| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О расширенной форме гипотезы Гротендика–Серра И. А. Панин Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9151 
Реферативные базы данных:
    § 1. Основные результатыПусть $R$ – коммутативное кольцо с единицей. Напомним, что групповая $R$-схема $\mathbf{G}$ называется редуктивной (соответственно полупростой или простой), если она является аффинной и гладкой $R$-схемой и если, более того, для каждого алгебраически замкнутого поля $\Omega$ и каждого кольцевого гомоморфизма $R\to\Omega$ групповая схема $\Omega$-схема $\mathbf{G}_\Omega$ является связной редуктивной (соответственно полупростой или простой) алгебраической группой над полем $\Omega$. Класс редуктивных групповых схем содержит класс полупростых групповых схем, который в свою очередь содержит класс простых групповых схем. Данное определение редуктивной групповой $R$-схемы совпадает с определением из [1; лекция XIX, определение 2.7]. Данное определение простой групповой $R$-схемы совпадает с определением простой полупростой групповой $R$-схемы Гротендика и Демазюра [1; лекция XIX, определение 2.7 и лекция XXIV, разд. 5.3]. Сформулируем наш первый основной результат, основанный на [2] и [3], существенно расширяющий соответствующие результаты из [2] и [3]. Теорема 1.1. Пусть $R$ – регулярная полулокальная область целостности, содержащая поле, и $K$ – ее поле частных. Пусть $\mu\colon \mathbf{G} \to \mathbf{T}$ – это морфизм групповых $R$-схем между редуктивными групповыми $R$-схемами, который является гладким как морфизм схем. Предположим, что $\mathbf{T}$ – это $R$-тор. Тогда отображение $\mathbf{T}(R)/ \mu(\mathbf{G}(R)) \to \mathbf{T}(K)/ \mu(\mathbf{G}(K))$ является инъективным и последовательность является точной, где $\mathfrak p$ пробегает множество всех простых идеалов высоты один кольца $R$ и каждый гомоморфизм $r_{\mathfrak p}$ является гомоморфизмом факторизации. Замечание 1.2. В [2], [3] имеется дополнительное предположение о ядре гомоморфизма $\mu$. Там требуется, чтобы оно было редуктивной групповой $R$-схемой. В частности, в [2], [3] требуется, чтобы ядро $\mu$ было геометрически связным. В теореме 1.1 нет никаких ограничений на ядро гомоморфизма $\mu$. Прокомментируем теперь первое утверждение сформулированной теоремы. Пусть $\mathbf{H}$ – ядро гомоморфизма $\mu$. Оказывается, что $\mathbf{H}$ является квази-редуктивной групповой $R$-схемой (см. определение 1.4). Имеется последовательность пучков групп $1\to \mathbf{H}\to \mathbf{G}\to \mathbf{T}\to 1$, которая является точной в этальной топологии на $\operatorname{Spec} R$. Итак, теорема 1.5 влечет инъективность отображения $\mathbf{T}(R)/\mu(\mathbf{G}(R)) \to \mathbf{T}(K)/\mu(\mathbf{G}(K))$. Теорема 1.3. Пусть $R$ – регулярная полулокальная область целостности, содержащая поле. Пусть $K$ – поле частных $R$. Пусть $\mathbf{G}_1$ и $\mathbf{G}_2$ – две полупростые групповые $R$-схемы. Предположим, что их общие слои $\mathbf{G}_{1,K}$ и $\mathbf{G}_{2,K}$ изоморфны как алгебраические $K$-группы. Тогда групповые $R$-схемы $\mathbf{G}_1$ и $\mathbf{G}_2$ изоморфны. Чтобы доказать теорему 1.3, необходимо работать с групповой схемой автоморфизмов полупростой групповой $R$-схемы. Последняя групповая схема часто не является геометрически связной. Поэтому теорема 1.3 не может быть выведена из теорем [4] и [3]. Ниже мы формулируем теорему 1.5, которая утверждает, что расширенная версия гипотезы Гротендика–Серра справедлива для вышеуказанных колец $R$. Последняя теорема доказана в настоящей статье. Кроме того, из нее выводятся теорема 1.3 и первое утверждение теоремы 1.1. Чтобы сформулировать указанную теорему, удобно дать следующее определение. Определение 1.4 (квази-редуктивность). Предположим, что $S$ – нётерово коммутативное кольцо. Назовем групповую $S$-схему $\mathbf{H}$ квази-редуктивной, если существует конечная этальная групповая $S$-схема $\mathbf{C}$ и гладкий морфизм групповых $S$-схем $\lambda\colon \mathbf{H} \to \mathbf{C}$, ядро которого является редуктивной групповой $S$-схемой и морфизм $\lambda$ сюръективен локально по отношению к этальной топологии на $S$. Ясно, что редуктивные групповые $S$-схемы являются квази-редуктивными, квази-редуктивные групповые $S$-схемы являются аффинными и гладкими как $S$-схемы. Имеются два типа квази-редуктивных групповых $S$-схем, которые интересуют нас в данной статье. Первые – это групповые схемы автоморфизмов полупростых групповых $R$-схем. Вторые получаются следующим образом: возьмем редуктивную групповую $S$-схему $\mathbf{G}$, $S$-тор $\mathbf{T}$ и $S$-групповой гладкий морфизм $\mu\colon \mathbf{G} \to \mathbf{T}$. Можно проверить, что ядро $\mathbf{H}$ морфизма $\mu$ является квази-редуктивным. Оно является расширением конечной этальной групповой $S$-схемы $\mathbf{C}$ мультипликативного типа посредством редуктивной групповой $S$-схемы $\mathbf{G}_0$. Предположим, что $U$ – неприводимая регулярная схема, $\mathbf{H}$ – квази-редуктивная групповая $U$-схема. Напомним, что $U$-схема $\mathcal{H}$ вместе с левым действием $\mathbf{H}$ называется главным $\mathbf{H}$-расслоением над $U$, если $\mathcal{H}$ является строго плоской, квази-компактной над $U$ и действие является одно-транзитивным, т. е. естественный морфизм $\mathbf{H}\times_U\mathcal{H}\to\mathcal{H}\times_U\mathcal{H}$ является изоморфизмом, см. [5; § 6]. Так как $\mathbf{H}$ является $S$-гладкой схемой, такое $\mathbf{H}$-расслоение является локально тривиальным по отношению к этальной топологии на $U$, но не по отношению к топологии Зариского на $U$. А. Гротендик и Ж. П. Серр в [6] и [7] сформулировали гипотезу о том, что для редуктивной групповой $U$-схемы $\mathbf{H}$ главное $\mathbf{H}$-расслоение над $U$ является локально тривиальным по отношению к топологии Зариского на $U$, если оно тривиально в общей точке схемы $U$. Некоторые важные результаты, касающиеся