| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О классическом решении макроскопической модели подземного выщелачивания редких металлов А. М. Мейрманов Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9144 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ предлагаемом исследовании с помощью метода усреднения в структурах со специальной периодичностью дается строгий вывод макроскопической математической модели подземного выщелачивания редких металлов и доказываются теоремы существования и единственности классического решения начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений макроскопической математической модели. Добыча редких металлов методом выщелачивания является очень важной народно-хозяйственной задачей. Естественные залежи урана, никеля и других редких металлов являются сложными геологически разнородными объектами. Неоднородность означает, что интересующие нас свойства объекта изменяются в пространстве. Анализы скважин и кернов показывают, что геологические свойства (пористость, проницаемость и т. п.) рудных тел неоднородны даже внутри одного месторождения. Очень часто недостаточный учет последствий неоднородностей на стадии планирования операции становится очевидным слишком поздно, когда закачиваемый в грунт через нагнетающие скважины кислотный раствор оказывается далеко от предполагаемого места. Кроме этого важную роль играют концентрация закачиваемой кислоты, режимы нагнетания кислотных растворов и тому подобные факторы. Следовательно, понимание динамики флюидов в гетерогенных пористых средах и механизма растворения горных пород кислотами имеет фундаментальное значение для эффективного управления добычей редких металлов. Это достигается созданием прототипа гидродинамического симулятора рудного тела на базе соответствующей математической модели, позволяющего оптимизировать весь технологический процесс. Гидродинамическим симулятором рудного тела называется комплекс, состоящий из шкалы математических моделей физического процесса, упорядоченных по степени аппроксимации данного процесса (прототип гидродинамического симулятора), цифровых характеристик геометрических и физических свойств грунта конкретного месторождения и комплекса вычислительных программ, позволяющих визуализировать физический процесс и определить динамику изменения основных характеристик математической модели. В настоящее время для описания процесса выщелачивания горных пород существует большой спектр математических моделей, опосредованно описывающих рассматриваемые физические процессы на макроскопическом уровне (см. [1]–[3] и цитируемую там литературу). В отличии от микроскопических моделей, в макроскопических моделях характерными размерами являются метры или десятки метров. В силу этого указанные модели не различают микроструктуру сплошной среды, поскольку в такой модели в каждой точке сплошной среды присутствует как горная порода (твердый скелет), так и жидкость в порах этого скелета. Все такие модели строятся по одному принципу. Динамика жидкости, как правило, управляется системой уравнений фильтрации Дарси или какой-либо ее модификацией. Уравнения, описывающие миграцию кислоты и продуктов химических реакций, просто постулируются и являются модифицированными уравнениями диффузии–конвекции для соответствующих концентраций. Главным в этих постулатах является вид коэффициентов уравнений. Как раз здесь и наблюдается большое разнообразие, зависящее от вкусов и пристрастий авторов моделей. Оно вполне объяснимо, поскольку основной механизм физического процесса сосредоточен на неизвестной (свободной) границе между поровым пространством и твердым скелетом и никак не прописан в предлагаемых макроскопических моделях. Именно там происходит растворение горных пород, изменяющее концентрацию закачиваемой кислоты, и именно там возникает поток продуктов химических реакций внутрь несущей жидкости. Более того, в течение процесса меняется геометрия порового пространства, т. е. геометрия свободной границы, разделяющей твердый скелет и поровое пространство. Все эти принципиально важные изменения происходят на микроскопическом уровне, соответствующем среднему размеру пор или трещин в горных породах, в то время как любая из предлагаемых макроскопических моделей оперирует с совсем другими (на порядки бо́льшими) масштабами и поэтому не различает ни свободную границу, ни особенностей взаимодействия кислоты с грунтом, что и объясняет большое разнообразие макроскопических математических моделей. У авторов таких моделей просто нет ни точного метода описания физических процессов на микроскопическом уровне на базе фундаментальных законов механики сплошных сред и химии, ни возможности учесть эту микроструктуру в макроскопических моделях. Поэтому им приходится ограничиваться некими умозрительными соображениями. При всем этом возникает естественный вопрос: если есть несколько макроскопических моделей, описывающих один и тот же физический процесс, какая из них наиболее адекватно отображает это процесс? Где здесь критерий истинности? Говорить об эксперименте не имеет никакого смысла, поскольку в каждой такой модели достаточно свободных параметров, никак не привязанных ни к геометрии пласта (как, например, пористость), ни к физическим характеристикам процесса (как, например, вязкость и плотность фильтрующихся жидкостей) и вариацией этих параметров можно добиться совпадения с любым экспериментом. Р. Барридж и Дж. Б. Келлер [4] и Э. Санчес-Паленсия [5] были первыми, кто на примере процессов акустики и фильтрации жидкости в горных породах с периодической структурой объяснили, что адекватное описание физических процессов на макроскопическом уровне возможно если только: (a) рассматриваемый физический процесс на микроскопическом уровне описывается с помощью классических уравнений механики сплошных сред (точная модель), (b) выделен набор малых безразмерных параметров, (c) макроскопические математические модели есть строгие асимптотические пределы (усреднения) точных математических моделей на микроскопическом уровне при стремлении выделенных малых параметров к нулю. Различные частные случаи точных макроскопических моделей акустики и фильтрации жидкости в горных породах с периодической структурой интенсивно исследовались многими авторами, см. [6]–[13] и другие работы. Все эти авторы использовали различные методы усреднения, и решение каждой и, как правило, трудной задачи требовало немалых усилий и изобретательности. Напомним, что под периодической структурой с ячейкой периодичности размера $\varepsilon$ понимается структура, полученная повторением куба размера $\varepsilon$, состоящего из жидкой и твердой компонент. Такая структура определяется $\varepsilon$-периодической функцией $\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})$, равной единице в поровом пространстве, заполненном жидкостью, и нулю – в твердом скелете. Функцию $\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})$ называют характеристической функцией данной структуры. Все изменилось после появления работы Г. Нгуетсенга [14], в которой был предложен метод двухмасштабной сходимости в периодических структурах. То, что раньше было искусством, стало обычной рутиной, ссылкой на метод. Так теория усреднения перестала быть самостоятельным разделом математического анализа (или теории дифференциальных уравнений). Поэтому основные исследования в теории усреднения переместились из теоретических исследований в приложения в механике, физике, биологии и т. п. Поскольку задачи в периодических структурах были хорошо изучены, внимание исследователей стали привлекать более сложные задачи в средах со специальной периодичностью, задаваемых характеристическими функциями вида $\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)= \chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, где $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ – $1$-периодическая по переменной $\boldsymbol{y}$ функция. Наиболее полно такие задачи были исследованы А. М. Мейрмановым [15]. Автор переписал эти модели в специальной безразмерной форме и фиксировал определенный набор критериев (безразмерные коэффициенты дифференциальных уравнений), которые отвечают за тип физического процесса (фильтрация, акустика, гидравлический удар и т. п.). Мейрманов классифицировал точные математические модели на микроскопическом уровне и с помощью метода многомасштабной сходимости Нгуетсенга получил строгие асимптотические пределы этих моделей, адекватно описывающие рассматриваемые физические процессы на макроскопическом уровне. В нашей работе за малый безразмерный параметр принимается величина $\varepsilon=l/L$, где $l$ – характерный размер пор и $L$ – характерный размер рассматриваемой физической области. Безразмерный параметр $\alpha_{\mu}^{\varepsilon}$ характеризует вязкость фильтрующейся жидкости:
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\mu}^{\varepsilon}=\frac{2\mu}{Lg\tau\rho_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau$ есть характерное время длительности физического процесса, $\rho_0$ – плотность воды, $g$ – ускорение силы тяжести и $\mu$ – динамическая вязкость жидкости. Как мы уже отмечали, вывод макроскопических математических моделей должен основываться на как можно более точной математической модели физического процесса на микроскопическом уровне, описываемой законами классической механики сплошных сред. В нашем описании это уравнения Стокса в поровом пространстве $\Omega^{\varepsilon}_f$ для несжимаемой вязкой жидкости с динамическими характеристиками $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ (вектор скорости в жидкой компоненте) и $p^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ (давление в жидкой компоненте) и уравнения диффузии–конвекции для концентрации кислоты $c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и концентраций продуктов химических реакций $c^{\varepsilon}_j(\boldsymbol{x},t)$, $j=1,\dots,n$. Твердый скелет $\Omega^{\varepsilon}_{s}$ предполагается абсолютно твердым телом, в котором скорости среды равны нулю. Дифференциальные уравнения дополняются краевыми условиями на заданных границах, начальными условиями и условиями сильного разрыва на искомой (свободной) границе $\Gamma^{\varepsilon}$ “твердый скелет–поровое пространство” в области $\Omega=\Omega^{\varepsilon}_f\cup\Gamma^{\varepsilon}\cup\Omega^{\varepsilon}_{s}$ [16], вытекающими из законов сохранения классической механики, и дополнительным условием на свободной границе
$$
\begin{equation}
D^{\varepsilon}_{N}=\alpha^{\varepsilon}c^{\varepsilon},\qquad \alpha^{\varepsilon}=\mathrm{const}>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
постулируемым в теоретической химии и позволяющим определить свободную границу [17]. Здесь $D^{\varepsilon}_{N}$ – скорость границы $\Gamma^{\varepsilon}$ в направлении единичной нормали $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$ к границе $\Gamma^{\varepsilon}$, внешней по отношению к области $\Omega^{\varepsilon}_f$, $\alpha$ – заданная постоянная. Постановка задачи была ранее приведена в монографии [18], но точные результаты о существовании какого-либо решения в указанной монографии отсутствовали. Заметим, что рассматриваемый нами физический процесс имеет достаточно большую длительность (скорость фильтрации жидкости составляет несколько метров в год). Поэтому наиболее интересными являются теоремы существования решения соответствующих начально-краевых задач в целом по времени. С другой стороны, в силу сильной нелинейности задач со свободными границами [19] доказать какой-либо результат в целом по времени для математических моделей на микроскопическом уровне обычно не представляется возможным. То есть возможными результатами могут быть только теоремы существования обобщенного или классического решения начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс выщелачивания на макроскопическом уровне. Но как получить макроскопические математические модели, если мы ничего не знаем о существовании решений микроскопических математических моделей, пределами которых они должны быть? Чтобы обойти эти трудности, воспользуемся теоремами о неподвижной точке [20]. Для этого фиксируется структура порового пространства, задаваемая характеристической функцией $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$. Как мы уже отмечали, в случае общего положения решение возникающей задачи практически невозможно. Поэтому разумно ограничиться наиболее простыми случаями. Например, когда неотрицательная функция $r(\boldsymbol{x},t)$ из некоторого множества $\mathfrak{M}_T$ определяет характеристическую функцию порового пространства $\chi(r,\boldsymbol{y})$. Далее для фиксированного $r\in \mathfrak{M}_T$ рассматривается начально-краевая задача $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ в заданной области $\Omega^{\varepsilon}_f(r)$ об определении основных характеристик среды (вектор скорости, давление и концентрация кислоты), которая является исходной задачей $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ без дополнительного краевого условия (1.1). В этой вспомогательной задаче при фиксированном $\varepsilon>0$ твердый скелет представляет собой объединение непересекающихся множеств, достаточно близких к шарам радиуса $\varepsilon r$, медленно уменьшающихся в объеме, что упрощает геометрию исходного порового пространства и позволяет доказать существование приближенных решений. Для понимания того, какой должна быть усредненная задача $\mathbb{H}(r)$ задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, предварительно производится формальное усреднение задачи $\mathbb{A}^{\varepsilon}$. Условия существования такого усреднения будут сформулированы в лемме 4.1. Если $r^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ определяет структуру твердого скелета (порового пространства) в задаче $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ и $r_{\varepsilon}\to r^*$ при $\varepsilon\to 0$, то усреднение $\mathbb{H}(r^*)$ задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r^*) =\mathbb{A}^{\varepsilon}$ должно совпадать с усреднением $\mathbb{H}$ задачи $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ без усреднения краевого условия (1.1). Понятно, что усреднение краевого условия (1.1) с заданной структурой порового пространства $r(\boldsymbol{x},t)$ формирует оператор задачи, единственная неподвижная точка которого $r^*(\boldsymbol{x},t)$ определяет требуемое единственное усреднение $\mathbb{H}$ задачи $\mathbb{A}^{\varepsilon}$. Чтобы решить задачу $\mathbb{H}(r)$ мы, в первую очередь, должны решить задачу $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ и далее найти ее усреднение $\mathbb{H}(r)$ при $\varepsilon\to 0$. Линейная задача $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ распадается на последовательное решение динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ об определении динамических характеристик $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и $p^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ об определении концентрации кислоты $c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и концентраций продуктов химических реакций $c_j^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$, $j= 1,\dots,n$. В силу линейности указанных задач существование и единственность обобщенного решения каждой из них следует из соответствующих априорных оценок и известных методов решения линейных дифференциальных уравнений. Например, метода Галёркина [21]. Следующим шагом является усреднение полученной математической модели $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. При усреднении этой задачи мы используем метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга [14], что позволяет достаточно просто получить математическую модель $\mathbb{H}(r)$. Но поскольку данный метод разработан только для усреднения функционалов, то нам необходимо было записать исходную математическую модель в форме системы интегральных тождеств, эквивалентной исходной системе дифференциальных уравнений. Если эквивалентные динамическим уравнениям Стокса интегральные тождества, как и интегральные тождества для уравнения диффузии–конвекции с классическими краевыми условиями, хорошо известны, то аналогичное тождество для концентрации кислоты, включающее в себя уравнение диффузии–конвекции и краевые условия на свободной границе, до настоящего времени было неизвестно. Эквивалентная запись дифференциальных уравнений в форме интегральных тождеств является общей и достаточно трудной проблемой для задач со свободными границами. Счастливым исключением была задача Стефана [22], [23], описывающая фазовые переходы в чистых (без примесей) средах. Таких, например, как “вода–лед” или химически чистые металлы. Авторам указанных работ, О. А. Олейник и С. Л. Каменомостской, удалось переформулировать задачу так, что эквивалентная постановка в виде интегрального тождества, в случае существования классического решения, содержала как уравнение теплопроводности вне свободной границы, так и само условие на свободной границе. Такой подход позволил им достаточно просто доказать существование и единственность решения интегрального тождества при минимальных условиях на гладкость решения. При этом, в случае существования классического решения задачи Стефана, последнее должно совпадать с обобщенным решением. Вопрос о существовании классического решения однофазной задачи Стефана оставался открытым до 1975 г. [24]. Существование классического решения двухфазной задачи Стефана было доказано в 1979 г. [19]. Учитывая сказанное, в предлагаемой нами математической модели подземного выщелачивания в первую очередь было очень важно найти такую эквивалентную формулировку задачи в виде системы интегральных тождеств, которая бы требовала минимальную гладкость решений задачи, что и было сделано. При этом для скорости жидкости $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$ и концентрации кислоты $c^{\varepsilon}$, определенных только в поровом пространстве $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)=\bigcup_{t=0}^{t=T}\Omega^{\varepsilon}_f(r)$, необходимо было найти продолжение этих решений из области определения этих решений в область $\Omega_T=\Omega\times(0,T)$ с сохранением их лучших дифференциальных свойств. Для этого мы воспользовались результатами о продолжении функций, сформулированными в леммах 2.8 и 2.9 так, чтобы полученные при этом продолжения $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$, $\widetilde{p}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ функций $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$, $p^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и $c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ удовлетворяли интегральным тождествам сохранения импульса, массы и концентрации кислоты, эквивалентным соответствующим дифференциальным уравнениям вместе с краевыми и начальными условиями. При выводе априорных оценок решений задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ основную трудность доставляет подвижная граница $\Gamma^{\varepsilon}(r)$. Стандартные методы получения априорных оценок путем умножения дифференциального уравнения на решения (или их комбинацию) этих уравнений в задачах с подвижными границами часто не приводят к желаемому результату. В нашей ситуации такой метод помог только частично. Аналогично, вывод априорных оценок решений диффузионной задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, как правило, базируется на принципе максимума, присущего стандартным начально-краевым задачам для параболических уравнений. К сожалению, в первоначальной постановке проблемы принцип максимума отсутствует. Все выше указанное потребовало введения модифицированной диффузионной задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, которая совпадает с диффузионной задачей $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, если концентрация примеси в модифицированной диффузионной задаче $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ удовлетворяет ограничениям стандартного принципа максимума (5.5). Получение априорных оценок обобщенных решений (т. е. решений соответствующих интегральных тождеств), как правило, использует специальный выбор пробных функций в интегральном тождестве и интегрирование по частям. Для последнего необходима достаточная гладкость границы порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_f(r)$ (области, заполненной жидкостью), определяемой функцией $r\in\mathfrak{M}_T$. Этот простой факт является центральным при выводе априорных оценок. Остановимся вкратце на структуре статьи. В § 2 приводятся известные факты и определения, а также доказываются новые результаты о компактности последовательностей в непериодической структуре (теорема 2.2) и результаты о продолжении функций, определенных в поровом пространстве $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ с заданной структурой, определяемой функцией $r(\boldsymbol{x},t)$ (леммы 2.8 и 2.9). Параграф 3 посвящен постановке начально-краевой задачи, описывающей физический процесс на микроскопическом уровне. В § 4 рассматривается формальное усреднение задач $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ и $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. В предположении о необходимой гладкости решений исходной задачи получены интегральные тождества, эквивалентные дифференциальным уравнениям, дополненными соответствующими краевыми и начальными условиями. Эти интегральные тождества позволяют корректно определить обобщенные решения задач $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ и $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. В леммах 4.1–4.3 формулируются необходимые условия усреднения задач $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ и $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ и формально выводятся усредненные математические модели $\mathbb{H}(r)$ и $\mathbb{H}$ для предельных скоростей, давлений и концентрации кислоты. В лемме 4.2 в предположении (4.18) выводится интегральное тождество (4.20), эквивалентное краевому условию (1.1), и доказывается равенство (4.19), являющееся усреднением этого краевого условия. На основе равенства (4.19) строятся основной оператор задачи
