\,\mathrm{SU}(3))$ будет односвязная группа Ли, универсально накрывающая группу $K$ . Обозначив отображение этого универсального накрытия через $p$ , рассмотрим однородное пространство $\widetilde K/p^{-1}(L)$ . Легко понять,что группы автоморфизмов однородных пространств $K/L$ и $\widetilde K/p^{-1}(L)$ изоморфны. Тем самым мы получили искомое представление для $Q$ , в котором транзитивная группа Ли односвязна. Теорема 2 доказана.

В качестве следствия теоремы 2 получаем возможность реализовать – с точностью до локального изоморфизма – в виде связной структурной группы натурального расслоения подходящего компактного однородного пространства любую связную компактную группу Ли. При этом в качестве такого однородного пространства можно, например, брать однородные пространства вида

$K/L$ , а также пространства вида

$M=K/L\times R/\Gamma$ – прямые произведения компактного однородного пространства

$K/L$ компактной полупростой группы Ли и однородного пространства

$R/\Gamma$ (солвмногообразия) – факторпространства разрешимой группы Ли

$R$ по некоторой ее равномерной решетке

$\Gamma$ . Для такого однородного пространства

$M$ слоем натурального расслоения будет

$K/L$ , а базой – солвмногообразие

$R/\Gamma$ (оно всегда асферично в силу разрешимости группы Ли

$R$ ). Для указанного однородного пространства структурная группа его натурального расслоения – это в точности группа

$Q$ , хотя из самой конструкции этого однородного пространства видно, что эту структурную группу в данном случае можно редуцировать к

$\{ e\}$ (так как это однородное пространство есть прямое произведение слоя

$M_c=K/L$ и базы

$M_a=R/\Gamma$ натурального расслоения). Это как раз подтверждает сделанное выше замечание о том, что “стандартную” структурную группу

$Q$ можно иногда уменьшать (редуцировать к некоторой подгруппе). Но иногда ее можно уменьшать и по-другому – вначале расширить, а потом расширенную структурную группу редуцировать (даже иногда к единичной группе). Именно таким способом была доказана тривиальность натурального расслоения для многообразия

$\mathrm{SL}(3,\mathbf{R})/H$ (подробно описанного, например, в [13]), которое, как оказалось, диффеоморфно многообразию

$F_g\times \mathbf{R}P^3$ (прямому произведению компактной ориентируемой поверхности

$F_g$ рода

$g \geqslant 2$ и трехмерного проективного пространства).

После замечаний о редукциях структурной группы

$Q$ к ее подгруппам естественно возникает вопрос – нет ли какой-либо универсальной редукции структурной группы

$Q=N_K(L)/L$ для произвольных компактных однородных пространств? Оказывается, что в некоторых случаях группу

$Q$ редуцировать к какой-либо ее собственной подгруппе нельзя, и потому только указанная группа

$Q$ представляет собой универсально значимую структурную группу натурального расслоения (что не исключает возможностей ее редукции в некоторых частных случаях). Для иллюстрации сделанного утверждения рассмотрим следующий пример.

Пример 4. Рассмотрим компактное однородное пространство вида $M=\mathrm{SO}(1,n)/\Gamma$ , где $\Gamma$ – некоторая равномерная решетка в псевдоортогональной группе Ли $\mathrm{SO}(1,n)$ , свободная от кручения. Натуральное расслоение для $M$ имеет вид $\mathrm{SO}(n)\to M \to \mathrm{SO}(n)\setminus \mathrm{SO}(1,n)/\Gamma$ . База $M_a=\mathrm{SO}(n)\setminus \mathrm{SO}(1,n)/\Gamma$ этого расслоения – симметрическое пространство, причем его группа голономии, как известно, совпадает с $\mathrm{SO}(n)$ (см. [17]). Но $\mathrm{SO}(n)$ – структурная группа этого расслоения (которое в данном случае является главным расслоением, ассоциированным с касательным расслоением многообразия $M_a$ ), и потому редуцированной к некоторой подгруппе в $\mathrm{SO}(n)$ , будучи группой голономии, она не может быть.

Итак, нами уточнены свойства базы

$M_a$ и структурной группы

$Q$ натурального расслоения для произвольных компактных однородных пространств

$M=G/H$ . Само натуральное расслоение классифицируется (как и всякое расслоение над заданной базой с заданной структурной группой) гомотопическим классом соответствующего (классифицирующего) непрерывного отображения

$f\colon M_a \to BQ$ асферичной базы

$M_a$ в классифицирующее пространство

$BQ$ структурной группы

$Q$ . Здесь, конечно, возникает естественный вопрос – для каких гомотопических классов отображений

$f\colon M_a \to BQ$ (при заданных

$M_a$ и

$Q$ ) пространство соответствующего расслоения над

$M_a$ со слоем

$K/L$ и структурной группой

$Q = N_K(L)/L$ будет однородным пространством некоторой конечномерной группы Ли. Но автор полагает, что получить осмысленный ответ на этот вопрос очень трудно, ибо в терминах гомотопической топологии (в частности, классифицирующих отображений) говорить об однородности многообразий относительно конечномерных групп Ли очень трудно. Еще одной причиной этого скептицизма является также разнообразие баз натуральных расслоений. Приведем пример неожиданностей, которые здесь имеют место.