этой гипотезы, получены в [8]–[10]. Обзор по данной тематике – это статья [11]. Гипотеза справедлива, если $\Gamma(U,\mathcal{O}_U)$ содержит поле (см. [4] и [3]). В [12] гипотеза доказана в полной общности для колец дискретного нормирования. Этот результат был распространен в [13] на случай полулокальных дедекиндовых областей целостности, предполагая, что $\mathbf{G}$ – простая односвязная и изотропная в некотором точном смысле. В [14] результаты [12] и [13] усилены еще больше. А именно, там доказано, что гипотеза справедлива в общем случае для полулокальных дедекиндовых областей целостности. Следующий результат является усилением основного результата работы [3]. Чтобы сформулировать его, мы используем определение 1.4. Теорема 1.5. Пусть $R$ – регулярная полулокальная область целостности, содержащая поле. Пусть $K$ – поле частных $R$. Пусть $\mathbf{H}$ – квази-редуктивная групповая $R$-схема. Тогда отображение индуцированное включением $R$ в $K$, имеет тривиальное ядро. Другими словами, при указанных предположениях на $R$ и $\mathbf{H}$ каждое главное $\mathbf{H}$-расслоение над $R$, имеющее $K$-рациональную точку, является тривиальным. Следствие 1.6. В предположениях теоремы 1.5 отображение индуцированное включением $R$ в $K$, является инъективным. Равносильно, любые два главных $\mathbf{H}$-расслоения $\mathcal{H}_1$ и $\mathcal{H}_2$ над $R$, которые изоморфны над $\operatorname{Spec} K$, изоморфны уже над $R$. Доказательство. Пусть $\mathcal{H}_1$ и $\mathcal{H}_2$ – два главных $\mathbf{H}$-расслоения над $R$, которые изоморфны над $\operatorname{Spec} K$. Пусть $\underline{\operatorname{Iso}}(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2)$ – это схема изоморфизмов главных $\mathbf{H}$-расслоений. Эта схема является главным $\underline{\operatorname{Aut}}\, \mathcal{H}_1$-расслоением. По теореме 1.5 оно тривиально. Поэтому $\mathcal{H}_1\cong\mathcal{H}_2$ как главные $\mathbf{H}$-расслоения. Следствие доказано. Теоремы 1.5 и 1.3 доказаны в § 2. Теорема 1.1 доказана в § 8. § 2. Доказательство теорем 1.5 и 1.3Начнем со следующей общей леммы. Лемма 2.1. Пусть $X$ – регулярная полулокальная неприводимая схема. Пусть $\pi\colon X'\to X$ – это конечный морфизм. Пусть $\eta\in X$ – общая точка схемы $X$. Тогда сечения $\pi$ над $X$ находятся в биекции с сечениями $\pi$ над $\eta$. Доказательство. Достаточно проверить, что каждое сечение $s\colon \eta\to X'$ морфизма $\pi$ можно расширить до сечения $\pi$ над $X$. Разложим морфизм $\pi$ в композицию $X' \xrightarrow{i} \mathbf{A}^n_X \xrightarrow{p} X$, где $p$ – это проекция и где $i$ – это замкнутое вложение. Пусть $s\colon \eta\to X'$ – сечение морфизма $\pi$. Поскольку $X$ – регулярная полулокальная схема и $\pi$ проективен, то имеется некоторое замкнутое коразмерности два подмножество $Z$ в $X$ и сечение $\varphi\colon X- Z \to X'$ морфизма $\pi$, расширяющее $s$. Так как $\Gamma(X, \mathcal O_X)=\Gamma(X-Z, \mathcal O_X)$, то сечение $\varphi$ расширяется до сечения $\widetilde \varphi\colon X\to X'$ морфизма $\pi$. Лемма доказана. Следствие 2.2. Пусть $X$, $\eta\in X$ – такие же, как в предыдущей лемме, и пусть $\mathbf{E}$ – конечная этальная групповая $X$-схема. Тогда $\eta$-точки $X$-схемы $\mathbf{E}$ совпадают с $X$-точками схемы $\mathbf{E}$. Следствие 2.3. В предположениях следствия 2.2 ядро пунктированного отображения пунктированных множеств $\mathrm H^1_\mathrm{{\unicode{x00E9}t}}(X,\mathbf{E})\to \mathrm H^1_\mathrm{{\unicode{x00E9}t}}(\eta,\mathbf{E})$ тривиально. Доказательство. Пусть $\mathcal{E}$ – главное $\mathbf{E}$-расслоение над $X$. Стандартные рассуждения о спуске показывают, что $\mathcal{E}$ конечна и этальна над $X$. Поэтому $\mathcal{E}(X)=\mathcal{E}(\eta)$. Следствие доказано. Доказательство теоремы 1.5. Поскольку $\mathbf{H}$ – квази-редуктивная групповая $R$-схема, то существуют конечная этальная групповая $R$-схема $\mathbf{C}$ и гладкий морфизм групповых $R$-схем $\lambda\colon \mathbf{H} \to \mathbf{C}$, ядро которого является редуктивной групповой $R$-схемой и морфизм $\lambda$ сюръективен локально по отношению к этальной топологии на $\operatorname{Spec} R$. Последовательность этальных пучков $1\to \mathbf{G}\to \mathbf{H}\to \mathbf{C}\to 1$ на $\operatorname{Spec} R$ точна. Поэтому она индуцирует коммутативную диаграмму пунктированных отображений пунктированных множеств с точными строками Отображение $\alpha$ биективно согласно следствию 2.2, отображение $\delta$ имеет тривиальное ядро согласно следствию 2.3, отображение $\beta$ инъективно ввиду [3; следствие 1.2]. Теперь диаграммный поиск показывает, что $\operatorname{ker}(\gamma)=\ast$ . Теорема доказана. Замечание 2.4. Как формулировка [15; лемма 3.7], так и ее доказательство несколько неаккуратны, так как авторы указанной статьи не предполагают инъективность отображения $\mathrm H_\mathrm{{\unicode{x00E9}t}}^1(R,\mathbf{G}^0)\to \mathrm H_\mathrm{{\unicode{x00E9}t}}^1(K,\mathbf{G}^0_K)$. Доказательство теоремы 1.3. Групповая $R$-схема $\underline{\operatorname{Aut}}:= \underline{\operatorname{Aut}}_{\,R\text{-gr-sch}}(\mathbf{G}_1)$ квази-редуктивна согласно [1]. Рассмотрим $R$-схему $\underline{\operatorname{Iso}}:= \underline{\operatorname{Iso}}_{\,R\text{-gr-sch}}(\mathbf{G}_1,\mathbf{G}_2)$. Она является главным $\underline{\operatorname{Aut}}$-расслоением. Любой изоморфизм $\varphi\colon \mathbf{G}_{1,K} \to \mathbf{G}_{2,K}$ алгебраических $K$-групп задает сечение схемы $\underline{\operatorname{Iso}}$ над $K$. Поэтому $\underline{\operatorname{Iso}}_{\,K}$ является тривиальным главным $\underline{\operatorname{Aut}}_{\,K}$-расслоением. Итак, $\underline{\operatorname{Iso}}$ – тривиальное главное $\underline{\operatorname{Aut}}$-расслоение по теореме 1.5. Таким образом, оно имеет сечение над $R$. Это сечение задает изоморфизм групповых $R$-схем $\mathbf{G}_1 \cong \mathbf{G}_2$. Теорема доказана.
