| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О стандартной гипотезе для компактификаций моделей Нерона 4-мерных абелевых многообразий С. Г. Танкеев Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9135 
Реферативные базы данных:
    ВведениеПусть $H$ – обильный дивизор на гладком комплексном проективном $d$-мерном многообразии $X$. Тогда для любого натурального числа $i\leqslant d$ отображение
$$
\begin{equation*}
L^{d-i}\colon H^i(X,\mathbb{Q}) \xrightarrow{\smile\,\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\, d-i}} H^{2d-i}(X,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом согласно сильной теореме Лефшеца. Стандартная гипотеза Гротендика $B(X)$ типа Лефшеца [1] утверждает, что существует алгебраический $\mathbb{Q}$-цикл $Z$ на декартовом произведении $X\times X$, определяющий обратный алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^{2d-i}(X,\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\operatorname{cl}_{X\times X}(Z))}} H^i(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что из теоремы Лефшеца об $(1,1)$-классах следует существование алгебраического изоморфизма $H^{2d-1}(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^1(X,\mathbb{Q})$. Обозначим через $^{\mathrm{c}}\Lambda$ двойственный оператор для $L$ в классической теории Ходжа. Известно, что гипотеза $B(X)$ эквивалентна алгебраичности оператора $^{\mathrm{c}} \Lambda$ [2; предложение 2.3]. Стандартная гипотеза $B(X)$ эквивалентна совпадению численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на декартовом произведении $X\times X$ [3; (1.11)]; кроме того, согласно [4; предложение 1.7] гипотеза $B(X)$ эквивалентна полупростоте $\mathbb{Q}$-алгебры $\mathcal A(X)=\operatorname{cl}_{X\times X}(\operatorname{CH}^\ast(X\times X))\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ алгебраических самосоответствий на многообразии $X$ с билинейным законом композиции [2; п. 1.3.1]
$$
\begin{equation*}
g\circ f=\operatorname{pr}_{13\ast}(\operatorname{pr}_{12}^\ast(f)\smile \operatorname{pr}_{23}^\ast(g))
\end{equation*}
\notag
$$
и $B(X)\Rightarrow C(X)$, где стандартная гипотеза $C(X)$ типа Кюннета утверждает алгебраичность компонент Кюннета класса диагонали $\Delta_X\hookrightarrow X\times X$ [2; лемма 2.4]. Гипотеза $B(X)$ совместима с переходами к декартову произведению [2; следствие 2.5], гиперплоскому сечению [2; теорема 2.13] и специализации [2; Введение]. Наконец, она совместима с моноидальными преобразованиями вдоль гладких центров [5; теорема 4.3]. По определению $d$-мерное эллиптическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, содержащему гладкое семейство эллиптических кривых, параметризованное некоторым аффинным многообразием размерности $d- 1$. Известно, что стандартная гипотеза $B(X)$ верна для всех гладких комплексных проективных кривых, поверхностей, абелевых многообразий [6] и трехмерных многообразий размерности Кодаиры $\varkappa(X)<3$ [7] (в частности, она верна для всех комплексных эллиптических трехмерных многообразий и компактификаций минимальных моделей Нерона абелевых поверхностей над полями алгебраических функций одной переменной с полем констант $\mathbb{C}$). Кроме того, $B(X)$ выполняется для точечных схем Гильберта поверхностей [8; следствие 7.5], для гиперкэлеровых многообразий, являющихся деформациями точечных схем Гильберта $K3$-поверхностей [9], а также для расслоенного произведения $X_1\times_CX_2$ двух проективных неизотривиальных гладких семейств $\pi_k\colon X_k\to C$ ($k=1,2$) регулярных поверхностей с геометрическим родом $1$ над гладкой проективной кривой $C$ при условии, что ранги решеток трансцендентных циклов на общих геометрических слоях $X_{ks}$ ($k=1,2$) являются различными простыми нечетными числами (см. [10], [11]). Если $S$ – $K3$- или абелева поверхность, $H$ – обильное линейное расслоение на $S$ и $X$ – пространство модулей Гиезекера–Маруямы–Симпсона $H$-стабильных ранга $r$ пучков без кручения на $S$ с фиксированными классами Черна $\operatorname{c}_1$, $\operatorname{c}_2$, то стандартная гипотеза типа Лефшеца верна для $X$, если многообразие $X$ проективное [8; теорема 7.8, следствие 7.9]. Кроме того, стандартная гипотеза верна для компактификации Альтмана–Клеймана $X$ относительного якобиана семейства $\mathcal C\to\mathbb P^2$ гиперэллиптических кривых рода $2$ со слабыми вырождениями при условии, что каноническая проекция $X\to\mathbb P^2$ является лагранжевым слоением [12]. Гипотеза $B(X)$ верна для любой гладкой проективной модели расслоенного на кривые $3$-мерного комплексного проективного многообразия $X$ при условиях, что $\operatorname{End}_\mathbb{C}(\operatorname{Pic}^0(X_s))\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Z}$ для некоторого гладкого слоя $X_s$ структурного морфизма $\pi\colon X\to S$ многообразия $X$ на поверхность $S$, и ранг соответствующего отображения Кодаиры–Спенсера для гладкой части $X'\to S'$ морфизма $\pi$ равен $1$ на некотором непустом открытом подмножестве в $S'$ (если род общего слоя морфизма $\pi$ равен $2$, то условие на кольцо эндоморфизмов $\operatorname{End}_\mathbb{C}(\operatorname{Pic}^0(X_s))$ можно исключить) [13]. Наконец, стандартная гипотеза $B(X)$ верна для гладкого комплексного проективного $4$-мерного многообразия $X$, расслоенного на абелевы многообразия (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой, если кольцо эндоморфизмов $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})$ общего геометрического слоя не является порядком мнимого квадратичного поля. Это условие автоматически выполнено в случаях, когда редукция общего схемного слоя $X_\eta$ в некоторой точке кривой является полустабильной в смысле Гротендика и имеет нечетный торический ранг или общий геометрический слой не является простым абелевым многообразием [14]. Пусть $R$ – дедекиндово кольцо без делителей нуля с полем дробей $K$ и пусть $A_\eta$ – абелево многообразие над $\eta=\operatorname{Spec} K$ с полустабильными редукциями в смысле Гротендика. Как показал Кюннеман [15; п. 5.8], в этом случае существует такое конечное расширение $K'$ поля $K$, что абелево многообразие $A_\eta\otimes_K K'$ имеет (необязательно единственную) плоскую проективную регулярную модель $P'$ над целым замыканием $R'$ кольца $R$ в поле $K'$. Эта модель $P'$ имеет строго полустабильные редукции над каждой локализацией кольца $R'$ (в частности, любой специальный слой $P'_s$ является объединением гладких дивизоров кратности $1$ с нормальными пересечениями [16; п. 1.9]), причем схема $P'$ содержит минимальную модель Нерона $\mathcal A'$ многообразия $A_\eta\otimes_K K'$ в случае, когда все поля вычетов схемы $\operatorname{Spec} R'$ совершенны [16; пп. 4.1, 4.2, 4.4, 4.5, теорема 4.6]. Рассмотрим минимальную модель Нерона $\mathcal M\to C$ абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций гладкой проективной кривой $C$. После замены базы, определенной подходящим разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$, мы можем предполагать в силу цитированных выше результатов Кюннемана, что для минимальной модели Нерона $\mathcal M\to C$ существует гладкая компактификация $X$ многообразия $\mathcal M$, плоская и проективная над кривой $C$, причем выполнены следующие условия: (i) модель $X/C$ имеет строго полустабильные редукции (в частности, все слои структурного морфизма $\pi\colon X\to C$ являются объединениями гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями); (ii) многообразие $X$ содержит многообразие $\mathcal M$ как открытую плотную подсхему; (iii) ограничение $\pi|_{\mathcal M}\colon \mathcal M\to C$ совпадает со структурным морфизмом модели Нерона; (iv) связная компонента $\mathcal M^0_s$ нейтрального элемента любого слоя $\mathcal M_s$ ($s\in C$) является расширением абелева многообразия $A_s$ с помощью линейного тора размерности $r_s$ (в дальнейшем число $r_s$ называется торическим рангом); (v) $C$-групповой закон $\mathcal M^0\times_C\mathcal M^0\to \mathcal M^0$ продолжается до группового $C$-действия $\mathcal M^0\times_C X\to X$. Мы будем называть такие компактификации модели Нерона компактификациями Кюннемана. По определению абелево многообразие $\mathcal M_\eta$ имеет тривиальный след, если для любого конечного разветвленного накрытия $\widetilde{C}\to C$ схема групп $\mathcal M\times_C\widetilde{C}\to\widetilde{C}$ не имеет нетривиальной постоянной абелевой подсхемы. В настоящей статье мы докажем следующий основной результат. Теорема. Пусть $\mathcal M\to C$ – минимальная модель Нерона $4$-мерного абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ с главной поляризацией и тривиальным следом над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций гладкой проективной кривой $C$, многообразие $\mathcal M_\eta$ изоморфно произведению абсолютно простых абелевых многообразий над полем $\kappa(\eta)$, для любого простого абелева подмногообразия $I_{\overline\eta}\subset \mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)}$ размерности больше $2$ центр кольца $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,}(I_{\overline\eta})\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ не является вполне мнимым квадратичным расширением вполне вещественного числового поля ($CM$-полем) и кольцо $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,}(I_{\overline\eta})\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ не является определенной кватернионной алгеброй с делением над полем $\mathbb{Q}$. Тогда существует такое конечное разветвленное накрытие $\widetilde{C}\to C$, что для любой компактификации Кюннемана $\widetilde{X}$ минимальной модели Нерона абелева многообразия $\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\kappa(\widetilde{\eta})$ существуют алгебраические изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
H^8(\widetilde{X},\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^2(\widetilde{X},\mathbb{Q}),\qquad H^7(\widetilde{X},\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^3(\widetilde{X},\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Если, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,} (\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})=\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
все плохие редукции абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ полустабильные и имеют торический ранг $1$, для любых точек $\delta,\delta'\in C$ плохих редукций гипотеза Ходжа об алгебраических циклах верна для произведения $A_\delta\times A_{\delta'}$ абелевых многообразий $A_\delta$, $A_{\delta'}$ – факторов связных компонент нейтральных элементов специальных слоев минимальной модели Нерона по модулю торических частей, то верна стандартная гипотеза $B(\widetilde{X})$. Следствие. В рассматриваемом случае из гипотезы $B(\widetilde{X})$ следует гипотеза $D(X)$ о совпадении численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на $X$. Действительно, $B(\widetilde{X})\Rightarrow D(\widetilde{X})$ [2; следствие 2.2]. С другой стороны, справедливость гипотезы $D(\widetilde{X})$ сохраняется при моноидальных преобразованиях $5$-мерного многообразия $\widetilde{X}$ с гладкими центрами [5; следствие 2.4]. Поэтому разрешение неопределенностей рационального доминантного отображения $\widetilde{X}-\to X$ дает импликацию $D(\widetilde{X})\Rightarrow D(X)$ [3; теорема 1.5]. Замечание. Условие об алгебраичности циклов Ходжа на многообразии $A_\delta\times A_{\delta'}$ автоматически выполнено, если абелевы многообразия $A_\delta$, $A_{\delta'}$ изогенны произведениям эллиптических кривых. § 1. Представления полупростых групп Ли и редукция задачи к построению некоторых алгебраических изоморфизмов1.1.Мы можем предполагать, что $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)=\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,} (X_{\overline\eta})$, причем абелево многообразие $X_\eta$ над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций кривой $C$ является произведением абсолютно простых абелевых $\kappa(\eta)$-многообразий с главной поляризацией. Кроме того, в случае полустабильных редукций имеем: для конечного разветвленного накрытия $\widetilde{C}\to C$ связная компонента нейтрального элемента слоя модели Нерона $\widetilde{\mathcal M}\to \widetilde{C}$ над точкой $\widetilde{s}\in\widetilde{C}$, лежащей над точкой $s\in C$, изоморфна связной компоненте нейтрального элемента $\mathcal M_s^0$ слоя модели Нерона $\mathcal M\to C$ [17; следствие 3.3, следствие 3.9]; в частности, торический ранг $r_s$ и абелево многообразие $A_s$ сохраняются при замене базы $\widetilde{C}\to C$. Согласно теореме Гротендика о полустабильных редукциях абелевых многообразий можно считать, что все слои структурного морфизма $\mathcal M^0\to C$ являются расширениями абелевых многообразий с помощью линейных торов [17; теорема 3.6]. Более того, в силу [15; п. 5.8], [16; пп. 4.1, 4.2, 4.4, 4.5, теорема 4.6] можно считать, что существует компактификация Кюннемана $X$ минимальной модели Нерона $\mathcal M$, причем любой особый слой $X_\delta$ является объединением гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями, замыкание $G$ образа глобальной монодромии $\pi_1(C',s)\to\operatorname{GL}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ (ассоциированной с гладкой частью $\pi'\colon X'\to C'=C\setminus\Delta$ структурного морфизма $\pi\colon X\to C$) является связной $\mathbb{Q}$-группой, локальные монодромии (преобразования Пикара–Лефшеца) унипотентные. Можно также считать, что
$$
\begin{equation*}
\{s\in C\mid \text{слой }\mathcal M_s\text{ некомпактный}\} =\Delta := \{\delta\in C\mid \operatorname{Sing}(X_\delta)\neq\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $C'\stackrel{j}{\hookrightarrow} C$ – каноническое вложение. Рассмотрим канонические диаграммы расслоенных произведений Пусть $\iota\colon X\times_CX\hookrightarrow X\times X$ – каноническое вложение, $\sigma\colon Y\to X\times_CX$ – разрешение особенностей многообразия $X\times_CX$. Будем считать, что $\sigma$ индуцирует изоморфизм над $C'$. В частности, $Y$ можно рассматривать как гладкую проективную компактификацию расслоенного произведения $X'\times_{C'}X'$. Более того, используя теорему о существовании модели Кюннемана (см. [15; п. 5.8], [16; пп. 4.1, 4.2, 4.4, 4.5, теорема 4.6]) общего схемного слоя абелевой схемы $X'\times_{C'}X'\to C'$ (после замены базы, определенной некоторым разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$) или теорему Мамфорда о полустабильных редукциях [18; с. 53, 54] (или, наконец, метод Консани [19; § 4, § 5, лемма 5.2, замечание 5.4] разрешения особенностей расслоенного произведения $X\times_CX$), можно считать, что для всех точек $s\in C$ слой $Y_s$ – объединение гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями.1.2.Рассмотрим нормализацию $f\colon Z\to\pi^{-1}(\Delta)$ схемы $\pi^{-1}(\Delta)$. Тогда $Z$ – несвязное объединение гладких неприводимых компонент дивизора $\pi^{-1}(\Delta)$. Поскольку $f$ – разрешение особенностей замкнутой подсхемы $i_\Delta\colon \pi^{-1}(\Delta)\hookrightarrow X$, то имеется каноническая точная последовательность смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [20; следствие 8.2.8]:
$$
\begin{equation*}
H^{n-2}(Z,\mathbb{Q})\xrightarrow{(i_\Delta f)_\ast} H^n(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{\varphi_n} H^n(X',\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(i_\Delta f)_\ast$ – морфизм бистепени $(1,1)$ чистых структур Ходжа и $\varphi_n$ – морфизм ограничения. В частности,
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast H^{n-2}(Z,\mathbb{Q}) =\operatorname{Ker}[H^n(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{\varphi_n} H^n(X',\mathbb{Q})].