Пример 5. Пусть $F_g$ – компактная ориентируемая поверхность рода $g \geqslant 2$ . Это двумерное многообразие не является однородным, но вот базой натурального расслоения для однородных пространств оно может быть. Подробно о таких однородных пространствах сказано, например, в [18]. В частности, прямое произведение $F_g \times S^3$ любой такой поверхности на трехмерную сферу однородно (например, относительно группы Ли $\mathrm{SL}(3,\mathbf{R})$ ). Однако оказывается, что структурными группами натуральных расслоений с базой $F_g$ не могут быть компактные простые группы Ли $Sp_n$ (и единственные локально им изоморфные группы Ли – факторгруппы по центру, изоморфному $\mathbf{Z}_2$ ) при $n\geqslant 7$ (см. [18]). Хотя другие классические простые компактные группы Ли здесь в качестве структурных групп натуральных расслоений быть могут! Трудно понять, чем “не угодила” базе $F_g$ серия простых групп Ли $Sp_n$ . Рассмотрим чуть подробнее ситуацию с этими группами.

Расслоения над $F_g$ со структурной группой $Sp_n$ классифицируются гомотопическими классами отображений $f\colon F_g\to BSp_n$ в классифицирующие пространства. Таким отображением является, в частности, тривиальное (отображение в точку). Но однородному пространству, в силу сказанного выше, это отображение не соответствует. На самом деле же любое непрерывное отображение $f$ в данном случае гомотопно тривиальному (это следует из того, что первая и вторая гомотопические группы пространства $BSp_n$ тривиальны, а поверхность $F_g$ двумерна).

§ 5. Слой натурального расслоения

Переходим к третьему элементу натурального расслоения – к его слою

$K/L$ . Здесь

$K$ – связная, односвязная компактная группа Ли, а

$L$ – некоторая ее замкнутая (но, вообще говоря, не обязательно связная или односвязная) подгруппа Ли. Сразу отметим, что даже рассматривая компактные однородные пространства с точностью до конечнолистного накрытия, мы не всегда можем добиться того, что слой натурального расслоения станет односвязным (для чего было бы достаточно сделать так, чтобы подгруппа

$L$ была заменена на связную). Вот попытка построить пример такого рода. Вначале отметим, что односвязным слой натурального расслоения может быть тогда и только тогда, когда фундаментальная группа однородного пространства

$G/H$ не имеет кручения (см. [19]).

Пример 6. На самом деле здесь рассматривается не реальный, а гипотетический пример.

Пусть $\Gamma$ – некоторая группа. Она называется виртуально свободной от кручения, если в ней существует подгруппа конечного индекса, свободная от кручения. Примером (не гипотетическим!) такой группы является, например, любая конечно порожденная линейная группа (лемма Сельберга; см., например, [20]). Примером (причем очень ярким) группы, которая не является виртуально свободной от кручения, является любой Монстр Тарского, соответствующий произвольно заданному простому числу $p$ . Монстрами Тарского называются такие конечно порожденные (фактически – порожденные двумя элементами) бесконечные группы, каждая нетривиальная подгруппа которых является циклической группой (конечной!) фиксированного простого порядка. Ясно, что любой Монстр Тарского не является группой, виртуально свободной от кручения.

Существование монстров Тарского (причем даже простых групп) было доказано А. Ю. Ольшанским в 1979 г. [21]. Имеется и немало других примеров групп, не являющихся виртуально свободными от кручения. Среди таких примеров – и некоторые решетки в полупростых классических группах Ли (см. [22], для равномерных решеток см. [23]). Но у всех известных примеров таких решеток есть одна особенность, которая для нас является существенным недостатком, – это решетки в (простых) группах Ли, не являющихся односвязными (и, более того, имеющих бесконечную фундаментальную группу). А вот равномерных решеток в односвязных простых (или полупростых) группах Ли, которые не являются виртуально свободными от кручения, до сих пор найти не удалось. Но мы предположим, что такие решетки существуют, и на этой основе построим наш гипотетический пример.

Пусть $\Gamma$ – решетка в некоторой односвязной полупростой группе Ли $S$ , не являющаяся виртуально свободной от кручения (напомним, что пока такие группы не обнаружены). Рассмотрим компактное однородное пространство $M = S/\Gamma$ и натуральное расслоения для него (или для некоторого компактного однородного пространства $S/\Gamma'$ , его конечнолистно накрывающего). Это натуральное расслоение имеет вид $K/L \to M \to M_a$ , где слой $K/L$ – это однородное пространство максимальной компактной подгруппы Ли $K$ со стационарной подгруппой $L\subset K$ , которая в нашем случае будет, очевидно, дискретной. Но так как решетка $\Gamma$ не является виртуально свободной от кручения, то таковой будет и ее подгруппа $\Gamma'$ конечного индекса. А потому подгруппа $L$ в нашем гипотетическом примере будет нетривиальной конечной подгруппой, и поэтому слой $K/L$ натурального расслоения будет неодносвязен. При этом замена $\Gamma$ на любую ее подгруппу конечного индекса $\Gamma'$ не сможет в результате дать нам тривиальную подгруппу $L$ . Другими словами, у любого натурального расслоения нашего компактного однородного пространства $M=S/\Gamma$ слой всегда будет неодносвязен.