$$
\begin{equation*}
\mathbb{F}(r)=-\theta\int_0^tc(\boldsymbol{x},\tau)\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
неподвижные точки которого определяют искомую структуру порового пространства, и вспомогательные операторы $\mathbb{F}^c(r)=c(\boldsymbol{x},t)$, $\mathbb{F}^v(r)=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)$ и $\mathbb{F}^p(r)=p(\boldsymbol{x},t)$, в которых $\{\boldsymbol{v},p,c\}$ решение задачи $\mathbb{H}(r)$. Постоянная $\theta$ определена равенством (4.18). В лемме 4.3 доказывается корректность определения введенных операторов $\mathbb{F}^c(r)$, $\mathbb{F}^v(r)$ и $\mathbb{F}^p(r)$. В § 5 формулируются основные результаты работы. Параграф 6 посвящен доказательству теоремы 2.3, где основным моментом является вывод априорных оценок решений задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. В § 7 доказывается теорема 5.1 о существовании обобщенных и классических решений задачи $\mathbb{H}(r)$. Параграф 8 посвящен доказательству теоремы 5.2, которое заключается в исследовании свойств вспомогательных операторов $\mathbb{F}^c(r)$, $\mathbb{F}^v(r)$ и $\mathbb{F}^p(r)$ и основного оператора $\mathbb{F}(r)$. Показывается, что основной оператор $\mathbb{F}(r)$ удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица, ограниченной линейной функцией от $T$. Этот факт позволяет доказать существование неподвижной точки $r^*(\boldsymbol{x},t)$ для малых значений $T$ и ее единственность. Последнее утверждение означает единственность решений математической модели $\mathbb{H}$. Далее с использованием результатов о гладкости решений задачи $\mathbb{H}(r)$ доказывается, что интервал времени $(0,T)$ существования решения математической модели $\mathbb{H}$ может быть произвольным. В нашей работе мы будем использовать обозначения, принятые в [25] и в [26]. § 2. Вспомогательные утверждения2.1. Обозначения2.1.1. Безразмерные параметрыБезразмерные параметры ${\alpha}_{\mu}$ и $c_f$ мы уже определили в § 1. Диффузия кислоты и продуктов химических реакций характеризуется безразмерными коэффициентами диффузии
$$
\begin{equation*}
\alpha_{c}=\frac{DT}{L^2}=d_0,\qquad \alpha_i=\frac{D_iT}{L^2},\quad i=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно кислоты и продуктов химических реакций, $D$, $D_i$, $i=1,\dots,n$, – коэффициенты диффузии. Будем считать, что $\alpha_{\mu}$ зависит от малого параметра $\varepsilon$, $\alpha_{\mu}=\alpha^{\varepsilon}_{\mu}$, и существуют конечные или бесконечные пределы
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to 0}\alpha^{\varepsilon}_{\mu}=\mu_0,\qquad \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{{\alpha}_{\mu}^{\varepsilon}}{\varepsilon^2}=\mu_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $c_f$, $d_0$ и $\alpha_i$ фиксированы и не зависят от малого параметра $\varepsilon$. Через $\varrho_{s}$ мы обозначим безразмерную плотность твердого скелета, соотнесенную с плотностью воды $\rho_0$, и через $\varrho_f$ – безразмерную плотность жидкой компоненты, соотнесенную c плотностью воды $\rho_0$. 2.1.2. Области и границыЧерез $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ обозначена ограниченная область с кусочно гладкой границей ${S}$, $\overline{S}=\partial\Omega$, $S=S^0\cup S^1\cup S^2$, $S^i\cap S^0=\varnothing$, $i=1,2$, $S^1\cap S^2=\varnothing$, $S^j_T=S^j\times(0,T)\subset \mathbb{R}^4$, $j=0,1,2,3$, $\Omega_T=\Omega\times(0,T)\subset \mathbb{R}^4$. Граница $S^0\subset \mathbb{R}^3$ является непроницаемой для жидкости в поровом пространстве, граница $S^1\subset \mathbb{R}^3$ моделирует нагнетательные скважины и граница $S^2\subset \mathbb{R}^3$ моделирует добывающие скважины. Для простоты изложения всюду ниже считаем $\Omega$ единичным кубом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^0 &=\biggl\{\boldsymbol{x}\colon x_3=\pm\frac{1}{2},\,|x_1|<\frac{1}{2},\,|x_2|<\frac{1}{2} \biggr\} \cup\biggl\{\boldsymbol{x}\colon x_2=\pm\frac{1}{2},\,|x_1|<\frac{1}{2},\,|x_3|<\frac{1}{2}\biggr\}, \\ S^1 &= \biggl\{\boldsymbol{x}\colon x_1=\frac{1}{2},\,|x_2|<\frac{1}{2},\,|x_3|<\frac{1}{2} \biggr\}, \\ S^2 &= \biggl\{\boldsymbol{x}\colon x_1=-\frac{1}{2},\,|x_2|<\frac{1}{2},\,|x_3|<\frac{1}{2} \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $r=r(\boldsymbol{x},t)$, $ 0\leqslant r(\boldsymbol{x},t)\leqslant 1/2$, $(\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T$, есть заданная функция, определяющая структуру порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_f(r)\subset\Omega$ и твердого скелета $\Omega^{\varepsilon}_{s}(r)\subset\Omega$ в $\Omega$ и структуру порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)=\bigcup_{t=0}^{t=T} \Omega^{\varepsilon}_f(r)\subset \Omega_T$ твердого скелета $ \Omega^{\varepsilon}_{s,T}(r)= \bigcup_{t=0}^{t=T}\Omega^{\varepsilon}_{s}(r)\subset \Omega_T$ в $\Omega_T$. Пусть также $\Gamma^{\varepsilon}(r)= \partial\Omega^{\varepsilon}_f(r) \cap\partial\Omega^{\varepsilon}_{s}(r)$ есть граница, разделяющая жидкую и твердую компоненты в $\Omega$, и $\Gamma_T^{\varepsilon}(r) =\bigcup_{t=0}^{t=T}\Gamma^{\varepsilon}(r)$ есть граница, разделяющая жидкую и твердую компоненты в $\Omega_T$. 2.1.3. Структура порового пространстваВсе функции вида $\Phi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, где $(\boldsymbol{x},t)\in \Omega$ и $\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^3$, считаются $1$-периодическими по переменной $\boldsymbol{y}$:
$$
\begin{equation}
\Phi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})= \Phi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{\varsigma}(\boldsymbol{y})), \qquad \boldsymbol{y}=[|\boldsymbol{y}|]+\boldsymbol{\varsigma}(\boldsymbol{y}),\quad [|\boldsymbol{y}|]=([|y_1|], [|y_2|],[|y_3|]).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $[|a|]$ есть целая часть числа $a$. При фиксированном $\varepsilon\,{>}\,0$ поровое пространство $\Omega^{\varepsilon}_f(r)$ и твердый скелет $\Omega^{\varepsilon}_{s}(r)$ определяются $1$-периодической по переменной $\boldsymbol{y}$ характеристической функцией $\chi(r,\boldsymbol{y})$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Omega^{\varepsilon}_f(r)=\operatorname{Int}\{\boldsymbol{x}\in\Omega\colon \chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)=1\},\qquad \Omega^{\varepsilon}_{s}(r)=\operatorname{Int}\{\boldsymbol{x}\in\Omega\colon \chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)=0\}, \\ \Omega^{\varepsilon}_f(0)=\varnothing,\qquad \Omega^{\varepsilon}_{s}(0)=\Omega, \\ \chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)=\chi\biggl(r(\boldsymbol{x},t), \frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr),\qquad \chi(r,\boldsymbol{y})=\frac{\operatorname{sgn}(r(\boldsymbol{x},t)- |\boldsymbol{\varsigma}(\boldsymbol{y})|)+1}{2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Рассмотрим разбиение
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\Omega}=\bigcup_{\boldsymbol{k}\in \mathbb{Z}}\overline{\Omega}^{\,\boldsymbol{k},\varepsilon},\qquad \Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}=\{\boldsymbol{x}\in\Omega\colon \boldsymbol{x}= \varepsilon\boldsymbol{k}+\varepsilon\boldsymbol{y}\},\quad \Omega_T^{\boldsymbol{k},\varepsilon}= \Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}\times(0,T), \\ \Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)= \Omega^{\varepsilon}_f(r)\cap\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon},\qquad \Omega_{s}^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)= \Omega^{\varepsilon}_{s}(r)\cap\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}, \\ \Omega_{f,T}^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)= \bigcup_{t=0}^{T}\Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r),\qquad \Omega_{s,T}^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)= \bigcup_{t=0}^{T}\Omega_{s}^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $r(\varepsilon\boldsymbol{k},t)=0$, то $\Omega^{\varepsilon}_f(r)=\varnothing$ и $\Omega_{s}^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)=\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}$ для всех $\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,k_3)$, $k_1,k_2,k_3\in \mathbb{Z}$ (целые числа), и для $\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3)\in Y$. Здесь и всюду ниже $1/\varepsilon$ – натуральное число. В этом случае $\Omega^{\boldsymbol{k,\varepsilon}}\subset \Omega$ для всех $\boldsymbol{k}$. В соответствии с этим представлением свободная граница $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ в $\Omega$ есть множество
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Gamma^{\varepsilon}(r)=\biggl\{\boldsymbol{x}\in \Omega\colon \biggl| \boldsymbol{\varsigma}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr| =r \biggr\} =\bigcup_{\boldsymbol{k}\in \mathbb{Z}}\Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)\subset\Omega, \qquad \Gamma^{\varepsilon}_T(r)=\bigcup_{t=0}^{t=T}\Gamma^{\varepsilon}(r) \subset\Omega_T, \\ \Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)= \Gamma^{\varepsilon}(r)\cap\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon},\qquad \Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)= \biggl\{\boldsymbol{x}\in \Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}\colon \biggl|\boldsymbol{\varsigma}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr|= r(\boldsymbol{x},t)\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Структуры порового пространства и твердого скелета характеризуются элементарными ячейками $Y_f(r)$ и $Y_{s}(r)$:
$$
\begin{equation*}
Y_f(r)=\operatorname{Int}\{\boldsymbol{y}\in Y\colon \chi(r,\boldsymbol{y})=1\},\qquad Y_{s}(r)=\operatorname{Int}\{\boldsymbol{y}\in Y\colon \chi(r,\boldsymbol{y})=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $Y=(-1/2,1/2)^3\subset \mathbb{R}^3$. Движению каждой компоненты $\Gamma^{\varepsilon,\boldsymbol{k}}(r)$ поверхности $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ в $\Omega$ с ростом времени соответствует движение поверхности $\gamma(r)$ в $Y$: $\gamma(r)=\{\boldsymbol{y}\in Y\colon |\boldsymbol{y}|=r\}$. Через $d_{n}(r)$ в переменных $(\boldsymbol{y},t)$ обозначим скорость границы $\gamma(r)$ в направлении нормали $\boldsymbol{n}$ к поверхности $\gamma(r)$ в точке $\boldsymbol{y}\in \gamma(r)$, внешней по отношению к области $Y_f(r)$:
$$
\begin{equation}
d_{n}(r)=-\frac{\partial r}{\partial t}(\boldsymbol{x},t).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Аналогично, через $D_{N}^{\varepsilon}(r)$ обозначим скорость движения свободной границы в направлении нормали $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$ к поверхности $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ в точке $\boldsymbol{x}\in \Gamma^{\varepsilon}(r)$, внешней по отношению к области $\Omega^{\varepsilon}_f(r)$. Наконец, для функций $\Psi$ вида $\Psi=\Psi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ определим средние по периоду
$$
\begin{equation*}
\langle\Psi\rangle_{Y}\,{=}\int_{Y}\Psi\,dy,\qquad \langle\Psi\rangle_{Y_f(r)}\,{=}\int_{Y}\chi(r,\boldsymbol{y})\Psi\,dy,\qquad \langle\Psi\rangle_{Y_{s}(r)}\,{=}\int_{Y}(1-\chi(r,\boldsymbol{y}))\Psi\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для заданной структуры $r(\boldsymbol{x},t)$ с характеристической функцией $\chi(r,\boldsymbol{y})$, заданной формулой (2.1), функция
$$
\begin{equation*}
m(r)=\int_{Y}\chi(r,\boldsymbol{y})\, dy= \langle\chi\rangle_{Y}=1-\frac{4}{3}\,\pi r^3\geqslant \frac{1}{3},
\end{equation*}
\notag
$$
есть пористость твердого скелета в точке $(\boldsymbol{x},t)$. 2.1.4. Дифференциальные операторы и матрицыОператор $ \nabla$ без индекса обозначает дифференцирование по переменной $\boldsymbol{x}$; $ \nabla_y$ – дифференцирование по переменной $\boldsymbol{y}$; $\mathbb{D}(x,\boldsymbol{u})=(1/2)(\nabla_{x}\boldsymbol{u}+ (\nabla_{x}\boldsymbol{u})^*)$; $\mathbb{I}$ – единичная матрица; $\mathbb{B}\colon \mathbb{C}=\operatorname{tr}(\mathbb{B}\cdot \mathbb{C}^*),$ где $\mathbb{B},\,\mathbb{C}$ – матрицы (тензоры второго ранга); если $\mathbb{A}$ и $\boldsymbol{b}$ – матрица и вектор, то действие матрицы на вектор обозначается как $\mathbb{A}\cdot\boldsymbol{b}$; $\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol{b}$ – диада, для любых векторов $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$: $(\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}= \boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$; $\mathbb{J}^{ij}=(1/2)(\boldsymbol{e}^i\otimes \boldsymbol{e}^j+\boldsymbol{e}^j\otimes \boldsymbol{e}^i)$, $\{\boldsymbol{e}^1,\,\boldsymbol{e}^2,\,\boldsymbol{e}^3\}$ – стандартный декартовый базис в $\mathbb{R}^3$; $\mathbb{A}\otimes \mathbb{B}$ – тензор четвертого ранга; $(\mathbb{A}\otimes \mathbb{B}): \mathbb{C}=\mathbb{A}(\mathbb{B}:\mathbb{C})$ для любых тензоров второго ранга $\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$, $\mathbb{C}$. 2.2. Двухмасштабная сходимость [14]В настоящем пункте рассматриваются $1$-периодические по переменной $\boldsymbol{y}\in Y=(0,1)^3$ функции $W(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ с $(\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T$. Определение 2.1. Последовательность $\{w^{\varepsilon}\}\subset \mathbb{L}_2(\Omega_T)$ называется двухмасштабно сходящейся к функции $W(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})\in \mathbb{L}_2(\Omega_T\times Y)$, $1$-периодической по переменной $\boldsymbol{y}\in Y$ (обозначение $w^{\varepsilon}\xrightarrow{\text{t.-s.}}W(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$), если для любой функции $\sigma=\sigma(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, $1$-периодической по $\boldsymbol{y}$, справедливо равенство Существование и основные свойства двухмасштабно сходящихся последовательностей установлены в следующей теореме. Теорема 2.1 (теорема Нгуетсенга). 1. Любая ограниченная в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ последовательность $\{\boldsymbol{w}^{\varepsilon}\}$ содержит подпоследовательность, двухмасштабно сходящуюся к некоторой функции $\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, $\boldsymbol{W}\in\mathbb{L}_2(\Omega_T\times Y)$, 1-периодической по переменной $\boldsymbol{y}$. 2. Пусть последовательности $\{\boldsymbol{w}^{\varepsilon}\}$ и $\{\varepsilon\mathbb{D}(x,\boldsymbol{w}^{\varepsilon})\}$ равномерно ограничены в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$. Тогда существует функция $\boldsymbol{W}=\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, 1-периодическая по $\boldsymbol{y}$, и подпоследовательность $\{\boldsymbol{w}^{\varepsilon}\}$ такая, что $\boldsymbol{W}, \nabla_{y}\boldsymbol{W}\in \mathbb{L}_2(\Omega_T\times Y)$, и подпоследовательности $\{\boldsymbol{w}^{\varepsilon}\}$ и $\{\varepsilon\mathbb{D}(x,\boldsymbol{w}^{\varepsilon})\}$ двухмасштабно сходятся в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ к $\boldsymbol{W}$ и $\mathbb{D}(y,\boldsymbol{W})$ соответственно. 3. Пусть последовательности $\{\boldsymbol{w}^{\varepsilon}\}$ и $\{D(x,\boldsymbol{w}^{\varepsilon})\}$ ограничены в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$. Тогда существуют функции $\boldsymbol{w}(\boldsymbol{x},t)$, ${\boldsymbol{w}\in \mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)}$, и $\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, $\boldsymbol{W}\in \mathbb{L}_2(\Omega_T\times Y)\cap\mathbb{W}^{1,0}_2(Y)$, и подпоследовательность из $\{\mathbb{D}(x,\boldsymbol{w}^{\varepsilon})\}$ такие, что функция $\boldsymbol{W}$ является 1-периодической по $\boldsymbol{y}$, $\mathbb{D}(x,\boldsymbol{w}) \in \mathbb{L}_2(\Omega_T)$, $D(y,\boldsymbol{W}) \in \mathbb{L}_2(\Omega_T\times Y)$, и подпоследовательность $\{\mathbb{D}(x,\boldsymbol{w}^{\varepsilon})\}$ двухмасштабно сходится к функции $\mathbb{D}(x,\boldsymbol{w})+D(y,\boldsymbol{W})$. Следствие 2.1 (см. [15; приложение B, лемма B.13]). Если справедливо $\alpha(\varepsilon)\|\nabla\boldsymbol{w}^{\varepsilon}\|_{2,\Omega_T}\leqslant M$, где $M$ не зависит от $\varepsilon$ и $\lim_{\varepsilon\to 0} (\alpha(\varepsilon)/\varepsilon)=\infty$, то $\boldsymbol{W}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})=\boldsymbol{w}(\boldsymbol{x},t)$. Заметим, что слабая и двухмасштабная сходимости связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
w^{\varepsilon}\xrightarrow{\text{t.-s.}} W(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y}) \quad \Longrightarrow\quad w^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})\rightharpoonup \int_Y {W}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\, d\boldsymbol{y}\quad (\text{сходится слабо}).