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
1.3.Можно считать, что
$$
\begin{equation}
H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^5\pi'_\ast\mathbb{Q}) =H^0(C',R^7\pi'_\ast\mathbb{Q})=0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^1\pi_\ast\mathbb{Q})=H^2(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=H^2(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})=0.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Действительно, поскольку $R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$ – поляризуемое семейство $\mathbb{Q}$-структур Ходжа веса $1$, то существует изоморфизм семейств $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [21; п. 4.2.3] $R_1\pi'_\ast\mathbb{Q}=[R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}]^\vee\,\widetilde{\to}\, R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}(1)$. Очевидно, что $H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$, потому что иначе в силу результатов Делиня, Гротендика и Каца [21; п. 4.4.3, следствие 4.1.2, (4.1.3.2), (4.1.3.3)] существует нетривиальная постоянная подструктура Ходжа $\mathcal H_\mathbb{Z}\subset R_1\pi'_\ast\mathbb{Z} := [R^1\pi'_\ast\mathbb{Z}]^\vee$ типа $(-1,0)+(0,-1)$ на $C'$, соответствующая нетривиальной постоянной абелевой подсхеме в абелевой схеме $\pi'\colon X'\to C'$ [21; п. 4.4.3], что противоречит предположению о тривиальности следа абелева многообразия $X_\eta=\mathcal M_\eta$. Двойственность Пуанкаре на слоях морфизма $\pi'\colon X'\to C'$ дает изоморфизм локальных систем $R^7\pi'_\ast\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\,R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$, поэтому
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^7\pi'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, естественные $\smile$-произведения (вместе с поляризацией локальной системы $R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}$) определяют невырожденное спаривание [22; предложение 10.5)]
$$
\begin{equation*}
H^0(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})\times H^2(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})\to H^2(C,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме о локально инвариантных циклах каноническое отображение $R^n\pi_\ast\mathbb{Q} \to j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}$ является сюръективным с ядром, сосредоточенным на конечном множестве $\Delta$ (см. [23; п. 3.7], [22; предложение 15.12]). Поэтому
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})=H^2(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^0(C,j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})^\vee=H^0(C',R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})^\vee.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Значит, (1.3) следует из (1.2), так что в силу существования изоморфизма
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^5\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})^\vee
\end{equation*}
\notag
$$
остается доказать равенство Заметим, что для любой нетривиальной абелевой подсхемы $J'\subset X'\to C'$ существует такое счетное подмножество $\Delta_{\text{countable}}\subset C'$, что для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ замыкание образа глобального представления монодромии $\pi_1(C',s)\to\operatorname{GL}(H^1(J'_s,\mathbb{Q}))$ в топологии Зариского группы $\operatorname{GL}(H^1(J'_s,\mathbb{Q}))$ является связной полупростой [21; следствие 4.2.9] нормальной [24; теорема 7.3] подгруппой группы Ходжа [25; определение B.51] $\operatorname{Hg}(J'_s) := \operatorname{Hg}(H^1(J'_s,\mathbb{Q}))$ абелева многообразия $J'_s$. Согласно результатам Мамфорда редуктивная группа Ходжа $\operatorname{Hg}(J'_s)$ коммутативная (и, следовательно, является линейным $\mathbb{Q}$-тором), если и только если $J'_s$ – абелево многообразие CM-типа [26]. Поэтому из тривиальности следа абелева многообразия $X_\eta$ следует, что общий схемный слой $J'_\eta$ не может быть абелевым многообразием CM-типа (потому что соответствующее замыкание образа представления монодромии является нетривиальной связной полупростой группой). По тем же причинам многообразие $J'_s$ не может быть абелевым многообразием CM-типа для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$. Предположим сначала, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением четырех эллиптических кривых. Тогда стандартные аргументы [27; п. 1.3] показывают, что (1.5) легко следует из формулы Клебша–Гордона [28; гл. VIII, § 9, n$^0$ 4] для представлений простой алгебры Ли типа $A_1$. Предположим, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением двух эллиптических кривых $E_{1\eta}$, $E_{2\eta}$ и абсолютно простой абелевой поверхности $F_\eta$. Тогда, как замечено выше, $E_{1\eta}$, $E_{2\eta}$ и $F_\eta$ не могут быть абелевыми многообразиями CM-типа. Это же верно для слоев $E_{is}$ ($i=1,2$), $F_s$ над точкой $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ их моделей Нерона $E_i\to C$, $F\to C$. В рассматриваемом случае группа Ходжа $\operatorname{Hg}(E_{is})$ является $\mathbb{Q}$-простой группой (с алгеброй Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_{is})(\overline{\mathbb{Q}})$ типа $A_1$ [29; п. 2.1]), группа Ходжа $\operatorname{Hg}(F_s)$ является $\mathbb{Q}$-простой группой [29; предложение 2.4] (с алгеброй Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)(\overline{\mathbb{Q}})$ типа $C_2$ в случае $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)=\mathbb{Z}$, типа $A_1\times A_1$ в случае, когда $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)$ – порядок в вещественном квадратичном поле, типа $A_1$ в случае, когда $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ – расщепляемая в точке $\infty$ кватернионная алгебра с делением над $\mathbb{Q}$ [29; п. 2.2]). Поскольку алгебра Ли $\operatorname{Lie}G$ является идеалом в алгебре Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(X_s) \subset \operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_{1s}) \times\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_{2s}) \times\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)$ с сюръективными проекциями $\operatorname{Lie} G$ на $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_{is})$ и $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)$ (в силу $\mathbb{Q}$-простоты групп $\operatorname{Hg}(E_{is})$, $\operatorname{Hg}(F_s)$ и тривиальности следа абелева многообразия $X_\eta$), то пара
$$
\begin{equation*}
\bigl(\text{тип } \operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}}),\, H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}})\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
принимает одно из следующих значений:
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times C_2,E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times A_1\times C_2,E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(3)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times A_1\times A_1, E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(3)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times A_1\times A_1\times A_1, E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(3)})+E(\omega_1^{(4)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times A_1, E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times A_1, E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1,E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $E(\omega_1^{(k)})$ – стандартное неприводимое представление $k$-го простого фактора полупростой алгебры Ли $\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})$ в обозначениях Бурбаки [28]. В случае (1.6) имеем: $\wedge^2E(\omega_1^{(1)})=E(0)$, $\wedge^2E(\omega_1^{(2)})=E(\omega_2^{(2)})+E(0)$ [28; гл. VIII, § 13, п. 3, лемма 2], $\wedge^3E(\omega_1^{(2)})=E(\omega_1^{(2)})^\vee= E(\omega_1^{(2)})$ в силу автодуальности симплектического представления $E(\omega_1^{(2)})$ степени $4$ [28; гл. VIII, табл. 1], поэтому из формулы Клебша–Гордона [28; гл. VIII, § 9, n$^0$ 4] $E(\omega^{(1)}_1)\otimes E(\omega^{(1)}_1)=E(2\omega^{(1)}_1)+ E(0)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}}) &\,\widetilde{\to}\, \bigl[\wedge^3\bigl(E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 2}+E(\omega_1^{(2)})\bigr)\bigr]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})} \\ &\,\widetilde{\to}\,\bigl[E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 2}+E(\omega_1^{(2)})^{\oplus 3}+ E(2\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)}) \\ &\qquad+E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 2}\otimes[E(\omega_2^{(2)})+E(0)]+ E(\omega_1^{(2)})\bigr]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (1.7) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}}) \,\widetilde{\to}\, \bigl[E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 2} +E(\omega_1^{(2)})^{\oplus 2} +E(\omega_1^{(3)})^{\oplus 3} \\ &\qquad+E(\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)}+\omega_1^{(3)}) +E(\omega_1^{(1)}+\omega_2^{(3)}) + E(\omega_1^{(2)}+\omega_2^{(3)})\bigr]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (1.8) формула Клебша–Гордона показывает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 6} + E(\omega_1^{(2)})^{\oplus 4} +E(\omega_1^{(3)})^{\oplus 4} \\ &\qquad+E(2\omega_1^{(1)})\otimes [E(\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(3)})] + E(\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)} +\omega_1^{(3)})^{\oplus 2}\bigr]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в случае (1.9) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 3} + E(\omega_1^{(2)})^{\oplus 3} + E(\omega_1^{(3)})^{\oplus 3} + E(\omega_1^{(4)})^{\oplus 3} \\ &\qquad+E(\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)}+\omega_1^{(3)}) +E(\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)}+\omega_1^{(4)}) \\ &\qquad+E(\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(3)}+\omega_1^{(4)}) +E(\omega_1^{(2)}+\omega_1^{(3)} +\omega_1^{(4)})\bigr]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (1.10) формула Клебша–Гордона дает равенства
$$
\begin{equation*}
E(\omega^{(1)}_1)\otimes E(\omega^{(1)}_1)\otimes E(\omega^{(1)}_1)=[E(2\omega^{(1)}_1)+ E(0)]\otimes E(\omega^{(1)}_1)=E(3\omega^{(1)}_1)+E(\omega^{(1)}_1)^{\oplus 2},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, [E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 11} \\ &\qquad+[E(0)^{\oplus 6} + E(2\omega_1^{(1)})^{\oplus 3}]\otimes E(\omega_1^{(2)}) +E(3\omega_1^{(1)})]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})} =0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (1.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 8}+E(\omega_1^{(2)})^{\oplus 8} \\ &\qquad + E(2\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)})^{\oplus 2} +E(\omega_1^{(1)}+2\omega_1^{(2)})^{\oplus 2} \bigr]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в случае (1.12) выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\,\bigl[ E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 20}+ E(3\omega_1^{(1)})^{\oplus 4}\bigr]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением эллиптической кривой $E_\eta$ и абсолютно простого $3$-мерного абелева многообразия $F_\eta$. Тогда для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ многообразие $F_s$ не может быть абелевым многообразием CM-типа. Более того, из тривиальности следа и равенства $\dim_{\kappa(\eta)}F_\eta=3$ следует существование канонического изоморфизма [21; следствие 4.4.13]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_{C'}(F')\,\widetilde{\to}\,\operatorname{End}_{\pi_1(C',s)}H^1(F_s,\mathbb{Z}),
\end{equation*}
\notag
$$
который в силу существования определенных выбором точки $s\in C'\setminus\Delta_{\text{countable}}$ канонических включений
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im}[\pi_1(C',s)\,{\to}\, \operatorname{GL}(H^1(F_s,\mathbb{Q}))]\,{\subset}\, G_F := \overline{\operatorname{Im}[\pi_1(C',s)\to \operatorname{GL}(H^1(F_s,\mathbb{Q}))]} \,{\subset}\, \operatorname{Hg}(F_s)
\end{equation*}
\notag
$$
и известного равенства $\operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(F_s)}H^1(F_s,\mathbb{Q}) =\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ [25; лемма B.60] определяет канонические отображения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(F_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\,\widetilde{\to} \operatorname{End}_{\pi_1(C',s)}H^1(F_s,\mathbb{Q}) \notag \\ &\qquad\hookleftarrow \operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(F_s)}H^1(F_s,\mathbb{Q}) =\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Отображение ограничения $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(F_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\to \operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ инъективно, поэтому из (1.13) следует, что $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(F_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\, \operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$. В частности, абелево многообразие $F_s$ является простым. По условию теоремы $\mathbb{Q}$-алгебра $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(F_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ не является вполне мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля (что автоматически выполнено, если существует такая точка $t\in C$, что алгебраическая группа $\mathcal M_t$ имеет нечетный торический ранг, потому что тогда $\mathbb{Q}$-алгебра $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(F_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ – вполне вещественное поле [30; теорема 1]). Следовательно, поле $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ совпадает с полем $\mathbb{Q}$ (и тогда алгебра Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)(\overline{\mathbb{Q}})$ имеет тип $C_3$ [29; п. 2.3, тип I(1)]) или является вполне вещественным кубическим расширением поля $\mathbb{Q}$ [29; п. 2.3, тип I(3)] (и тогда группа Ходжа $\operatorname{Hg}(F_s)$ является $\mathbb{Q}$-простой алгебраической группой [29; предложение 2.4, (iii)], алгебра Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)(\overline{\mathbb{Q}})$ имеет тип $A_1\times A_1\times A_1$). В силу $\mathbb{Q}$-простоты группы $\operatorname{Hg}(F_s)$, содержащей связную нормальную подгруппу $G_F$, и тривиальности следа абелева многообразия $F_\eta$ имеем равенство $\operatorname{Hg}(F_s)=G_F$, поэтому пара $(\text{тип } \operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}}),\,H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}}))$ принимает одно из исследованных выше значений (1.8), (1.9) или значение
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times C_3,\,E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})\bigr).