Продолжим рассмотрение свойств слоя натурального расслоения.

Слой натурального расслоения определен однозначно с точностью до тангенциальной гомотопической эквивалентности (см. [13]). Поясним это. Для начала напомним, что гомотопическая эквивалентность многообразий называется тангенциальной, если она индуцирует стабильный (т. е. с точностью до прибавления тривиальных расслоений) изоморфизм касательных расслоений. Для натурального расслоения

$M_c\to M\to M_a$ рассмотрим накрытие над

$M$ , которое соответствует универсальному накрытию над

$M_a$ . Так как многообразие

$\widetilde M_a$ , универсально накрывающее

$M_a$ , диффеоморфно некоторому евклидову пространству

$\mathbf{R}^k$ , то расслоение, индуцированное этим накрытием, тривиально и пространство указанного накрытия над

$M$ диффеоморфно прямому произведению

$M_c\times \mathbf{R}^k$ . Отсюда следует, что если для данного однородного пространства

$M$ существует другое натуральное расслоение с некоторым другим слоем, то оба эти слоя тангенциально гомотопически эквиваленты (так как диффеоморфны некоторые их прямые произведения на параллелизуемые многообразия, например, на

$\mathbf{R}^k$ ). Однако оказывается, что существуют компактные однородные пространства с конечной фундаментальной группой, которые не являются гомеоморфными, хотя они и просто (речь идет о понятии просто-гомотопической эквивалентности), и тангенциально гомотопически эквивалентны. Такого рода многообразия размерности

$5$ приведены в [24]. Они являются пространствами расслоений над двумерной сферой со слоем – линзовым пространством. В этой статье говорится, что все построенные там многообразия являются однородными пространства компактной группы Ли

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ . На самом деле на этих многообразиях транзитивна и полупростая группа Ли

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ . Дело в том, что рассматриваемые многообразия компактны, имеют конечную фундаментальную группу, а потому в силу весьма общей теоремы Монтгомери (см., например, [1]) на этом многообразии транзитивна и максимальная полупростая подгруппа транзитивной группы Ли (в примерах из [24] это будет группа

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ , что легко обнаружить и при детальном изучении описанного там транзитивного действия).

Интересно отметить, что тангенциально гомотопически эквивалентных компактных групп Ли, которые не являются гомеоморфными, до сих пор не найдено. Хотя если компактные группы Ли просты и односвязны, то и из их обычной гомотопической эквивалентности вытекает даже их изоморфность.

Отметим теперь, что тангенциально гомотопически эквивалентные многообразия при прямом умножении на параллелизуемые многообразия достаточно большой размерности становятся диффеоморфными [25]. Используем этот факт для того, чтобы доказать возможность неединственности слоя натурального расслоения для компактных однородных пространств. Для этого возьмем какие-то два – обозначим их

$N_1^5$ ,

$N_2^5$ – из пятимерных многообразий, построенных в [24], которые не гомеоморфны, но тангенциально гомотопически эквивалентны. Рассмотрим прямые произведения этих двух многообразий на тор

$T$ (хотя здесь обычно умножают на открытый диск, но на самом деле важна лишь параллелизуемость этого множителя) достаточно большой размерности (достаточно взять эту размерность на

$2$ больше размерности умножаемых многообразий). Получим два многообразия

$M_1=N_1\times T$ ,

$M_2=N_2 \times T$ . Они будут гомеоморфны и даже диффеоморфны, а также они, очевидно, однородны (как прямые произведения однородных пространств

$N_i$ и

$T$ ). Тем самым мы получаем здесь одно компактное однородное многообразие

$M$ (с разными транзитивными действиями групп Ли). Здесь

$N_i$ будут слоями натуральных расслоений для

$M$ , а тор

$T$ будет базой этих расслоений (причем оба натуральных расслоения тривиальны). Тем самым доказано следующее утверждение.

В результате приходим к такому выводу: слои натурального расслоения всегда тангенциально гомотопически эквивалентны, но не всегда гомеоморфны. Поэтому бывшая ранее у автора надежда на единственность слоя натурального расслоения не оправдалась.

Но даже если слои натурального расслоения оказываются гомеоморфными, они вовсе не обязательно будут диффеоморфны. Например, в [26] построены примеры односвязных компактных однородных пространств размерности

$7$ , которые гомеоморфны, но не диффеоморфны. Натуральные расслоения для этих многообразий вырождаются – базой будет точка, а слоями – сами эти многообразия. Потому недиффеоморфность этих гомеоморфных многообразий дает нам нужный пример для слоев натуральных расслоений. Заметим, что указанную в [26] (следуя Э. Виттену) транзитивную редуктивную (с одномерным центром) компактную группу

$\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(1)$ можно заменить (чего авторы не заметили) на транзитивную ее же собственную полупростую подгруппу

$\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)$ (используя теорему Монтгомери, уже использовавшуюся выше).