§ 3. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1Лемма 3.1. Пусть $X$ – регулярная неприводимая аффинная схема. Пусть $\mathbf{G}$ – редуктивная групповая $X$-схема, и пусть $\mathbf{T}$ – это $X$-тор. Пусть $\mu$: $\mathbf{G} \to \mathbf{T}$ – групповой морфизм $X$-групповых схем, являющийся гладким как морфизм схем. Тогда ядро морфизма $\mu$ – это квази-редуктивная групповая $X$-схема. Доказательство. Рассмотрим корадикал $\operatorname{Corad}(\mathbf{G})$ групповой $X$-схемы $\mathbf{G}$ вместе с каноническим $X$-групповым морфизмом $\alpha\colon \mathbf{G}\to \operatorname{Corad}(\mathbf{G})$. Благодаря универсальному свойству указанного морфизма $\alpha$ существует единственный $X$-групповой морфизм $\overline \mu\colon \operatorname{Corad}(\mathbf{G})\to T$ такой, что $\mu=\overline \mu\circ \alpha$. Так как $\mu$ сюръективен локально по отношению к этальной топологии на $X$, то и $\overline \mu$ имеет это же свойство. Пусть $\operatorname{ker}(\overline \mu)$ – это ядро $\overline \mu$, и пусть $\mathbf{H}\colon =\alpha^{-1}(\operatorname{ker}(\overline \mu))$ – это теоретико-схемный прообраз $\operatorname{ker}(\overline \mu)$. Ясно, что $\mathbf{H}$ – это замкнутая $X$-групповая подсхема $\mathbf{G}$, являющаяся ядром морфизма $\mu$. Мы должны проверить, что $\mathbf{H}$ квази-редуктивна. Наша $X$-групповая схема $\operatorname{ker}(\overline \mu)$ имеет мультипликативный тип. Поэтому существует конечная $X$-групповая схема $\mathbf{M}$ мультипликативного типа и строго плоский $X$-групповой морфизм $X$-групповых схем $\operatorname{can}\colon \operatorname{ker}(\overline \mu)\to \mathbf{M}$, имеющий следующее свойство: для любой конечной $X$-групповой схемы $\mathbf{M}'$ мультипликативного типа и произвольного $X$-группового морфизма $\varphi\colon \operatorname{ker}(\overline \mu)\to \mathbf{M}'$ существует единственный $X$-групповой морфизм $\psi\colon \mathbf{M}\to \mathbf{M}'$ такой, что $\psi \circ \operatorname{can}=\varphi$. Известно, что ядро морфизма $\operatorname{can}$ – это некоторый $X$-тор. Обозначим его $\mathbf{T}^0$. Так как морфизм $\mu$ гладок, то и морфизм $\overline \mu$ гладок. Таким образом, групповая $X$-схема $\operatorname{ker}(\overline \mu)$ является $X$-гладкой. Последнее показывает, что схема $M$ этальна над $X$. Пусть $\beta=\alpha|_{\mathbf{H}}\colon \mathbf{H}\to \operatorname{ker}(\overline \mu)$, и пусть $\mathbf{G}^0:=\beta^{-1}(\mathbf{T}^0)$ – это теоретико-схемный прообраз $X$-тора $\mathbf{T}^0$. Ясно, что $\mathbf{G}^0$ – это замкнутая $X$-групповая подсхема $X$-групповой схемы $\mathbf{H}$, являющаяся ядром морфизма $\operatorname{can}{\circ}\, \beta\colon \mathbf{H}\to \mathbf{M}$. Положим $\gamma=\beta|_{\mathbf{G}^0}\colon \mathbf{G}^0\to \mathbf{T}^0$. Групповая $X$-схема $\mathbf{M}$ конечна и этальна над $X$. Морфизм $\operatorname{can}$ гладок. Морфизм $\beta$ гладок как замена базы гладкого морфизма $\alpha$. Поэтому морфизм $\lambda:=\operatorname{can}\,{\circ}\,\beta$ гладок. Он также сюръективен локально в этальной топологии на $X$, поскольку морфизмы $\operatorname{can}$ и $\beta$ имеют это свойство. По построению $\mathbf{G}^0\,{=}\operatorname{ker}(\lambda)$. Итак, чтобы доказать, что $\mathbf{H}$ является квази-редуктивной, остается проверить редуктивность $\mathbf{G}^0$. Групповая $X$-схема $\mathbf{G}^0$ является аффинной над $X$ как замкнутая $X$-групповая подсхема редуктивной $X$-групповой схемы $\mathbf{G}$. Докажем теперь, что $\mathbf{G}^0$ является гладкой над $X$. Действительно, морфизм $\gamma$ является гладким как замена базы гладкого морфизма $\alpha$. Групповая $X$-схема $\mathbf{T}^0$ является $X$-гладкой, так как это $X$-тор. Таким образом, $X$-схема $\mathbf{G}^0$ является $X$-гладкой. Запишем $X$ как $\operatorname{Spec} S$, где $S$ – регулярная область целостности. Остается проверить, что для каждого алгебраически замкнутого поля $\Omega$ и каждого гомоморфизма колец $S\to\Omega$ расширение скаляров $\mathbf{G}^0_\Omega$ схемы $\mathbf{G}^0$ является связной редуктивной алгебраической группой над полем $\Omega$. Во-первых, напомним, что $\operatorname{ker}(\alpha)$ – это полупростая групповая $S$-схема. Она является групповой $S$-схемой $\mathbf{G}^{\mathrm{ss}}$ в обозначениях [1]. Ясно, что $\operatorname{ker}(\gamma)=\operatorname{ker}(\alpha)$. Поэтому $\operatorname{ker}(\gamma)=\mathbf{G}^{\mathrm{ss}}$ – полупростая групповая $S$-схема. Поскольку морфизм $\gamma$ является гладким, то для каждого алгебраически замкнутого поля $\Omega$ и каждого гомоморфизма колец $S\to\Omega$ мы имеем короткую точную последовательность $\Omega$-гладких алгебраических групп
$$
\begin{equation*}
1\to \mathbf{G}^{\mathrm{ss}}_\Omega \to \mathbf{G}^0_\Omega \to \mathbf{T}^0_\Omega \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Группы $\mathbf{T}^0_\Omega$, $\mathbf{G}^{\mathrm{ss}}_\Omega$ являются связными. Поэтому и группа $\mathbf{G}^0_\Omega$ тоже связна. Мы уже знаем, что группа $\mathbf{G}^0_\Omega$ аффинна. Остается проверить, что унипотентный радикал $\mathbf U$ группы $\mathbf{G}^0_\Omega$ тривиален. Так как нет никаких нетривиальных $\Omega$-групповых морфизмов $\mathbf U\to \mathbf{T}^0_\Omega$, то $\mathbf U\subset \mathbf{G}^{\mathrm{ss}}_\Omega$. Поскольку $\mathbf{G}^{\mathrm{ss}}_\Omega$ полупроста, то $\mathbf U=\{1\}$. Это завершает доказательство редуктивности групповой $S$-схемы $\mathbf{G}^0$. Итак, групповая $S$-схема $\mathbf{H}$ квази-редуктивна. Лемма доказана. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1. Пусть $\mathbf{H}$ – это ядро морфизма $\mu$. Так как $\mu$ гладок, то последовательность $R$-групповых схем задает короткую точную последовательность пучков в этальной топологии на $\operatorname{Spec} R$. В свою очередь эта последовательность пучков задает длинную точную последовательность пунктированных множеств. Таким образом, граничное отображение $\partial\colon \mathbf{T}(R) \to \mathrm{H}^1_\mathrm{{\unicode{x00E9}t}}(R,\mathbf{H})$ включается в коммутативную диаграмму вида Ясно, что горизонтальные стрелки имеют тривиальные ядра. Правая вертикальная стрелка имеет тривиальное ядро благодаря лемме 3.1 и теореме 1.5. Таким образом, левая вертикальная стрелка тоже имеет тривиальное ядро. Так как она является групповым гомоморфизмом, то она инъективна.