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
В случае (1.14) имеем разложения [28; гл. VIII, § 13, п. 3, лемма 2]
$$
\begin{equation*}
\wedge^3E(\omega_1^{(2)})=E(\omega_3^{(2)})+E(\omega_1^{(2)}), \qquad \wedge^2E(\omega_1^{(2)})=E(\omega_2^{(2)})+E(0),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[\wedge^3E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})\bigr]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})} \\ &\qquad=\bigl[E(\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(1)}) \otimes [E(\omega_2^{(2)})+E(0)]+ E(\omega_3^{(2)})+ E(\omega_1^{(2)})\bigr]^{\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением двух абсолютно простых абелевых поверхностей $F_{i\eta}$. Очевидно, что для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ многообразия $F_{is}$ не могут быть абелевыми многообразиями CM-типа. Кроме того, группа Ходжа $\operatorname{Hg}(F_{is})$ является $\mathbb{Q}$-простой группой [29; предложение 2.4] (с алгеброй Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_{is})(\overline{\mathbb{Q}})$ типа $C_2$ в случае $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_{is})=\mathbb{Z}$, типа $A_1\times A_1$ в случае, когда $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_{is})$ – порядок в вещественном квадратичном поле, типа $A_1$ в случае, когда $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_{is})\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ – расщепляемая в точке $\infty$ кватернионная алгебра с делением над $\mathbb{Q}$ [29; п. 2.2]). Поскольку алгебра Ли $\operatorname{Lie}G$ является идеалом в алгебре Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(X_s)\subset\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_{1s}) \times\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_{2s})$ с сюръективными проекциями $\operatorname{Lie}G$ на $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_{is})$ (в силу $\mathbb{Q}$-простоты групп $\operatorname{Hg}(F_{is})$ и тривиальности следа абелева многообразия $X_\eta$), то пара $(\text{тип }\operatorname{Lie} G(\overline{\mathbb{Q}}),\, H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}}))$ принимает одно из исследованных выше значений (1.6)–(1.12) или одно из значений
$$
\begin{equation}
(C_2\times C_2,E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)})).
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
В случае (1.15) имеем
$$
\begin{equation*}
\wedge^2E(\omega_1^{(1)})=E(\omega_2^{(1)})+E(0),\qquad \wedge^3E(\omega_1^{(1)})=E(\omega_1^{(1)})^\vee= E(\omega_1^{(1)})
\end{equation*}
\notag
$$
в силу автодуальности симплектического представления $E(\omega_1^{(1)})$ степени $4$ (см. [28; гл. VIII, § 13, п. 3, лемма 2, табл. 1 ]). Поэтому в силу леммы Шура имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[E(\omega_1^{(1)})+[E(\omega_2^{(1)})+E(0)]\otimes E(\omega_1^{(1)}) \\ &\qquad+E(\omega_1^{(1)})\otimes [E(\omega_2^{(1)})+E(0)]+ E(\omega_1^{(1)})\bigr]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично в случае (1.16) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[E(\omega_1^{(1)})+[E(\omega_2^{(1)})+E(0)]\otimes E(\omega_1^{(2)}) \\ &\qquad+E(\omega_1^{(1)})\otimes [E(\omega_2^{(2)})+E(0)]+ E(\omega_1^{(2)})\bigr]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, наконец, что абелево многообразие $X_\eta$ является абсолютно простым. По условию теоремы центр кольца $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)} \overline{\kappa(\eta)})\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ не является вполне мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля. Поэтому тривиальность следа обеспечивает существование канонического изоморфизма [31; § 4, замечание 1 к выводу теоремы 4.1 из лемм 1–3] $\operatorname{End}_{C'}(X')\,\widetilde{\to}\,\operatorname{End}(R^1\pi'_\ast\mathbb{Z})$, который в силу существования определенных выбором точки $s\in C'\setminus\Delta_{\text{countable}}$ канонических включений
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im}[\pi_1(C',s)\to \operatorname{GL}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))] \subset G\subset \operatorname{Hg}(X_s)
\end{equation*}
\notag
$$
и известного равенства $\operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(X_s)}H^1(X_s,\mathbb{Q}) =\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ [25; лемма B.60] определяет канонические отображения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\, \operatorname{End}_{\pi_1(C',s)}H^1(X_s,\mathbb{Q})\hookleftarrow \operatorname{End}_{\operatorname{Hg}(X_s)}H^1(X_s,\mathbb{Q}) \notag \\ &\qquad=\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Отображение ограничения $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q} \to\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ инъективно, поэтому из (1.17) следует, что $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\, \operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$. Значит, 4-мерное абелево многообразие $X_s$ является простым, центр $\mathbb{Q}$-алгебры с делением $\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ является вполне вещественным полем, что обеспечивает $\mathbb{Q}$-простоту группы Ходжа $\operatorname{Hg}(X_s)$ [31; § 4, замечание 1 к выводу теоремы 4.1 из лемм 1–3] и равенство $\operatorname{Hg}(X_s)=G$ (потому что след абелева многообразия $X_\eta$ тривиален и нетривиальная связная подгруппа $G\subset\operatorname{Hg}(X_s)$ является нормальной [24; теорема 7.3]). Поэтому из классификации Альберта [25; п. B37] $\mathbb{Q}$-алгебр с делением $\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ следует, что пара $({\text{тип }} \operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}}),\,H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}}))$ принимает одно из исследованных выше значений (1.9), (1.11), (1.15), (1.16) или одно из следующих значений (см. [31; § 4, таблица перед формулировкой теоремы 4.1], [25; пп. B92, B94–B97]):
$$
\begin{equation}
\bigl(A_1\times A_1\times A_1,E(\omega_1^{(1)}) \otimes E(\omega_1^{(2)}) \otimes E(\omega_1^{(3)})\bigr),
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
$$
\begin{equation}
(D_2,E(\omega_1)+E(\omega_1))=\bigl(A_1\times A_1,E(\omega_1^{(1)})\otimes E(\omega_1^{(2)})+ E(\omega_1^{(1)})\otimes E(\omega_1^{(2)})\bigr).
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
В случае (1.18) имеем разложение $\wedge^3E(\omega_1)=E(\omega_3)+E(\omega_1)$ [28; гл. VIII, § 13, п. 3, лемма 2], поэтому
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, [\wedge^3E(\omega_1)]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})} =[E(\omega_3)+E(\omega_1)]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (1.19) обозначим через $[\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})]^{(1)}$ алгебру Ли типа $A_1$, являющуюся первым простым множителем в разложении алгебры $\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})$ в произведение простых алгебр Ли. Очевидно, что существует изоморфизм $[\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})]^{(1)}$-модулей
$$
\begin{equation*}
\wedge^3\bigl(E(\omega_1^{(1)}) \otimes E(\omega_1^{(2)}) \otimes E(\omega_1^{(3)})\bigr)\,\widetilde{\to}\, \wedge^3\bigl(E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 4}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^0(C',R^3\pi'_\ast\overline{\mathbb{Q}})\,\widetilde{\to}\, \bigl[\wedge^3\bigl(E(\omega_1^{(1)}) \otimes E(\omega_1^{(2)}) \otimes E(\omega_1^{(3)})\bigr)\bigr]^{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})} \\ &\qquad \hookrightarrow \bigl[\wedge^3\bigl(E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 4}\bigr)\bigr]^{[\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})]^{(1)}}= [E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 20}+ E(3\omega_1^{(1)})^{\oplus 4}]^{[\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})]^{(1)}}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично разбирается случай (1.20). Формулы (1.2), (1.3), (1.5) доказаны. 1.4.По условию теоремы общий схемный слой $\mathcal M_\eta$ модели Нерона является абелевым многообразием с главной поляризацией; следовательно, для любой точки $s\in C'$ абелево многообразие $X_s$ имеет главную поляризацию, определенную некоторым обильным дивизором $H_s$ на многообразии $X_s$. Известно, что расслоение Пуанкаре $\mathcal P'_s$ на многообразии $X_s\times \overset\vee{X}_s$ однозначно определено (с точностью до изоморфизма) следующими свойствами [32; гл. 2, § 5]: a) $\mathcal P'_s|_{X_s\times\{L_s\}}\,\widetilde{\to}\,L_s$ для всех $L_s\in\overset\vee{X}_s=\operatorname{Pic}(X_s)$; b) $\mathcal P'_s|_{\{0\}\times\overset\vee{X}_s}\,\widetilde{\to}\,\mathcal O_{\overset\vee{X}_s}$. Поскольку $X_s$ – абелево многообразие с главной поляризацией, то мы имеем равенства $X_s=\operatorname{Pic}^0(X_s)=\overset\vee{X}_s$. Из свойств a) и b) следует, что элемент $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)\in H^2(X_s\times X_s,\mathbb{Q})$ имеет тип Кюннета $(1,1)$ [32; гл. 14, лемма 14.1.9], так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)\in [H^1(X_s,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^1(X_s,\mathbb{Q})] \cap H^{1,1}(X_s\times X_s,\mathbb{C}) \\ &\qquad=[H^1(X_s,\mathbb{Q}) \otimes_\mathbb{Q} H^1(X_s,\mathbb{Q})]^{\operatorname{Hg}(X_s)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)$ индуцирует алгебраический изоморфизм (см. [2; п. 2A1(ii), теорема 2A9], [32; гл. 16, § 16.4, с. 532])
$$
\begin{equation*}
H^7(X_s,\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2s\ast}(\operatorname{pr}^\ast_{1s}(x)\smile \operatorname{c}_1(\mathcal P'_s))}} H^1(\operatorname{Pic}^0(X_s),\mathbb{Q})=H^1(X_s,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, для любой точки $s\in C'$ вне некоторого счетного подмножества $\Delta_{\text{countable}}$ группа $G$ (определенная в п. 1.1) является нормальной подгруппой в группе Ходжа $\operatorname{Hg}(X_s)=\operatorname{Hg}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ рациональной структуры Ходжа $H^1(X_s,\mathbb{Q})$ [24; теорема 7.3]. Мы фиксируем такую точку $s$. Из существования включения $G\hookrightarrow\operatorname{Hg}(X_s)$ следует, что соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)$ определяет сечение
$$
\begin{equation*}
\Lambda'_{1,1}\in H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, [H^1(X_s,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^1(X_s,\mathbb{Q})]^{\pi_1(C',s)}
\end{equation*}
\notag
$$
типа $(1,1)$ локальной системы структур Ходжа $R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$, индуцирующее соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_t)$ для любой точки $t\in C'$. По теореме Делиня канонический морфизм $H^2(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ является сюръективным морфизмом $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [21; теорема 4.1.1, доказательство следствия 4.1.2]. Поскольку $\Lambda'_{1,1}\in H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})\subset H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ – элемент типа Ходжа $(1,1)$, то из теоремы Лефшеца о дивизорах следует, что существует алгебраический $\mathbb{Q}$-цикл $D^{(1)}$ на многообразии $Y$, для которого образ класса $\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})\in H^2(Y,\mathbb{Q})\cap H^{1,1}(Y,\mathbb{C})$ относительно канонического сюръективного морфизма $H^2(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ совпадает с сечением $\Lambda'_{1,1}$. 1.5.Лемма. $\mathbb{Q}$-пространство $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ инвариантных циклов является $\mathbb{Q}$-структурой Ходжа типа $(1,1)$. Доказательство. Предположим сначала, что общий схемный слой абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ является абсолютно простым $4$-мерным абелевым многообразием. По построению его след тривиален, центр $\mathbb{Q}$-алгебры $\operatorname{End}_{C'}(X')\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ является вполне вещественным полем по условию теоремы, так что существует канонический изоморфизм [31; замечание 1 к выводу теоремы 4.1 из лемм 1–3]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_{C'}(X')\,\widetilde{\to}\,\operatorname{End}_{C'}(R^1\pi'_\ast\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, поляризация абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ определяет изоморфизм $[R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}]^\vee\,\widetilde{\to}\,R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}(1)$ семейств рациональных структур Ходжа [21; доказательство леммы 4.2.3], поэтому из существования вложения семейств рациональных структур Ходжа $R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}=\wedge^2R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\hookrightarrow R^1\pi'_\ast\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$ и того факта, что $\mathbb{Q}$-пространство $\operatorname{End}_{C'}(X')\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ совпадает с компонентой типа $(0,0)$ рациональной структуры Ходжа $\operatorname{End}_{C'}(R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})$ [21; п. 4.4.6], следует, что $\mathbb{Q}$-структура Ходжа $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ имеет тип $(1,1)$. Остается разобрать случай, когда абелева схема $\pi'\colon X'\to C'$ является расслоенным произведением двух абелевых схем $\pi'_k\colon X'_k\to C'$ относительной размерности не более $3$ с тривиальными следами. В этой ситуации существуют канонические изоморфизмы [21; следствие 4.4.13]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{End}_{C'}(X'_k) &\,\widetilde{\to}\, \operatorname{End}_{C'}(R^1\pi'_{k\ast}\mathbb{Z}), \\ \operatorname{Hom}_{C'}(X'_1,X'_2) &\,\widetilde{\to}\, \operatorname{Hom}_{C'}(R_1\pi'_{1\ast}\mathbb{Z},R_1\pi'_{2\ast}\mathbb{Z}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что из существования канонического вложения семейств рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation*}
R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}\hookrightarrow R^2\pi'_{1\ast}\mathbb{Q}\oplus [R^1\pi'_{1\ast}\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_{2\ast}\mathbb{Q}]\oplus R^2\pi'_{2\ast}\mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
и того факта, что $\mathbb{Q}$-пространство $\operatorname{Hom}_{C'}(X'_1,X'_2)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ совпадает с компонентой типа $(0,0)$ рациональной структуры Ходжа $\operatorname{Hom}_{C'}(R_1\pi'_{1\ast}\mathbb{Q},R_1\pi'_{2\ast}\mathbb{Q})$ [21; п. 4.4.6], следует, что $\mathbb{Q}$-структура Ходжа $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ имеет тип $(1,1)$. Лемма доказана. 1.6.Поскольку стандартная гипотеза верна для абелева многообразия $X_{\overline\eta}$, то из леммы 1.5 следует, что существует алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^8(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^2(X,\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
(доказательство этого факта дословно повторяет доказательство теоремы 1.2 в [13], где разобран случай, когда слоями структурного морфизма $X'\to C'$ являются поверхности). Поэтому согласно [2; теорема 2.9] для доказательства гипотезы $B(X)$ достаточно построить алгебраические изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
H^7(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^3(X,\mathbb{Q}), \qquad H^6(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^4(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. Канонические разложения рациональных когомологий нечетной степени и алгебраические изоморфизмы2.1.Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через
$$
\begin{equation*}
K_{nX}\,\,:=\,\,\operatorname{Ker}[H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})]
\end{equation*}
\notag
$$
ядро краевого отображения спектральной последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi)$ структурного морфизма $\pi\colon X\to C$. Также положим
$$
\begin{equation*}
K_{nY}\,\,:=\,\,\operatorname{Ker}[H^n(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})].