Все сказанное в этом параграфе автоматически переносится на случай плезиокомпактных однородных пространств, так как и там слой имеет вид

$K/L$ .

§ 6. Борелевское расслоение

Борелевское расслоение – это еще одно естественное расслоение, которое можно построить для произвольного (рассматриваемого с точностью до конечнолистного накрытия) компактного однородного пространства. База этого расслоения имеет вид

$K/N_K(L)$ (в обозначениях, указанных выше) и не представляет для нас сейчас особого интереса.

Здесь будет рассмотрен подробно слой

$M^L$ борелевского расслоения для компактных однородных пространств

$M=G/H$ . В [27] было доказано, что этот слой является компактным однородным пространством некоторой группы Ли (тесно связанной с исходной транзитивной группой Ли

$G$ ) при условии, что фундаментальная группа

$\pi_1(M)$ не имеет кручения. Однако это условие довольно ограничительно при рассмотрении произвольных компактных однородных пространств. И переход к подходящему конечнолистному накрытию здесь, видимо, не всегда исправляет ситуацию (о проблеме перехода к подгруппе конечного индекса, свободной от кручения, уже было сказано выше).

Но оказывается, что сделанное предположение о виртуальном отсутствии кручения у фундаментальной группы можно отбросить. Доказательству этого утверждения и посвящен данный параграф.

Для произвольной группы

$\Gamma$ (нас будут интересовать только дискретные группы) через

$\mathrm{Tors}(\Gamma)$ обозначим множество всех элементов конечного порядка в

$\Gamma$ . Это множество не всегда бывает подгруппой. Может даже оказаться, что оно порождает всю группу

$\Gamma$ , которая имеет и элементы бесконечного порядка.

Мы будем называть группу

$\Gamma$ имеющей слабое кручение, если множество

$\mathrm{Tors}(\Gamma)$ является центральной конечной подгруппой в

$\Gamma$ .

Отметим, что если множество

$\mathrm{Tors}(\Gamma)$ содержится в некоторой абелевой подгруппе группы

$\Gamma$ , то оно обязательно будет подгруппой в

$\Gamma$ , причем нормальной. Далее, если

$\mathrm{Tors}(\Gamma)$ – конечная подгруппа (автоматически нормальная), то существует такая подгруппа конечного индекса в

$\Gamma$ , кручение которой является слабым. Это легко увидеть, если рассмотреть действие сопряжениями группы

$\Gamma$ на

$\mathrm{Tors}(\Gamma)$ и взять в качестве искомой подгруппы конечного индекса ядро этого действия.

Доказательство. Положим

$\Gamma = \pi_1(M)$ . Так как группу Ли

$G$ , транзитивную на

$M$ , мы, как обычно, предполагаем односвязной, то группа

$\Gamma$ изоморфна группе связных компонент

$H/H_0$ группы Ли

$H$ . Нам нужно найти в

$\Gamma$ такую подгруппу конечного индекса, что множество ее элементов конечного порядка образует конечную центральную подгруппу.

Через $c \colon H\to H/H_0$ обозначим естественный эпиморфизм и положим $H_{\mathrm{tors}} = c^{-1}(\mathrm{Tors}(\Gamma))$ . Подмножество $H_{\mathrm{tors}}$ в общем случае подгруппой не является. Но если $\mathrm{Tors}(\Gamma)$ – подгруппа в $\Gamma$ , то $H_{\mathrm{tors}}$ будет подгруппой в $H$ .

Сделаем первый шаг в выборе нужной нам подгруппы конечного индекса в $\Gamma$ . На этом шаге мы будем частично использовать то рассуждение, которые было приведено в [13] при доказательстве там леммы 2.3.

Рассмотрим подгруппу $P = \{(N_G(H_0)_0)), H)\}$ , порожденную подгруппой Ли $H$ и связной компонентой нормализатора в $G$ ее связной компоненты единицы $H_0$ . Для этой подгруппы Ли $P$ факторпространство $P/H$ является связным (именно наличие этого свойства является причиной перехода от $N_G(H_0)$ к ее подгруппе $P$ конечного индекса). Покажем, что для подходящей подгруппы конечного индекса $H' \subset H$ соответствующее подмножество $\mathrm{Tors}(H'/H_0 )$ содержится в $P_0/H_0$ .