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. Соленоидальные функции в поровом пространствеПоложим
$$
\begin{equation*}
\mathring{Y}_f\bigl(r(\boldsymbol{x},t)\bigr)= \operatorname{Int}\bigcap_{(\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T}Y_f\bigl(r(\boldsymbol{x},t)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению $\mathring{Y}_f\neq \varnothing$ поскольку $\varnothing\neq Y_f(1/2)\subset Y_f(r)$ для всех $r(\boldsymbol{x},t)$, $0\leqslant r(\boldsymbol{x},t)\leqslant 1/2$. Напомним, что дифференцируемая функция $\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{y})$ называется соленоидальной в $\mathring{Y}_f$, если $\nabla\cdot \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{y})=0$ для всех $\boldsymbol{y}\in \mathring{Y}_f$. Нам понадобится следующее утверждение, доказанное в [15; приложение B, лемма B.15]. Лемма 2.1. Для любого единичного вектора $\boldsymbol{e}$ найдется соленоидальная функция $\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{y})$ такая, что $\boldsymbol{\varphi}\in \mathring{\mathbb{W}}^{1,0}_2(\mathring{Y}_f)$, $\operatorname{supp}\boldsymbol{\varphi}\subset \mathring{Y}_f\subset Y_f(r)$ и 2.4. Критерий сильной сходимости в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$Определение 2.2. Функция $u(\boldsymbol{x},t)$, ограниченная в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$, обладает производной по времени $\partial u/\partial t \in\mathbb{L}_2 \bigl((0,T);\mathbb{W}^{-1}_2(\Omega)\bigr)$, если для произвольных функций $\xi\in\mathbb{W}^{1,1}_2(\Omega_T)$ с некоторой постоянной $C_{u}$, не зависящей от $\xi$. Лемма 2.2 (см. [26], [27]). Пусть последовательности $\{u^{\varepsilon}\}$ и $\{\nabla u^{\varepsilon}\}$ ограничены в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ и последовательность производных $\{\partial u^{\varepsilon}/\partial t\}$ ограничена в пространстве $\mathbb{L}_2\bigl((0,T);\mathbb{W}^{-1}_2(\Omega)\bigr)$. Тогда существует подпоследовательность последовательности $\{u^{\varepsilon}\}$, сильно сходящаяся в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$. Обобщение этой леммы для периодических структур с характеристической функцией $\chi_0^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})\,{=}\,\chi_0(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$ было доказано А. М. Мейрмановым и Р. Н. Зиминым. Лемма 2.3 (см. [28]). Пусть $\chi_0^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})=\chi_0(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, где $\chi_0(\boldsymbol{y})$ – $1$-периодическая по переменной $\boldsymbol{y}$ функция, последовательности $\{c^{\varepsilon}\}$ и $\{\nabla c^{\varepsilon}\}$ равномерно ограничены в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$, и последовательность $\{ \chi_0^{\varepsilon}(\partial c^{\varepsilon}/\partial t)\}$ равномерно ограничена в пространстве $\mathbb{L}_2\bigl((0,T);\mathbb{W}^{-1}_2(\Omega)\bigr)$. Тогда найдется подпоследовательность последовательности $\{c^{\varepsilon}\}$, сильно сходящаяся в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$. Замечание 2.1. Норму элемента $\varphi$ в пространстве $\mathbb{L}_2\bigl((0,T);\mathbb{W}^{-1}_2(\Omega)\bigr)$ будем обозначать числом $\|\varphi\|_{W^{-1}_2}$. В настоящем параграфе мы докажем аналогичный результат для периодических структур со специальной структурой порового пространства. Теорема 2.2. Пусть структура порового пространства $\chi(r,\boldsymbol{y})$ задана соотношением (2.1), в котором $r\in \mathfrak{M}_T$, где Отметим, что неположительность производной по времени функции $r\in\mathfrak{M}_T$ означает неположительность скорости границы $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ в направлении внешней по отношению к области $\Omega_f^{\varepsilon}(r)$ нормали $\boldsymbol{N}$ к этой границы. Доказательство теоремы разделим на несколько шагов. Лемма 2.4. В условиях теоремы 2.2 для почти всех $t_0\in (0,T)$ последовательность $\{\chi^{\varepsilon}\bigl(r(\boldsymbol{x},t_0)\bigr) \widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t_0)\}$ сходится слабо в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega)$ к функции $m(\boldsymbol{x},t_0)\,c(\boldsymbol{x},t_0)$. Доказательство. Согласно теореме 2.1 последовательность $\{\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\}$ сходится двухмасштабно в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ к некоторой функции $c(\boldsymbol{x},t)$: для любых пробных функций $\varphi\in \mathbb{L}_2(\Omega_T\times Y)$. По определению производной по времени функции $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}$ из пространства $\mathbb{L}_2\bigl((0,T);\mathbb{W}^{-1}_2(\Omega)\bigr)$ существует последовательность вектор-функций $\{\boldsymbol{u}^{\varepsilon}\}$ такая, что $\|\boldsymbol{u}^{\varepsilon}\|^2_{2,\Omega_T}\leqslant M^2$ и
$$
\begin{equation}
\iint_{\Omega_T}\biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\,\frac{\partial\varphi}{\partial t}+ \boldsymbol{u}^{\varepsilon}\cdot\nabla\varphi\biggr)\,dx\,dt=0
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
для произвольных функций $\varphi$, равных нулю на границе области $\Omega_T$ (в $\mathbb{R}^4$). Здесь и всюду далее в тексте через $M$ обозначены постоянные, зависящие только от $M_0$ и $T$. Пусть $\varphi(\boldsymbol{x},t)=\eta(t)\,\psi(\boldsymbol{x})$. Тогда
$$
\begin{equation}
I=\iint_{\Omega_T}cm(r)\eta\psi\,dx\,dt= \lim_{\varepsilon\to 0} \iint_{\Omega_T}\widetilde{c}\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\eta\psi\,dx\,dt.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
f^{\varepsilon}_{\psi}(t)=\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \widetilde{c}^{\,\varepsilon}\psi\,dx,\qquad f_{\psi}(t)=\int_{\Omega}m(r)c\psi\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Предельное соотношение (2.8) означает, что
$$
\begin{equation}
I=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_0^{T}\eta(t)f^{\varepsilon}_{\psi}(t)\, dt =\int_0^{T}\eta(t)f_{\psi}(t)\, dt.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Возвращаясь к равенству (2.7) с пробными функциями вида $\xi=\eta(t)\psi(\boldsymbol{x})$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^{T}\biggl(\frac{d\eta}{d t}f^{\varepsilon}_{\psi}+\eta U^{\varepsilon}\biggr)\, dt =0,\qquad U^{\varepsilon}(t)=\int_{\Omega}\boldsymbol{u}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \cdot\nabla\psi(\boldsymbol{x})\, dx, \\ \int_0^{T}|U^{\varepsilon}(t)|^2\, dt \leqslant \|\boldsymbol{u}^{\varepsilon}\|^2_{2,\Omega_T} \|\nabla\psi \|^2_{2,Q} \leqslant M^2\|\nabla\psi \|^2_{2,Q}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{d f^{\varepsilon}_{\psi}}{d t}(t)=U^{\varepsilon}(t),\qquad f^{\varepsilon}_{\psi}\in \mathbb{W}^1_2(0,T), \\ |f^{\varepsilon}_{\psi}(t)|\leqslant M_{\psi},\qquad |f^{\varepsilon}_{\psi}(t_1)-f^{\varepsilon}_{\psi}(t_2)|\leqslant M_{\psi}\,|t_1-t_2|^{1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой постоянной $M_{\psi}$, не зависящей от $\varepsilon$. Теорема Арцела [20; гл. II, § 7, теорема 4] позволяет нам выбрать подпоследовательность $\{f^{\varepsilon_{k}}_{\psi}\}$, сильно сходящуюся в пространстве $\mathbb{C}(\overline{\Omega})$ к некоторой функции $\overline{f}_{\psi}(t)$. Переходя в (2.9) к пределу при $\varepsilon_{k}\to 0$ с выбранными нами пробными функциями $\{f^{\varepsilon_{k}}_{\psi}\}$, получим
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon_{k}\to 0}\int_0^{T}\eta(t)f^{\varepsilon_{k}}_{\psi}(t)\, dt= \int_0^{T}\eta(t)\overline{f}_{\psi}(t)\, dt
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольных пробных функций $\eta(t)$. То есть $\overline{f}_{\psi}(t)$ совпадает с $f_{\psi}(t)$ почти всюду в $(0,T)$, что доказывает лемму. Лемма 2.5. В условиях теоремы 2.2 существует подпоследовательность $\{\varepsilon_{k}\}$ такая, что для почти всех $t_0\in (0,T)$. Доказательство. Действительно, равномерная ограниченность интегралов
$$
\begin{equation*}
\iint_{\Omega_T}|\nabla \widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)|^2\, dx\, dt
\end{equation*}
\notag
$$
относительно $\varepsilon_{k}$ влечет равенство
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon_{k}\to 0}\varepsilon_{k}^2\iint_{\Omega_T}|\nabla \widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t)|^2\, dx\, dt=0.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
u_{k}(t_0)=\varepsilon_{k}^2\int_{\Omega}|\nabla \widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0)|^2\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (2.11) означает, что последовательность $\{u_{k}\}$ сходится сильно к нулю в пространстве $\mathbb{L}_1(0,T)$. Обращаясь к теореме 1 (см. [20; гл. VII, § 1]), заключаем, что существует подпоследовательность $\{u_{k}\}$, сходящаяся к нулю почти всюду в $(0,T)$ при $k\,{\to}\,\infty$. Лемма доказана. Лемма 2.6. В условиях теоремы 2.2 ограниченная в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega)$ последовательность $\{\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0)\}$ сходится слабо и двухмасштабно в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega)$ к функции $c(\boldsymbol{x},t_0)$ на множестве полной меры в $(0,T)$. Доказательство. Пусть последовательность $\varepsilon_{k}$ выбрана из условий леммы 2.5 и $\Pi\subset (0,T)$ есть множество полной меры, для которого выполнено утверждение леммы 2.5 и условие (2.10). Ограниченность последовательности $\{\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0)\}$ в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega)$ влечет существование подпоследовательности (для простоты изложения оставим прежние индексы), двухмасштабно сходящейся к некоторой $1$-периодической по переменной $\boldsymbol{y}$ функции $C(\boldsymbol{x},t_0,\boldsymbol{y})$ из пространства $\mathbb{L}_2(\Omega\times Y)$. Интегрирование по частям выражения $\varepsilon_{k}\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0)\cdot \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}/\varepsilon_{k})\psi(\boldsymbol{x})$ приводит нас к тождеству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon_{k}\int_{\Omega}\nabla\,\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0)\cdot \boldsymbol{\varphi}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon_{k}}\biggr)\psi(\boldsymbol{x})\, dx =-\varepsilon_{k}\int_{\Omega}\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0) \biggl(\boldsymbol{\varphi}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon_{k}}\biggr)\cdot \nabla\psi(\boldsymbol{x})\biggr)\, dx \\ &\qquad- \int_{\Omega}\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0) \biggl(\nabla\cdot\boldsymbol{\varphi}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon_{k}}\biggr)\biggr) \psi(\boldsymbol{x})\, dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое справедливо для произвольных функций $\boldsymbol{\varphi}\in\mathbb{W}^1_2(Y)$ и $\psi \in \mathring{\mathbb{W}^1_2}(\Omega)$. Переходя к пределу при $\varepsilon_{k}\to 0$, получим что в силу произвольного выбора функций $\boldsymbol{\varphi}$ и $\psi$ эквивалентно равенству $C(\boldsymbol{x},t_0,\boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x},t_0)$. Лемма доказана.Лемма 2.7. В условиях теоремы 2.2 последовательность $\{\widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t)\}$ сходится сильно в $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ к функции $c(\boldsymbol{x},t)$. Доказательство. Для доказательства утверждения леммы положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{H}^1=\mathring{\mathbb{W}^1}_2(\Omega)\subset \mathbb{H}^0 =\mathbb{L}_2(\Omega)\subset \mathbb{H}^{-1}= \mathring{\mathbb{W}^{-1}}_2(\Omega), \\ w_{k}(\boldsymbol{x},t_0)= \widetilde{c}^{\,\varepsilon_{k}}(\boldsymbol{x},t_0) -c(\boldsymbol{x},t_0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь к неравенству (9) (см. [29; гл. III, § 12]), получим
$$
\begin{equation*}
\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t_0)\|^2_{\mathbb{H}^0}\leqslant \eta\,\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t_0)\|^2_{\mathbb{H}^1}+ C_{\eta}\,\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t_0)\|^2_{\mathbb{H}^{-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее проинтегрируем неравенство по времени:
$$
\begin{equation}
\int_0^{T}\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t)\|^2_{\mathbb{H}^0}\, dt \leqslant \eta\int_0^{T}\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t)\|^2_{\mathbb{H}^1}\, dt+ C_{\eta}\int_0^{T}\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t)\|^2_{\mathbb{H}^{-1}}\, dt.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Воспользуемся компактным вложением пространства $\mathbb{H}^0(\Omega)$ в пространство $\mathbb{H}^{-1}(\Omega)$ (см. [30; гл. 4, § 2, теорема 3]): слабая сходимость последовательности $\{w_{k}(\,{\cdot}\,,t)\}$ в пространстве $\mathbb{H}^0(\Omega)$ влечет сильную сходимость этой последовательности в пространстве $\mathbb{H}^{-1}(\Omega)$. То есть
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to \infty}\int_0^{T}\|w_{k}(\,{\cdot}\,,t)\|^2_{\mathbb{H}^{-1}}\,dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство (2.12) и произвольный выбор положительного числа $\eta$ означает, что Лемма доказана.2.5. Леммы о продолженииРезультаты о продолжении решений дифференциальных уравнений из одной области в другую очень важны в теории усреднения дифференциальных уравнений (см. [10], [11], [31], [32]). Например, если последовательность имеет различные дифференциальные свойства в различных областях, а при усреднении желательно сохранить наилучшие дифференциальные свойства решений, то наилучшим выбором будет продолжение решения из области, где оно имеет лучшие дифференциальные свойства, в область, выбранную для усреднения. Все известные до настоящего момента результаты были получены для периодических структур. К счастью, к рассматриваемому нами случаю непериодической структуры порового пространства, когда эта структура определяется соотношениями (2.1), полностью применимы результаты леммы 1 (см. [10; гл. III, § 1]) о “мягких включениях”. Рассматриваемая нами структура в принципе является “мягким включением” и непериодичность структуры не играет здесь никакой роли, поскольку продолжение строится в каждой отдельно взятой ячейке $\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}$ области $\Omega$ через связную компоненту $\Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)=\Gamma^{\varepsilon}(r)\cap \Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}$ границы $\Gamma^{\varepsilon}(r)$. Справедлива следующая лемма. Лемма 2.8. Пусть $r\,{\in}\,\mathfrak{M}_T$ и функции $r(\boldsymbol{x},t)$ определяют структуру $\chi(r,\boldsymbol{y})$ области $\Omega_{f,T}^{\varepsilon}$, заданной соотношениями (2.1). Тогда для всякой ограниченной в пространстве $\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r))$ последовательности $\{c^{\varepsilon}\}$ существует продолжение $\{\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\}$ функций $c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ из области $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ в область $\Omega_T$ такое, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\in \mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T),\qquad \|\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\|_{2,\Omega_T} \leqslant M\|c^{\varepsilon}\|_{2,\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)},\quad \|\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\|_{2,\Omega_T} \leqslant M\|\nabla c^{\varepsilon}\|_{2,\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Далее нам будут необходимы функции, принимающие на связных компонентах $\Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)$ границы $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ заданные значения. А именно, нам потребуется продолжение вектор-функции $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ с границы $\Gamma^{\varepsilon}(r)$, заданной функцией $r(\boldsymbol{x},t)$ соотношениями (2.1), в область $\Omega_T$. При этом связные компоненты носителя этой функции будут подмножествами множеств $\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)= \sum_{\boldsymbol{k}\in \mathbb{Z}} \mathring{\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{k},\varepsilon} (r;\boldsymbol{x},t), \qquad \mathring{\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{k},\varepsilon}\in \mathring{\mathbb{W}}^{1,0}_2(\Omega_T^{\boldsymbol{k},\varepsilon}), \\ \|\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}\|_{2,\Omega_T}+ \varepsilon \|\mathbb{D}(x,\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon})\|_{2,\Omega_T} \leqslant \varepsilon MM_0, \\ \nabla\cdot\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)=0,\qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega^{\varepsilon}_{f,T},\quad \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)=0 \ \ \text{при} \ \ \biggl|\boldsymbol{\varsigma}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr| \geqslant \frac{5}{12}, \\ \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x}_0,t)- \bigl(\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x}_0,t) \cdot\boldsymbol{N}^{\varepsilon}\bigr) \boldsymbol{N}^{\varepsilon}=0, \\ \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x}_0,t)\cdot \boldsymbol{N}^{\varepsilon}= -\boldsymbol{N}^{\varepsilon}D^{\varepsilon}_{N}((\boldsymbol{x}_0,t)), \qquad \boldsymbol{x}_0\in \Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$ – единичная нормаль к границе $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ в точке $\boldsymbol{x}_0$ этой границы в момент времени $t$, внешняя по отношению к области $\Omega^{\varepsilon}_f(r)$, и $D^{\varepsilon}_{N}$ – скорость границы $\Gamma^{\varepsilon}(r)$ в направлении нормали $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$. Лемма 2.9. Пусть $r\in \mathfrak{M}_T$ и функция $r(\boldsymbol{x},t)$ определяет структуру $\chi(r,\boldsymbol{y})$ области $\Omega_{f,T}^{\varepsilon}$, заданную соотношениями (2.1). Тогда при всех $\varepsilon > 0$ существуют функции $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)$, удовлетворяющие условиям (2.14). Доказательство. Пусть $ r^0=\max_{(\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T}r(\boldsymbol{x},t)<1/2$ и бесконечно дифференцируемая периодическая функция $\boldsymbol{\varsigma}_0(\boldsymbol{y})$ выбрана из условий
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\varsigma}_0(\boldsymbol{y})=\begin{cases} \boldsymbol{\varsigma}(\boldsymbol{y}) &\text{при }|\boldsymbol{y}|<r^0, \\ 0 &\text{при }|\boldsymbol{y}|>\dfrac{5}{12}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим связную компоненту $\Gamma^{\varepsilon,\boldsymbol{k}}(r)$ границы $\Gamma^{\varepsilon}(r)$, на которой должны быть выполнены условия (2.14):
$$
\begin{equation}
\biggl|\boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}_0}{\varepsilon}\biggr)\biggr|= r(\boldsymbol{x}_0,t),\quad -\frac{1}{\delta}\,\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x}_0,t)= D^{\varepsilon}_{N}(\boldsymbol{x}_0,t)\boldsymbol{\varsigma}_0 \biggl(\frac{\boldsymbol{x}_0}{\varepsilon}\biggr), \qquad \boldsymbol{x}_0\in \Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r).