\end{equation*}
\notag
$$
Спектральные последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi)=H^p(C,R^q\pi_\ast\mathbb{Q})$ и $E_2^{p,q}(\tau\sigma)$ $=H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})$ вырождаются: $E_2^{p,q}=E_\infty^{p,q}$ [22; следствие 15.15], поэтому для любого натурального числа $n$ имеются точные последовательности $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [33; (2.4)]
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,R^{n-2}\pi_\ast\mathbb{Q})\to K_{nX} \xrightarrow{\alpha_{nX}} H^1(C,R^{n-1}\pi_\ast\mathbb{Q})\to 0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,R^{n-2}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to K_{nY} \xrightarrow{\alpha_{nY}} H^1(C,R^{n-1}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to 0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
причем в силу (1.3) последовательность (2.1) дает отождествления
$$
\begin{equation}
K_{nX}=H^1(C,R^{n-1}\pi_\ast\mathbb{Q}) \qquad \forall\, n\in\{3,5,7\}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
2.2.Мы утверждаем, что для любого нечетного натурального числа $n$ имеются равенства
$$
\begin{equation}
H^0(C',R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})=H^2(C,R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Действительно, естественные $\smile$-произведения (вместе с поляризацией локальной системы $R^n\tau'_\ast\mathbb{Q}$) определяют невырожденное спаривание [22; предложение 10.5]
$$
\begin{equation*}
H^0(C,j_\ast R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})\times H^2(C,j_\ast R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})\to H^2(C,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме о локально инвариантных циклах каноническое отображение $R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}$ $\to j_\ast R^n\tau'_\ast\mathbb{Q}$ является сюръективным с ядром, сосредоточенным на конечном множестве $\Delta$ (см. [23; п. 3.7], [22; предложение 15.12]). Поэтому
$$
\begin{equation*}
H^2(C,R^n(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})=H^2(C,j_\ast R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^0(C,j_\ast R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})^\vee =H^0(C',R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})^\vee,
\end{equation*}
\notag
$$
так что достаточно доказать равенство $H^0(C',R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})=0$. Для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ поляризация на многообразии $X_s$ определяет изоморфизм рациональных структур Ходжа и $G$-модулей [20; п. 4.2.3] $H^a(X_s,\mathbb{Q})^\vee\,\widetilde{\to}\,H^a(X_s,\mathbb{Q})(a)$, поэтому в силу формулы Кюннета мы имеем изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
H^0(C',R^n\tau'_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^n(X_s\times X_s,\mathbb{Q})^G\,\widetilde{\to}\,\bigoplus_{a=0}^8 \operatorname{Hom}_G\bigl(H^a(X_s,\mathbb{Q}),H^{n-a}(X_s,\mathbb{Q})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, двойственность Пуанкаре на гладком слое $X_s$ дает изоморфизм $G$-модулей $H^q(X_s,\mathbb{Q})^\vee\,\widetilde{\to}\,H^{8-q}(X_s,\mathbb{Q})$, поэтому в силу (1.2) достаточно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})} \bigl(H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}}),H^2(X_s,\overline{\mathbb{Q}})\bigr) =\operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})} \bigl(H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}}),H^4(X_s,\overline{\mathbb{Q}})\bigr) \\ &\qquad=\operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})} \bigl(H^2(X_s,\overline{\mathbb{Q}}),H^3(X_s,\overline{\mathbb{Q}})\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим сначала, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением четырех эллиптических кривых. Тогда стандартные аргументы [27; п. 1.3] показывают, что исследуемые равенства легко получаются из формулы Клебша–Гордона [28; гл. VIII, § 9, n$^0$ 4] для представлений простой алгебры Ли типа $A_1$. В случае (1.6) алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\overline{\mathbb{Q}})$ имеет тип $A_1\times C_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^1(X_s,\overline{\mathbb{Q}}) &=E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(1)})+E(\omega_1^{(2)}), \\ H^2(X_s,\overline{\mathbb{Q}}) &= E(0)^{\oplus 4}+E(2\omega_1^{(1)}) +E(\omega_1^{(1)} +\omega_1^{(2)})^{\oplus 2}+E(\omega_2^{(2)}), \\ H^3(X_s,\overline{\mathbb{Q}}) &=E(\omega_1^{(1)})^{\oplus 4}+E(\omega_1^{(2)})^{\oplus 4}+ E(2\omega_1^{(1)}+\omega_1^{(2)})+E(\omega_1^{(1)}+\omega_2^{(2)})^{\oplus 2}, \\ H^4(X_s,\overline{\mathbb{Q}}) &=E(0)^{\oplus 5}\,{+}\,E(\omega_1^{(1)}\,{+}\,\omega_1^{(2)})^{\oplus 4}\,{+}\,E(\omega_2^{(2)})^{\oplus 3}\,{+}\,E(2\omega_1^{(1)}\,{+}\,\omega_2^{(2)})\,{+}\,E(2\omega_1^{(1)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (2.4) следует из леммы Шура. Легко проверить выполнение равенств (2.4) в оставшихся случаях (1.7)–(1.12), (1.14)–(1.16), (1.18)–(1.20), используя прямые вычисления и полученные ранее в п. 1.3 разложения. 2.3.Для любой точки $s\in C'$ алгебраическое соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)^{\smile\,n}$ $(1\leqslant n\leqslant 3)$ дает алгебраический изоморфизм $H^{8-n}(X_s,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^n(X_s,\mathbb{Q})$ (см. [2; лемма 2A12, замечание 2A13], [32; гл. 16, § 16.4, с. 532]). Следовательно, сечение ${\Lambda'_{1,1}}^{\smile\,n}$ дает изоморфизм локальных систем $R^{8-n}\pi'_\ast\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\,R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}$, определенный композицией отображений
$$
\begin{equation}
R^{8-n}\pi'_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{(p'_1)^\ast} R^{8-n}\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}{\pi'_\ast\mathbb{Q}} \xrightarrow{\smile\,{\Lambda'_{1,1}}^{\smile \,n}} R^8\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q}{R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}} \xrightarrow{(p'_2)_\ast} R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Совместимость $\smile$-произведений со спектральной последовательностью Лере $E_2^{p,q}(\tau\sigma)=H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})$ [34; т. II, гл. 4, п. 4.2.1, (4.5), лемма 4.13] и стандартный алгоритм [35; п. 2.3, построение формулы (2.10)] позволяют расширить (2.5) до последовательности отображений
$$
\begin{equation}
R^{8-n}\pi_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{(p_1\sigma)^\ast}R^{8-n}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q} \xrightarrow{{\smile}\,\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,n}} R^{8+n}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{(p_2\sigma)_\ast}R^n\pi_\ast\mathbb{Q},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
композиция которых является изоморфизмом вне конечного множества $\Delta$; в свою очередь (2.6) дает последовательность канонических отображений когомологий
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^1(C,R^{8-n}\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[(p_1\sigma)^\ast]_1} H^1(C,R^{8-n}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\xrightarrow{[{\smile}\,\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,n}]_1} H^1(C,R^{8+n}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q}) \xrightarrow{[(p_2\sigma)_\ast]_1} H^1(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу свойств функториальности (см. [36; § 2.4], [37; гл. II, теорема 3.11]) композиция этих отображений совпадает с каноническим отображением
$$
\begin{equation}
H^1(C,R^{8-n}\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{[x\,{\mapsto}\, (p_2\sigma)_\ast((p_1\sigma)^\ast x\,{\smile}\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,n})]_1} H^1(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
соответствующим морфизму пучков
$$
\begin{equation}
R^{8-n}\pi_\ast\mathbb{Q}\xrightarrow{x\,{\mapsto}\, (p_2\sigma)_\ast((p_1\sigma)^\ast x \,{\smile}\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,n})} R^n\pi_\ast\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Поскольку ядро и коядро отображения (2.8) сосредоточены на $\Delta$, то их высшие когомологии обращаются в нуль, поэтому отображение (2.7) сюръективное. С другой стороны, в обозначениях п. 1.1 сильная теорема Лефшеца на слоях гладкого морфизма $\pi'$ определяет изоморфизм пучков
$$
\begin{equation}
j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}\,\widetilde{\to}\,j_\ast R^{8-n}\pi'_\ast\mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Наконец, в силу теоремы о локально инвариантных циклах (см. [23; п. 3.7], [22; предложение 15.12]) каноническое отображение $R^p\pi_\ast\mathbb{Q}\to j_\ast R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}$ сюръективное, причем его ядро сконцентрировано на конечном множестве $\Delta$. Следовательно, имеется канонический изоморфизм $H^1(C,R^p\pi_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^1(C,j_\ast R^p\pi'_\ast\mathbb{Q})$. Поэтому согласно (2.7) и (2.9) сюръективное отображение (2.7) является изоморфизмом
$$
\begin{equation}
H^1(C,R^{8-n}\pi_\ast\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{[x\,{\mapsto}\, (p_2\sigma)_\ast((p_1\sigma)^\ast x\smile \operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,n})]_1}} H^1(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
бистепени $(n-4,n-4)$ рациональных структур Ходжа. 2.4.Для любой точки $s\in C$ обозначим через $\iota_{X_s/X}\colon X_s\hookrightarrow X$ каноническое вложение. Морфизм $\pi$ является собственным, поэтому слой пучка $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}$ над точкой $s\in C$ совпадает с пространством $H^n(X_s,\mathbb{Q})$ [38; гл. II, § 4, замечание 4.17.1]. Следовательно, отображение ограничения $\iota_{X_s/X}^\ast$ совпадает с композицией (см. [34; т. II, гл. 4, п. 4.3.1], [39; гл. 9, начало § 5])
$$
\begin{equation*}
H^n(X,\mathbb{Q})\to E_\infty^{0,n}(\pi)\to E_2^{0,n}(\pi)=H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, отображение $\iota_{X_s/X}^\ast$ является композицией канонических отображений
$$
\begin{equation*}
H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})\hookrightarrow \prod_{s\in C}H^n(X_s,\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{Q}$-пространство $\prod_{s\in C}H^n(X_s,\mathbb{Q})$ отождествляется с $\mathbb{Q}$-пространством разрывных глобальных сечений пучка $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}$ [38; гл. II, § 4, п. 4.4.4]. Очевидно, что
$$
\begin{equation}
\omega\in K_{nX}\quad\Longleftrightarrow\quad (\forall\, s\in C)\quad \iota_{X_s/X}^\ast(\omega)=0.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Поэтому для всех $\omega\in K_{nX}$ согласно [40; гл. 2, § 8, формула (5)] имеем
$$
\begin{equation*}
\iota_{X_s/X}^\ast(\operatorname{cl}_X(H)\,{\smile}\,\omega) =\iota_{X_s/X}^\ast(\operatorname{cl}_X(H))\,{\smile}\, \iota_{X_s/X}^\ast(\omega)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}_X(H)\,{\smile}\,K_{nX}\subset K_{(n+2)X}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Кроме того, имеется каноническое вложение
$$
\begin{equation}
(p_k\sigma)^\ast|_{K_{nX}}\colon K_{nX}\hookrightarrow K_{nY},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
индуцированное (в силу сюръективности морфизма $p_k\sigma\colon Y\to X$) канонической инъекцией $(p_k\sigma)^\ast\colon H^n(X,\mathbb{Q})\hookrightarrow H^n(Y,\mathbb{Q})$ [2; предложение 1.2.4]. Действительно, положим $p_{ks}=p_k|_{X_s\times X_s}$, $\sigma_s=\sigma|_{Y_s}$ и рассмотрим коммутативную диаграмму морфизмов которая, в свою очередь, дает коммутативную диаграмму канонических отображений так что для любой точки $s\in C$ и любого элемента $\omega\in K_{nX}$ из (2.11) следует, что $\iota_{Y_s/Y}^\ast(p_k\sigma)^\ast(\omega)=0$. Поэтому (2.13) следует из равенств $\iota_{Y_s/Y}^\ast(p_k\sigma)^\ast(\omega)=0$ ($s\in C$) и из (2.11).2.5.Из теоремы о локально инвариантных циклах и сильной теоремы Лефшеца для слоев гладкого морфизма $\pi'$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\,{\smile}\, H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})= \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\,{\smile}\, H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad=H^1(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^1(C,R^6\pi_\ast\mathbb{Q}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому из (2.3), (2.11) получаем равенство
$$
\begin{equation}
K_{7X}=\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\,{\smile}\,K_{3X}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Из аргументов [14; п. 1.2], формул (2.3), (2.14) следует существование канонических (не зависящих от выбора обильного дивизора $H$ на многообразии $X$) разложений $\mathbb{Q}$-структур Ходжа где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_{3X}^\perp &= \{x\in H^3(X,\mathbb{Q})\mid x\,{\smile}\,y\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}=0\ \forall\, y\in K_{3X}\} \notag \\ &=\{x\in H^3(X,\mathbb{Q})\mid x\,{\smile}\,y=0\ \forall\, y\in K_{7X}\} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
есть ортогональное дополнение подпространства $K_{3X}\hookrightarrow H^3(X,\mathbb{Q})$ относительно невырожденной [2; п. 1.2A] билинейной формы
$$
\begin{equation*}
\Phi\colon H^3(X,\mathbb{Q})\times H^3(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\,{\mapsto}\,x\,{\smile}\,y\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}} H^{10}(X,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}(-5)\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{(2\pi i)^5}}\mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
K_{7X}^\perp=\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\,{\smile}\,K_{3X}^\perp,\qquad K_{3X}\,{\smile}\,K^\perp_{7X}=K_{7X}\,{\smile}\,K^\perp_{3X}=0,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
потому что ограничение формы $\Phi$ на подпространство $K_{3X}\hookrightarrow H^3(X,\mathbb{Q})$ невырождено в силу отождествлений (2.3), теоремы о локально инвариантных циклах (позволяющей отождествить $\mathbb{Q}$-пространства $H^1(C',j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})$ и $H^1(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})$) и невырожденности [22; предложение 10.5] канонического спаривания