§ 4. Гомоморфизм нормыНапомним здесь одну конструкцию из [16]. Пусть $k\subset K\subset L$ – расширения полей, и предположим, что $L$ – конечное сепарабельное расширение поля $K$. Пусть $K^{\mathrm{sep}}$ – сепарабельное замыкание поля $K$. Пусть $\sigma_i\colon L\to K^{\mathrm{sep}}$, $1\leqslant i\leqslant n$, все различные вложения $L$ в $K^{\mathrm{sep}}$ над $K$. Пусть $C$ – $k$-гладкая коммутативная групповая схема (определенная над $k$). Можно задать отображение нормы правилом ${\mathcal N}_{L/K}(\alpha)=\prod_i C(\sigma_i)(\alpha) \in C(K^{\mathrm{sep}})^{{\mathcal G}(K)} =C(K)$. Пусть $p\colon X\to Y$ – конечный плоский морфизм аффинных схем. Предположим, что его ранг постоянен и равен $d$. Обозначим через $S^d(X/Y)$ $d$-ю симметрическую степень $X$ над $Y$. В. Воеводский и А. Суслин построили в [17; разд. 6] каноническое сечение проекции $S^d(X/Y)\to Y$. Обозначим его $N_{X/Y}\colon Y\to S^d(X/Y)$.Пусть $k$ – поле. Пусть $\mathcal O$ – полулокальное кольцо конечного числа замкнутых точек на гладком аффинном неприводимом $k$-многообразии. Пусть $C$ – аффинная гладкая коммутативная групповая $\mathcal O$-схема. Пусть $p\colon X\to Y$ – конечный плоский $\mathcal O$-морфизм постоянной степени $d$ аффинных $\mathcal O$-схем. Пусть $f\colon X\to C$ – произвольный $\mathcal O$-морфизм. В [16] норма $N_{X/Y}(f)$ морфизма $f$ определена как композиция морфизмов
$$
\begin{equation}
Y \xrightarrow{N_{X/Y}} S^d(X/Y) \to S^d_{\mathcal O}(X) \xrightarrow{S^d_{\mathcal o}(f)} S^d_{\mathcal O}(C)\xrightarrow{\times} C.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь мы обозначаем через “$\times$” групповой закон на $C$. Отображения нормы $N_{X/Y}\colon C(X)\to C(Y)$ обладают следующими свойствами: $\mathrm{(i')}$ замена базы: для любого $\mathcal O$-морфизма $f\colon Y'\to Y$ аффинных $\mathcal O$-схем положим $X'=X\times_Y Y'$, тогда следующая диаграмма коммутативна: $\mathrm{(ii')}$ мультипликативность: если $X=X_1 \amalg X_2$ и $X_i/Y$ – постоянной степени $d_i$ для $i=1,2$, то коммутативна диаграмма $\mathrm{(iii')}$ нормализация: если $X=Y$ и морфизм $X \to Y$ тождественен, то $N_{X/Y}=\operatorname{id}_{C(X)}$. § 5. Неразветвленные элементыПусть $k$ – поле, $\mathcal O$ – полулокальное кольцо конечного числа замкнутых точек на гладком аффинном неприводимом $k$-многообразии $X$. Пусть $K$ – поле частных кольца $\mathcal O$, т. е. $K=k(X)$. Пусть – гладкий групповой $\mathcal O$-морфизм редуктивных групповых $\mathcal O$-схем, причем $\mathbf{T}$ – это $\mathcal O$-тор. Мы работаем в этом параграфе с категорией коммутативных нётеровых $\mathcal O$-алгебр. Для коммутативной нётеровой $\mathcal O$-алгебры $S$ положим Для произвольного элемента $\alpha \in \mathbf{T}(S)$ будем писать $\overline \alpha$ для его образа в $\mathcal{F}(S)$. В этом параграфе будем обозначать через $\mathcal{F}$ функтор (3). Следующий результат – это частный случай первого утверждения теоремы 1.1 (указанное первое утверждение доказано в конце § 3).Теорема 5.1. Пусть $S$ – это $\mathcal O$-алгебра, являющаяся кольцом дискретного нормирования с полем частных $L$. Тогда гомоморфизм $\mathcal{F}(S) \to \mathcal{F}(L)$ инъективен. Лемма 5.2. Пусть $\mu\colon \mathbf{G} \to \mathbf{T}$ – это рассмотренный выше морфизм редуктивных групповых $\mathcal O$-схем, и пусть $\mathbf{H}=\operatorname{Ker}(\mu)$. Тогда для любой $\mathcal O$-алгебры $L$, где $L$ – это поле, граничное отображение $\partial\colon \mathbf{T}(L)/{\mu (\mathbf{G}(L))} \to \mathrm{H}^1_\mathrm{{\unicode{x00E9}t}}(L,\mathbf{H})$ инъективно. Пусть $k$, $\mathcal O$ и $K$ – такие, как выше в этом параграфе. Пусть $\mathcal K$ – поле, содержащее поле $K$, и пусть $x\colon \mathcal K^* \to \mathbb Z$ – дискретное нормирование, равное нулю на $K^{\times}$. Пусть $A_x\subset \mathcal K$ – это соответствующее нормированию $x$ кольцо дискретного нормирования. Ясно, что $\mathcal O \subset A_x$. Пусть $\widehat A_x$ и $\widehat {\mathcal K}_x$ – это пополнения $A_x$ и $\mathcal K$ в соответствии с нормированием $x$. Пусть $i\colon \mathcal K \hookrightarrow \widehat {\mathcal K}_x$ – включение. По теореме 5.1 отображение $\mathcal{F}(\widehat A_x)\to \mathcal{F}(\widehat{\mathcal K}_x)$ инъективно. Мы будем отождествлять $\mathcal{F}(\widehat A_x)$ с его образом при этом отображении. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_x(\mathcal K)=i_*^{-1}\bigl(\mathcal{F}(\widehat A_x)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Включение $A_x\hookrightarrow \mathcal K$ индуцирует отображение $\mathcal{F}(A_x) \to \mathcal{F}(\mathcal K)$, которое инъективно по теореме 5.1. Образ $\mathcal{F}(A_x)$ в $\mathcal{F}(\mathcal K)$ называется подгруппой всех элементов, неразветвленных относительно $x$. Обе группы $\mathcal{F}(A_x)$ и $\mathcal{F}_x(\mathcal K)$ являются подгруппами группы $\mathcal{F}(\mathcal K)$. Следующая лемма показывает, что $\mathcal{F}_x(\mathcal K)$ совпадает с подгруппой $\mathcal{F}(A_x)$ группы $\mathcal{F}(\mathcal K)$, состоящей из всех элементов неразветвленных относительно нормирования $x$. Пусть $S$ – это $\mathcal O$-алгебра, являющаяся областью целостности, и предположим, что $S$ – регулярное кольцо. Пусть $L$ – поле частных кольца $S$. Для каждого простого идеала $\mathfrak p$ высоты $1$ в $S$ гомоморфизм $\mathcal{F}(S_{\mathfrak p})\to \mathcal{F}(L)$ инъективен по первой части теоремы 1.1. Определим подгруппу $S$-неразветвленных элементов $\mathcal F_{\mathrm{nr},S}(L)$ группы $\mathcal F (L)$ равенством
$$
\begin{equation}