В [13] при доказательстве леммы 2.3 было показано, что группа $\pi_0(P)$ связных компонент группы Ли $P$ содержит конечно порожденную абелеву подгруппу $C$ конечного индекса, свободную от кручения. Обозначим через $\alpha \colon P \to \pi_0(P)=P/P_0$ естественный эпиморфизм и положим $P' = \alpha ^{-1} (C)$ , $H' = H \cap P'$ . Подгруппа Ли $H'$ – подгруппа конечного индекса в $H$ , и группа $\Gamma'= H'/H_0'$ – подгруппа конечного индекса в $\Gamma$ . При этом $H'/ (H' \cap P_0)$ – подгруппа конечного индекса в $C$ , и потому подмножество $H'_{\mathrm{tors}}$ содержится в $P_0$ . Заменим $H$ на подгруппу конечного индекса $H'$ .

Переходим к следующему шагу построения нужной нам подгруппы в $\Gamma=\pi_1(M)$ .

Присоединенное представление $\operatorname{Ad} \colon G \to \mathrm{GL}(g)$ группы Ли $G$ , действующее на алгебре Ли $g$ группы Ли $G$ , индуцирует представление $\operatorname{Ad}|_H \colon H\to \mathrm{GL}(g)$ подгруппы Ли $H$ . Действие $H$ на $g$ сохраняет подалгебры Ли $h$ и $p$ . Рассмотрим алгебру Ли $a=p/h$ . Действие $H$ на $g$ порождает представление $H$ на $a$ . При этом представление $H \to \mathrm{GL}(a)$ факторизуется через естественный эпиморфизм $c \colon H\to H/H_0$ на группу $H/H_0 =\pi_0(H)$ связных компонент подгруппы Ли $H$ . В результате получаем представление $\rho \colon \Gamma \to \mathrm{GL}(a)$ . Многообразие $M$ компактно, поэтому его фундаментальная группа конечно порождена. Потому и группа $\rho(\Gamma)$ конечно порождена. В силу леммы Сельберга (утверждающей наличие в конечно порожденной линейной группе подгруппы конечного индекса, свободной от кручения) в образе $\rho (\Gamma)$ существует подгруппа $\pi$ (даже, как легко показать, нормальный делитель) конечного индекса, свободная от кручения. Пусть $\widehat H= c^{-1}\rho^{-1}(\pi)$ – подгруппа Ли конечного индекса в $H$ . Заменим $H$ на ее подгруппу $\widehat H$ конечного индекса. При этом, конечно, будем иметь включение $\widehat H_{\mathrm{tors}} \subset P_0$ .

Переходим к третьему, заключительному шагу. Из построения подгруппы $\pi$ следует, что $\mathrm{Tors}(\pi)$ лежит в центре группы Ли $P_0/H_0$ , а потому (как было отмечено перед доказательством этой теоремы) является абелевой центральной подгруппой. Но тогда и подмножество $\widehat H_{\mathrm{tors}}$ будет подгруппой (причем замкнутой) в $H$ . Это завершает доказательство теоремы 3.

В качестве следствия теоремы 3 получаем такое утверждение.

Утверждение следствия 2 позволяет изучать топологию борелевского расслоения для произвольных компактных однородных пространств (рассматриваемых с точностью до конечнолистного накрытия), используя для его слоя все результаты о компактных однородных пространствах.

§ 7. Главные расслоения и близкие к ним

Здесь мы рассмотрим один тип однородных пространств весьма специального вида, в которых в некотором смысле объединены вместе база

$M_a$ натурального расслоения для компактного однородного пространства

$M=G/H$ и структурная группа

$Q$ этого расслоения.

В § 3 уже отмечалось, что трудно чисто топологическими методами для данного компактного асферичного многообразия в качестве базы натурального расслоения выяснить, какие структурные группы такого расслоения будут возможны. Правда, в одном частном случае указать хотя бы одно компактное однородное пространство с данной базой

$M_a$ и произвольной структурной группой Ли

$Q$ (рассматриваемой с точностью до локального изоморфизма) все же возможно. Так будет, если база

$M_a$ – компактное однородное пространство. Транзитивная на таком многообразии группа Ли обязательно асферична (подробнее о строении таких групп Ли см. [1] и немного будет сказано ниже). Например, таковы солвмногообразия – однородные пространства разрешимых групп Ли.

Итак, пусть нам задана связная группа Ли

$Q$ (кандидат на звание структурной группы натурального расслоения) и асферичное компактное однородное пространство

$F/U$ (кандидат на звание базы натурального расслоения). В силу теоремы 2 группу Ли

$Q$ или компактную группу Ли, ей локально изоморфную, всегда можно представить в виде

$N_K(L)/L$ для некоторой компактной полупростой группы Ли

$K$ и ее замкнутой подгруппы Ли

$L$ (точнее, речь идет о связной компоненте единицы группы

$N_K(L)/L$ , но мы не будем обращать внимания на это различие). Положим

$G=K\times F$ ,

$H=L\times U$ и рассмотрим компактное однородное пространство

$M=G/H$ . Нетрудно понять, что базой

$M_a$ натурального расслоения для него будет заданное нами многообразие

$F/U$ , а структурной группой – заданная группа Ли

$Q$ или локально изоморфная ей. Тем самым хотя бы одно компактное однородное пространство с заданными базой и структурной группой существует. Однако если база не будет однородна (а такие случае вполне возможны – например, такова поверхность

$F_g$ и, вообще, любое локально симметрическое многообразие некомпактного типа; см. [1]), то указать даже одно компактное однородное пространство с заданной структурной группой натурального расслоение не всегда возможно (см. выше). Поэтому для описания возможных пар (асферичное компактное многообразие, компактная группа Ли), реализуемых в виде пар

$(M_a,Q)$ , для компактных однородных пространств ввиду недостаточности чисто топологических методов следует использовать также некоторые алгебраические и геометрические. Один подход такого рода и будет описан в данном параграфе.