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\times H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\xrightarrow{x\times y\,{\mapsto}\,x\,{\smile}\,y\,\smile\,\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}} H^2(C,R^8\pi_\ast\mathbb{Q})=H^{10}(X,\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.6.Лемма. Имеется равенство Доказательство. Если $\Delta=\varnothing$, то $H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=0$ согласно (1.2), поэтому существует алгебраический изоморфизм $H^7(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^3(X,\mathbb{Q})$ [3; теорема 10.1]. Будем считать в дальнейшем, что $\Delta\neq\varnothing$. Пусть $D^\ast(\delta)$ – маленький проколотый диск на кривой $C$ с центром в точке $\delta\in\Delta$. Спектральная последовательность Лере для вложения $j\colon C' \subset C$ дает точную последовательность смешанных структур Ходжа [22; доказательство предложения 12.5, следствие 13.10, замечание 14.5]
$$
\begin{equation}
0\to H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\to H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \to H^0(C,R^1j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
H^0(C,R^1j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})= \bigoplus_{\delta\in\Delta} H^1(D^\ast(\delta),R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, \bigoplus_{\delta\in\Delta} H^2(X_s,\mathbb{Q})/N_\delta H^2(X_s,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
пространство $H^2(X_s,\mathbb{Q})$ ($s\in C'$) снабжено предельной смешанной структурой Ходжа, ассоциированной с локальной монодромией $\gamma_\delta$ вокруг точки $\delta\in C$ (преобразованием Пикара–Лефшеца) и $N_\delta=\log \gamma_\delta$. Согласно теореме о локально инвариантных циклах последовательность (2.19) дает точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\to H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \to \bigoplus_{\delta\in\Delta} H^2(X_s,\mathbb{Q})/N_\delta H^2(X_s,\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
В силу известного свойства функториальности спектральной последовательности Лере каноническое вложение $\iota_{X'/X}\colon X'\hookrightarrow X$ задает гомоморфизмы $E_2^{p,q}(\pi)\to E_2^{p,q}(\pi')$, совместимые с дифференциалами и фильтрациями (см. [36; § 2.4], [34; т. II, предложение 4.8]). Принимая во внимание равенство $H^2(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$ (потому что когомологическая размерность аффинной кривой $C'$ равна $1$ [41; гл. VI, § 7, теорема 7.2]), сюръективность краевых отображений $H^3(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})$ [22; следствие 15.14] и $H^3(X',\mathbb{Q})\to H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})$ [21; доказательство теоремы 4.1.1], формулы (2.20), (2.1), коммутативную диаграмму (15.1) в [22], точность канонической последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\to H^2(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})\to \operatorname{Ker}[H^3(X',\mathbb{Q})\to H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})] \\ &\xrightarrow{\alpha'_{3X}} H^1(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\to 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и коммутативность диаграммы морфизмов мы получаем коммутативную диаграмму смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа с точными строками которая в силу (1.2), (2.3), (2.15) принимает вид Соответствующая точная последовательность $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [35; п. 2.3] змеевидной диаграммы [42; § 1, предложение 2] и (1.1) дают равенство $(i_\Delta f)_\ast\,H^1(Z,\mathbb{Q})=K_{3X}^\perp$. Лемма доказана. 2.7.Лемма. Имеется каноническое вложение $(p_2\sigma)_\ast(K_{11X})\subset K_{3X}$. Доказательство. Для любого неприводимого гладкого проективного многообразия $W$ обозначим через $\langle\ \rangle\colon H^{2\dim_\mathbb{C} W}(W,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Q}$ изоморфизм ориентации когомологий Вейля [2; п. 1.2.A], определенный выбором элемента $\sqrt{-1}\in\mathbb{C}$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
K_{3X}=\{x\in H^3(X,\mathbb{Q}) \mid x\,{\smile}\,K_{3X}^\perp\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
достаточно проверить равенство
$$
\begin{equation*}
(p_2\sigma)_\ast(K_{11Y})\,{\smile}\,K^\perp_{3X}\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентное в силу формулы (см. [2; п. 1.2.A], [41; гл. VI, § 11, замечание 11.6])
$$
\begin{equation*}
\langle(p_2\sigma)_\ast(K_{11Y})\,{\smile}\, K^\perp_{3X}\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\rangle = \bigl\langle K_{11Y}\,{\smile}\, (p_2\sigma)^\ast\bigl(K^\perp_{3X}\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\bigr)\bigr\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
равенству
$$
\begin{equation*}
K_{11Y}\,{\smile}\, (p_2\sigma)^\ast\bigl(K^\perp_{3X}\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому согласно лемме 2.6 достаточно доказать равенство
$$
\begin{equation}
K_{11Y}\,{\smile}\, (p_2\sigma)^\ast\bigl((i_\Delta f)_\ast\,H^1(Z,\mathbb{Q})\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Пусть $Z_\delta$ – нормализация дивизора $\pi^{-1}(\delta)=X_\delta$. Неприводимые компоненты гладкого многообразия $Z$ естественным образом отождествляются с неприводимыми компонентами $X_{\delta i}$ дивизора $\pi^{-1}(\Delta)=\sum_{\delta\in\Delta}X_{\delta}$. Обозначим через $\iota_{X_{\delta i}/X}\colon X_{\delta i}\hookrightarrow X$, $\iota_{X_{\delta i}/Z}\colon X_{\delta i}\hookrightarrow Z$, $\iota_{Z_{\delta}/Z}\colon Z_{\delta}\hookrightarrow Z$ канонические вложения. Из коммутативности диаграммы канонических морфизмов следует равенство
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast(\iota_{X_{\delta i}/Z})_\ast|_{H^k(X_{\delta i},\mathbb{Q})}= \iota_{X_{\delta i}/X\ast}|_{H^k(X_{\delta i},\mathbb{Q})}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Известно, что отображение Гизина $\iota_{X_{\delta i}/X\ast}\colon H^k(X_{\delta i},\mathbb{Q})\to H^{k+2}(X,\mathbb{Q})$ имеет вид (см. [43; (4.20)], [14; (3.37)])
$$
\begin{equation}
\alpha\,{\mapsto}\,\alpha\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
С другой стороны, сильная теорема Лефшеца для многообразия $X_{\delta i}$ обеспечивает существование вложения
$$
\begin{equation*}
H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\,\iota^\ast_{X_{\delta i}/X}\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\subset H^5(X_{\delta i},\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому формула проекции [2; п. 1.2.A] и (2.23) дают включение
$$
\begin{equation*}
\iota_{X_{\delta i}/X\ast}H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\subset \iota_{X_{\delta i}/X\ast}H^5(X_{\delta i},\mathbb{Q})=H^5(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что из (2.22) следует существование канонического вложения
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast H^1(Z,\mathbb{Q})\smile\,\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2}\subset \sum_{\delta,i}H^5(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
По определению [34; т. II, гл. 4, п. 4.2.1] для любой точки $s\in C'$ $\smile$-умножение на класс $\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\in H^2(X,\mathbb{Q})$ действует на слое $H^q(X_s,\mathbb{Q})=[j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}]_s$ пучка $j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}$ как $\smile$-умножение на класс $\iota^\ast_{X_s/X}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}))$. Из очевидного равенства
$$
\begin{equation*}
\iota^\ast_{X_s/X}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}))=0
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что
$$
\begin{equation}
j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})=0.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Согласно (2.2), (2.4), теореме о локально инвариантных циклах и формуле Кюннета на слоях гладкого морфизма $\tau'$ имеются канонический изоморфизм и разложение
$$
\begin{equation*}
K_{11Y}\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{\alpha_{11Y}}} H^1(C,j_\ast R^{10}\tau'_\ast\mathbb{Q})=\bigoplus_{p+q=10} H^1(C,j_\ast R^p\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} j_\ast R^q\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (2.21) следует из (2.24), (2.25). Лемма доказана. 2.8.Функториальность рассматриваемых конструкций, теорема о локально инвариантных циклах, лемма 2.7 и (2.1)–(2.4) дают коммутативную диаграмму где отображение когомологий $p'_{2\ast}\colon H^1(C,j_\ast R^{10}\tau'_\ast\mathbb{Q})\to H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ индуцируется каноническим отображением пучков $p'_{2\ast}\colon R^{10}\tau'_\ast\mathbb{Q}\to R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}$.Кроме того, принимая во внимание формулу (2.13), коммутативность диаграммы в которой отображение $K_{7Y}\xrightarrow{{\smile}\,\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2}}K_{11Y}$ определено в силу формулы (2.11) и равенства [40; гл. 2, § 8, формула (5)]
$$
\begin{equation*}
\iota_{Y_s/Y}^\ast\bigl(\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2}\,{\smile}\,K_{7Y}\bigr) =\iota_{Y_s/Y}^\ast\bigl(\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,2}\bigr)\,{\smile}\, \iota_{Y_s/Y}^\ast(K_{7Y})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а также формулу (2.26), мы получаем коммутативную диаграмму склеенную из коммутативных диаграмм и С другой стороны, обозначим через $\operatorname{pr}_i\colon X\times X\to X$ каноническую проекцию декартова квадрата многообразия $X$. Для любого элемента $x\in H^7(X,\mathbb{Q})$ формула проекции [2; п. 1.2.A] дает равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(p_2\sigma)_\ast\bigl((p_1\sigma)^\ast x\,{\smile}\,[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr)= [\operatorname{pr}_2\iota\sigma]_\ast \bigl([\operatorname{pr}_1\iota\sigma]^\ast x\,{\smile}\,[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr) \\ &\ =\operatorname{pr}_{2\ast}(\iota\sigma)_\ast \bigl((\iota\sigma)^\ast\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr)= \operatorname{pr}_{2\ast}\bigl(\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,(\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr]\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку композиция отображений в нижней строке диаграммы (2.27) совпадает с изоморфизмом (2.10), композиция отображений в верхней строке диаграммы (2.27) дает алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation}
K_{7X} \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,(\iota\sigma)_\ast[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}])}} K_{3X}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
2.9.Используя (2.18) и стандартные аргументы [43; пп. 1.2, 3.5], можно считать, что имеется равенство классов Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp(H^3(X,\mathbb{Q}))=\wp(K_{3X})+\wp(K_{3X}^\perp),
\end{equation*}
\notag
$$
где класс Пуанкаре $\wp(K_{3X}^\perp)$ дает изоморфизм
$$
\begin{equation}
K_{7X}^\perp=K_{3X}^\perp\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)^{\smile\,2} \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast(x)\,{\smile}\,\wp(K_{3X}^\perp))}} K_{3X}^\perp.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
С другой стороны, теорема Лефшеца о дивизорах на гладком многообразии $Z\times Z$ и лемма 2.6 обеспечивают алгебраичность соответствия $\wp(K_{3X}^\perp)$ [43; лемма 3.8]. 2.10.Пусть $u_{3,3}$, $u_{3,3^\perp}$, $u_{3^\perp,3}$, $u_{3^\perp,3^\perp}$, $h$ – компоненты алгебраического соответствия $u=(\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,2}\bigr]$ в прямых слагаемых
$$
\begin{equation*}
K_{3X}\otimes K_{3X}, \quad\dots,\quad K_{3X}^\perp\otimes K_{3X}^\perp,\qquad H:=\bigoplus_{p+q=6,\,p\neq 3} H^p(X,\mathbb{Q})\otimes H^q(X,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
определенных каноническим разложением (2.15) и разложением Кюннета $\mathbb{Q}$-пространства $H^6(X\times X,\mathbb{Q})$. Используя формулы (2.15), (2.16), (2.28), (2.29) и действуя по стандартному алгоритму [14; пп. 3.5–3.9], легко проверить, что для некоторого элемента $h_{10}\in H$ класс когомологий $u_{3,3}+u_{3,3^\perp}+h_{10}+\wp(K_{3X}^\perp)$ является алгебраическим и дает изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^7(X,\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,(u_{3,3}+u_{3,3^\perp}+h_{10}+\wp(K_{3X}^\perp)))}} H^3(X,\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. О структуре рациональных когомологий четной степени3.1.Лемма. $\mathbb{Q}$-пространство $H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$ порождается образами классов пересечений дивизоров на многообразии $X$ относительно канонического сюръективного отображения $H^4(X,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$. Доказательство. Известно, что для любого натурального числа $n$ каноническое отображение $H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^n\pi'_\ast\mathbb{Q})$ является сюръективным [21; теорема 4.1.1]. По построению любое простое абелево подмногообразие
$$
\begin{equation*}