\mathcal F_{\mathrm{nr},S}(L)= \bigcap_{\mathfrak p \in \operatorname{Spec}(S)^{(1)}} \mathcal F(S_{\mathfrak p}) \subseteq \mathcal{F}(L),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\operatorname{Spec}(S)^{(1)}$ – это множество простых идеалов высоты $1$ в кольце $S$. Ясно, что образ $\mathcal F(S)$ в $\mathcal F(L)$ содержится в $\mathcal F_{\mathrm{nr},S}(L)$. Для каждого простого идеала высоты $1$ в кольце $S$ мы сейчас построим отображение специализации $s_{\mathfrak p}\colon \mathcal{F}_{\mathrm{nr}, S}(L) \to \mathcal{F} (l(\mathfrak p))$, где $L$ – поле частных кольца $S$, а $l(\mathfrak p)$ – поле вычетов $S$ в простом идеале $\mathfrak p$. Определение 5.4. Пусть $Ev_{\mathfrak p}\colon \mathbf{T}(S_{\mathfrak p}) \to \mathbf{T}(l(\mathfrak p))$ и $ev_{\mathfrak p}\colon \mathcal{F}(S_{\mathfrak p}) \to \mathcal{F}(l(\mathfrak p))$ – это гомоморфизмы индуцированные каноническим гомоморфизмом $S$-алгебр $S_{\mathfrak p} \to l(\mathfrak p)$. Зададим гомоморфизм $s_{\mathfrak p}\colon \mathcal{F}_{\mathrm{nr}, S}(L) \to \mathcal{F} (l(\mathfrak p))$ правилом $s_{\mathfrak p}(\alpha)= ev_{\mathfrak p}(\widetilde \alpha)$, где $\widetilde \alpha$ – это подъем элемента $\alpha$ в группу $\mathcal{F}(S_{\mathfrak p})$. Теорема 5.1 показывает, что гомоморфизм $s_{\mathfrak p}$ корректно определен. Он называется отображением специализации. Гомоморфизм $ev_{\mathfrak p}$ называется отображением эвалюации в простом идеале $\mathfrak p$. Ясно, что для $\alpha \in \mathbf{T}(S_\mathfrak p)$ имеет место равенство $s_{\mathfrak p}(\overline \alpha)=\overline {Ev_{\mathfrak p}(\alpha)} \in \mathcal{F}(l(\mathfrak p))$. Пусть $k$, $\mathcal O$ и $K$ такие, как выше в данном параграфе. Следующие два результата доказываются, дословно повторяя аргументы из доказательств [2; теорема 6.5] и [2; следствие 6.6] соответственно. Теорема 5.5 (гомотопическая инвариантность). Пусть $K(t)$ – поле рациональных функций от одной переменной над полем $K$. Зададим группу $\mathcal{F}_{\mathrm{nr},K[t]}(K(t))$ формулой (4). Тогда имеет место равенство Следствие 5.6. Пусть $s_0, s_1\colon \mathcal{F}_{\mathrm{nr}, K[t]}(K(t)) \rightrightarrows \mathcal{F}(K)$ – это два гомоморфизма специализации в нуле и в единице (в простых идеалах $(t)$ и $(t-1)$ соответственно). Тогда $s_0=s_1$. Лемма 5.7. Пусть $B \subset A$ – конечное расширение $K$-гладких алгебр, являющихся областями целостности, и каждая имеет размерность один. Пусть $0 \neq f \in A$, и пусть $h \in B\cap fA$ – такой элемент, что индуцированный гомоморфизм колец $B/hB\to A/fA$ – это изоморфизм. Предположим, что $hA=fA\cap J''$ для некоторого идеала $J'' \subseteq A$ взаимно простого с главным идеалом $fA$. Пусть $E$ и $F$ – поля частных колец $B$ и $A$ соответственно. Пусть $\alpha \in \mathbf{T}(A_f)$ – такой элемент, что элемент $\overline \alpha \in \mathcal{F}(F)$ является $A$-неразветвленным. Тогда для элемента $\beta= N_{F/E}(\alpha)$ его класс $\overline \beta \in \mathcal{F}(E)$ является $B$-неразветвленным. § 6. Некоторые напоминанияПусть $X$ – аффинное неприводимое $k$-гладкое $k$-многообразие, и пусть $x_1,x_2,\dots,x_n$ – замкнутые точки в $X$. Пусть $\mathcal O$ – полулокальное кольцо $\mathcal O_{X,\{x_1,x_2,\dots,x_n\}}$. Пусть $U=\operatorname{Spec}(\mathcal O)$, и пусть $\operatorname{can}\colon U\hookrightarrow X$ – каноническое вложение. Пусть $\mathbf{G}$ – редуктивная $X$-групповая схема, и пусть $\mathbf{G}_U= \operatorname{can}^*(\mathbf{G})$ – это ее ограничение на $U$. Пусть $\mathbf{T}$ – это $X$-тор, и пусть $\mathbf{T}_U= \operatorname{can}^*(\mathbf{T})$ – это его ограничение на $U$. Пусть $\mu\colon \mathbf{G} \to \mathbf{T}$ – групповой морфизм групповых $X$-схем, являющийся гладким как морфизм $X$-схем. Пусть $\mu_U=\operatorname{can}^*(\mu)$. Следующий результат – это [2; теорема 4.1]. Теорема 6.1. Пусть $\mathrm{f}\in k[X]$ – ненулевая функция равная нулю в каждой точке $x_i$. Тогда существует диаграмма вида с неприводимой аффинной схемой $\mathcal X'$, гладким морфизмом $q_U$, конечным сюръективным $U$-морфизмом $\sigma$, существенно гладким морфизмом $q_X$ и функцией $f' \in q^*_X(\mathrm{f})k[\mathcal X']$, которые удовлетворяют следующим условиям: (a) если $\mathcal Z'$ – замкнутая подсхема схемы $\mathcal X'$, заданная идеалом $(f')$, то морфизм $\sigma|_{\mathcal Z'}\colon \mathcal Z' \to \mathbf{A}^1\times U$ является замкнутым вложением, а морфизм $q_U|_{\mathcal Z'}\colon \mathcal Z' \to U$ конечен; $\mathrm{(a')}$ $q_U\circ \Delta'=\operatorname{id}_U$ и $q_X\circ \Delta'=\operatorname{can}$, и $\sigma\circ \Delta'=i_0$, где $i_0$ – нулевое сечение проекции $\operatorname{pr}_U$; (b) $\sigma$ этален в окрестности $\mathcal Z'\cup \Delta'(U)$; (c) $\sigma^{-1}(\sigma(\mathcal Z'))=\mathcal Z'\coprod \mathcal Z''$ теоретико-схемно для некоторой замкнутой подсхемы $\mathcal Z''$, причем $\mathcal Z'' \cap \Delta'(U)=\varnothing$; (d) $\mathcal D_0:=\sigma^{-1}(\{0\} \times U)=\Delta'(U)\coprod \mathcal D'_0$ теоретико-схемно для некоторой замкнутой подсхемы $\mathcal D'_0$, причем $\mathcal D'_0 \cap \mathcal Z'=\varnothing$; (e) если $\mathcal D_1:=\sigma^{-1}(\{1\} \times U)$, то $\mathcal D_1 \cap \mathcal Z'=\varnothing$; (f) существует такой унитарный многочлен $h \in \mathcal O[t]$, что
$$
\begin{equation*}
(h)=\operatorname{Ker}\bigl[\mathcal O[t] \xrightarrow{\sigma^*} k[\mathcal X'] \xrightarrow{-} k[\mathcal X']/(f')\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где отображение черта переводит $g\in k[\mathcal X']$ в ${\overline g}\in k[\mathcal X']/(f')$; $\mathrm{(g)}$ имеются изоморфизмы групповых $\mathcal X'$-схем $\Phi\colon q^*_U(\mathbf{G}_U)\to q^*_X(\mathbf{G})$, $\Psi$: $q^*_U(\mathbf{T}_U)\to q^*_X(\mathbf{T})$ такие, что $(\Delta')^*(\Phi)= \operatorname{id}_{\mathbf{G}_U}$, $(\Delta')^*(\Psi)= \operatorname{id}_{\mathbf{T}_U}$ и $q^*_X(\mu) \circ \Phi=\Psi \circ q^*_U(\mu_U)$. Замечание 6.2. Тройка $(q_U\colon \mathcal X' \to U, f', \Delta')$ – это совершенная тройка над $U$, так как $\sigma$ – конечный сюръективный $U$-морфизм. Определение совершенной тройки введено в [18; определение 3.1]. Морфизм $q_X$ не равен морфизму $\operatorname{can}{\circ}\, q_U$, так как $f' \in q^*_X(\mathrm{f})k[\mathcal X']$ и морфизм $q_U|_{\mathcal Z'}\colon \mathcal Z'=\{f'=0\} \to U$ конечен. Чтобы сформулировать следствие теоремы 6.1 (см. следствие 6.3), заметим, что, используя пункты (b) и (c) теоремы 6.1, можно найти такой элемент $g \in I(\mathcal Z'')$, что: (1) $(f')+(g)=\Gamma(\mathcal X', \mathcal O_{\mathcal X'})$; (2) $\operatorname{Ker}((\Delta')^*)+(g)=\Gamma(\mathcal X', \mathcal O_{\mathcal X'})$; (3) $\sigma_g=\sigma|_{\mathcal X'_g}\colon \mathcal X'_g \to \mathbf{A}^1_U$ является этальным. Ниже приведено указанное следствие. Оно доказано в [19; следствие 7.2]. Следствие 6.3. Функция $f'$ из теоремы 6.1, многочлен $h$ из п. (f) той же теоремы, морфизм $\sigma\colon \mathcal X' \to \mathbf{A}^1_U$ и функция $g \in \Gamma(\mathcal X,\mathcal O_{\mathcal X})$, указанная перед данным следствием обладают следующими свойствами: (i) морфизм $\sigma_g= \sigma|_{\mathcal X'_g}\colon \mathcal X'_g \to \mathbf{A}^1\times U $ этален; (ii) данные $(\mathcal O[t],\sigma^*_g\colon \mathcal O[t] \to \Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})_g, h)$ удовлетворяют условиям [8; предложение 2.6], т. е. $\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})_g$ – это конечно порожденная $\mathcal O[t]$-алгебра, элемент $(\sigma_g)^*(h)$ не делитель нуля в кольце $\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})_g$ и $\mathcal O[t]/(h)=\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})_g/h\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})_g$; (iii) $(\Delta(U) \cup \mathcal Z') \subset \mathcal X'_g$ и $\sigma_g \circ \Delta=i_0\colon U\to \mathbf{A}^1\times U$; (iv) $\mathcal X'_{gh} \subseteq \mathcal X'_{gf'}\subseteq \mathcal X'_{f'}\subseteq \mathcal X'_{q^*_X(\mathrm{f})}$; (v) $\mathcal O[t]/(h)=\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})/(f')$, $h\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})=(f')\cap I(\mathcal Z'')$ и $(f') +I(\mathcal Z'')=\Gamma(\mathcal X',\mathcal O_{\mathcal X'})$. § 7. ЧистотаПусть $S$ – регулярное кольцо, $\mathbf{G}$ – редуктивная групповая $S$-схема, $\mathbf{T}$ – $S$-тор, $\mu\colon \mathbf{G}\to \mathbf{T}$ – это групповой $S$-морфизм групповых схем, являющийся гладким как морфизм схем. Предположим, что $S$ – область целостности, содержащая поле. Пусть $L$ – ее поле частных. Для каждой $S$-алгебры $S'$ мы будем писать
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(S') \quad \text{вместо} \quad \mathbf{T}(S')/\mu(\mathbf{G}(S'))
\end{equation*}
\notag
$$
в этом параграфе. Для каждого элемента $a\in \mathbf{T}(S')$ пишем $\overline a$, чтобы обозначить его класс $a$ в $\mathcal{F}(S')$. Пусть $\mathfrak p$ – это простой идеал высоты один в $S$, тогда по теореме 1.1 группа $\mathcal{F}(S_{\mathfrak p})$ является подгруппой в $\mathcal{F}(L)$. Напомним некоторые понятия. Для каждого элемента $a\in \mathbf{T}(L)$ и каждого простого идеала $\mathfrak p\subset S$ высоты один мы скажем, что $\overline a\in \mathcal{F}(L)$ является неразветвленным в $\mathfrak p$, если $\overline a$ лежит в подгруппе $\mathcal{F}(S_{\mathfrak p})$. Мы скажем, что элемент $\overline a\in \mathcal{F}(L)$ является $S$-неразветвленным, если для каждого простого идеала $\mathfrak p$ в $S$ высоты один элемент $\overline a$ лежит в $\mathcal{F}(S_{\mathfrak p})$. Ясно, что образ $\mathcal{F}(S)$ в $\mathcal{F}(L)$ содержится в $\bigcap \mathcal{F}(S_{\mathfrak p})$, где пересечение берется по всем простым идеалам в $S$. Говорят, что чистота справедлива для кольца $S$, если
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im}[\mathcal{F}(S)\to \mathcal{F}(L)]=\bigcap \mathcal{F}(S_{\mathfrak p}).
\end{equation*}
\notag
$$
Равносильно, чистота выполнена для $S$, если каждый $S$-неразветвленный элемент $\mathcal{F}(L)$ приходит из $\mathcal{F}(S)$. Ясно, что последовательность
$$
\begin{equation*}
\{1\} \to \mathcal{F}(S_{\mathfrak p}) \to \mathcal{F}(L) \xrightarrow{r_{\mathfrak p}} \mathbf{T}(L)/[\mathbf{T}(S_{\mathfrak p})\cdot \mu(\mathbf{G}(L))] \to \{1\}
\end{equation*}
\notag
$$
точна, где $r_{\mathfrak p}$ – отображение факторизации. Поэтому для элемента $a\in \mathbf{T}(L)$ его класс $\overline a$ в $\mathcal{F}(L)$ неразветвлен в $\mathfrak p$, если и только если $r_{\mathfrak p}(\overline a)=0$. Следовательно, свойство чистоты выполнено для $S$, если и только если последовательность $\mathcal{F}(S)\to \mathcal{F}(L)\xrightarrow{\sum r_{\mathfrak p}} \bigoplus_{\mathfrak p} \mathbf{T}(L)/[\mathbf{T}(S_{\mathfrak p})\cdot \mu(\mathbf{G}(L))]$ точна. Цель этого параграфа – доказать следующий результат. $(\ast)$ Чистота выполнена для кольца $R$, групповых $R$-схем $\mathbf{G}$, $\mathbf{T}$ и морфизма $\mu$ таких, как в теореме 1.1. Доказательство результата $(\ast)$ разбито на несколько шагов. Утверждение 7.1. Пусть $X$ – $k$-гладкое неприводимое аффинное неприводимое $k$-многообразие. Пусть $\mathbf{G}$ – редуктивная групповая $X$-схема, $\mathbf{T}$ – $X$-тор и $\mu\colon \mathbf{G} \to \mathbf{T}$ – это морфизм групповых $X$-схем, являющийся гладким как морфизм $X$-схем. Предположим, что $k$-алгебра $R$ – это полулокальное кольцо конечного числа замкнутых точек на $X$. Тогда чистота выполнена для кольца $R$. Доказательство. Просто повторим дословно доказательство [2; теорема 1.1], заменив ссылки на [2; следствие 4.3, (ii), (v)] ссылками на пункты (ii) и (v) следствия 6.3. Также, заменив ссылку на [2; лемма 6.7] ссылкой на лемму 5.7. Заменив ссылку на [2; теорема 6.5] ссылкой на теорему 5.5. Заменив ссылку на [2; следствие 6.6] ссылкой на следствие 5.6. Заменив ссылку на [2; теорема 4.1] ссылкой на теорему 6.1. Заменив также ссылку на [2; определение 6.4] ссылкой на замечание в конце определения 5.4. Утверждение 7.1 доказано. Утверждение 7.2. Пусть $X$ – это $k$-гладкое неприводимое аффинное $k$-многообразие и $\xi_1,\dots,\xi_n$ – точки схемы $X=\operatorname{Spec}(k[X])$ такие, что для каждой пары $r,s$ точка $\xi_r$ не лежит в замыкании $\overline {\{\xi_s\}}$ точки $\xi_s$. Пусть $R$ – это полулокальное кольцо $\mathcal{O}_{X,\xi_1,\dots,\xi_n}$ схемных точек $\xi_1,\dots,\xi_n$ схемы $\operatorname{Spec}(k[X])$. Пусть $\mathbf{G}$ – это редуктивная групповая $X$-схема, $\mathbf{T}$ – $X$-тор и $\mu\colon \mathbf{G} \to \mathbf{T}$ – морфизм групповых $X$-схем, являющийся гладким. Тогда чистота выполнена для кольца $R$. Доказательство. Возьмем элемент $a \in \mathbf{T}(k(X))$ такой, что его класс $\overline a$ является неразветвленным в каждом неприводимом дивизоре $D\,{\subset}\, X$, содержащем по крайней мере одну из точек $\xi_r$. Мы должны доказать, что элемент $\overline a\in \mathcal{F}(K)$ лежит в образе группы $\mathcal{F}(R)$. Ясно, что существует ненулевой элемент $f\in k[X]$ такой, что $a \in \mathbf{T}(k[X_f])$. Запишем дивизор $\operatorname{div}(f)\in \operatorname{Div}(X)$ в виде $\operatorname{div}(f)=\sum m_iD_i + \sum n_jD'_j$ так, что для каждого индекса $i$ существует индекс $r$ такой, что $\xi_r\in D_i$ и для любого индекса $j$ и любого индекса $r$ точка $\xi_r$ не лежит на дивизоре $D'_j$. Существует элемент $g\in k[X]$ такой, что для любого индекса $j$ дивизор $D'_j$ содержится в замкнутом множестве $\{g=0\}$, но $g$ не принадлежит ни одному из простых идеалов $\xi_r$ (напомним, что точки схемы $X=\operatorname{Spec}(k[X])$ – это простые идеалы в $k[X]$). Заменив $X$ на $X_g$, мы видим, что $a \in \mathbf{T}(k[X_f])$, $\operatorname{div}(f)=\sum m_iD_i$ и $\overline a$ не разветвлен в каждом неприводимом дивизоре $D_i$. Следовательно, элемент $\overline a$ не разветвлен в