Отметим, что указанное в теореме 4 расслоение является главным.

Рассмотрим теперь строение того главного расслоения над многообразием

$M_a$ , которое порождается натуральным расслоением со структурной группой

$Q = (N_K(L)/L)_0$ . Пусть

$M^L$ – это пространство неподвижных точек естественного действия подгруппы

$L \subset G$ на

$M$ . Если действие компактной группы Ли

$K$ на

$M$ эквиорбитно (чего, как было указано выше, всегда можно добиться, переходя от компактного однородного пространства

$M=G/H$ к некоторому

$M'= G/H'$ , его конечнолистно накрывающему), то

$M^L$ – это гладкое многообразие (не имеющее особых точек). При этом на

$M^L$ естественным образом действует группа

$Q=N_K(L)/L$ , причем это действие является свободным, и его пространство орбит

$Q\setminus M^L$ естественным образом диффеоморфно базе натурального расслоения (подробнее см. [27]). Получаем главное расслоение

$Q=N_K(L)/L \to M^L \to M_a$ – оно и является главным

$Q$ расслоением, соответствующим натуральному расслоению при условии, что в качестве структурной группы берется группа

$Q$ (хотя это делать необязательно, см. выше). При этом оказывается, что пространство

$M^L$ этого главного расслоения является компактным однородным пространством относительно транзитивного действия на нем некоторой группы Ли (см. следствие 2 выше и [27]). Добавим еще, что рассматриваемое нами компактное однородное пространство

$M=G/H$ можно представить в виде расслоенного произведения

$M=K/L\times _Q M^L$ .

Особый интерес представляют компактные однородные пространства, для которых натуральное расслоение является главным. Это имеет место тогда и только тогда, когда

$M=M^L$ . Мы такие однородные пространства будем называть главными. Сразу отметим, что многообразие, будучи главным относительно одного транзитивного действия группы Ли, может не быть главным относительного другого.

Есть два класса компактных однородных пространств, которые являются главными.

В связи с примером 10 имеет место следующее общее утверждение.

Доказательство. 1) Утверждение п. 1) становится очевидным, если заметить, что в рассматриваемом случае множество

$\mathrm{Tors}(\Gamma)$ – центральная подгруппа в максимальной компактной подгруппе

$K$ группы Ли

$G$ , а потому натуральное расслоение для

$G/\Gamma$ является главным относительно действия компактной группы Ли

$K/\mathrm{Tors}(\Gamma)$ .

2) Рассмотрим присоединенное представление группы Ли $G$ . Его образ линеен (т. е. является линейной группой Ли), а ядро – это центр группы Ли $G$ . Поэтому и образ решетки $\Gamma$ линеен и потому в силу леммы Сельберга имеет подгруппу конечного индекса, свободную от кручения. Ее прообраз $\Gamma'$ при присоединенном представлении – подгруппа конечного индекса в $\Gamma$ . Но подгруппа $\mathrm{Tors}(\Gamma')$ в силу конструкции группы $\Gamma'$ центральна в $G$ , а потому к однородному пространству $G/\Gamma'$ применимо утверждение п. 1).

Предложение 2 доказано.

В связи с примером 10 и предложением 2 возникает вопрос о том, что можно сказать в случае, когда не предполагается, что решетка

$\Gamma$ не имеет кручения. Тем самым снова возникает вопрос о существовании решеток в односвязных группах Ли, которые не являются виртуально свободными от кручения. Этот вопрос, как уже было отмечено выше, в настоящее время открыт.

Изучение строения главных однородных пространств вида

$G/\Gamma$ и их расслоенной структуры представляет, по мнению автора, значительный интерес.

Отметим, что в [27] можно найти описание некоторых главных однородных пространств.

Следующее утверждение описывает компактные однородные пространства, которые в некотором смысле мало отличаются от главных.