I_{\overline\eta}\subset X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет вид $I_{\overline\eta}=I_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)}$, где абелево многообразие $I_\eta$ определено над полем $\kappa(\eta)$, $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(I_\eta) =\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,}(I_{\overline\eta})$, центр кольца $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(I_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ не является вполне мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля и кольцо $\operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(I_\eta)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ не является определенной кватернионной алгеброй над полем $\mathbb{Q}$. Следовательно, по теореме Моонена–Зархина [29; теорема 0.1] для любого вложения полей $\kappa(\eta)\hookrightarrow \mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$-пространство циклов Ходжа (инвариантных циклов канонического действия группы Ходжа в рациональных когомологиях четной степени) общего геометрического слоя $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ порождается классами пересечений дивизоров. С другой стороны, для любого простого абелева подмногообразия $I_\eta\subset X_\eta$ группа Ходжа абелева многообразия $I_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ является $\mathbb{Q}$-простой группой (см. [31; замечание 1 к выводу теоремы 4.1 из лемм 1–3], [29; предложение 2.4, теорема 0.1]). Кроме того, из тривиальности следа абелева многообразия $I_\eta$ следует, что замыкание $G_{I_\eta}$ образа глобальной монодромии $\pi_1(C',s)\to\operatorname{GL}(H^1(I_s,\mathbb{Q}))$ (которое в силу сделанных выше предположений является нетривиальной связной полупростой $\mathbb{Q}$-группой) естественным образом отождествляется с нормальной [24; теорема 7.3] подгруппой $\mathbb{Q}$-простой группы Ходжа абелева многообразия $I_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$, так что в итоге мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
G_{I_\eta}=\operatorname{Hg}(I_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
По построению существует $\kappa(\eta)$-изогения
$$
\begin{equation*}
X_\eta\underset{\operatorname{isogeny}}{\,\sim\,\,}\,X_{1\eta}^{\times m_1}\times \dots\times X_{n\eta}^{\times m_n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_{k\eta}\subset X_\eta$ ($k=1,\dots,n$) – попарно неизогенные абсолютно простые абелевы подмногообразия над полем $\kappa(\eta)$, $m_k$ – положительное целое число. Если абелево многообразие $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ не является простым и изогенно произведению $[I_{1\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}]\times [I_{2\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}]$ нетривиальных абелевых подмногообразий, причем $\operatorname{Hom}_\mathbb{C}(I_{1\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}, I_{2\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})=0$ и абелево многообразие $I_{2\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ является степенью простого абелева многообразия, то при выполнении условий теоремы имеется равенство [29; п. 5.4] $\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}) =\operatorname{Hg}(I_{1\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})\times \operatorname{Hg}(I_{2\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}) =\prod_{k=1}^n\operatorname{Hg}(X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Очевидно, что $G\subset \prod_{k=1}^n G_{X_{k\eta}}$, причем канонические проекции $G\to G_{X_{k\eta}}$ сюръективны для всех $k$. Предположим сначала, что абелево многообразие $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ изогенно произведению эллиптической кривой (без комплексного умножения) $X_{1\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ и $3$-мерного простого абелева многообразия $X_{2\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$. Тогда из (3.1) и [29; пп. 2.1, 2.3] следует, что алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1$, алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C})$ имеет тип $C_3$ или $A_1\times A_1\times A_1$. Из $\mathbb{Q}$-простоты алгебры Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}$ следует, что $\mathbb{Q}$-полупростая алгебра Ли $\operatorname{Lie}G$ содержит такую $\mathbb{Q}$-простую подалгебру Ли $L_{X_{2\eta}}$, что ограничение канонической проекции $\operatorname{Lie}G\to \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}$ на $L_{X_{2\eta}}$ является изоморфизмом $\mathbb{Q}$-алгебр Ли $L_{X_{2\eta}}\,\widetilde{\to}\,\operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}$, причем ограничение канонической сюръективной проекции $\operatorname{Lie}G\to \operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}$ на $L_{X_{2\eta}}$ тривиально в силу очевидного неравенства $\dim_\mathbb{Q} L_{X_{2\eta}}>\dim_\mathbb{Q}\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}$ и $\mathbb{Q}$-простоты алгебр Ли $L_{X_{2\eta}}$, $\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}$. Значит, $L_{X_{2\eta}}\neq \operatorname{Lie}G$. Поскольку алгебра Ли $\operatorname{Lie}G/L_{X_{2\eta}}$ нетривиальная, $\mathbb{Q}$-полупростая и обладает канонической сюръекцией $\operatorname{Lie}G/L_{X_{2\eta}}\to\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}$, то очевидно, что имеется сюръекция
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lie}G=\operatorname{Lie}G/L_{X_{2\eta}}\times L_{X_{2\eta}}\to\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}\times L_{X_{2\eta}}=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}\times\operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому из (3.1), (3.2) и из существования включения $\operatorname{Lie}G\subset \operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}\times\operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}$ следует равенство $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Если абелево многообразие $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ изогенно произведению двух изогенных простых абелевых поверхностей $X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ ($k=1,2$), то из (3.1), (3.2) следует, что $\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}) =\operatorname{Hg}(X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})=G_{X_{k\eta}}=G$. Предположим, что абелево многообразие $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ изогенно произведению двух неизогенных простых абелевых поверхностей $X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ ($k=1,2$). Из [29; п. 2.2] следует, что алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{k\eta}}(\mathbb{C})$ имеет тип $C_2$, $A_1\times A_1$ или $A_1$ (эти варианты соответствуют случаям $\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})=\mathbb{Z}$, $\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$ – порядок вещественного квадратичного поля, $\operatorname{End}_\mathbb{C}(X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}) \otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ – кватернионная алгебра с делением над полем $\mathbb{Q}$, расщепляющаяся в архимедовой точке $\infty$ поля $\mathbb{Q}$). Если типы алгебр Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{k\eta}}(\mathbb{C})$ ($k=1,2$) не совпадают, то в силу аргументов выше мы получаем равенство $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Будем предполагать в дальнейшем, что типы алгебр Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{k\eta}}(\mathbb{C})$ ($k=1,2$) совпадают. Прежде всего, существует канонический изоморфизм [21; следствие 4.4.13]
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hom}_{C'}(X'_1,X'_2)\,\widetilde{\to}\, \operatorname{Hom}(R_{1\pi'_1\ast}\mathbb{Z}, R_{1\pi'_2\ast}\mathbb{Z}),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\pi'_k\colon X'_k\to C'$ – абелева схема относительной размерности $2$ с общим схемным слоем $X_{k\eta}$. Поскольку абелевы поверхности $X_{k\eta}\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ ($k=1,2$) неизогенны, то из (3.3) следует, что $\operatorname{Hom}(R_{1\pi'_1\ast}\mathbb{Z}, R_{1\pi'_1\ast}\mathbb{Z})=0$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})}\bigl(H^1(X_{1s},\mathbb{C}), H^1(X_{2s},\mathbb{C})\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Если алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{k\eta}}(\mathbb{C})$ ($k=1,2$) имеет тип $C_2$, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $C_2$ или тип $C_2\times C_2$. Первый случай невозможен в силу (3.4), потому что старший вес канонического представления алгебры Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ типа $C_2$ в $\mathbb{C}$-пространстве $H^1(X_{ks},\mathbb{C})$ является микровесом в смысле Н. Бурбаки [24; теорема 0.5.1] и, следовательно, рассматриваемое представление изоморфно стандартному неприводимому представлению степени $4$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что из (3.1), (3.2) следует равенство $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Если алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{k\eta}}(\mathbb{C})$ ($k=1,2$) имеет тип $A_1\times A_1$, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1\times A_1$, $A_1\times A_1\times A_1$ или тип $A_1\times A_1\times A_1\times A_1$. В данной ситуации каноническое представление алгебры Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ в $\mathbb{C}$-пространстве $H^1(X_{ks},\mathbb{C})$ пропускается через представление ее фактора типа $A_1\times A_1$; это представление изоморфно $E(\omega^{(1)}_1)+E(\omega^{(2)}_1)$, где $E(\omega^{(k)}_1)$ – стандартное неприводимое представление степени $2$ $k$-го простого фактора алгебры Ли типа $A_1\times A_1$. Поэтому варианты $A_1\times A_1$, $A_1\times A_1\times A_1$ исключаются в силу (3.4), так что $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Если алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{k\eta}}(\mathbb{C})$ ($k=1,2$) имеет тип $A_1$, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1$ или тип $A_1\times A_1$. В рассматриваемой ситуации каноническое представление алгебры Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ в $\mathbb{C}$-пространстве $H^1(X_{ks},\mathbb{C})$ пропускается через представление ее фактора типа $A_1$; это представление изоморфно $E(\omega_1)+ E(\omega_1)$, где $E(\omega_1)$ – стандартное неприводимое представление степени $2$ алгебры Ли типа $A_1$. Поэтому вариант $A_1$ исключается в силу (3.4), так что $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Аналогично разбирается случай, когда абелево многообразие $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ изогенно произведению простой абелевой поверхности $X_{1\eta}$ и двух эллиптических кривых $X_{2\eta}$, $X_{3\eta}$ без комплексного умножения. Здесь используется канонический изоморфизм $\operatorname{Hom}_{C'}(X'_1,X'_2\times_{C'}X'_3)\,\widetilde{\to}\, \operatorname{Hom}(R_{1\pi'_1\ast}\mathbb{Z}, R_{1\pi'_2\times_{C'}\pi'_3\ast}\mathbb{Z})$ [21; следствие 4.4.13], который, в свою очередь, дает равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})}(H^1(X_{1s},\mathbb{C}), H^1(X_{2s},\mathbb{C})\oplus H^1(X_{3s},\mathbb{C}))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})$ имеет тип $C_2$, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $C_2\times A_1$, если эллиптические кривые $X_{2\eta},X_{3\eta}$ изогенны, или тип $C_2\times A_1\times A_1$ в противоположном случае. Эти варианты соответствуют разложениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Lie}G(\mathbb{C}) &=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C}), \\ \operatorname{Lie}G(\mathbb{C}) &=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{3\eta}}(\mathbb{C}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что из (3.1), (3.2) следует равенство $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Если алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1\times A_1$, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1\times A_1\times A_1$, если эллиптические кривые $X_{2\eta},X_{3\eta}$ изогенны, или тип $A_1\times A_1\times A_1\times A_1$ в противоположном случае, потому что $H^1(X_{1s},\mathbb{C})=E(\omega^{(1)}_1)+E(\omega^{(2)}_1)$ для алгебры Ли типа $A_1\times A_1$. Эти варианты соответствуют разложениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Lie}G(\mathbb{C}) &=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C}), \\ \operatorname{Lie}G(\mathbb{C}) &=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{3\eta}}(\mathbb{C}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что равенство $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$ следует из (3.1), (3.2). Если алгебра Ли $\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1$, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1\times A_1$, если эллиптические кривые $X_{2\eta},X_{3\eta}$ изогенны, или тип $A_1\times A_1\times A_1$ в противоположном случае, потому что $H^1(X_{1s},\mathbb{C})=E(\omega_1)+E(\omega_1)$ для алгебры Ли типа $A_1$. Эти варианты соответствуют разложениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Lie}G(\mathbb{C}) &=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C}), \\ \operatorname{Lie}G(\mathbb{C}) &=\operatorname{Lie}G_{X_{1\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{2\eta}}(\mathbb{C})\times \operatorname{Lie}G_{X_{3\eta}}(\mathbb{C}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Наконец, если абелево многообразие $X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C}$ изогенно произведению четырех эллиптических кривых без комплексного умножения, то алгебра Ли $\operatorname{Lie}G(\mathbb{C})$ имеет тип $A_1$ (если все эллиптические кривые изогенны), тип $A_1\times A_1$ (если существуют только три изогенные эллиптические кривые, или существуют две пары изогенных эллиптических кривых, и эллиптические кривые из разных пар неизогенны), тип $A_1\times A_1\times A_1$ (если существуют только две изогенные эллиптических кривые), тип $A_1\times A_1\times A_1\times A_1$ (если все эллиптические кривые неизогенны), поэтому $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$. Поскольку во всех исследованных выше случаях $G=\operatorname{Hg}(X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\mathbb{C})$, то в силу цитированной выше теоремы Моонена–Зархина $\mathbb{Q}$-пространство инвариантных циклов $H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^4(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(C',s)}$ порождается классами $\smile$-произведений элементов из пространства $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^2(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(C',s)}$. Остается заметить, что согласно лемме 1.5 $\mathbb{Q}$-структура Ходжа $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ имеет тип $(1,1)$, поэтому в силу теоремы Лефшеца о дивизорах она является образом пространства $\operatorname{NS}(X)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ относительно канонического сюръективного отображения $H^2(X,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$. Лемма доказана. 3.2.Будем предполагать в дальнейшем, что $\Delta\neq\varnothing$. Пусть $D^\ast(\delta)$ – маленький проколотый диск на кривой $C$ с центром в точке $\delta\in\Delta$. Спектральная последовательность Лере для вложения $j\colon C'\subset C$ дает точную последовательность смешанных структур Ходжа [22; доказательство предложения 12.5, следствие 13.10, замечание 14.5)]