каждом простом идеале высоты $1$ кольца $k[X]$. Наши условия на точки $\xi_r$ гарантируют, что можно найти такие замкнутые точки $x_r\in \overline {\{\xi_s\}}$, что для каждого $r\neq s$ точка $x_r$ не лежит в замыкании $\overline {\{\xi_s\}}$ точки $\xi_s$. В частности, для каждых $r\neq s$ имеем $x_r\neq x_s$. Элемент $\overline a\in \mathcal{F}(k(X))$ не разветвлен в каждом простом идеале высоты $1$ кольца $k[X]$. Итак, по утверждению 7.1 элемент $\overline a\in \mathcal{F}(k(X))$ лежит в образе $\mathcal{F}(\mathcal{O}_{X,x_1,\dots,x_n})$. Поэтому элемент $\overline a$ лежит и в образе $\mathcal{F}(\mathcal{O}_{X,\xi_1,\dots,\xi_n})=\mathcal{F}(R)$. Утверждение 7.2 доказано. Доказательство. Ясно, что мы можем предположить, что поле $k$ является простым и, следовательно, оно совершенно. Согласно теореме Попеску [20], [21] $k$-алгебра $R$ является направленным индуктивным пределом $k$-гладких $k$-алгебр $R_{\alpha}$. Модифицируя индуктивную систему $k$-алгебр $R_{\alpha}$, если это необходимо, можно считать, что каждая $k$-алгебра $R_{\alpha}$ – это область целостности. Для каждого максимального идеала $\mathfrak m_i$ в $R$ ($i = 1,\dots,n$) положим $\mathfrak p_i = \varphi^{-1}_{\alpha}(\mathfrak m_i)$. Гомоморфизм $\varphi_{\alpha}\colon R_{\alpha}\to R$ индуцирует гомоморфизм полулокальных колец $\varphi'_{\alpha}\colon (R_{\alpha})_{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n} \to R$. Начиная с этого момента мы будем писать $A_{\alpha}$ вместо $(R_{\alpha})_{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n}$ и $A$ вместо $R$ (чтобы сохранять согласованность обозначений). Таким образом, $A$ является направленным индуктивным пределом регулярных полулокальных $k$-алгебр $A_{\alpha}$. Существуют индекс $\alpha$, редуктивная групповая $A_{\alpha}$-схема $\mathbf{G}_{\alpha}$, тор $\mathbf{T}_{\alpha}$ над $A_{\alpha}$ и морфизм $A_{\alpha}$-групповых схем $\mu_{\alpha}\colon \mathbf{G}_{\alpha} \to \mathbf{T}_{\alpha}$, являющийся гладким как морфизм $A_{\alpha}$-схем, такие, что $\mathbf{G}=\mathbf{G}_{\alpha}\times_{\operatorname{Spec}(A_{\alpha})} \operatorname{Spec}(A)$, $\mathbf{T}=\mathbf{T}_{\alpha}\times_{\operatorname{Spec}(A_{\alpha})} \operatorname{Spec}(A)$, $\mu=\mu_{\alpha}\times_{\operatorname{Spec}(A_{\alpha})} \operatorname{Spec}(A)$. Заменив систему индексов на кофинальную подсистему, состоящую из индексов $\beta\geqslant \alpha$, мы можем и будем считать, что редуктивная групповая схема $\mathbf{G}$, тор $\mathbf{T}$ и групповой морфизм $\mu\colon \mathbf{G}\to \mathbf{T}$ приходят с $A_{\alpha}$, и, кроме того, $\mu$ является гладким. Эти наблюдения и утверждение 7.2 доставляют следующий промежуточный результат. $(\ast\ast)$ Для указанных $\mathbf{G}$, $\mathbf{T}$ и $\mu\colon \mathbf{G}\to \mathbf{T}$ над $A_{\alpha}$ чистота имеет место для каждого кольца $A_{\beta}$, где $\beta\geqslant \alpha$. Пусть теперь $K$ – поле частных кольца $A$ и для каждого индекса $\beta\geqslant \alpha$, пусть $K_\beta$ – поле частных кольца $A_\beta$. Для каждого индекса $\beta\geqslant \alpha$ пусть $\mathfrak a_{\beta}$ – ядро гомоморфизма колец $\varphi'_{\beta}\colon A_{\beta} \to A$, и пусть $B_{\beta}=(A_{\beta})_{\mathfrak a_{\beta}}$. Ясно, что для каждого индекса $\beta\geqslant \alpha$, $K_{\beta}$ – это поле частных кольца $B_{\beta}$. Композиция гомоморфизмов $A_{\beta} \to A \to K$ пропускается через кольцо $B_{\beta}$. Поскольку $A$ – направленный индуктивный предел колец $A_{\beta}$, то $K$ – направленный индуктивный предел колец $B_{\beta}$. Мы будем обозначать $\psi_{\beta}$ канонический морфизм $B_{\beta} \to K$. Лемма 7.4. Для каждого индекса $\beta\geqslant \alpha$ гомоморфизм групп $\mathcal{F}(B_{\beta})\to \mathcal{F}(K_{\beta})$ инъективен. Лемма 7.5. Пусть $a\in \mathcal{F}(K)$ – это $A$-неразветвленный элемент. Тогда существует индекс $\beta\geqslant \alpha$ и элемент $b_{\beta} \in \mathcal{F}(B_{\beta})$ такие, что $\psi_{\beta}(b_{\beta})=a$ и класс элемента $b_{\beta} \in \mathcal{F}(K_{\beta})$ является $A_{\beta}$-неразветвленным. Доказательство повторяет дословно доказательство [16; лемма 9.0.9]. Оно работает и в полулокальном случае. Завершим теперь доказательство утверждения 7.3 следующим образом. Пусть $a\in \mathcal{F}(K)$ – это $A$-неразветвленный элемент. Мы должны проверить, что он приходит из $\mathcal{F}(A)$. По лемме 7.5 существуют индекс $\beta\geqslant \alpha$ и элемент $b_{\beta} \in \mathcal{F}(B_{\beta})$ такие, что $\psi_{\beta}(b_{\beta})=a$ и класс элемента $b_{\beta} \in \mathcal{F}(K_{\beta})$ является $A_{\beta}$-неразветвленным. Для этого индекса $\beta$ рассмотрим коммутативную диаграмму $k$-алгебр Класс $b_{\beta} \in \mathcal{F}(K_{\beta})$ является $A_{\beta}$-неразветвленным. Следовательно, по утверждению $(\ast\ast)$ существует элемент $a_{\beta} \in \mathbf{T}(A_{\beta})$ такой, что $b_{\beta}=\overline a_{\beta}$ в группе $\mathcal{F}(K_{\beta})$. По лемме 7.4 равенство $b_{\beta}=\overline a_{\beta}$ имеет место уже в группе $\mathcal{F}(B_{\beta})$. Следовательно, элемент $a\,{\in}\,\mathcal{F}(K)$ совпадает с образом элемента $\varphi_{\beta} (\overline a_{\beta})$ из $\mathcal{F}(A)$. Утверждение 7.3 доказано. Таким образом, последовательность (1) точна в ее среднем члене.§ 8. Доказательство теоремы 1.1Мы начнем этот параграф со следующего предварительного комментария. Пусть $S$ – регулярная полулокальная область целостности, и пусть $L$ – его поле частных. Тогда для каждого простого идеала $\mathfrak q\subset S$ высоты $1$ кольцо $S_{\mathfrak q}$ является кольцом дискретного нормирования. Поэтому $L^{\times}/S^{\times}_{\mathfrak q}=\mathbb Z$. Поскольку кольцо $S$ факториально, то последовательность $0\to S^{\times}\to L^{\times}\to \bigoplus_{\mathfrak q} L^{\times}/S^{\times}_{\mathfrak q}\to 0$ является короткой точной. Здесь $\mathfrak q$ пробегает все простые идеалы высоты $1$ кольца $S$ и для каждого такого идеала $\mathfrak q$ гомоморфизм $L^{\times}\to L^{\times}/S^{\times}_{\mathfrak q}$ – это гомоморфизм факторизации. Если $\mathcal T$ – это расщепимый $S$-тор, тогда ясно, что последовательность $0\to \mathcal T(S)\to \mathcal T(L)\to \bigoplus_{\mathfrak q} \mathcal T(L)/\mathcal T(S_{\mathfrak q})\to 0$ тоже является короткой точной. Доказательство теоремы 1.1. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1 дано в § 3. Точность последовательности (1) в ее среднем члене доказана в § 7.