Теорема 5. Пусть $M=G/H$ – некоторое компактное однородное пространство односвязной группы Ли $G$ , а $K$ – максимальная компактная (односвязная и полупростая) подгруппа в $G$ . Тогда

1) $\dim M^L= \dim M$ или $\dim M^L \leqslant \dim M -2$ ;

2) при $\dim M^L= \dim M$ однородное пространство $G/H$ является главным;

3) если $\dim M^L= \dim M-2$ , то компактная полупростая группа Ли $K$ разлагается в прямое произведение $K=\mathrm{SU}(2)\times K_1$ , где $K_1$ – некоторая полупростая (и односвязная) компактная группа Ли, $N_K(L)_0 = \mathrm{SO}(2) \times K_1$ , а $L_0= \mathrm{SO}(2)$ ;

4) если $\dim M^L= \dim M-3$ , то компактная полупростая группа Ли $K$ разлагается в одно из следующих прямых произведений: $K=\mathrm{SU}(2) \times K_1$ или $K=\operatorname{Spin}(4) \times K_1$ , где $K_1$ – некоторая полупростая (и односвязная) компактная группа Ли, $N_K(L)_0 = K_1$ или $\operatorname{Spin}(3) \times K_1$ , а $L_0 = \{e\}$ или $\operatorname{Spin}(3)$ соответственно.

Доказательство. Наше доказательство основано на классификации компактных полупростых групп Ли, действующих транзитивно и локально эффективно на однородных многообразиях малой размерности.

Коразмерность подмногообразия $M^L$ в $M$ равна коразмерности нормализатора $N_K(L)$ в $K$ . При этом $K/N_K(L)$ является однородным пространством компактной полупростой группы Ли $K$ , а потому $K/N_K(L)$ имеет конечную фундаментальную группу.

1) В этом утверждении доказать нужно только то, что при $\dim M^L \ne \dim M$ будет $\dim M^L \leqslant \dim M -2$ . Но это следует из того, что одномерных компактных многообразий с конечной фундаментальной группой не существует.

2) Это утверждение очевидно.

3) Пусть $\dim M^L= \dim M-2$ . Это значит, что $K/N_K(L)$ – двумерная однородная поверхность с конечной фундаментальной группой. Таких поверхностей только две – $S^2$ и $\mathbf{R}P^2$ (об этом и других фактах об однородных пространствах компактных групп Ли см., например, [1]).

Классификация компактных полупростых групп Ли, транзитивных и локально эффективных на двумерных многообразиях, хорошо известна. А именно, среди односвязных компактных групп Ли здесь возможна только группа Ли $\mathrm{SU}(2)$ , а связная компонента единицы стационарной подгруппы – это $\mathrm{U}(1)$ (или, что фактически то же, $\mathrm{SO}(2)$ ). Действие группы Ли $K$ на $K/N_K(L)$ не обязательно должно быть эффективным (т. е. она может иметь нетривиальный связный нормальный делитель, тривиально действующий на $K/N_K(L)$ ), а потому получаем, что в рассматриваемом нами здесь случае группа Ли имеет разложение $K=\mathrm{SU}(2) \times K_1$ , где $K_1$ – некоторая компактная односвязная полупростая группа Ли (возможно, тривиальная), действие которой на $K/N_K(L)$ тривиально. Связная компонента единицы подгруппы $N_K(L)$ в данном случае имеет, очевидно, вид $\mathrm{SO}(2)\times K_1$ . Рассмотрим подгруппу Ли $L_0 \cap K_1$ – она нормальна в $N_K(L)$ , и потому в силу локальной эффективности действия $K$ на $G/H$ эта подгруппа должная быть дискретна. А в силу своей нормальности в $N_K(L)$ мы можем считать, что $L_0$ совпадает с прямым множителем $\mathrm{SU}(2)$ (если его выбрать должным образом). Утверждение п. 3) доказано.

4) Утверждение доказывается по той же схеме, что и утверждение п. 3). Только здесь $K/N_K(L)$ – уже не двумерное, а трехмерное однородное пространство с конечной фундаментальной группой. Таких однородных многообразий довольно много (это – все однородные линзовые пространства), но многообразие, их универсально накрывающее, только одно – это трехмерная сфера $S^3$ (см. [1] или [29]). А компактные односвязные группы Ли, транзитивно и локально эффективно действующие на этих многообразиях, – это только $\operatorname{Spin}(3)$ и $\operatorname{Spin}(4)$ (стационарные подгруппы здесь $\mathrm{SO}(2)$ и $\operatorname{Spin}(3)$ соответственно). Отметим, что $\operatorname{Spin}(3)$ изоморфна $\mathrm{SU}(2)$ и диффеоморфна $S^3$ , a группа Ли $\operatorname{Spin}(4)$ изоморфна группе Ли $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ и диффеоморфна $S^3\times S^3$ .

Далее рассуждаем так же, как при доказательстве п. 3) и получаем, что группа Ли $K$ должна быть изоморфна $K=\mathrm{SU}(2) \times K_1$ или $K=\operatorname{Spin}(3) \times K_1$ , где $K_1$ – некоторая компактная односвязная полупростая группа Ли (возможно, тривиальная), действие которой на $K/N_K(L)$ тривиально. Утверждение о виде групп Ли $L_0$ вытекает из вышесказанного с помощью рассуждения, аналогичного приведенному при доказательстве п. 3). Утверждение п. 4), а с ним и вся теорема 5, доказаны.