$$
\begin{equation}
0\,{\to}\, H^1(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\,{\to}\, H^1(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,{\to}\, H^0(C,R^1j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,{\to}\, H^2(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
H^0(C,R^1j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})= \bigoplus_{\delta\in\Delta} H^1(D^\ast(\delta),R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, \bigoplus_{\delta\in\Delta} H^3(X_s,\mathbb{Q})/N_\delta H^3(X_s,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
пространство $H^3(X_s,\mathbb{Q})$ ($s\in C'$) снабжено предельной смешанной структурой Ходжа, ассоциированной с локальной монодромией $\gamma_\delta$ вокруг точки $\delta\in C$ (преобразованием Пикара–Лефшеца) и $N_\delta=\log \gamma_\delta$. Согласно теореме о локально инвариантных циклах и (1.3) последовательность (3.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
0\to H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^1(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \to \bigoplus_{\delta\in\Delta} H^3(X_s,\mathbb{Q})/N_\delta H^3(X_s,\mathbb{Q}) \to 0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
С другой стороны, вырожденные спектральные последовательности Лере (см. [22; следствие 15.15], [21; теорема 4.1.1])
$$
\begin{equation*}
E_2^{p,q}(\pi)=H^p(C,R^q\pi_\ast\mathbb{Q}),\qquad E_2^{p,q}(\pi')=H^p(C',R^q\pi'_\ast\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
дают канонические точные последовательности смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [33; (2.4)]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&\to H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\to \operatorname{Ker}[H^4(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})] \\ &\xrightarrow{\alpha_{4X}} H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\to 0, \\ 0&\to H^2(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\to \operatorname{Ker}[H^4(X',\mathbb{Q})\to H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})] \\ &\xrightarrow{\alpha'_{4X}} H^1(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\to 0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
с сюръективными краевыми отображениями $H^4(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})$ [22; следствие 15.14] и $H^4(X',\mathbb{Q})\to H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$ [21; доказательство теоремы 4.1.1]. В силу известного свойства функториальности спектральной последовательности Лере каноническое вложение $\iota_{X'/X}\colon X'\hookrightarrow X$ задает гомоморфизмы $E_2^{p,q}(\pi)\to E_2^{p,q}(\pi')$, совместимые с дифференциалами и фильтрациями (см. [36; § 2.4], [34; т. II, предложение 4.8]). Принимая во внимание равенство $H^2(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$ (потому что когомологическая размерность аффинной кривой $C'$ равна $1$ [41; гл. VI, § 7, теорема 7.2]), мы получаем в рассматриваемом случае [33; п. 2.5]
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^n(X,\mathbb{Q})=E^n=E^n_0\supset E^n_1\supset E^n_2\supset 0, \\ E^n_2=H^2(C,R^{n-2}\pi_\ast\mathbb{Q})=\operatorname{Ker}[K_{nX}\to H^1(C,R^{n-1}\pi_\ast\mathbb{Q})], \\ E^n_1/E^n_2=H^1(C,R^{n-1}\pi_\ast\mathbb{Q}),\qquad E^n_0/E^n_1=H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q}), \\ H^n(X',\mathbb{Q})={E'}^n={E'}^n_0\supset {E'}^n_1\supset 0, \\ {E'}^n_1=H^1(C',R^{n-1}\pi'_\ast\mathbb{Q}), \qquad {E'}^n_0/{E'}^n_1=H^0(C',R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, принимая во внимание коммутативную диаграмму (15.1) в [22], формулы (3.6), (3.7) и коммутативность диаграммы морфизмов мы получаем коммутативную диаграмму смешанных $\mathbb{Q}$-структур Ходжа с точными строками где отображение $\overline{\varphi_4}$ определено формулой $x+H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\,{\mapsto}\,\varphi_4(x)$. 3.3.Для любой точки $\delta\in\Delta$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m_\delta :=\operatorname{Card}(\mathcal M_\delta/\mathcal M_\delta^0),\qquad m := \prod_{\delta\in\Delta}m_\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем простое число $p$, не являющееся делителем числа $m$. Обозначим через $p^{m!}_{X/C}\colon X-\to X$ рациональное отображение, совпадающее на общем схемном слое $X_\eta$ структурного морфизма $\pi\colon X\to C$ с изогенией умножения на число $p^{m!}$. В силу универсального свойства модели Нерона [17; (1.1.2)] имеется канонический изоморфизм
$$
\begin{equation}
\operatorname{End}_C(\mathcal M)\,\widetilde{\to}\, \operatorname{End}_{\kappa(\eta)}(X_\eta).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Рассмотрим коммутативную диаграмму разрешения неопределенностей рационального отображения $p^{m!}_{X/C}$. Согласно результатам Хиронаки и (3.9) можно считать, что морфизм $\sigma$ является композицией моноидальных преобразований с неособыми центрами, причем $\sigma|_{\sigma^{-1}(\mathcal M)}\colon \sigma^{-1}(\mathcal M)\to \mathcal M$ является тождественным морфизмом.Пусть $[p^{m!}_{X/C}]^\ast\colon H^\ast(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\,{\mapsto}\,\sigma_\ast\nu^\ast(x)} H^\ast(X,\mathbb{Q})$ – линейный оператор, определенный диаграммой (3.10). Ясно, что ограничение отображения $p^{m!}_{X/C}$ на абелеву схему $\pi'\colon X'\to C'$ является $C'$-изогенией, поэтому определен линейный оператор $[p^{m!}_{X'/C'}]^\ast$: $H^4(X',\mathbb{Q})\to H^4(X',\mathbb{Q})$, действующий на конечномерном в силу (3.6) подпространстве
$$
\begin{equation*}
H^1(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\subset H^4(X',\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
и на факторпространстве $H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$ как умножения на числа $p^{3m!}$ и $p^{4m!}$ соответственно, потому что для любого слоя $X_s$ абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ изогения умножения на число $p^{m!}$ индуцирует умножение на $p^{m!}$ в пространстве $H^1(X_s,\mathbb{Q})$ [2; лемма 2A3, п. 2A11] и $R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}=\wedge^nR^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$. Из этих свойств оператора $[p^{m!}_{X'/C'}]^\ast$ и стандартного алгоритма [44; гл. III, § 19, п. 2] следует существование канонического расщепления
$$
\begin{equation*}
H^4(X',\mathbb{Q})=H^1(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
которое в силу коммутативности диаграммы (3.8) дает каноническое расщепление
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Im}(\varphi_4)=H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что согласно (1.1) имеется точная последовательность $\mathbb{Q}$-структур Ходжа
$$
\begin{equation}
0\to(i_\Delta f)_\ast\,H^2(Z,\mathbb{Q})\to H^4(X,\mathbb{Q})\to H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \oplus H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\to 0.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\subset (i_\Delta f)_\ast\,H^2(Z,\mathbb{Q})
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
в силу тривиальности отображения ограничения $\varphi_4|_{H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})}$, совпадающего с каноническим отображением $H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^2(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=0$. В итоге диаграмма (3.8) дает коммутативную диаграмму $\mathbb{Q}$-структур Ходжа 3.4.Далее мы предполагаем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}\,} \bigl(\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)}\,\bigr) =\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если абелево многообразие $\mathcal M_\eta$ имеет хорошую редукцию в любой точке $s\in C$, то стандартная гипотеза $B(X)$ верна [3; следствие 11.5]. Поэтому можно предполагать, что имеется хотя бы одна точка плохой редукции, все плохие редукции абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ полустабильные и имеют торический ранг $1$, для любых точек $\delta,\delta'\in C$ плохих редукций гипотеза Ходжа об алгебраических циклах верна для произведения $A_\delta\times A_{\delta'}$ абелевых многообразий $A_\delta$, $A_{\delta'}$ – факторов связных компонент нейтральных элементов специальных слоев минимальной модели Нерона по модулю торических частей (условие об алгебраичности циклов Ходжа автоматически выполнено, если абелевы многообразия $A_\delta$, $A_{\delta'}$ изогенны произведениям эллиптических кривых [25; теорема B.72]). В этом случае мы утверждаем, что
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q}) =\operatorname{cl}_X(H)\,{\smile}\, H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Действительно, в рассматриваемом случае группа Ходжа общего геометрического слоя является $\mathbb{Q}$-простой алгебраической группой по теореме Борового [45], ее алгебра Ли имеет тип $C_4$ или $A_1\times A_1\times A_1$ над полем $\overline{\mathbb{Q}}$, поэтому из тривиальности следа абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ и $\mathbb{Q}$-простоты группы Ходжа общего геометрического слоя следует, что инвариантные циклы на общем геометрическом слое совпадают с циклами Ходжа и происходят из пересечений дивизоров в силу теоремы (0.1) в [29]. В частности, $\mathbb{Q}$-пространства инвариантных циклов $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ и $H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$ являются $1$-мерными, потому что в силу классификации групп Нерона–Севери простых абелевых многообразий [46; § 21] имеется изоморфизм $\operatorname{NS}(\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})\,\widetilde{\to}\,\mathbb{Z}$. В итоге из (1.4) следует, что $\mathbb{Q}$-пространства $H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})$ и $H^2(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})$ являются $1$-мерными. Согласно (2.1), сильной теореме Лефшеца и теореме о локально инвариантных циклах (см. [22; предложение 15.12], [23; п. 3.7]) имеем включение $\operatorname{cl}_X(H) \smile H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q}) \hookrightarrow H^2(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})$. Это доказывает формулу (3.14). Наконец,
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}_X(H)\,{\smile}\,K_{4X}\subset K_{6X}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
согласно (2.12). Двойственность Пуанкаре на слоях гладкого морфизма $\pi'$: $X'\to C'$ и теорема о локально инвариантных циклах дают равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dim_\mathbb{Q} H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) &=\dim_\mathbb{Q} H^1(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &=\dim_\mathbb{Q} H^1(C,j_\ast R^5\pi'_\ast\mathbb{Q})= \dim_\mathbb{Q} H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому остается воспользоваться формулами (3.16), (2.1) и (3.14). 3.5.Многообразие $X_{\delta i}$ является замыканием неприводимой компоненты $\mathcal M_{\delta i}$ алгебраической группы $\mathcal M_\delta$ в топологии Зариского многообразия $X$. С другой стороны, имеется точная последовательность алгебраических групп
$$
\begin{equation}
1\to\operatorname{Gm}\to\mathcal M_\delta^0\xrightarrow{f_\delta} A_\delta\to 0,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
где $A_\delta$ – некоторое абелево многообразие размерности $3$. Всюду в дальнейшем через $\operatorname{alb}_{\delta i}\colon X_{\delta i}\to\operatorname{Alb}(X_{\delta i})$ обозначается отображение Альбанезе, которое определено однозначно с точностью до сдвига на абелевом многообразии $\operatorname{Alb}(X_{\delta i})$ [47; гл. II, § 3, теорема 11]. Известно [14; доказательство формулы (3.25)], что отображение $\operatorname{alb}_{\delta i}$ сюръективное и
$$
\begin{equation}
\forall\, i \quad\operatorname{Alb}(X_{\delta i})=A_\delta.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
3.6.Согласно свойству (v) компактификации Кюннемана $C$-групповой закон $\mathcal M^0\times_C\mathcal M^0\to \mathcal M^0$ продолжается до группового $C$-действия $\mathcal M^0 \times_C X\to X$. Поэтому групповой закон $\mathcal M^0_\delta\times\mathcal M^0_\delta\to \mathcal M^0_\delta$ продолжается до группового действия $\mathcal M^0_\delta\times X_\delta\to X_\delta$, задающего на неприводимой компоненте $X_{\delta i} \subset X_\delta$ структуру контракт-произведения (contraction product) $\mathcal M^0_{\delta}\times^{T_{\mathcal M^0_{\delta}}} Z_{\delta i}$ для некоторого гладкого проективного торического многообразия $T_{\mathcal M^0_{\delta}}\hookrightarrow Z_{\delta i}$ [15; (2)], где $T_{\mathcal M^0_{\delta}}$ – максимальный подтор в полуабелевом многообразии $\mathcal M^0_{\delta}$, определенный точной последовательностью алгебраических групп (3.17). Напомним, что группа $\mathcal M^0_{\delta}$ свободно действует на $\mathcal M^0_{\delta}\times Z_{\delta i}$ по правилу $g(w,z)=(gw,g^{-1}z)$, фактор $[\mathcal M^0_{\delta} \times Z_{\delta i}]/\mathcal M^0_{\delta}$ по действию группы $\mathcal M^0_{\delta}$ является пучком на $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ относительно $fppf$-топологии и называется контракт-произведением $\mathcal M^0_{\delta}\times^{T_{\mathcal M^0_{\delta}}} Z_{\delta i}$ [48; гл. III, § 1, определение 1.3.1], [16; п. 1.19]. 3.7.Пусть $S$ – схема, $A$ – абелева схема над $S$, $A^\vee$ – двойственная схема, $\mathcal P$ – универсальное жесткое линейное расслоение Пуанкаре на схеме $A\times_SA^\vee$. Тогда $\operatorname{Isom}_{A\times_SA^\vee}(\mathcal O_{A\times_SA^\vee}, \mathcal P)$ является $\operatorname{Gm}$-торсором Пуанкаре на $A\times_SA^\vee$ и бирасширением абелевых схем $A$ и $A^\vee$ тором $\operatorname{Gm}$; в частности, над $A^\vee$ он является универсальным расширением $A$ тором $\operatorname{Gm}$, и над $A$ он является универсальным расширением $A^\vee$ тором $\operatorname{Gm}$ [49; § 3]. Теория $\operatorname{Gm}$-торсоров Пуанкаре абелевых многообразий и алгоритм Кюннемана [50; с. 431, 432] дают изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\varphi_{H_l}\colon H^\ast_{\text{\'et}}(A_\delta,\mathbb{Q}_l)\,\otimes_{\mathbb{Q}_l}\,H^\ast_{\text{\'et}}(Z_{\delta i},\mathbb{Q}_l)\,\widetilde{\to}\, H^\ast_{\text{\'et}}(X_{\delta i},\mathbb{Q}_l),