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Будем искать продолжение $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)$ функции $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x}_0,t)$ в виде где $\boldsymbol{x}_0=\varepsilon \boldsymbol{k}+ \varepsilon\boldsymbol{\varsigma}(\boldsymbol{x}_0/\varepsilon)$, $\boldsymbol{x}=\varepsilon\boldsymbol{k}+\varepsilon\boldsymbol{\varsigma} (\boldsymbol{x}/\varepsilon)$ и искомой является функция $u_{t}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, которую необходимо продолжить с поверхности $\Gamma^{\varepsilon,\boldsymbol{k}}(r)$ в “жидкую компоненту” области $\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}$ так, чтобы продолженная функция была соленоидальной. Требуемую соленоидальность функции $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)$ доставляет уравнение в частных производных первого порядка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 &=\nabla\cdot\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)\,{=}\, u_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) \biggl(\biggl(\nabla D^{\varepsilon}_{N}(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{\varsigma}_0 \biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr)+ \frac{1}{\varepsilon}\,D^{\varepsilon}_{N}(\boldsymbol{x},t)\nabla_{y}\cdot \boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr) \notag \\ &\qquad+D^{\varepsilon}_{N}(\boldsymbol{x},t)\biggl(\biggl(\boldsymbol{\varsigma}_0 \biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\cdot \nabla_{x} u_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr)+ \frac{1}{\varepsilon}\biggl(\boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) \cdot \nabla_{y}u_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr)\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
для определения функции $u_{t}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, дополненное начальным условием
$$
\begin{equation}
u_{t}\biggl(\boldsymbol{x}_0,\frac{\boldsymbol{x}_0}{\varepsilon}\biggr)=1
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
на поверхности
$$
\begin{equation}
\Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r) =\biggl\{ \boldsymbol{x}_0\in\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}\colon \boldsymbol{x}_0=\varepsilon\boldsymbol{k}+\boldsymbol{\varsigma} \biggl(\frac{\boldsymbol{x}_0}{\varepsilon}\biggr)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Для простоты изложения опустим на время верхний индекс $\varepsilon$. Перепишем уравнение (2.16) как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{a}_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) \cdot\nabla_{x}\,u_{t}+ \frac{1}{\varepsilon}\,\boldsymbol{a}_{t} \biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) \cdot\nabla_{y}\,u_{t}= b_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) u_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) &= -\biggl(\biggl(\nabla_{x}\,D_{N}(\boldsymbol{x},t) \cdot\boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr)+ \frac{1}{\varepsilon}D_{N}(\boldsymbol{x},t) \nabla_{y}\cdot \boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\biggr), \notag \\ \boldsymbol{a}_{t}\biggl(\boldsymbol{x},\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) &= D_{N}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr), \qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Наша ближайшая цель – продолжение функции $u_{t}(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_0/\varepsilon)$ с поверхности $\Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)$, заданной соотношениями (2.18), в жидкую компоненту $\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}_f(r)$ области $\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}$ вдоль характеристик уравнения в частных производных первого порядка (2.19). Пусть $s$ есть параметр продолжения и $\boldsymbol{x}_0$ – начальная точка на поверхности $\Gamma^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)$, из которой исходит характеристика уравнения (2.19). Согласно [33] задача Коши (2.17), (2.19) эквивалентна задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial s}(s,\boldsymbol{x}_0)= \boldsymbol{a}_{t}\biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),\frac{1}{\varepsilon} \, \boldsymbol{x} (s,\boldsymbol{x}_0)\biggr),\qquad \boldsymbol{x}(0,\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{x}_0, \\ \frac{\partial U_{t}}{\partial s}(s,\boldsymbol{x}_0)= b_{t}\biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0), \frac{1}{\varepsilon}\,\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\biggr), \\ U_{t}(0,\boldsymbol{x}_0)=1\quad\text{при}\quad \biggl|\boldsymbol{\varsigma}\biggl(\frac{\boldsymbol{x}_0}{\varepsilon}\biggr)\biggr| =r(\boldsymbol{x}_0,t) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
для новых искомых функций $\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)$ и $U_{t}(s,\boldsymbol{x}_0)= u_{t}\bigl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),(1/\varepsilon) \boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\bigr)$. Вследствие равномерной ограниченности правых частей $\boldsymbol{a}_{t}(\boldsymbol{x},(1/\varepsilon)\boldsymbol{x})$ и $b_{t}(\boldsymbol{x},(1/\varepsilon)\boldsymbol{x})$ в пространстве $\mathbb{C}^1(\overline{Y}\times \overline{\Omega}_T)$ задача Коши (2.21) имеет единственное решение $\{\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),U_{t}(s,\boldsymbol{x}_0)\}$ для всех $(\boldsymbol{x},t)\in \overline{\Omega}_T$ такое, что $U_{t}(s,\boldsymbol{x}_0)$ и $\partial U_{t}(s,\boldsymbol{x}_0)/\partial s$ непрерывно зависят от $s$ на любом ограниченном интервале $s\in [0,S]$ [34], для которого
$$
\begin{equation}
\biggl|\boldsymbol{\varsigma}_0\biggl(\frac{1}{\varepsilon}\,\boldsymbol{x}(S,\boldsymbol{x}_0) \biggr)\biggr|>0.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Возникает естественный вопрос: куда начнет двигаться точка $\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)$ из начального положения с ростом параметра $s$? В жидкую или в твердую компоненту? Поскольку вектор $\boldsymbol{\varsigma}_0(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, приложенный к точке границы, направлен в жидкую компоненту, то при $s>0$ точка $\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)$ с ростом параметра $s$ начнет двигаться в жидкую компоненту: $\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\in \Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}_f(t)$ при $s>0$. Прямое дифференцирование равенства $ U_{t}(s,\boldsymbol{x}_0)= u_{t}\bigl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),(1/\varepsilon)\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0) \bigr)$ по параметру $s$ доставляет нам еще одно равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial U_{t}}{\partial s}(s,\boldsymbol{x}_0) =\nabla_{x} u_{t}\biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),\frac{1}{\varepsilon}\, \boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\biggr) \cdot\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial s}(s,\boldsymbol{x}_0) \notag \\ &\qquad\qquad +\frac{1}{\varepsilon}\,\nabla_{y}u_{t} \biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0), \frac{1}{\varepsilon}\,\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\biggr) \cdot\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial s}(s,\boldsymbol{x}_0) \notag \\ &\qquad=\nabla_{x}u_{t}\biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),\frac{1}{\varepsilon}\, \boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\biggr) \cdot\boldsymbol{a}_{t} \biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),\frac{1}{\varepsilon}\, \boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0) \biggr) \notag \\ &\qquad\qquad+\frac{1}{\varepsilon}\, \nabla_{y}u_{t}\biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0), \frac{1}{\varepsilon}\, \boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0)\biggr) \cdot\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial s}(s,\boldsymbol{x}_0) \cdot\boldsymbol{a}_{t} \biggl(\boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0),\frac{1}{\varepsilon}\, \boldsymbol{x}(s,\boldsymbol{x}_0) \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Таким образом, второе уравнение в (2.21) и уравнение (2.23) доказывают справедливость соотношения (2.16), т. е. соленоидальность функции $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)$ в области $\Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)$ всюду, где выполнено условие (2.22). А поскольку там, где оно не выполнено $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)=0$, то указанная функция будет соленоидальной всюду в жидкой компоненте. Так как всюду в тексте статьи используется значение функции $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(r;\boldsymbol{x},t)$ только в жидкой компоненте, продолжение этой функции в твердую компоненту стандартное. Например, вдоль нормали к границе с дальнейшим умножением на срезающую функцию. Лемма 2.9 доказана. 2.6. Теорема Лере–Шаудера о неподвижной точкеОпределение 2.3. Непрерывный оператор $\boldsymbol{T}$, действующий из банахова пространства $\mathbb{X}$ в себя (обозначение: $\boldsymbol{T}\colon \mathbb{X} \to \mathbb{X}$), называется вполне непрерывным, если он отображает всякое замкнутое ограниченное множество в компактное. Теорема 2.3. Пусть вполне непрерывный оператор $\boldsymbol{T}(\lambda, x)$, действующий из ограниченного банахова пространства $\mathbb{X}$ элементов $x\in \mathbb{X}$ в себя, непрерывно зависит от вещественного параметра $\lambda\in [0,1]$, и пусть при $\lambda =0$ у оператора $\boldsymbol{T}(0,x)$ существует неподвижная точка $x_0$: $\boldsymbol{T}(0,x_0)=x_0$. Тогда при всех $\lambda\in [0,1]$ у оператора $\boldsymbol{T}$ существует хотя бы одна неподвижная точка $x_{\lambda}$ такая, что $\boldsymbol{T}(\lambda,x_{\lambda})=x_{\lambda}$. § 3. Постановка задачиПусть функция $r^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ определяет структуру жидких и твердых компонент в области $\Omega_T$ в соответствии с формулами (2.2), в которых $r_0(\boldsymbol{x})$ есть заданная функция, $ 0\leqslant r^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \leqslant 1/2$ и $\widetilde{r}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)=\max\{0,\, r_0(\boldsymbol{x})-r^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$. В безразмерных переменных
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{x}=\frac{\boldsymbol{x}'}{L},\qquad t=\frac{t'}{\tau},\qquad \boldsymbol{v}=\frac{\tau\boldsymbol{v}'}{L},\qquad p=\frac{p'}{p_{a}},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $p_{a}$ – атмосферное давление, в неизвестной области $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$ ищется решение $\{\widetilde{r}^{\,\varepsilon},\boldsymbol{v}^{\varepsilon},p^{\varepsilon}, c^{\varepsilon},c^{\varepsilon}_j\}$, $j=1,2,\dots,n$, системы дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\nabla\cdot\bigl(\alpha^{\varepsilon}_{\mu}\mathbb{D}(x,\boldsymbol{v}^{\varepsilon})- p^{\varepsilon}\mathbb{I}\bigr)=0,\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{v}^{\varepsilon}=0,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial t}=\nabla\cdot(d_0\nabla c^{\varepsilon}- \boldsymbol{v}^{\varepsilon}c^{\varepsilon}),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial c^{\varepsilon}_j}{\partial t}+ \nabla\cdot(\boldsymbol{v}^{\varepsilon}c^{\varepsilon}_j)=0,\qquad j=1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
описывающей динамику взаимодействия раствора кислоты в несущей жидкости концентрации $c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ с твердым скелетом $\Omega^{\varepsilon}_{s,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$. В (3.2)–(3.4) $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$ и $p^{\varepsilon}$ – скорость и давление в жидкости соответственно, $c^{\varepsilon}_j$ – концентрации продуктов химических реакций, происходящих на свободной границе $\Gamma^{\varepsilon}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})= \partial\Omega^{\varepsilon}_f(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}) \cap\partial\Omega^{\varepsilon}_{s}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$. Вообще говоря, безразмерный коэффициент диффузии $d_0$ может зависеть от концентрации кислоты. В нашей постановке считаем его заданной положительной постоянной. На свободной границе $\Gamma^{\varepsilon}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$ выполнены краевое условие (1.1) и условия
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}^{\varepsilon}=v^{\varepsilon}_{N}\boldsymbol{N}^{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
(D^{\varepsilon}_{N}-v^{\varepsilon}_{N})c^{\varepsilon}+ d_0\,\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial N}= -\beta^{\varepsilon}c^{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
(D^{\varepsilon}_{N}-v^{\varepsilon}_{N}) c^{\varepsilon}_j= -\beta^{\varepsilon}_j c^{\varepsilon},\qquad j=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
выражающие законы сохранения массы и импульса [15]–[17]. Здесь $v^{\varepsilon}_{N}\stackrel{\mathrm{df}}{=} \boldsymbol{v}^{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$ – нормальная компонента скорости жидкости $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$, $\partial c^{\varepsilon}/\partial N\stackrel{\mathrm{df}}{=}\nabla c^{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$, $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$ – вектор единичной нормали к свободной границе $\Gamma^{\varepsilon}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$, внешней по отношению к области $\Omega^{\varepsilon}_f(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$, $\delta=(\rho_{s}-\rho_f)/\rho_f$, $\rho_{s}$ и $\rho_f$ – плотности твердого тела и жидкости соответственно, $\beta^{\varepsilon}$ и $\beta^{\varepsilon}_j$, $j=1,\dots,n$, – заданные положительные постоянные. Наконец, на заданных границах с нагнетательными скважинами ${S}^1$ и добывающими скважинами ${S}^2$ и на непроницаемой границе ${S}^0$ выполнены условия
$$
\begin{equation}
\bigl(\alpha^{\varepsilon}_{\mu}\mathbb{D}\bigl(x,\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \bigr)-p^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\,\mathbb{I}\bigr) \cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) =-p^j\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}),\qquad\boldsymbol{x}\in S^j,\quad t>0,\quad j=1,2,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial n}=0,\qquad\boldsymbol{x}\in S^0,\quad t>0,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}^{\varepsilon}=0,\qquad\boldsymbol{x}\in S^0,\quad t>0,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)=c^0(\boldsymbol{x}),\qquad\boldsymbol{x}\in S^1\cup S^2,\quad t>0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
c^{\varepsilon}_j(\boldsymbol{x},t)=0,\qquad j=1,\dots,n,\quad \boldsymbol{x}\in S^1,\quad t>0.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В (3.7)–(3.13) $\boldsymbol{n}$ – единичный вектор нормали к границам $S^0$, $S^1$ и $S^2$. Задача (1.1), (3.1)–(3.13) замыкается начальными условиями
$$
\begin{equation}
c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},0)=c^0(\boldsymbol{x}),\qquad c^{\varepsilon}_j(\boldsymbol{x},0)=0,\quad j=1,\dots,n,\quad\boldsymbol{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{r}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},0)=0,\qquad\boldsymbol{x}\in \Omega.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Отметим, что задача (1.1), (3.2), (3.3), (3.5)–(3.7), (3.9)–(3.12), (3.14), (3.15) об определении функций $\{\widetilde{r}^{\,\varepsilon}, \boldsymbol{v}^{\varepsilon}, p^{\varepsilon}, c^{\varepsilon}\}$ (назовем ее задачей $\mathbb{A}^{\varepsilon}$) решается независимо от задачи об определении функций $c^{\varepsilon}_j(\boldsymbol{x},t)$, $j=1,2,\dots,n$. Последние определяются уже после нахождения функций $\{\boldsymbol{v}^{\varepsilon},p^{\varepsilon},c^{\varepsilon}\}$. Будем считать, что $p^i=\mathrm{const}$, $i=1,2$, и $p^0(x_1)= p^1(x_1+1/2)+p^2(x_1-1/2)$. Для новых искомых функций $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и $\overline{p}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)=p^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)-p^0(x_1)$ уравнения (3.2) в области $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}$ примут вид
$$
\begin{equation}
\nabla\cdot\bigl(\alpha^{\varepsilon}_{\mu}\mathbb{D}(x,\boldsymbol{v}^{\varepsilon})- \overline{p}^{\,\varepsilon}\mathbb{I}\bigr)=\nabla\,p^0,\qquad (\boldsymbol{x},t) \in \Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}),
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla\cdot\boldsymbol{v}^{\varepsilon}=0,\qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}),
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
а краевое условие (3.9) перепишется как
$$
\begin{equation}
\bigl(\alpha^{\varepsilon}_{\mu}\mathbb{D}(x,\boldsymbol{v}^{\varepsilon})- \overline{p}^{\,\varepsilon}\mathbb{I}\bigr)\cdot\boldsymbol{N}=0,\qquad \boldsymbol{x}\in S^j,\quad j=1,2,\quad t>0.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Преобразуем уравнение (3.3) и краевое условие (3.7) так, чтобы преобразованные уравнение и краевое условие были эквивалентны некоторому интегральному тождеству. А именно, положим
$$
\begin{equation}
\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial t}=\nabla\cdot\biggl(d_0\nabla c^{\varepsilon}-\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\biggl(c^{\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)\biggr), \qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}),
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
d_0\,\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial N} -v_{N}^{\varepsilon} \biggl(c^{\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\,\delta}\biggr)=0,\qquad (\boldsymbol{x},t)\in\Gamma^{\varepsilon}_T(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}).
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
По своему изначальному определению концентрация кислоты $c^{\varepsilon}$ всегда неотрицательна, но ее неотрицательность в нашей модели ниоткуда не следует, поскольку для уравнения (3.19) и краевого условия (3.20) нет принципа максимума. Поэтому на время заменим уравнение (3.19) на уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial t} =\nabla\cdot\bigl(d_0\nabla c^{\varepsilon}-\boldsymbol{v}^{\varepsilon}\psi(c^{\varepsilon})\bigr), \qquad \boldsymbol{x}\in \Omega^{\varepsilon}_f(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}),\quad t>0,
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
и краевое условие (3.20) на краевое условие
$$
\begin{equation}
d_0\,\frac{\partial c^{\varepsilon}}{\partial N}-v^{\varepsilon}_{N} \psi(c^{\varepsilon})=-c^{\varepsilon}D^{\varepsilon}_{N},\qquad \boldsymbol{x}\in\Gamma^{\varepsilon}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}),\quad t>0.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
В (3.22) $\boldsymbol{N}$ есть единичный вектор внешней по отношению к области $\Omega^{\varepsilon}_f(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$ нормали к границе $\Gamma^{\varepsilon}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$ и
$$
\begin{equation}
\psi(s)=s+\frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\ \ \text{при}\ \ 0<s<c^*\quad \text{и}\quad\psi(s)=0 \ \ \text{при}\ \ s<0\ \ \text{или при}\ \ s>c^*.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Уравнение (3.21) назовем модифицированным уравнением диффузии–конвекции для концентрации кислоты, а краевое условие (3.22) – модифицированным краевым условием для концентрации кислоты. Задачу $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ без краевого условия (1.1), но в заданной области со структурой порового пространства $\chi(r,\boldsymbol{y})$, определяемой функцией $r(\boldsymbol{x},t)$ в соответствии с соотношениями (2.1), назовем задачей $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Наконец, начально-краевую задачу (3.11), (3.16)–(3.18) назовем динамической задачей $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, начально-краевую задачу (3.10), (3.12), (3.14), (3.19), (3.20) – задачей диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ и начально-краевую задачу (3.10), (3.12), (3.14), (3.21), (3.22) – модифицированной задачей диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. § 4. Эквивалентные интегральные тождества. Формальное усреднениеДля формулировки основных результатов работы нам необходимо знать усредненные модели $\mathbb{H}$ и $\mathbb{H}(r)$. Чтобы получить дифференциальные уравнения макроскопических математических моделей, мы должны как-то усреднить микроскопические математические модели $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ и $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. В силу сделанных раннее замечаний достаточно будет усреднить только модель $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Будем считать, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{r}^{\,\varepsilon}\in \mathfrak{M},\quad \boldsymbol{v}^{\varepsilon}, c^{\varepsilon}\in \mathbb{W}^{1,0}_2\bigl(\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r^{\varepsilon})\bigr) \quad\text{и}\quad \overline{p}^{\,\varepsilon} \in\mathbb{L}_2\bigl(\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r^{\varepsilon})\bigr), \quad |p^0|_{\Omega}^{(2)}=M_0<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя известной схеме [15], продолжим решение $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$ и $c^{\varepsilon}$ в область $\Omega^{\varepsilon}_{s,T}(r^{\varepsilon})$ и далее запишем задачу $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ в эквивалентной форме соответствующих интегральных тождеств так, чтобы условия на свободной границе вошли в интегральные тождества. Продолжением функции $c^{\varepsilon}$ согласно лемме 2.9 является функция $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}$, а продолжению функции $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$ была посвящена лемма 2.8. По построению (см. лемму 2.9) функция $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}$ принадлежит пространству $\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ и удовлетворяет краевым условиям (3.4). Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) &=\begin{cases} \boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) &\text{при }(\boldsymbol{x},t) \in \Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}), \\ \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon};\boldsymbol{x},t) &\text{при }(\boldsymbol{x},t)\in \Omega^{\varepsilon}_{s,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}), \end{cases} \\ \widetilde{p}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) &=\begin{cases} \overline{p}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) &\text{при }(\boldsymbol{x},t) \in \Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}), \\ 0 &\text{при }(\boldsymbol{x},t) \in \Omega^{\varepsilon}_{s,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon}). \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Тогда функция $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\in \mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ является продолжением функции $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$ из области $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$ в область $\Omega^{\varepsilon}_{s,T}(\widetilde{r}^{\,\varepsilon})$ и удовлетворяет краевому условию (4.1). Определение 4.1. Пусть структура $ \chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)= \chi(r(\boldsymbol{x},t),\boldsymbol{x}/\varepsilon)$ порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ задается функцией $r\in \mathfrak{M}_T$. Тогда соленоидальная функция $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\,{\in}\, \mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ и функции $\widetilde{p}^{\,\varepsilon}\in \mathbb{L}_2(\Omega_T)$ и $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\in \mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ называются обобщенным решением задачи $\mathbb{A}^{\varepsilon}$, если выполнены интегральные тождества