Докажем теперь сюръективность отображения $\sum r_{\mathfrak p}$. Ясно, что достаточно доказать сюръективность отображения $\mathbf T(K) \xrightarrow{\sum r'_{\mathfrak p}} \bigoplus_{\mathfrak p} \mathbf T(K)/\mathbf T(R_{\mathfrak p})$, где $\mathfrak p$ пробегает все простые идеалы высоты $1$ кольца $R$ и $r'_{\mathfrak p}$ – это гомоморфизм факторизации. Мы следуем в целом аргументам из [3; § 9]. Мы предпочитаем работать ниже в геометрической терминологии. Положим $X:=\operatorname{Spec}(R)$. Рассмотрим конечное этальное накрытие Галуа $\pi\colon \widetilde X\to X$ такое, что тор $\mathbf{T}$ расщепляется над $\widetilde X$. Пусть $\operatorname{Gal}:=\operatorname{Aut}(\widetilde X/X)$ – соответствующая группа Галуа. Тор $\mathbf{T}$ расщепим над $\widetilde X$. Поэтому согласно комментариям из начала параграфа имеется короткая точная последовательность $\operatorname{Gal}$-модулей
$$
\begin{equation*}
0\to \mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}})\to \mathbf{T}(\widetilde K)\to \bigoplus_{y} \mathbf{T}(\widetilde K)/\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y})\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\mathcal{O}}=\Gamma(\widetilde X, \mathcal O_{\widetilde X})$, $\widetilde K$ – это поле частных кольца $\widetilde{\mathcal{O}}$, $y$ пробегает множество $X^{(1)}$ точек коразмерности $1$ в $X$ и для каждой точки $y\in X^{(1)}$ кольцо $\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y}$ – это полулокальное кольцо $\mathcal{O}_{\widetilde X, \widetilde y}$ конечного множества точек $\widetilde y=\pi^{-1}(y)$ схемы $\widetilde X$. Будем писать $\mathcal{O}$ вместо $R$, чтобы иметь согласование с вышеуказанными обозначениями. Эта короткая точная последовательность $\operatorname{Gal}$-модулей доставляет длинную точную последовательность $\operatorname{Gal}$-когомологий групп вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\to \mathbf{T}(\mathcal{O})\xrightarrow{\mathrm{in}} \mathbf{T}(K)\to \bigoplus_{y} [\mathbf{T}(\widetilde K)/\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y})]^{\mathrm{Gal}} \\ &\to \mathrm{H}^1(\operatorname{Gal},\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}})) \xrightarrow{\mathrm{H}^1(\mathrm{in})} \mathrm{H}^1(\operatorname{Gal},\mathbf{T}(\widetilde K)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\mathrm{H}^1(\mathrm{in})$ – мономорфизм. Действительно, группа $\mathrm{H}^1(\operatorname{Gal},\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}))$ является подгруппой группы $\mathrm H^1_{\mathrm{\unicode{x00E8}t}}(X, \mathbf{T})$, а группа $\mathrm{H}^1(\operatorname{Gal},\mathbf{T}(\widetilde K))$ является подгруппой группы $\mathrm H^1_{\mathrm{\unicode{x00E8}t}}(\operatorname{Spec}K, \mathbf{T}_K)$. По теореме 1.5 гомоморфизм $\mathrm H^1_{\mathrm{\unicode{x00E8}t}}(X, \mathbf{T})\to \mathrm H^1_{\mathrm{\unicode{x00E8}t}}(\operatorname{Spec}K, \mathbf{T}_K)$ является мономорфизмом. Поэтому и $\mathrm{H}^1(\mathrm{in})$ мономорфизм. Итак, мы имеем короткую точную последовательность вида $0\to \mathbf{T}(\mathcal{O})\xrightarrow{\mathrm{in}} \mathbf{T}(K)\to \bigoplus_{y} [\mathbf{T}(\widetilde K)/\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y})]^{\mathrm{Gal}}\to 0$. Имеет место еще и комплекс $0\to \mathbf{T}(\mathcal{O})\xrightarrow{\mathrm{in}} \mathbf{T}(K)\to \bigoplus_{y} \mathbf{T}(K)/T(\mathcal{O}_{X,y})$. Положим $\alpha=\operatorname{id}_{\mathbf{T}(\mathcal{O})}$, $\beta=\operatorname{id}_{\mathbf{T}(K)}$, и пусть $\gamma=\bigoplus_{y} \gamma_y $, где $\gamma_y\colon \mathbf{T}(K)/\mathbf{T}(\mathcal{O}_{X,y})\to [\mathbf{T}(\widetilde K)/\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y})]^{\mathrm{Gal}}$ индуцирован включением $K\subset \widetilde K$. Гомоморфизмы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ задают морфизм этого комплекса в указанную короткую точную последовательность. Утверждается, что этот морфизм – изоморфизм. Это утверждение завершает доказательство теоремы. Чтобы доказать это утверждение, достаточно доказать, что изоморфизмом является $\gamma$. Так как $\mathbf{T}(K)\to \bigoplus_{y} [\mathbf{T}(\widetilde K)/\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y})]^{\mathrm{Gal}}$ – это эпиморфизм, то и $\gamma$ тоже эпиморфизм. Остается доказать, что $\gamma$ – мономорфизм. Чтобы сделать это, достаточно проверить, что для любой точки $y\in X^{(1)}$ отображение $\mathbf{T}(K)/\mathbf{T}(\mathcal{O}_{X,y})\to \mathbf{T}(\widetilde K)/\mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y})$ является мономорфизмом. Обозначим через $\varepsilon_y$ этот последний гомоморфизм. Мы должны проверить равенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf{T}(\mathcal{O}_{X,y})=\mathbf{T}(K)\cap \mathbf{T}(\widetilde{\mathcal{O}}_{X,y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathbf{T}$ – аффинная $X$-схема, то, вкладывая ее в аффинное пространство, достаточно проверить равенство $\mathcal{O}_{X,y}=K\cap \widetilde{\mathcal{O}}_{X,y}$. Последнее равенство выполнено, так как $\mathcal{O}_{X,y}$ – кольцо дискретного нормирования: нет никакого кольца, находящегося строго между им и его полем частных. Инъективность отображений $\varepsilon_y$ доказана. Поэтому доказана и сюръективность гомоморфизма $\sum r_{\mathfrak p}$. Теорема 1.1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pan22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|