Отметим, что

$\dim K/L \geqslant \dim K/N_K(L)$ (причем в случае равенства этих размерностей структурную группу натурального расслоения можно редуцировать к тривиальной). Возможность редукции структурной группы натурального расслоения и топологическое строение компактных однородных пространств при

$\dim K/L \leqslant 4$ были изучены в [13], [27], здесь же рассматривается алгебраическое строение структурных групп и стационарных подгрупп транзитивных действий.

Из теоремы 5 получаем такое следствие о слоях натуральных расслоений.

В утверждениях следствия 3 видно, что слои борелевских расслоений в случае малой

$\operatorname{codim}_M M^L$ действительно близки к группам Ли, и тем самым соответствующие однородные пространства близки к главным. Аналогичное рассмотрение можно было бы провести и для случая коразмерности

$4$ . Обозначим основное здесь: четырехмерное односвязное однородное пространство компактной группы Ли диффеоморфно

$S^4$ ,

$S^2\times S^2$ или проективной плоскости

$\mathbf{C}P^2$ . Транзитивные группы Ли здесь соответственно таковы:

$\operatorname{Spin}(5)$ ,

$\operatorname{Spin}(3)\,{\times}\,\operatorname{Spin} (3)$ (она же

$\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ ) и

$\mathrm{SU}(3)$ . Стационарные подгруппы здесь хорошо известны, и потому описание слоев борелевских расслоений в этом случае получается по той же схеме, что и в теореме 5 и следствии 3. Автор не видит необходимости приводить здесь дальнейшие подробности.

В связи с понятием главного однородного пространства представляет определенный интерес рассмотрение простейших главных компактных однородных пространств – компактных групп Ли (которые, кстати, еще и являются слоями натуральных расслоений произвольных главных однородных пространств). Оказывается, что своими топологическими характеристиками компактные группы Ли не будут однозначно определяться. Об этом уже говорилось выше.

Отметим еще, что для любых связных групп Ли их гомеоморфность и диффеоморфность эквивалентны. Более подробно вопрос о связи гомотопической эквивалентности, диффеоморфности и изоморфности компактных групп Ли рассмотрены в [15]. В частности, там приведены многочисленные примеры диффеоморфных, но не изоморфных компактных групп Ли.

§ 8. База и слой натурального расслоения

Свойства базы и слоя натурального расслоения имеют разного рода взаимные связи. Опишем одну из них. При этом используется понятие эйлеровой характеристики фундаментальной группы, определяемой по обычной для эйлеровой характеристики формуле в терминах рангов групп когомологий этой дискретной группы.

Доказательство. Как известно, эйлерова характеристика мультипликативна. Поэтому

$\chi(M) = \chi(M_a) \cdot \chi (M_c)$ . Если база

$M_a$ не вырождается в точку, то эйлерова характеристика однородного пространства

$M$ с бесконечной фундаментальной группой равна нулю (см. [1]). Поэтому при

$\chi(M_a) \ne 0$ должно быть

$\chi(M_c)=0$ . Но эйлерова характеристика однородного пространства

$K/L$ компактной полупростой группы Ли (каковой является группа Ли

$K$ ) равна нулю тогда и только тогда, когда ранг ее замкнутой подгруппы

$L$ строго меньше ранга самой группы Ли

$K$ .

Условие же вырождения в точку компоненты $M_r$ структурного расслоения следует тоже из мультипликативности эйлеровой характеристики и того факта, что эйлерова характеристика бесконечной полициклической группы (каковой является $\pi_1(M_r)$ в случае, если $\dim M_r > 0$ ) всегда равна нулю. Так как многообразие $M_r$ асферично, то эйлерова характеристика этого многообразия равна эйлеровой характеристики его фундаментальной группы. А потому при $\chi(M_a) \ne 0$ компонента $M_r$ должна вырождаться в точку. Предложение 3 доказано.

Отметим, что условие бесконечности фундаментальной группы

$\pi_1(M)$ в этом предложении эквивалентно некомпактности многообразия

$\widetilde M$ , универсально накрывающего

$M$ . Примером применения предложения 3 является случай, когда база

$M_a$ натурального расслоения – некоторая компактная ориентируемая поверхность

$F_g$ рода

$g \geqslant 2$ . Имеем

$\chi(F_g) = 2-2g$ , и потому при

$g \geqslant 2$ будет

$\chi (F_g) < 0$ . Поэтому в силу предложения 3 для компактного однородного пространства с базой

$M_a=F_g$ для слоя

$M_c=K/L$ натурального расслоения ранг подгруппы

$L$ будет строго меньше ранга группы

$K$ , а также будет

$\chi(M_c) = 0$ . В частности, четномерные сферы и комплексные проективные пространства (эйлеровы характеристики которых, как известно, положительны) не могут быть слоями натуральных расслоений при

$M_a = F_g$ . Можно привести и множество других применений предложения 3.

§ 1. Введение

§ 2. База натурального расслоения

§ 3. Структурное расслоение базы натурального расслоения

§ 4. Структурная группа натурального расслоения

§ 5. Слой натурального расслоения

§ 6. Борелевское расслоение

§ 7. Главные расслоения и близкие к ним

§ 8. База и слой натурального расслоения

Список литературы