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\iint_{\Omega_{t_0}}\chi^{\varepsilon}\bigl(\alpha^{\varepsilon}_{\mu}\mathbb{D} (x,\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon})-\widetilde{p}^{\,\varepsilon} \mathbb{I}\bigr):\mathbb{D}(x,\boldsymbol{\varphi})\,dx\,dt \\ &\qquad=-\iint_{\Omega_{t_0}}\nabla p^0\cdot\boldsymbol{\varphi}\,dx\,dt -\iint_{\Omega_{t_0}}(1-\chi^{\varepsilon})\sqrt{\alpha^{\varepsilon}_{\mu}}\, \mathring{\mathbb{F}}^{\,\varepsilon}: \mathbb{D}(x,\boldsymbol{\varphi})\,dx\, dt, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\iint_{\Omega_{t_0}}\chi^{\varepsilon}\biggl(-\delta\,\frac{\partial\psi}{\partial t}+ \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\cdot\nabla\psi\biggr)\,dx\,dt=0
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t_0) \xi(\boldsymbol{x},t_0)\, dx- \int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},0)\widetilde{c}^{\,\varepsilon} (\boldsymbol{x},0)\xi(\boldsymbol{x},0)\, dx \notag \\ &\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\biggl(-\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\, \frac{\partial \xi}{\partial \tau}+ \nabla\xi\cdot\biggl(d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}- \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\, dx\, d\tau=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
и краевые условия (1.1) и (3.11). Тождество (4.2) справедливо для всех гладких функций $\boldsymbol{\varphi}$, равных нулю на границе $S^0$ при $t>0$, и для всех $t_0$, $0<t_0\leqslant T$. Тождество (4.3) справедливо для всех гладких функций $\psi$, равных нулю на границе $S^1\cup S^2$ при $t>0$ и в начальный момент времени, и для всех $t_0$, $0<t_0\leqslant T$. Тождество (4.4) справедливо для всех гладких функций $\xi$, равных нулю на границе $S^1\cup S^2$ области $\Omega$ при $t>0$, и для всех $t_0$, $0<t_0\leqslant T$. Замечание 4.1. Чуть ниже мы покажем, что краевое условие (1.1) эквивалентно интегральному тождеству (4.20). Тождество (4.2) эквивалентно динамическому уравнению Стокса (3.16). В этом тождестве
$$
\begin{equation*}
\mathring{\mathbb{F}}^{\varepsilon}= \sqrt{\alpha^{\varepsilon}_{\mu}}\,\mathbb{D}(x,\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}), \qquad \mathring{\mathbb{F}}^{\varepsilon}\in \mathbb{L}_2(\Omega_T)\quad\text{и}\quad \|\mathring{\mathbb{F}}^{\varepsilon}\|_{2,\Omega_T} \leqslant MM_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}$ определена формулой (2.14). Тождество (4.3) эквивалентно соленоидальности функции $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ и краевым условиям (3.5) и (3.6). Тождество (4.4) эквивалентно уравнению диффузии–конвекции (3.21) и краевым и начальным условиям (3.7), (3.10), (3.12), (3.14) и (3.22). Эквивалентность дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями интегральным тождествам следует из формулы интегрирования по частям (см. [16; гл. II, § 12]) в форме
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}\xi \biggl(\frac{\partial A}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{B}\biggr) \, dx\, dt+ \int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)} \biggl(A\frac{\partial\xi}{\partial t}+ \boldsymbol{B}\cdot\nabla \xi\biggr) \, dx\, dt \notag \\ &\qquad=\int_{\Omega_f(t)}\xi(\boldsymbol{x},t_0) A(\boldsymbol{x},t_0)\, dx- \int_{\Omega_f(0)}\xi(\boldsymbol{x},0)A(\boldsymbol{x},0)\, dx \notag \\ &\qquad\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Gamma(t)}\xi(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{N}- AD_{N})\sin\varphi\,d \sigma\, dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\Omega=\Omega_f(t)\cup \Gamma(t)\cup\Omega_{s}(t)$, $D_{N}$ есть скорость границы $\Gamma(t)$ в направлении внешней по отношению к области $\Omega_f(t)$ единичной нормали $\boldsymbol{N}$ к границе $\Gamma(t)$ и $\varphi$ есть угол между осью времени и нормалью к боковой границе $\Gamma_T$, внешней по отношению к области $\Omega_{f,T}$. Например, для тождества (4.4) $A=\widetilde{c}^{\,\varepsilon}$ и $\boldsymbol{B}=\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \beta^{\varepsilon}/(\alpha^{\varepsilon}\delta))-d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}$. Преобразование уравнения диффузии–конвекции (3.3) приводит к равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\xi\biggl(\frac{\partial \widetilde{c}^{\,\varepsilon}}{\partial t}+ \nabla\cdot\biggl(\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)\biggr)- d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\biggr)\, dx\, dt \\ &=\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\biggl(\frac{\partial}{\partial t} (\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\xi)-\nabla\cdot\biggl(\xi\biggl(d_0\nabla \widetilde{c}^{\,\varepsilon}-\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon} \biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\biggr)\, dx\, dt \\ &\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\biggl(-\frac{\partial\xi}{\partial t}\, c^{\varepsilon}+\nabla\xi\cdot\biggl(d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}- \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\,dx\,dt \\ &=\int_0^{t_0}\int_{\Gamma^{\varepsilon}(r)}\xi\biggl(-\widetilde{c}^{\,\varepsilon} D^{\varepsilon}_{N}+\widetilde{v}^{\,\varepsilon}_{N} \biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)- d_0\, \frac{\partial \widetilde{c}^{\,\varepsilon}}{\partial N}\biggr) \sin\varphi\,d \sigma\, dt \\ &\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\biggl(-\frac{\partial\xi}{\partial t}\, c^{\varepsilon}+\nabla\xi\cdot\biggl(d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}- \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+ \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\, dx\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подынтегральное выражение $\Psi_0=-\widetilde{c}^{\,\varepsilon}D^{\varepsilon}_{N} +\widetilde{v}^{\,\varepsilon}_{N}(\widetilde{c}^{\,\varepsilon}+\theta/\delta)- d_0(\partial \widetilde{c}^{\,\varepsilon}/\partial N)$ в интеграле по свободной границе равно нулю в силу краевых условий на свободной границе
$$
\begin{equation*}
D^{\varepsilon}_{N}=\alpha^{\varepsilon}\widetilde{c}^{\,\varepsilon},\qquad \widetilde{v}^{\,\varepsilon}_{N}=-\delta D^{\varepsilon}_{N}=-\delta \alpha^{\varepsilon}\widetilde{c}^{\,\varepsilon},\qquad -d_0\,\frac{\partial \widetilde{c}^{\,\varepsilon}}{\partial N}= \beta^{\varepsilon}\widetilde{c}^{\,\varepsilon} +D^{\varepsilon}_{N}\widetilde{c}^{\,\varepsilon}-\widetilde{v}^{\,\varepsilon}_{N} \widetilde{c}^{\,\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 4.2. Пусть структура $\chi(r,\boldsymbol{y})$ порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ задается функцией $r\in \mathfrak{M}_T$. Тогда функции $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}$ и $\widetilde{p}^{\,\varepsilon}$, удовлетворяющие тождествам (4.2) и (4.3) и краевому условию (3.9), называются обобщенным решением динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Определение 4.3. Пусть структура $\chi(r,\boldsymbol{y})$ порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ определяется функцией $r\in \mathfrak{M}_T$ и функция $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}$ является обобщенным решением динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Тогда решение $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}{\in}\,\mathbb{V}_2(\Omega_T)$ тождества (4.4), удовлетворяющее условиям (3.10) и (3.12), называется обобщенным решением задачи диффузии– конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Определение 4.4. Пусть структура $\chi(r,\boldsymbol{y})$ порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ определяется функцией $r\in \mathfrak{M}_T$ и функция $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}$ является обобщенным решением динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Тогда решение $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\in\mathbb{V}_2(\Omega_T)$ интегрального тождества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}\biggl(-\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\, \frac{\partial \xi}{\partial t}+ \nabla\xi\cdot\bigl(d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}- \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\psi(\widetilde{c}^{\,\varepsilon})\bigr)\biggr) \, dx\, dt \notag \\ &\qquad+\int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t_0)\widetilde{c}^{\,\varepsilon} (\boldsymbol{x},t_0)\xi(\boldsymbol{x},t_0)\, dx- \int_{\Omega}\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},0) \widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},0)\xi(\boldsymbol{x},0)\, dx=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
справедливого для всех $t_0$, $0<t_0<T$, и для всех гладких функций $\xi$, равных нулю на границе $S^0$ при $t\geqslant 0$, удовлетворяющее условиям (3.10), (3.12), называется обобщенным решением модифицированного уравнения диффузии–конвекции. В тождестве (4.6) функция $\psi(s)$ задается равенством (3.23). Определение 4.5. Пусть структура $\chi^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ определяется функцией $r\in \mathfrak{M}_T$, функции $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}$ и $\widetilde{p}^{\,\varepsilon}$ есть обобщенное решение динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, а функция $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}$ есть обобщенное решение задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Тогда тройка функций $\{\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon},\widetilde{p}^{\,\varepsilon}, \widetilde{c}^{\,\varepsilon}\}$ называется обобщенным решением задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Лемма 4.1. Пусть структура порового пространства $\Omega^{\varepsilon}_{f,T}(r)$ задается функцией $r\in \mathfrak{M}_T$ и обобщенное решение $\{\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon},\widetilde{p}^{\,\varepsilon}, \widetilde{c}^{\,\varepsilon}\}$ задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ существует и обладает необходимой для выбора сходящихся подпоследовательностей гладкостью: Тогда существуют подпоследовательности такие, что при $\varepsilon\to 0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \rightharpoonup \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t),\qquad \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \xrightarrow{\textit{t.-s.}} \boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y}), \\ \varepsilon\mathbb{D}\bigl(x,\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon} (\boldsymbol{x},t)\bigr) \xrightarrow{\textit{t.-s.}} \mathbb{D}\bigl(y,\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})\bigr); \\ \widetilde{p}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \rightharpoonup p(\boldsymbol{x},t),\qquad \widetilde{p}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \xrightarrow{\textit{t.-s.}} P_f(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y}); \\ \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) \quad \textit{сходится сильно в } \mathbb{L}_2(\Omega_T)\textit{ к нулю}; \\ \mathring{\mathbb{F}}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\quad\textit{сходится сильно в } \mathbb{L}_2(\Omega_T)\textit{ к нулю}; \\ \widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\quad \textit{сходится сильно в } \mathbb{L}_2(\Omega_T)\textit{ к функции }c(\boldsymbol{x},t); \\ \mathbb{D}(x,\widetilde{c}^{\,\varepsilon}) \xrightarrow{\textit{t.-s.}}\mathbb{D}(x,c)+ \mathbb{D}\bigl(y,C(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь Для предельного перехода необходимо знать поведение коэффициентов $\alpha^{\varepsilon}_{\mu}$, $\beta^{\varepsilon}$ и $\alpha^{\varepsilon}$ при $\varepsilon\to 0$. В настоящей работе ограничимся случаем
$$
\begin{equation}
\mu_0=0,\qquad 0<\mu_1<\infty,\qquad \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{\beta^{\varepsilon}}{\alpha^{\varepsilon}}=\theta=\mathrm{const}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
слабо-вязкой жидкости (см. [15]). Предельный переход в тождестве (4.3) стандартный (см. [15; с. 6–11]):
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}=-\frac{1}{\mu_1}\,\mathbb{C}^v(r)\cdot\nabla(p+p^0),\qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla\cdot\boldsymbol{v}=\delta\,\frac{\partial\,m}{\partial t},\qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
При этом тождества (4.2) и (4.3) содержат краевые условия
$$
\begin{equation}
v_{n}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}=0,\quad\boldsymbol{x}\in S^0,\quad p=0,\quad\boldsymbol{x}\in S^1\cup S^2,\qquad t>0.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Предельный переход в тождествах (4.4) при $\varepsilon\to0$ доставляет нам тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}m(\boldsymbol{x},t_0)c(\boldsymbol{x},t_0) \xi(\boldsymbol{x},t_0)\, dx- \int_{\Omega}m(\boldsymbol{x},0)c^0(\boldsymbol{x})\xi(\boldsymbol{x},0)\, dx \notag \\ &\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\biggl(-mc\,\frac{\partial \xi}{\partial t}+ \nabla\xi\cdot\biggl(d_0\,\mathbb{C}^c(r)\cdot\nabla\,c- \boldsymbol{v}\biggl(c+\frac{\theta}{\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\, dx\, d\tau=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
справедливое для всех гладких функций $\xi$, равных нулю на границе $S^1\cup S^2$ области $\Omega$ при $t\geqslant 0$. Тождество (4.12) формально эквивалентно усредненному уравнению диффузии–конвекции
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(mc)= \nabla\cdot\biggl(d_0\mathbb{C}^c(r)\cdot\nabla c-\boldsymbol{v}\biggl(c+\frac{\theta}{\delta}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Симметричные строго положительно определенные матрицы $\mathbb{C}^v(r)$ и $\mathbb{C}^c(r)$ зависят от структуры порового пространства $Y_f(r)$ и определяются формулами (1.1.27) и (10.1.61) в [15] соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbb{C}^v(r)=2\int_{Y_f(r)}\sum_{i=1}^3 \bigl(\boldsymbol{V}^i(r;\boldsymbol{y})\otimes\boldsymbol{e}^i\bigr)\, dy, \\ \Delta_{y}\boldsymbol{V}^i-\nabla_{y}\Pi^i=-\boldsymbol{e}^i,\quad \nabla_{y}\cdot\boldsymbol{V}^i=0,\qquad |\boldsymbol{y}|>r, \\ \boldsymbol{V}^i(r;\boldsymbol{y})=0,\qquad |\boldsymbol{y}|=r, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbb{C}^c(r)=m\mathbb{I}+\mathbb{C}_0^c(r),\qquad \mathbb{C}_0^c(r)= \int_{Y_f(r)}\biggl(\sum_{i=1}^3\nabla_{y}C^i(r;\boldsymbol{y}) \otimes\boldsymbol{e}^i\biggr)\,dy, \\ \Delta_{y}C^i=0,\qquad |\boldsymbol{y}|>r,\quad \int_{Y_f(r)}C^i(r;\boldsymbol{y})\, dy=0, \\ (\nabla_{y}C^i+\boldsymbol{e}^i)\cdot\boldsymbol{n}=0,\qquad |\boldsymbol{y}|=r, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $\{\boldsymbol{e}^1,\boldsymbol{e}^2,\boldsymbol{e}^3\}$ – ортонормированный базис в $\mathbb{R}^3$. Дифференциальные уравнения (4.9), (4.10) и (4.13) дополняются краевыми условиями (4.11) и краевыми и начальными условиями
$$
\begin{equation}
\frac{\partial c}{\partial n}=\nabla c\cdot\boldsymbol{n}=0,\qquad \boldsymbol{x}\in S^0, \quad c=c^0,\quad \boldsymbol{x}\in S^1\cup S^2,\quad t>0,
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
$$
\begin{equation}
c(\boldsymbol{x},0)=c^0,\qquad \boldsymbol{x}\in \Omega.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Начально-краевую задачу (4.9)–(4.17) для заданной структуры порового пространства $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, определяемой функцией $r\in \mathfrak{M}_T$, назовем задачей $\mathbb{H}(r)$. Краевую задачу (4.9)–(4.11) назовем динамической задачей $\mathbb{H}(r)$. Наконец, начально-краевую задачу (4.13), (4.15)–(4.17) назовем задачей диффузии–конвекции $\mathbb{H}(r)$. Всюду ниже, там где это не вызывает разночтений, мы будем писать $\mathbb{C}^v$ и $\mathbb{C}^c$ вместо $\mathbb{C}^v(r)$ и $\mathbb{C}^c(r)$. При выводе задачи $\mathbb{H}(r)$ мы нигде не использовали дополнительное краевое условие (1.1) на свободной границе $\Gamma(r)$. То есть задача $\mathbb{H}(r)$ есть усреднение задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$. Чтобы получить задачу $\mathbb{H}$ как усреднение задачи $\mathbb{A}^{\varepsilon}$, необходимо дополнить задачу $\mathbb{H}(r)$ равенством, получающимся усреднением дополнительного краевого условия (1.1) на свободной границе, и далее с его помощью определить структуру порового пространства, заданного функцией $r(\boldsymbol{x},t)$ в соответствии с формулами (2.1). При усреднении условия (1.1) нам потребуется следующее предположение. Предположение 4.1. Для задачи $\mathbb{A}^{\varepsilon}$ выполнены условия где $\theta$ – заданная положительная постоянная. Лемма 4.2. Пусть функции $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ есть продолжение функций $c^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)$ (см. лемму 2.8), последовательность $\{\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\}$ равномерно по $\varepsilon$ ограничена в пространстве $\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ и $ \lim_{\varepsilon\to 0}\|\widetilde{c}^{\,\varepsilon}-c\|_{2,\Omega_T}=0$. Тогда при выполнении предположения 4.1 усреднением краевого условия (1.1) является равенство Доказательство. Дополнительное краевое условие (1.1) эквивалентно интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\iint_{\Omega_T}\chi^{\varepsilon}\biggl(-\frac{\partial}{\partial t} (\zeta\boldsymbol{a}^{\varepsilon} \cdot\boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon}) +\varepsilon\nabla\cdot (\zeta\,\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon})\biggr)\, dx\, dt=0,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
справедливому для произвольных функций $\boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon}=\boldsymbol{\xi}_0 (\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, равных нулю при $t=0$ и при $t=T$, функций $\zeta(\boldsymbol{x})$, равных нулю на границе области $\Omega$, и функций $\boldsymbol{a}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t) =\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{x}/\varepsilon)$ таких, что $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})=\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, где $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ – вектор единичной нормали к $\gamma(\boldsymbol{x},t)$, внешний по отношению области $Y_f(r)$. В самом деле, пусть $u(\boldsymbol{x},t)$ – произвольная функция, равная нулю при $t=0$ и при $t=T$. Тогда согласно формуле интегрирования по частям (4.5) с $A=1$ и $\boldsymbol{B}=0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{T}\int_{\Omega_{f,T}^{\varepsilon}(r)}\frac{\partial u}{\partial t}\, dx\, dt= -\iint_{\Gamma^{\varepsilon}_T(r)}D_{N}^{\varepsilon}u\sin \varphi\,d\sigma\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
В последнем равенстве $\varphi$ – угол между осью времени и внешней по отношению к области $\Omega_{f,T}^{\varepsilon}(r)$ нормалью $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$ к боковой границе $\Gamma^{\varepsilon}_T(r)$ области $\Omega_{f,T}^{\varepsilon}(r)$, $D_{N}^{\varepsilon}$ – скорость границы $\Gamma^{\varepsilon}(r;t)$ в направлении нормали $\boldsymbol{N}^{\varepsilon}$. Далее в интеграле по поверхности $\Gamma_T^{\varepsilon}(r)$ воспользуемся краевым условием (1.1) и предположением 4.1:
$$
\begin{equation*}
\iint_{\Omega_T}\chi^{\varepsilon}\, \frac{\partial u}{\partial t}\, dx\, dt= -\iint_{\Gamma^{\varepsilon}_T(r)}\alpha^{\varepsilon}\widetilde{c}^{\,\varepsilon} u\sin \varphi\,d\sigma\,dt= -\iint_{\Gamma^{\varepsilon}_T(r)}\varepsilon\theta \widetilde{c}^{\,\varepsilon} u\sin \varphi\,d\sigma dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь
$$
\begin{equation*}
u=\boldsymbol{a}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon} (\boldsymbol{x},t),\qquad \boldsymbol{a}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)= \boldsymbol{a}\biggl(\boldsymbol{x},t,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr),\quad \boldsymbol{\xi}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)= \zeta(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\xi}_0\biggl(\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon},t\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
с $1$-периодическими по $\boldsymbol{y}$ функциями $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ и $\boldsymbol{\xi}_0(\boldsymbol{y},t)$ такими, что $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})= \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ при $\boldsymbol{y}\in \gamma(\boldsymbol{x},t)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\iint_{\Omega_T}\chi^{\varepsilon}\, \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{a}^{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon})\, dx\, dt+ \int_0^{T}\int_{\Gamma^{\varepsilon}(r;t)}\varepsilon\theta \widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\xi}^{\varepsilon}) \sin \varphi\, d\sigma\, dt \\ &\qquad=\iint_{\Omega_T}\chi^{\varepsilon}\biggl(\frac{\partial}{\partial t} (\zeta\boldsymbol{a}^{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon})+ \varepsilon\theta\nabla\cdot (\zeta\,\widetilde{c}^{\,\varepsilon} \boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon})\biggr)\, dx\, dt=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное тождество
$$
\begin{equation}
\iint_{\Omega_T}\chi^{\varepsilon} \biggl(\frac{\partial}{\partial t}(\zeta\boldsymbol{a}^{\varepsilon} \cdot\boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon}) +\varepsilon\theta\nabla\cdot (\zeta\,\widetilde{c}^{\,\varepsilon} \boldsymbol{\xi}_0^{\varepsilon})\biggr)\, dx\, dt=0
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
эквивалентно краевому условию (1.1). Оно справедливо для произвольных функций $\boldsymbol{a}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)= \boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{x}/\varepsilon)$ таких, что $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})=\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, где $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ – вектор единичной нормали к $\gamma(\boldsymbol{x},t)$, внешний по отношению к области $Y_{r,f}(\boldsymbol{x},t)$, произвольных функций $\boldsymbol{\xi}_0(\boldsymbol{y},t)$, равных нулю при $t=0$ и при $t=T$, и произвольных функций $\zeta(\boldsymbol{x})$, равных нулю на $\partial\Omega$. Совершив в тождестве (4.21) предельный переход при $\varepsilon\to 0$, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega}dx\,\zeta\,\int_0^{T}\int_{Y_f(r)}\biggl(\frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{\xi}_0)+ \nabla_{y}\cdot(\theta c \boldsymbol{\xi}_0) \biggr) \,dy\, dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались последним пунктом теоремы 2.1 о двухмасштабной сходимости функций из $\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ к функции, не зависящей от быстрой переменной $\boldsymbol{y}$. Необходимое нам равенство (4.19) следует из последнего тождества для произвольных функций $\zeta$ и $\boldsymbol{\xi}_0$ и теоремы Гаусса–Остроградского (4.5):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &= \int_0^{T}\int_{Y_f(r)}\biggl(\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{\xi}_0)+ \nabla_{y}\cdot(c\,\boldsymbol{\xi}_0) \biggr) \, dy\, dt \\ &=\int_0^{T}\int_{\gamma}(-d_{n}+\theta c)(\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{\xi}_0) \sin \varphi \,d\sigma\, dt=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь к краевому условию (4.19), видим, что его выполнение влечет равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial r}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)=-\theta c(\boldsymbol{x},t).
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее соотношение подсказывает схему доказательства существования решения задачи $\mathbb{H}$ с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке. Фиксируется множество $\mathfrak{M}_T$ функций $r(\boldsymbol{x},t)$, определяющих поровое пространство $ Y_f(r)$ в переменных $(\boldsymbol{y},t)$ и поровое пространство $\Omega^{\varepsilon}_f(r)$ в переменных $(\boldsymbol{x},t)$. По заданной структуре порового пространства находится решение $\{\boldsymbol{v}\,{=}\,\mathbb{F}^v(r), \nabla p=\mathbb{F}^p(r),\, c=\mathbb{F}^c(r)\}$ задачи $\mathbb{H}(r)$ и функция
$$
\begin{equation}
R(\boldsymbol{x},t)=r_0(\boldsymbol{x})- \theta \int_0^{t_0}c(\boldsymbol{x},\tau)\, d\tau \equiv \mathbb{F}(r),
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
по которой строится новая структура порового пространства в соответствии с формулами (2.2). Неподвижные точки $r_*(\boldsymbol{x},t)$ оператора $\mathbb{F}(r)$ определяют характеристическую функцию $ \chi(r_*,\boldsymbol{y})$ порового пространства $ Y_f(r_*)$ согласно формуле (2.2), для которой задача $\mathbb{H}(r_*)$ совпадает с задачей $\mathbb{H}$. Лемма доказана. Лемма 4.3. Пусть Тогда операторы $\mathbb{F}^c(r)$, $\mathbb{F}^v(r)$ и $\mathbb{F}^p(r)$ определены корректно. Доказательство. Разность $\widetilde{p}=p_1-p_2$ двух возможных обобщенных решений $p_1$ и $p_2$ задачи (4.9)–(4.11) удовлетворяет однородному эллиптическому уравнению
$$
\begin{equation}
\nabla\cdot(\mathbb{C}^v\cdot \nabla\widetilde{p}\,)=0
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
в области $\Omega_T$ и однородным краевым условиям (4.11) на границе $S$ области $\Omega$ для всех $t>0$. Строгая положительная определенность матрицы $\mathbb{C}^v$ гарантирует единственность решения задачи (4.11), (4.23) и корректное определение операторов $\mathbb{F}^v(r)$ и $\mathbb{F}^p(r)$. Рассмотрим теперь разность $u=m_1c_1-m_2c_2$, $m_i=m(r_i)$, $i=1,2$, двух возможных решений $c_1$ и $c_2$ задачи (4.13), (4.16), (4.17), которая удовлетворяет разности интегральных тождеств (4.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}u(\boldsymbol{x},t_0)\,\xi(\boldsymbol{x},t_0)\, dx+ \int_0^{t_0}\int_{\Omega}\biggl(-u\,\frac{\partial \xi}{\partial t}+ \frac{d_0}{m}\nabla\xi\cdot \mathbb{C}^c\cdot\nabla u\biggr)\, dx\, dt \\ &\qquad=\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\nabla\xi\cdot\biggl(\boldsymbol{v}\, \frac{u}{m}+\frac{u}{m^2}B^c\cdot\nabla m\biggr)\, dx\, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi$ – произвольная гладкая функция, равная нулю при $\boldsymbol{x}\,{\in}\, S^1\cup S^2$ и $0\,{<}\,t\,{<}\,T$, и следующим однородным краевым и начальным условиям:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u(\boldsymbol{x},t)=0,\qquad\boldsymbol{x}\in S^1\cup S^2,\quad 0<t<T, \\ \frac{\partial u}{\partial N}=0,\qquad\boldsymbol{x}\in S^0,\quad 0<t<T,\quad u(\boldsymbol{x},0)=0,\quad\boldsymbol{x}\in \Omega. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя стандартную процедуру сглаживания по времени (см. [25; гл. II, § 4]) с пробной функцией $\xi=(u_{h})_{\bar{h}}$ и неравенство $ab\leqslant \lambda a^2 +C_{\lambda}b^2$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}(u_{h})_{\bar{h}}(\boldsymbol{x},t)u(\boldsymbol{x},t)\, dx- \frac{1}{2}\int_{\Omega}u^2_{h}(\boldsymbol{x},t)\,dx \\ &\qquad+\iint_{\Omega_{t}}\frac{d_0}{m}(u_{h})_{\bar{h}}\cdot(\mathbb{C}^c\cdot\nabla u) \, dx\, dt \leqslant \lambda\iint_{\Omega_{t}}|(\nabla u)_{\bar{h}}|^2\, dx\, d\tau + C_{\lambda}\iint_{\Omega_{t}}u^2\, dx\, d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предельный переход при $h\to 0$, строгая положительная определенность матрицы $\mathbb{C}^c$
$$
\begin{equation*}
\frac{d_0}{m}\boldsymbol{\xi}\bigl(\,{\cdot}\,(\mathbb{C}^c\cdot\boldsymbol{\xi})\bigr)\geqslant \nu_0 |\boldsymbol{\xi}|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и выбор достаточно маленького $\lambda$ доставляют нам дифференциальное неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega}u^2(\boldsymbol{x},t)\,dx \leqslant M^2\iint_{\Omega_{t}}u^2(\boldsymbol{x},t)\,dx \, d\tau,\qquad u(\boldsymbol{x},0)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что, согласно лемме Гронуолла (см. [25; гл. II, § 5, лемма 5.5]), означает равенство $c(\boldsymbol{x},t)=0$ почти всюду в $\Omega_T$, т. е. корректное определение оператора $\mathbb{F}^c(r)$. Лемма доказана. § 5. Основной результат Теорема 5.1. Пусть $c^0\in \mathbb{C}^{2+\gamma}(\overline{\Omega})$, выполнены условия (4.8) и условие Теорема 5.2. Пусть в условиях теоремы 5.1 выполнено предположение 4.1. Тогда для всех $T>0$ задача $\mathbb{H}(r)$ имеет единственное классическое решение $\{\boldsymbol{v},p,c\}$ такое, что $\nabla p,\boldsymbol{v} \in\mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2}(\overline{\Omega}_T)$, $c\in \mathbb{H}^{2+\gamma,\, (2+\gamma)/2}(\overline{\Omega}_T)$,
$$
\begin{equation}
|\nabla p|_{\Omega_T}^{(\gamma)}+ |\boldsymbol{v}|_{\Omega_T}^{(\gamma)}\leqslant M(M_{p}),
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Теорема 5.3. В условиях теоремы 5.2 для всех $T>0$ задача $\mathbb{H}$ имеет единственное классическое решение $\{r^*,\boldsymbol{v},p,c\}$ такое, что $r^*\in \mathfrak{M}_T$, $\nabla p,\boldsymbol{v} \in\mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2}(\overline{\Omega}_T)$, $c\in \mathbb{H}^{2+\gamma,\, (2+\gamma)/2}(\overline{\Omega}_T)$ и выполнены оценки (5.6)–(5.8). § 6. Доказательство теоремы 5.1Согласно [25; гл. IV, § 9] (разрешимость задачи диффузии–конвекции) и [35; гл. III, § 5, теорема 2] (разрешимость динамической задачи),
$$
\begin{equation*}
c^{\varepsilon}\in \mathbb{H}^{2+\gamma,\, (2+\gamma)/2} \bigl(\overline{\Omega}^{\,\varepsilon}_{f,T}(r)\bigr),\qquad \boldsymbol{v}^{\varepsilon}, \nabla p^{\varepsilon}\in \mathbb{L}_{\infty}\bigl(0,T;\mathbb{W}^2_{q}\bigl(\Omega^{\varepsilon}_f(r)\bigr)\bigr)\cap \mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2} \bigl(\overline{\Omega}^{\,\varepsilon}_{f,T}(r)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $q>3(1+\gamma)$ любое. Отметим, что указанные теоремы сформулированы для цилиндрических областей. Но с помощью локальных оценок все утверждения можно передоказать и для не цилиндрических областей. Принадлежность функции $\boldsymbol{v}^{\varepsilon}$ пространству $\mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2}\bigl(\overline{\Omega}^{\,\varepsilon}_{f,T}(r)\bigr)$ доказывается также, как и в лемме 7.5 (оценка (7.25)). Динамическая задача $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ является линейной. Следовательно, для доказательства существования обобщенных решений задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ достаточно получить соответствующие априорные оценки решений этих задач. 6.1. Априорные оценки обобщенных решений динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$Всюду ниже, для простоты изложения, опустим индекс $\varepsilon$ там, где это не вызывает разночтений. Кроме того, области $\Omega^{\varepsilon}_f\bigl(r(\boldsymbol{x},t)\bigr)$, $\Omega^{\varepsilon}_{s}\bigl(r(\boldsymbol{x},t)\bigr)$, $\Omega^{\boldsymbol{k},\varepsilon}_f\bigl(r(\boldsymbol{x},t)\bigr)$ и границу $\Gamma\bigl(r(\boldsymbol{x},t)\bigr)$ будем обозначать как $\Omega_f(t)$, $\Omega_{s}(t)$, $\Omega^{\boldsymbol{k}}_f(t)$ и $\Gamma(t)$. Лемма 6.1. Пусть $r\in \mathfrak{M}_T$. Тогда в условиях теоремы 5.1 для всех обобщенных решений $\widetilde{\boldsymbol{v}}$ динамической задачи $\mathbb{B}(r)$ справедливы оценки (5.2). Доказательство. Рассмотрим тождество (4.2) с пробной функцией $\boldsymbol{\varphi}=\widetilde{\boldsymbol{v}}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega_f(t)}\alpha_{\mu}|\mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}})|^2\, dx &= -\int_{\Omega_f(r)}(1-\chi)\sqrt{\alpha_{\mu}}\, \mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}}): \mathring{\mathbb{F}}\,dx \\ &\leqslant\nu\int_{\Omega_f(t)}\alpha_{\mu}|\mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}})|^2\, dx+ \frac{4}{\nu}\int_{\Omega_{s}(t)}|\mathring{\mathbb{F}}|^2\, dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathring{\mathbb{F}}=\chi\sqrt{\alpha_{\mu}}\, \mathbb{D}(x,\mathring{\boldsymbol{v}})$ и $\nu$ – произвольно малое положительное число. Полагая $\nu=\mu_1/4$ и учитывая равномерную ограниченность по $\varepsilon$ функций $\mathring{\mathbb{F}}$ в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega_{s,T})$ (оценка (2.14)), получаем требуемую оценку для слагаемого $\sqrt{\alpha_{\mu}}\,\mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}})$
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega_f(t)}\alpha_{\mu}|\mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}})|^2\, dx \leqslant M(M_0)|\nabla\,p^0|^{(0)}_{\Omega}=M_{p}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Оценка вектора скорости следует из неравенства Пуанкаре (см. [36; ч. 1, § 116]) для функции $\widetilde{\boldsymbol{v}}(\boldsymbol{k}\varepsilon+ \varepsilon\boldsymbol{y},t)=\boldsymbol{u}^{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{y},t)= \overline{\boldsymbol{u}}^{\,\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{z},t)$, равной нулю на границе области $\Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)$ в кубе $\varepsilon Y$ с ребром $\varepsilon$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\text{если }\int_{Y}|\boldsymbol{u}^{\boldsymbol{k}}|^2\, dy\leqslant M^2\int_{Y}|\mathbb{D}(y,\boldsymbol{u}^{\boldsymbol{k}})|^2\, dy, \\ &\qquad\text{то }\int_{\varepsilon Y}|\overline{\boldsymbol{u}}^{\,\boldsymbol{k}}|^2\, dy\leqslant \varepsilon^2M^2\int_{\varepsilon Y} |\mathbb{D}(z,\overline{\boldsymbol{u}}^{\,\boldsymbol{k}})|^2 \, dy \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянной $M$, не зависящей от $\varepsilon$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)} |\widetilde{\boldsymbol{v}}|^2\, dy &\leqslant \varepsilon^2M^2\int_{\Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)} |\mathbb{D}(y,\widetilde{\boldsymbol{v}})^2|\, dy \\ &=M^2\int_{\Omega_f^{\boldsymbol{k},\varepsilon}(r)} \alpha_{\mu}|\mathbb{D}(y,\widetilde{\boldsymbol{v}})^2|\, dy \leqslant M^2(M_0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что гарантирует оценку вектора скорости. Для доказательства ограниченности давления $\widetilde{p}(\boldsymbol{x},t)$ в пространстве $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ представим интегральное тождество (4.2) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, l(\boldsymbol{\varphi}) &\equiv\iint_{\Omega_T}\widetilde{p}\, \nabla\cdot\boldsymbol{\varphi}\,dx\, dt \notag \\ &=\iint_{\Omega_T}\nabla\cdot\sqrt{\alpha_{\mu}} \bigl((\mathbb{F}-\mathring{\mathbb{F}})- p^0\,\mathbb{I}\bigr)\cdot\boldsymbol{\varphi}\,dx\, dt \equiv\langle\boldsymbol{f},\boldsymbol{\varphi}\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \boldsymbol{f}=\nabla\cdot\sqrt{\alpha_{\mu}}\bigl((\mathbb{F}-\mathring{\mathbb{F}})- p^0\,\mathbb{I}\bigr),\qquad \mathbb{F}=\chi^{\varepsilon}\sqrt{\alpha_{\mu}}\, \mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}}),\quad \mathbb{F},\mathring{\mathbb{F}\,}\in \mathbb{L}_2(\Omega_T), \\ \boldsymbol{f}\in \mathbb{H}^{-1},\qquad \mathbb{H}= \mathring{\mathbb{W}}^1_2(\Omega_T),\qquad \mathbb{H}^{-1}=\mathbb{L}_2\bigl((0,T); \mathring{\mathbb{W}}^{-1}_2(\Omega)\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\boldsymbol{f}\|_{\mathbb{H}^{-1}} &=\sup_{\boldsymbol{\varphi}\in\mathbb{H}} \frac{\bigl|\iint_{\Omega_T}\sqrt{\alpha_{\mu}}\, ((\mathbb{F}-\mathring{\mathbb{F}\,})-p^0\,\mathbb{I}): \mathbb{D}(x,\boldsymbol{\varphi})\,dx\, dt\bigr|} {\|\mathbb{D}(x,\boldsymbol{\varphi})\|_{2,\Omega_T}} \notag \\ &\leqslant\bigl\|\sqrt{\alpha_{\mu}}\bigl((\mathbb{F}-\mathring{\mathbb{F}}) -p^0\,\mathbb{I}\bigr)\bigr\|_{2,\Omega_T} \leqslant M_{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Равенство (6.2) и оценка (6.3) означают, что линейный функционал ограничен (см. [20; гл. IV, § 1]) и его норма не превосходит величины $M_{p}$, что равносильно оценке (5.2) для давления. Лемма доказана. 6.2. Априорные оценки обобщенных решений задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$Лемма 6.2. Задача диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ имеет единственное обобщенное решение, для которого справедливы оценки (5.3)–(5.5). Доказательство. Для доказательства леммы воспользуемся теоремой 2.3 о неподвижной точке. Пусть $\mathfrak{N}=\{u\in \mathbb{L}_2(\Omega_{f,T}(r))\colon \|c\|_{2,\Omega_{f,T}(r)}\leqslant M(M_0)\}$. Легко видеть, что это множество является замкнутым в метрике пространства $\mathbb{V}_2(\Omega_{f,T}(r))$. Определим оператор $s^{\tau}\,{=}\,\boldsymbol{\Psi}^{\tau}(u)$ следующим образом: каждой функции $u\,{\in}\,\mathfrak{N}$ ставится в соответствие решение $s^{\tau}$ модифицированной задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}(r)$, в которой функция $\psi(c)$ заменена на функцию $\tau\psi(u)$. Назовем эту линейную задачу задачей $\mathbb{B}^{\tau}(r,u)$. По построению решение $s^{\tau}$ задачи $\mathbb{B}^{\tau}(r,u)$ удовлетворяет интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega_f(t_0)}s^{\tau}(\boldsymbol{x},t_0)\xi(\boldsymbol{x},t_0)\, dx- \int_{\Omega(0)} s^{\tau}(\boldsymbol{x},0)\xi(\boldsymbol{x},0)\, dx \notag \\ &\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}\biggl(-s^{\tau}\, \frac{\partial \xi}{\partial t} +\nabla\xi\cdot\bigl(d_0\,\nabla\,s^{\tau}- \tau\widetilde{\boldsymbol{v}}\psi(u)\bigr) \biggr) \,dx\,dt=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
справедливого для всех $t_0$, $0\leqslant t_0\leqslant T$, и для всех гладких функций $\xi$, равных нулю на границе $S^1\cup S^2$ при $t\geqslant 0$. Линейная задача $\mathbb{B}^{\tau}(r,u)$ имеет единственное обобщенное решение $s^{\tau}$ в пространстве $\mathbb{V}_2(\Omega_{f,T}(r))$, и для ее решений справедливы оценки (5.3) и (5.4). В силу ее простоты нам не удалось найти публикации с доказательством сформулированного утверждения, но ее разрешимость достаточно просто доказать, используя метод Галёркина и методы, развитые в монографии [25]. Оценки (5.3) и (5.4) для $s^{\tau}$ и теорема 2.2 показывают, что оператор $\boldsymbol{\Psi}^{\tau}(u)$ является вполне непрерывным и отображает множество $\mathfrak{N}$ в себя. При $\tau=0$ задача $\mathbb{B}^0(r,u)$ имеет решение $s^0$. Следовательно, оператор $\boldsymbol{\Psi}^{\tau}(u)$ имеет по крайней мере одну неподвижную точку $s^1=c$, которая является обобщенным решением модифицированной задачи $\mathbb{B}^1(r,c)$. Вот теперь мы можем доказать оценку (5.5) для решений $c$ модифицированной задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}(r)$. Положим в тождестве (4.6) $c=u+c^*$ и $\xi=u^+=\max\{u,0\}$. По определению $u^+\geqslant 0$, $u^+u=|u^+|^2$, $\nabla u\cdot\nabla u^+=|\nabla u^+|^2$, $u^+=0$ на границе $S^1\cup S^2$ и $(\partial u^+/\partial t)u=(\partial u/\partial t)u^+$. Учитывая формулы (4.5), приходим к цепочке равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\int_{\Omega_f(t_0)}\bigl(c^*+u(\boldsymbol{x},t_0)\bigr) u^+(\boldsymbol{x},t_0)\, dx=\int_{\Omega_f(t_0)}\bigl(c^*u^+(\boldsymbol{x},t_0)+|u(\boldsymbol{x},t_0)|^2\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}(u+c^*)\, \frac{\partial u^+}{\partial t}\, dx\, dt-I_1+I_2 \\ &\qquad=\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}\frac{\partial }{\partial t}\biggl(c^*u^++ \frac{1}{2}\,|u^+|^2\biggr)\, dx\, dt+I_1-I_2 \\ &\qquad=\int_{\Omega_f(t_0)}\biggl(c^*u^+(\boldsymbol{x},t_0)+ \frac{1}{2}\,|u^+(\boldsymbol{x},t_0)|^2\biggr)\, dx +I_{\Gamma}+I_1-I_2, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, I_1 &=d_0\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}\nabla u^+\cdot\nabla u\,dx\, dt= d_0\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}|\nabla u^+|^2\,dx\,dt, \\ I_2 &=\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}\nabla u^+\cdot \widetilde{\boldsymbol{v}}\psi(u^++c^*)\, dx\, dt, \\ I_{\Gamma} &=\int_0^{t_0}\int_{\Gamma(t)}\biggl(c^*u^++ \frac{1}{2}|u^+|^2\biggr) D^{\varepsilon}_{N}\sin\varphi\,d \sigma\, dt. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $D^{\varepsilon}_{N}\sin\varphi\geqslant 0$, то окончательно получим неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\int_{\Omega_f(t_0)}|u^+(\boldsymbol{x},t_0)|^2\, dx \leqslant -\int_0^{t_0}\int_{\Omega_f(t)}\nabla u^+\cdot\widetilde{\boldsymbol{v}}\psi(u+c^*)\, dx\, dt,
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
из которого следует, что $u^+(\boldsymbol{x},t)=0$ почти всюду в $\Omega_{f,T}$. В самом деле, в противном случае на множестве $Q_{u}$, где $u>0$ (или где $c>c^*$), левая часть неравенства (6.6) строго положительная, тогда как правая часть этого неравенства равна нулю. То есть $c\leqslant c^*$. Случай $c\geqslant 0$ рассматривается аналогично. Оценки (5.5) для решения модифицированной задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ показывают, что в тождестве (4.6), $\psi(s)=s+\theta/\delta$, эта задача совпадает с задачей диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$, и для продолженных функций $\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}$ и $\widetilde{c}^{\,\varepsilon}$ выполнено тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega}\chi\biggl(r,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) \widetilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t_0)\chi\biggl(r(\boldsymbol{x},t_0), \frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr)\, dx- \int_{\Omega}\chi\biggl(r(\boldsymbol{x},0), \frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) c^0(\boldsymbol{x})\xi(\boldsymbol{x},0)\, dx \notag \\ &\qquad+\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\chi\biggl(r,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon}\biggr) \biggl(-\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\, \frac{\partial \xi}{\partial \tau}+ \nabla\xi\cdot\biggl(d_0\nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}- \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\biggl(\widetilde{c}^{\,\varepsilon} +\frac{\theta}{\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\, dx\, d\tau=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
справедливое для всех гладких функций $\xi$, равных нулю на границе $S^1\cup S^2$ области $\Omega$ при $t>0$. Лемма 6.2 доказана. Замечание 6.1. Тождество (6.7), в частности, означает, что $\partial\widetilde{c}^{\,\varepsilon}/\partial t\in \mathbb{L}_2\bigl((0,T);\mathbb{W}^{-1}_2(\Omega)\bigr)$ и § 7. Доказательство теоремы 5.17.1. Усреднение: выбор сходящихся подпоследовательностейОценки (5.2)–(5.4) позволяют выбрать сходящиеся при $\varepsilon\to 0$ подпоследовательности (для простоты изложения оставим прежние индексы):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\rightharpoonup \boldsymbol{v},\qquad \widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\xrightarrow{\text{t.-s.}}\boldsymbol{V},\qquad (1-\chi^{\varepsilon})\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}\quad \text{сходится сильно в }\mathbb{L}_2(\Omega_T)\text{ к нулю}; \notag \\ \varepsilon\chi^{\varepsilon}\mathbb{D}(x,\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}) \xrightarrow{\text{t.-s.}}\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}),\qquad \overline{p}^{\,\varepsilon}\rightharpoonup p,\qquad \widetilde{p}^{\,\varepsilon}\xrightarrow{\text{t.-s.}}P; \notag \\ \sqrt{\alpha_{\mu}}\,\mathring{\mathbb{F}}^{\varepsilon}\quad\text{сходится сильно в } \mathbb{L}_2(\Omega_T)\text{ к нулю}; \notag \\ \begin{gathered} \, \mathring{\boldsymbol{v}}^{\varepsilon}\quad \text{сходится сильно в } \mathbb{L}_2(\Omega_T)\text{ к нулю}; \\ \widetilde{c}^{\,\varepsilon}\quad\text{сходится сильно в } \mathbb{L}_2(\Omega_T)\text{ к } c, \qquad \chi^{\varepsilon}\widetilde{c}^{\,\varepsilon} \xrightarrow{\text{t.-s.}}mc; \\ \nabla\widetilde{c}^{\,\varepsilon}\xrightarrow{\text{t.-s.}} \nabla_{x}c+\nabla_{y}C, \end{gathered} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где функции $\boldsymbol{V}=\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$, $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ и $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ являются $1$-периодическими функциями по переменной $\boldsymbol{y}$,
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{v},p\in\mathbb{L}_2(\Omega_T),\qquad c\in\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T),\qquad P,\boldsymbol{V},C,\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}),\qquad \nabla_{y}\,C\in\mathbb{L}_2(,\Omega_T\times Y)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\boldsymbol{v}\|_{2,\Omega_T}+\|p\|_{2,\Omega_T}\leqslant M_{p}, \\ \|P\|_{2,Y\times\Omega_T}+\|\boldsymbol{V}\|_{2,Y\times\Omega_T}+ \|\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V})\|_{2,Y\times\Omega_T}\leqslant M_{p}, \\ 0\leqslant c(\boldsymbol{x},t)\leqslant c^*,\qquad (\boldsymbol{x},t)\in \Omega_T, \\ \|\nabla c\|_{2,\Omega_T}+\|\nabla C\|_{2,Y\times\Omega_T} \leqslant M_{c}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
7.2. Усреднение динамической задачи $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ Лемма 7.1. В условиях теоремы 5.1 в области $\Omega_T$ выполнено макроскопическое уравнение неразрывности Доказательство. Предельный переход при $\varepsilon\to 0$ в тождестве (4.3) с гладкими пробными функциями $\psi$, равными нулю на границе $S^1\cup S^2$ области $\Omega$ при $t>0$, доставляет нам интегральное тождество
$$
\begin{equation}
0=\iint_{\Omega_T}\biggl(-\delta m\,\frac{\partial\psi}{\partial t} +\boldsymbol{v}\cdot\nabla\psi\biggr)\,dx\, dt= \iint_{\Omega_T}\biggl(\delta\,\frac{\partial m}{\partial t}\,\psi+\boldsymbol{v}\cdot\nabla\psi\biggr)\,dxdt.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Тождество (7.4) означает, что и дифференциальное уравнение (7.3) и первое краевое условие в (4.11) выполнены в обычном смысле. Лемма доказана. Лемма 7.2. В условиях теоремы 5.1 предельные функции $\boldsymbol{v}$ и $p$ ограничены соответственно в пространствах $\mathbb{L}_2(\Omega_T)$ и $\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$: Симметричная строго положительно определенная матрица $\mathbb{C}^v(r)$ задается формулами (4.14). Доказательство. В первую очередь покажем, что
$$
\begin{equation}
P(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})=p(\boldsymbol{x},t) \chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y}).
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Положим для этого в тождестве (4.2) $\boldsymbol{\varphi}=\varepsilon\varphi_0(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{\varphi}_1 (\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, где $\varphi_0(\boldsymbol{x},t)$ – произвольная гладкая в $\Omega_T$ функция, равная нулю на границе области $\Omega_T$, и $\boldsymbol{\varphi}_1(\boldsymbol{y})$ – произвольная гладкая в $Y$ функция. Переходя к пределу при $\varepsilon \to 0$, получим
$$
\begin{equation*}
\iint_{\Omega_T}\varphi_0(\boldsymbol{x},t) \biggl(\int_{Y}P(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})\nabla_{y} \cdot\boldsymbol{\varphi}_1(\boldsymbol{y})\, dy\biggr)\, dx\, dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно равенству (7.7). Достаточно просто выводятся уравнение неразрывности и краевое условие для вектора скорости $\boldsymbol{V}$:
$$
\begin{equation}
\nabla_{y}\cdot\boldsymbol{V}=0,\qquad \boldsymbol{y}\in Y_f(r),\quad \boldsymbol{V}=0, \quad |\boldsymbol{y}|=r,\quad 0<t<T.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Для вывода уравнения неразрывности рассмотрим в качестве пробных функций $\psi$ в тождестве (4.3) функции вида $\psi=\varepsilon\psi_0(\boldsymbol{x},t)\psi_1(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$ и перейдем к пределу при $\varepsilon\to 0$. Для вывода краевого условия в (7.8) совершим двухмасштабный предельный переход в равенстве $(1-\chi^{\varepsilon})\widetilde{\boldsymbol{v}}^{\,\varepsilon}=0$, который приводит к соотношению $(1- \chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y}))\boldsymbol{V} (\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})=0$. Далее воспользуемся гладкостью функции $\boldsymbol{V}$: $\boldsymbol{V}\in \mathbb{W}^{1,0}_2(Y)$, которая диктует краевое условие в (7.8). Предельный переход в тождестве (4.2) доставляет нам усредненное динамическое уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^{T}\int_{\Omega}\biggl(\int_{Y_f(r)}\bigl(\mu_1 \mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}):\mathbb{D}(y,\boldsymbol{\varphi})-p\bigr) \nabla\cdot\boldsymbol{\varphi}\,dy\biggr)\, dx\, dt \notag \\ &\qquad=-\int_0^{T}\int_{\Omega}\nabla p^0\cdot\boldsymbol{\varphi}\,dx\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Положим в (7.9) $\boldsymbol{\varphi}=\varphi_0(\boldsymbol{x},t) \boldsymbol{\varphi}_i(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, где соленоидальные функции $\boldsymbol{\varphi}_i(\boldsymbol{y})$ равняются нулю на границе $\gamma(r)$ жидкой компоненты $Y_f(r)$ области $Y$, $\boldsymbol{\varphi}_i\in \mathbb{W}^1_2(Y_f(r))$, $\operatorname{supp}\boldsymbol{\varphi}_i\in Y_f(r)$, $\varphi_i(\boldsymbol{x},t)=0$ на границе $S^0$ области $\Omega$ при $t>0$, $\operatorname{supp}\boldsymbol{\varphi}_i\subset Y_f(r)$ и $\langle\boldsymbol{\varphi}_i\rangle_{Y_f}=\boldsymbol{e}_i$, где $\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$ – ортонормированный базис в $\mathbb{R}^3$. Такой выбор возможен в силу леммы 2.1. Имеем
$$
\begin{equation}
\iint_{\Omega_T}\biggl(\varphi_0 a_i-p\, \frac{\partial\varphi_0}{\partial x_i}\biggr)\, dx\, dt= -\int_0^{T}\int_{\Omega}\nabla p^0\,dx\, dt,
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
где $a_i=\int_{Y_f}\mu_1\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}): \mathbb{D}(y,\boldsymbol{\varphi}_{1,i})\, dy \in \mathbb{L}_2(\Omega_T)$. Следовательно, $ a_i=-\partial p/\partial x_i$ и
$$
\begin{equation*}
\|\nabla p\|_{2,\Omega_T}\leqslant M\sum_{i=1}^3 \biggl\|\int_{Y_f}\mu_1\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}): \mathbb{D}(y,\boldsymbol{\varphi}_{1,i})\, dy\biggr\|_{2,\Omega_T} \leqslant M_{p},
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает оценку (7.5) для давления. Поскольку в тождестве (4.2) функции $\varphi_0$ равны нулю только на части $S^0$ границы $S$ при $t>0$, то $p$ обязано обращаться в ноль на части $S^1\cup S^2$ границы $S$ при $t>0$, что доказывает второе краевое условие в (4.11) для давления. Принадлежность давления пространству $\mathbb{W}^{1,0}_2(\Omega_T)$ позволяет переписать соотношения (7.8) в виде системы уравнений Стокса
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_1\Delta_{y}\boldsymbol{V}-\nabla_{y}\Pi= \nabla(p+p^0),\quad \nabla_{y}\cdot\boldsymbol{V}=0,\qquad \boldsymbol{y}\in Y_f, \\ \boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})=0,\qquad \boldsymbol{y}\in\gamma(r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение последней дается явной формулой
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{V}=-\frac{1}{\mu_1}\sum_{i=1}^3(\boldsymbol{V}^i \otimes\boldsymbol{e}_i)\cdot\nabla(p+p^0),
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $\boldsymbol{V}^i(\boldsymbol{y})$ определены формулами (4.14). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{v}=\langle\boldsymbol{V}\rangle_{Y_f}= -\frac{1}{\mu_1} \biggl\langle\sum_{i=1}^3(\boldsymbol{V}^i\otimes \boldsymbol{e}_i)\biggr\rangle_{Y_f}\cdot \nabla(p+p^0) =-\frac{1}{\mu_1}\,\mathbb{C}^v\cdot\nabla(p+p^0),
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство леммы 7.2. Следствие 7.1. Предельные функции $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)$ и $p(\boldsymbol{x},t)$ определены единственным образом. Доказательство последнего утверждения следует из оценки (7.2) для разности двух возможных решений системы уравнений фильтрации Дарси (7.3), (7.6), дополненной краевыми условиями (4.11). 7.3. Усреднение задачи диффузии–конвекции $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ Лемма 7.3. В условиях теоремы 5.1 у задачи диффузии–конвекции $\mathbb{H}(r)$ существует единственное обобщенное решение $c\in \mathbb{V}_2(\Omega_T)$ такое, что Симметричная строго положительно определенная матрица $\mathbb{C}^c(r)$ задается формулами (4.14). Для доказательства тождества (7.12) достаточно перейти к пределу в тождестве (4.4) при $\varepsilon \to 0$. Оценки (7.11) следуют из оценок (5.3) и (5.5). Свойства матриц $\mathbb{C}^v$ и $\mathbb{C}^c$ были исследованы в [15] для случая фиксированной структуры порового пространства. В нашей ситуации эти матрицы будут только положительно определенными для всех $r(\boldsymbol{x},t)>0$. Поэтому необходимый нам результат равномерной оценки снизу собственных значений матриц $\mathbb{C}^v$ и $\mathbb{C}^c$, справедливый для всех $r(\boldsymbol{x},t)>0$, придется доказывать дополнительно. Лемма 7.4. В условиях теоремы 5.1 матрицы $\mathbb{C}^v(r)$ и $\mathbb{C}^c(r)$ являются бесконечно дифференцируемыми по параметру $r$, симметричными и строго положительно определенными: с положительной постоянной $\nu_0$ для всех $\boldsymbol{\zeta}\in \mathbb{R}^3$, $|\boldsymbol{\zeta}|=1$. Доказательство. В первую очередь рассмотрим матрицу $\mathbb{C}^v(r)$, докажем разрешимость краевой задачи (4.14) при $r(\boldsymbol{x},t)=0$ и изучим свойства ее решений $\boldsymbol{V}^i(r;\boldsymbol{y})$ для всех $r(\boldsymbol{x},t)\geqslant 0$. Напомним, что матрица $\mathbb{C}^v(r)$ определяется решениями $\boldsymbol{V}^i(r;\boldsymbol{y})$ краевой задачи (4.14)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta_{y}\boldsymbol{V}^i-\nabla_{y}\Pi^i=-\boldsymbol{e}^i,\quad \nabla_{y}\cdot\boldsymbol{V}^i=0,\qquad |\boldsymbol{y}|>r, \\ \boldsymbol{V}^i(\boldsymbol{y})=0,\qquad |\boldsymbol{y}|=r,\qquad \int_{Y_f}\Pi^i(\boldsymbol{y})\, dy=0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
как
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}^v(r)=2\sum_{i=1}^3\langle\boldsymbol{V}^i\rangle_{Y_f} \otimes\boldsymbol{e}^i.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что элементы матрицы $\mathbb{C}^v(r)$ бесконечно дифференцируемы по параметру $r$. Умножая уравнение Стокса в (7.14) на $\boldsymbol{V}^j$ и интегрируя по частям по области $Y_f(r)$, получаем
$$
\begin{equation}
\langle\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^j): \mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i)\rangle_{Y_f}= \langle\boldsymbol{V}^j\cdot\boldsymbol{e}^i\rangle_{Y_f},\qquad i,j=1,2,3.
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Соотношения (7.15) показывают, что матрица $\mathbb{C}^v(r)$ симметричная. При $i=j$ из этих равенств и неравенства Пуанкаре–Фридрихса (см. [36; том 4, гл. III, § 116]) следует, что для произвольного положительного $\nu$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{Y_f(r)}|\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i)|^2\, dy= \biggl|\biggl(\int_{Y_f(r)}\boldsymbol{V}^i_{r}\, dy\biggr)\cdot \boldsymbol{e}^i\biggr| \\ &\qquad\leqslant\nu\int_{Y_f(r)}|\boldsymbol{V}^i|^2\, dy+ \frac{1}{4\nu}\,m_{r}\leqslant \nu M_3\int_{Y_f(r)}|\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i)|^2\, dy+ \frac{1}{4\nu}\,m(r), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $M_3$ в неравенстве Пуанкаре–Фридрихса не зависит от $r$. Выбирая $\nu M_3=1/2$, получаем
$$
\begin{equation}
\int_{Y_f(r)}\bigl(|\boldsymbol{V}^i|^2+ |\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i)|^2\bigr)\, dy \leqslant M_3 m(r).
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Функции $\boldsymbol{V}^i$ и $\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i)$ непрерывны по параметру $r$ и
$$
\begin{equation*}
\lim_{r\to 0}\boldsymbol{V}^i=\boldsymbol{V}^i_0,\qquad \lim_{r\to 0}\mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i)= \mathbb{D}(y,\boldsymbol{V}^i_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta_{y}\boldsymbol{V}_0^i-\nabla_{y}\Pi_0^i=-\boldsymbol{e}_i,\quad \nabla_{y}\cdot\boldsymbol{V}_0^i=0,\qquad |\boldsymbol{y}|>0, \\ \boldsymbol{V}_0^i(r;\boldsymbol{0})=0,\qquad \int_{Y}\Pi^i_0(r;\boldsymbol{y})\, dy=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Рассмотрим произвольные постоянные векторы $\boldsymbol{\zeta}=(\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3)$ и $\boldsymbol{\eta}=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$ из $\mathbb{R}^3$, нормы которых равны единице. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \boldsymbol{z}_{\zeta}(\boldsymbol{y})= \sum_{i=1}^3\zeta_i\boldsymbol{V}^i(\boldsymbol{y}), \qquad \boldsymbol{z}_{\eta}(\boldsymbol{y})= \sum_{j=1}^3\eta_j\boldsymbol{V}^j(\boldsymbol{y}), \\ f(\boldsymbol{\eta})=\bigl(\mathbb{C}^v(r)\cdot\boldsymbol{\eta} \bigr)\cdot\boldsymbol{\eta}= \int_{Y_f(r)}|\mathbb{D}(y,\boldsymbol{z}_{\eta})|^2\, dy. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Непрерывная функция $f(\boldsymbol{\eta})$ достигает своего минимума $f^0=f(\boldsymbol{\eta^0})$ на сфере $|\boldsymbol{\eta}|=1$. Допустим, что $f^0=0$. Тогда $\mathbb{D}(y,\boldsymbol{z}_{\eta^0})=0$, что возможно, если только $\boldsymbol{z}_{\eta^0}$ есть линейная функция переменой $\boldsymbol{y}$. С другой стороны, из краевой задачи (7.17) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_{y}\boldsymbol{z}_{\eta^0}-\nabla_{y}\,\Pi_{\eta^0}= -\boldsymbol{\eta^0},\quad \nabla_{y}\cdot\boldsymbol{z}_{\eta^0}=0,\qquad |\boldsymbol{y}|>0, \\ \boldsymbol{z}_{\eta^0}(\boldsymbol{0})=0,\qquad \int_{Y}\Pi_{\eta^0}(\boldsymbol{y})\, dy=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда $\Pi_{\eta^0}=\boldsymbol{\eta}^0\cdot\boldsymbol{y}$ во всем кубе $Y$. Так как функция $\Pi_{\eta^0}$ является периодической, такое возможно, только если $\boldsymbol{\eta^0}=0$. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Выведем теперь формулы (4.14) для функций $C^i(\boldsymbol{y})$. Вначале рассмотрим предельное тождество, получающееся из тождества (4.4) при $\varepsilon \to 0$, когда в качестве пробных функций выбраны функции $\xi=\xi(\boldsymbol{x},t)$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0 &=\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\biggl(-mc\,\frac{\partial\xi}{\partial t}+d_0 \nabla\xi\cdot\biggl(\nabla c+\int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C \,dy- \boldsymbol{v}\biggl(c+\frac{\theta}{\delta}\biggr)\biggr)\biggr)\, dx\, dt \notag \\ &=\iint_{\Omega_T}\biggl(-mc\,\frac{\partial\xi}{\partial t}+d_0\nabla\xi \cdot\biggl(\nabla c +\int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C\,dy +\boldsymbol{f}\biggr)\biggr)\, dx\, dt \notag \\ &=\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\biggl(-mc\,\frac{\partial\xi}{\partial t}+d_0 \nabla\xi\cdot\bigl(\mathbb{C}^c(r)\cdot\nabla c+\boldsymbol{f}\bigr)\biggr)\, dx\, dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_0\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},t)=- \biggl(\boldsymbol{v}+\frac{\theta}{\delta}\biggr) =(f_1,f_2,f_3), \\ \mathbb{C}^c(r)=\mathbb{I}+\int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C\,dy= \mathbb{I}+\mathbb{C}_0^c(r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее в качестве пробных функций выберем функции $\xi=\varepsilon\xi_0(\boldsymbol{x},t) \xi_1(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$. Предельный переход при $\varepsilon \to 0$ доставляет нам тождество
$$
\begin{equation*}
\int_0^{t_0}\int_{\Omega}\xi_0\biggl(\int_{Y_f}\nabla_{y}\xi_1\cdot (\nabla_{y} C+\boldsymbol{f})dy\biggr)\, dx\, dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\nabla_{y}\cdot(\nabla_{y}C+\boldsymbol{f})=0,\quad \boldsymbol{y}\in Y_f,\qquad \frac{\partial C}{\partial n}+ \boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{n}=0,\quad |\boldsymbol{y}|=r,
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
где $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{y}/r$. Как обычно, воспользуемся представлением
$$
\begin{equation*}
C(r;\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})= \sum_{i=1}^3C^i(r;\boldsymbol{y}) f_i(\boldsymbol{x},t).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\nabla_{y}\,\cdot(\nabla_{y}C^i+\boldsymbol{e}^i)=0,\quad \boldsymbol{y}\in Y_f,\qquad \frac{\partial C^i}{\partial n}+ \boldsymbol{e}^i\cdot\boldsymbol{n}=0, \quad |\boldsymbol{y}|=r.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Умножая дифференциальное уравнение в (7.20) для $C^i$ на $C^j$ и интегрируя по частям по области $Y_f(r)$, приходим к соотношениям
$$
\begin{equation}
\int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C^i\cdot\nabla_{y}\,C^j\,dy+ \int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C^j\cdot\boldsymbol{e}^i\,dy=0,\qquad i,j,=1,2,3.
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\int_{Y_f(r)}|\nabla_{y}C^i|^2\,dy+ \int_{Y_f(r)}\nabla_{y} C^i\cdot\boldsymbol{e}^i\,dy=0, \qquad i,=1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует априорная оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{i=1}^3\int_{Y_f(r)}|\nabla_{y}C^i|^2\,dy= \biggl|\sum_{i=1}^3\int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C^i\cdot\boldsymbol{e}^i\,dy\biggr|\leqslant \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\int_{Y_f(r)}|\nabla_{y}C^i|^2\,dy+\frac{3}{2}m(r), \\ \sum_{i=1}^3\int_{Y_f(r)}|\nabla_{y}C^i|^2\,dy \leqslant M_4m(r), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянной $M_4$, не зависящей от выбора функции $r\in \mathfrak{M}_T$, и однозначная разрешимость краевой задачи (7.20) в классе $\mathbb{W}^1_2(Y_f(r))$ для всех $r>0$. Кроме того, из (7.20) следуют равенства
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathbb{C}_0^c(r)\cdot\boldsymbol{e}^i\bigr)\cdot\boldsymbol{e}^j+ \int_{Y_f(r)}\nabla_{y}C^i\cdot\nabla_{y}\,C^j\,dy=0,\qquad i,j,=1,2,3,
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
что означает симметричность матрицы $\mathbb{C}_0^c(r)$ и, следовательно, матрицы $\mathbb{C}^c(r)$. Строгая положительная определенность матрицы $\mathbb{C}^c(r)$ доказывается полностью аналогично строгой положительной определенности матрицы $\mathbb{C}^v(r)$, что завершает доказательство леммы 7.4. Следствие 7.2. Всегда можно считать, что матрицы $\mathbb{C}^v(r)$ и $\mathbb{C}^c(r)$ диагональные. Для доказательства этого факта достаточно сослаться на [38; гл. 5, § 6, теорема 5.28]) о приведении двух симметричных матриц, одна из которых положительно определенная, к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования системы координат. При этом положительно определенная матрица приводится к единичной матрице. Всюду ниже будем считать, что наша декартова система координат $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}$ является ортонормированной системой собственных векторов матрицы $\mathbb{C}^v(r)= \mathbb{I}$ и $\mathbb{C}^c(r)=\sum_{i=1}^3c^i(r)\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_i$. Более того, в силу симметричности множества $Y_f$ относительно ортогональных преобразований
$$
\begin{equation*}
c^1(r)=c^2(r)=c^3(r)=\frac{1}{d_0}s(r)\geqslant s_0=\mathrm{const}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 7.3. Решение $\{\boldsymbol{v},p,c\}$ задачи $\mathbb{H}(r)$ удовлетворяет следующей начально-краевой задаче: Начально-краевая задача для предельной концентрации $c$ понимается в смысле интегрального тождества (4.12), дополненного краевым условием (7.24) на границе $S_T^1$. 7.4. Дифференциальные свойства решений задачи $\mathbb{H}(r)$Лемма 7.5. В условиях теоремы 5.1 решения $\boldsymbol{v}$ и $\nabla p$ задачи (7.23) принадлежат пространству $\mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2}(\overline{\Omega}_T)$ и для них справедливы оценки Доказательство. Функция $p(\boldsymbol{x},t)$ удовлетворяет в области $\Omega$ при $t>0$ следующей краевой задаче:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta p=f,\qquad f=-\mu_1\delta\,\frac{\partial m}{\partial t}, \\ p(\boldsymbol{x},t)=0,\quad\boldsymbol{x}\in S^1\cup S^2,\quad t>0,\qquad \frac{\partial p}{\partial N}(\boldsymbol{x},t)=0,\quad \boldsymbol{x}\in S^0,\quad t>0; \\ f(\,{\cdot}\,,t)\in \mathbb{H}^{(1+\gamma)/2}[0,T]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
Пусть $\widetilde{p}(\boldsymbol{x},t)$ есть продолжение $p(\boldsymbol{x},t)$ через границу $S=\partial\Omega$ в область $Q=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^3\colon |x_i|<1,\,i=1,2,3\}$ по нормали к границе $S$ четным или нечетным образом. Функция $\widetilde{p}$ в каждом единичном кубе из $Q\setminus \Omega$ совпадает с переносом функции $\pm p$ в этот куб. При этом продолжение $\widetilde{p}(\boldsymbol{x},t)$ удовлетворяет в области $Q$ при $t>0$ уравнению Пуассона На границе $S_0^0=\{x_2=\pm 1\}\cup\{x_3=\pm 1\}$ области $Q$ и на границе $S_0^i=\{x_1=(\pm 1)^i\}$ области $Q$ Для решений краевой задачи (7.27)–(7.29) в силу краевого условия (7.29) и неравенства
$$
\begin{equation*}
\max_{0<t<T}\|\widetilde{f}(\,{\cdot}\,,t)\|_{q,Q}\leqslant M(M_{p})
\end{equation*}
\notag
$$
справедлива внутренняя оценка (см. [37; гл. 9, § 11, лемма 9.12]) где $q>1$ любое. Пусть $\gamma=(q-3)/3$. Тогда
$$
\begin{equation}
|\nabla\widetilde{p}\,|^{(0)}_{\Omega_T}+ \langle\nabla\widetilde{p}\,\rangle_{x,\Omega_T}^{(\gamma)} \leqslant \max_{0<t<T} \|\nabla\widetilde{p}(\,{\cdot}\,,t)\|^{(1)}_{q,\Omega}\leqslant M(\gamma,M_{p})
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
(см. [25; гл. II, § 2, теорема 2.1]), что доказывает ограниченность градиента давления и его норму Гёльдера по пространственным переменным. Для оценки нормы Гёльдера градиента давления по времени рассмотрим разности
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{h}\widetilde{p}(\boldsymbol{x},t) &=\frac{1}{h^{\gamma/2}} \bigl(\widetilde{p}(\boldsymbol{x},t+h)- \widetilde{p}(\boldsymbol{x},t)\bigr), \\ D_{h}\widetilde{f}(\boldsymbol{x},t) &=\frac{1}{h^{\gamma/2}} \bigl(\widetilde{f}(\boldsymbol{x},t+h)-\widetilde{f}(\boldsymbol{x},t)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти конечные разности удовлетворяют уравнению Пуассона (7.27) в области $Q$ и краевым условиям (7.28) и (7.29) на границе области $Q$. Следовательно, для $D_{h}\widetilde{p}$ справедливы оценки (7.30) и (7.31):
$$
\begin{equation*}
|D_{h}\nabla\widetilde{p}(\boldsymbol{x},t)|\leqslant |D_{h}\nabla\widetilde{p}|^{(0)}_{\Omega_T}\leqslant M(q,M_{p}).
\end{equation*}
\notag
$$
Предельный переход при $h\to 0$ в последнем неравенстве доказывает оценку
$$
\begin{equation*}
\langle\nabla p\rangle^{(\gamma/2)}_{t,\Omega_T}\leqslant M(q,M_{p}),
\end{equation*}
\notag
$$
которая вместе с оценкой (7.31) и законом Дарси (7.23) завершает доказательство леммы. Лемма 7.6. В условиях теоремы 5.1 предельная функция $c(\boldsymbol{x},t)$ принадлежит пространству $\mathbb{H}^{2+\gamma,\, (2+\gamma)/2}(\overline{\Omega}_T)$ и для нее справедливы оценки Оценка (7.33) следует из оценки (5.5) после предельного перехода при $\varepsilon\to 0$. Оценка (7.32) следует из оценки (7.33) и локальных оценок классических решений уравнения (см. [25; гл. IV, § 10, теорема 10.1]). Существование классического решения задачи диффузии–конвекции $\mathbb{H}(r)$ следует из оценки (7.32) и [25; гл. IV, § 5, теоремы 5.2 и 5.3]. 7.5. Свойства операторов $\mathbb{F}^v(r)$, $\mathbb{F}^p(r)$ и $\mathbb{F}^c(r)$По построению, операторы $\mathbb{F}^v(r)$, $\mathbb{F}^p(r)$ и $\mathbb{F}^c(r)$ действуют из пространства $\mathfrak{M}_T$ в пространства $\mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2}(\overline{\Omega}_T)$, $\mathbb{H}^{\gamma,\gamma/2}(\overline{\Omega}_T)$ и $\mathbb{H}^{2+\gamma,\, (2+\gamma)/2}(\overline{\Omega}_T)$ соответственно. Справедлива следующая лемма. Лемма 7.7. В условиях теоремы 5.1 операторы $\mathbb{F}^v(r)$, $\mathbb{F}^p(r)$ и $\mathbb{F}^c(r)$ удовлетворяют условию Липшица Доказательство этого утверждения стандартно и выражает известный факт непрерывной зависимости решений линейных эллиптических и параболических уравнений от коэффициентов.
§ 8. Доказательство теоремы 5.2Легко видеть, что оператор $\mathbb{F}(r)$, определенный формулой (4.22), удовлетворяет условию Липшица. Более того, на достаточно малом интервале времени $(0,T_1)$ он является сжимающим и отображает множество $\mathfrak{M}_T$ в себя. В самом деле, пусть
$$
\begin{equation*}
R_i(\boldsymbol{x},t)=\mathbb{F}(r_i)= \int_0^tc_i(\boldsymbol{x},\tau)\, d \tau,\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_i=\mathbb{F}^c(r_i)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0\leqslant \mathbb{F}(r)(\boldsymbol{x},t)\leqslant T_1 c^*,\qquad |\mathbb{F}(r)|^{(2+\gamma)}_{\Omega_T}\leqslant T_1M(M_0), \\ |\mathbb{F}(r_1) - \mathbb{F}(r_{2)}|^{(2+\gamma)}_{\Omega_T}\leqslant T_1M(M_0)|r_1 - r_2|^{(2+\gamma)}_{\Omega_T}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть на интервале $(0,T_1)$, где
$$
\begin{equation*}
T_1<\min\biggl\{\frac{1}{2c^*},\,\frac{M(M_0)}{2}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
оператор $\mathbb{F}(r)$ является сжимающим и переводит множество $\mathfrak{M}_{T_1}$ в себя. Теорема Банаха (см. [20; гл. II, § 4, теорема 1]) гарантирует нам существование единственной неподвижной точки $r^*(\boldsymbol{x},t)$ из множества $\mathfrak{M}_{T_1}$, т. е. справедливость теоремы 5.2 на интервале времени $(0,T_1)$. Далее положим $r_1(\boldsymbol{x})=r^*(\boldsymbol{x},T_1)$ и рассмотрим задачу $\mathbb{B}^{\varepsilon}(r)$ на интервале $(T_1,T)$, где вместо функции $r_0(\boldsymbol{x})$ возьмем функцию $r_1(\boldsymbol{x})$, а вместо функции $\overline{r}(\boldsymbol{x},t)$ возьмем функцию $\overline{r}_1(\boldsymbol{x},t)=\max\{0,\,r_1(\boldsymbol{x})-r(\boldsymbol{x},t)\}$. Пусть также $\Omega_{(T_1,T)}=\Omega\times(T_1,T)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{M}_{(T_1,T)} &=\biggl\{r\in \mathbb{H}^{2+\gamma,\, (2+\gamma)/2}(\overline{\Omega}_{(T_1,T)},\, r(\boldsymbol{x},T_1)=0,\, 0\leqslant r(\boldsymbol{x},t)\leqslant\frac{1}{2}, \\ &\qquad\qquad-\theta\leqslant \frac{\partial r_1}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)\leqslant 0,\, |r_1|^{(2+\gamma)}_{\Omega_{(T_1,T)}}\leqslant M_0\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После этого, как и раннее, определим решения $\{\boldsymbol{v}_1,p_1,c_1\}$ и $\{r^*_1,\boldsymbol{v}_1,p_1,c_1\}$ задач $\mathbb{H}(r)$ и $\mathbb{H}$ соответственно на интервалах $(T_1,T)$ и $(T_1,T_2)$. Повторяя процесс, мы найдем интервалы времени $(T_{k},T_{k+1})$, $k=1,2,3,\dots$, и функцию $r^*$, равную функции $r_{k}^*$ на интервале $(T_{k},T_{k+1})$, $k=1,2,\dots$ . Очевидно, что эти функции решают задачу $\mathbb{H}$ на интервалах $(0,T_{k})$. Если $\lim_{k\to\infty} T_{k}=\infty$, то теорема доказана. Если $\lim_{k\to\infty} T_{k}=T^*<\infty$ и $r^*(\boldsymbol{x},T^*)$ отлично от нуля на некотором открытом множестве из $\overline{\Omega}$, то в силу полученных оценок решений задачи $\mathbb{H}$ мы можем вычислить пределы решений при $t\to T^*$ и далее определить решение задачи $\mathbb{H}$ на интервале $(T^*,T^*+\delta)$ с некоторым малым $\delta>0$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, процесс оборвется, только если $r^*(\boldsymbol{x},T^*)=0$ на множестве $\Omega$. При $t>T^*$ жидкость полностью заполнит область $\Omega$, и ее движение будет описываться уравнениями Стокса, что завершает доказательство теоремы 5.2. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mei22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|