\end{equation*}
\notag
$$
основанный на построении специальной деформации контракт-произведения $X_{\delta i}=\mathcal M^0_{\delta}\times^{T_{\mathcal M^0_{\delta}}}Z_{\delta i}$ в декартово произведение $A_{\delta}\times Z_{\delta i}$ и разложении Кюннета этальных когомологий с коэффициентами в поле $\mathbb{Q}_l$. Более того, используя классическую теорию деформаций Кодаиры–Спенсера [51] вместо алгебраической теории деформаций (которую использует Кюннеман), легко построить изоморфизм рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation}
\varphi_H\colon H^\ast(A_\delta,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^\ast(Z_{\delta i},\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^\ast(X_{\delta i},\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
3.8.Имеется коммутативная диаграмма разрешения неопределенностей рационального отображения $p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}$, где морфизм $\sigma_{\delta i}$ является композицией моноидальных преобразований с неособыми центрами, лежащими над многообразием $X_{\delta i}\setminus\mathcal M_\delta$ [52; теорема 0.1.1]. Принимая во внимание коммутативную диаграмму с точными строками морфизмов алгебраических групп [14; (3.30)] мы видим, что рациональное отображение $p^{m!}_{X/C}|_{Z_{\delta i}}$ регулярно на открытом подмножестве $\operatorname{Gm}\subset Z_{\delta i}$ торического $1$-мерного многообразия $Z_{\delta i}=\mathbb P^1$ и индуцирует на $\mathbb{Q}$-пространстве $H^2(Z_{\delta i},\mathbb{Q})$ умножение на число $p^{m!}$. Кроме того, мы получаем из (3.19) каноническое разложение рациональных структур Ходжа
$$
\begin{equation}
H^2(A_\delta,\mathbb{Q})\oplus H^2(Z_{\delta i},\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q}),
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
согласованное с действием оператора $[p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}]^\ast|_{H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q})}{\kern1pt}{:=}{\kern1pt}[\sigma_{\delta i}]_\ast [\nu_{\delta i}]^\ast|_{H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q})}$, причем этот оператор действует на $\mathbb{Q}$-подпространстве $H^2(A_\delta,\mathbb{Q})\,{=}\,\wedge^2H^1(A_\delta,\mathbb{Q})$ как умножение на число $p^{2m!}$ (в силу коммутативности диаграммы (3.34) в [14]) и по доказанному выше действует на $\mathbb{Q}$-подпространстве $H^2(Z_{\delta i},\mathbb{Q})$ когомологий торического многообразия $Z_{\delta i}$ как умножение на число $p^{m!}$. 3.9.В силу выбора простого числа $p$ имеется равенство (см. [43; п. 4.2], [14; п. 3.8])
$$
\begin{equation*}
[p^{m!}_{X/C}]^\ast|_{H^2(X,\mathbb{Q})}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}))= \operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, принимая во внимание формулу (2.23), [40; гл. 2, § 8, (5)] и функториальность рассматриваемых конструкций, получаем
$$
\begin{equation}
[p^{m!}_{X/C}]^\ast(\iota_{X_{\delta i}/X\ast}(\alpha))= [p^{m!}_{X/C}]^\ast(\alpha\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})) =[p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}]^\ast(\alpha)\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Согласно (1.1), (2.22), (3.20), (3.21) и результатам п. 3.8 получаем канонические разложения $\mathbb{Q}$-структур Ходжа и $\mathbb{Q}\bigl[[p^{m!}_{X/C}]^\ast\bigr]$-модулей
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})=\Sigma_1\oplus \Sigma_2 \notag \\ &\qquad :=\biggl[\sum_{\delta\in\Delta,\,i} H^2(A_\delta,\mathbb{Q})\,{\smile} \operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\biggr]\oplus\biggl[\sum_{\delta\in\Delta,\,i}H^2(Z_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
где оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ действует на $\mathbb{Q}$-подпространстве $\Sigma_1$ как умножение на число $p^{2m!}$ и действует на $\mathbb{Q}$-подпространстве $\Sigma_2$ как умножение на число $p^{m!}$. Поэтому результаты и алгоритм п. 3.3, (3.22) и точная последовательность (3.11) дают канонические разложения рациональных структур Ходжа и $\mathbb{Q}\bigl[[p^{m!}_{X/C}]^\ast\bigr]$-модулей
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H^4(X,\mathbb{Q}) &=\Sigma_1\oplus \Sigma_2 \oplus H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}) \notag \\ &=\Sigma_1\oplus \Sigma_2 \oplus H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ канонически действует на прямых слагаемых как умножение на числа $p^{2m!}, p^{m!}, p^{3m!}, p^{4m!}$ соответственно. 3.10.Лемма. Имеется каноническое включение Доказательство. Согласно (1.1), (3.12), (3.22) имеется каноническое включение
$$
\begin{equation}
H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\subset (i_\Delta f)_\ast\,H^2(Z,\mathbb{Q})=\Sigma_1\oplus \Sigma_2.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
С другой стороны, точная последовательность (3.7) дает каноническое отождествление $K_{4X}/H^2(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\, H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})$. Кроме того, принимая во внимание коммутативную диаграмму (3.13) и разложение (3.23), мы получаем канонические вложения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{4X} &=\operatorname{Ker}[H^4(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^4\pi_\ast\mathbb{Q})]\subset \operatorname{Ker}[H^4(X,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})] \\ &=\Sigma_1\oplus \Sigma_2 \oplus H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому согласно (3.24) мы получаем каноническое разложение Поскольку оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast\colon H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\to H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$, действующий на $1$-мерном (в силу результатов п. 3.4) $\mathbb{Q}$-пространстве $H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$, является гомотетией с коэффициентом $p^{2m!}$, то сильная теорема Лефшеца, теорема о локально инвариантных циклах (утверждающая сюръективность канонического отображения $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}\to j_\ast R^n\pi'_\ast\mathbb{Q}$ с ядром, сосредоточенным на конечном множестве $\Delta$, см. [23; п. 3.7], [22; предложение 15.12]), и разложения (3.23) дают канонические разложения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H^6(X,\mathbb{Q}) &=[\Sigma_1\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)]\oplus [\Sigma_2\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)]\oplus H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q}) \oplus H^0(C',R^6\pi'_\ast\mathbb{Q}) \notag \\ &=[\Sigma_1\,{\smile}\,H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})]\oplus [\Sigma_2\,{\smile}\,H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})] \notag \\ &\qquad\oplus H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
где в силу результатов п. 3.9 оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ действует на прямых слагаемых как умножение на числа $p^{4m!}$, $p^{3m!}$, $p^{5m!}$, $p^{6m!}$ соответственно. Имеется точная последовательность $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [33; (2.4)]
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,R^{10}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to K_{12Y} \xrightarrow{\alpha_{12Y}} H^1(C,R^{11}(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})\to 0.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Согласно теореме о локально инвариантных циклах она принимает вид
$$
\begin{equation}
0\to H^2(C,j_\ast R^{10}\tau'_\ast\mathbb{Q})\to K_{12Y} \xrightarrow{\alpha_{12Y}} H^1(C,j_\ast R^{11}\tau'_\ast\mathbb{Q})\to 0.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Из (3.25), (3.28) и функториальности рассматриваемых конструкций мы получаем коммутативную диаграмму $\mathbb{Q}$-структур Ходжа с точными строками где отображение когомологий $[p'_{2\ast}]_k\colon H^k(C,j_\ast R^{8+l}\tau'_\ast\mathbb{Q})\to H^k(C,j_\ast R^l\pi'_\ast\mathbb{Q})$ индуцируется каноническим отображением пучков $p'_{2\ast}\colon R^{8+l}\tau'_\ast\mathbb{Q}\to R^l\pi'_\ast\mathbb{Q}$. Лемма доказана. 3.11.Лемма. Алгебраический класс $(\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}\bigr]\in H^8(X\times X,\mathbb{Q})$ определяет алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation}
H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,(\iota\sigma)_\ast[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}])}} H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Доказательство. Принимая во внимание функториальность рассматриваемых конструкций, формулу (2.13), коммутативность диаграммы в которой отображение $K_{6Y}\xrightarrow{\smile\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,3}}K_{12Y}$ определено в силу формулы (2.11) и равенства [40; гл. 2, § 8, (5)]
$$
\begin{equation*}
\iota_{Y_s/Y}^\ast(\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,3}\,{\smile}\,K_{6Y}) =\iota_{Y_s/Y}^\ast(\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,3})\,{\smile}\, \iota_{Y_s/Y}^\ast(K_{6Y})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а также формулу (3.29), мы получаем коммутативную диаграмму склеенную из коммутативных диаграмм и С другой стороны, согласно (3.15), (3.25), сильной теореме Лефшеца и теореме о локально инвариантных циклах имеем каноническое вложение $\mathbb{Q}$-структур Ходжа
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q}) &=H^1(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\, H^0(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &=H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)\hookrightarrow K_{6X}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому диаграммы (3.31)–(3.33) дают коммутативную диаграмму Поскольку композиция отображений в нижней строке диаграммы (3.34) дает изоморфизм (2.10), то очевидно, что композиция отображений в верхней строке диаграммы (3.34) дает изоморфизм
$$
\begin{equation}
H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto}\, (p_2\sigma)_\ast((p_1\sigma)^\ast x\,{\smile}\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})^{\smile\,3})}} H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}).
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Для любого элемента $x\in H^6(X,\mathbb{Q})$ формула проекции [2; п. 1.2.A] дает равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(p_2\sigma)_\ast\bigl((p_1\sigma)^\ast x\,{\smile}\,[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}\bigr)= [\operatorname{pr}_2\iota\sigma]_\ast \bigl([\operatorname{pr}_1\iota\sigma]^\ast x\,{\smile}\,[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}\bigr) \\ &\ =\operatorname{pr}_{2\ast}(\iota\sigma)_\ast \bigl((\iota\sigma)^\ast\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}\bigr)= \operatorname{pr}_{2\ast}\bigl(\operatorname{pr}_1^\ast x\,{\smile}\,(\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}\bigr]\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
§ 4. Окончание доказательства теоремы4.1.Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_{\Sigma_1,\Sigma_1},\quad u_{\Sigma_1,\Sigma_2},\quad u_{\Sigma_1,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})},\quad u_{\Sigma_1,H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}, \\ u_{\Sigma_2,\Sigma_1},\quad u_{\Sigma_2,\Sigma_2},\quad u_{\Sigma_2,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})},\quad u_{\Sigma_2,H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}, \\ u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_1},\quad u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_2},\quad u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}, \\ u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})},\quad u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_1},\quad u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_2}, \\ u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})},\quad u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})},\quad h \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
есть компоненты алгебраического соответствия $u:=(\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\smile\,3}\bigr]$ в прямых слагаемых
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Sigma_1\otimes_\mathbb{Q} \Sigma_1,\quad \dots, \quad H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}), \\ H_\mathbb{Q}:=\bigoplus_{p+q=8,\,p\neq 4} H^p(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^q(X,\mathbb{Q}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
определенных разложениями (3.23) и разложением Кюннета $\mathbb{Q}$-пространства $H^8(X\times X,\mathbb{Q})$. Очевидно, что операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast &=[\sigma_\ast\nu^\ast]\otimes_\mathbb{Q} [1_{X/C}]^\ast, \\ [1_{X/C}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[p_{X/C}^{m!}]^\ast &=[1_{X/C}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[\sigma_\ast\nu^\ast] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
трансформируют $\mathbb{Q}$-подпространство $H_\mathbb{Q}\subset H^8(X\times X,\mathbb{Q})$ в пространство $H_\mathbb{Q}$ и трансформируют алгебраические классы когомологий в алгебраические классы [2; предложение 1.3.7]. Согласно результатам п. 3.9 оператор $[p_{X/C}^{m!}]^\ast\colon H^4(X,\mathbb{Q})\to H^4(X,\mathbb{Q})$ действует на прямых слагаемых разложений (3.23) как умножение на числа $p^{2m!}$, $p^{m!}$, $p^{3m!}$, $p^{4m!}$ соответственно. Действуя операторами $[p_{X/C}^{m!}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[1_{X/C}]^\ast$, $[1_{X/C}]^\ast\otimes_\mathbb{Q}[p_{X/C}^{m!}]^\ast$ на алгебраический класс $u$ по модифицированному методу Либермана [2; п. 2A11] (адаптированному к случаю, когда умножение на число $p^{m!}$ на общем схемном слое определяет рациональное отображение многообразия $X$), легко проверить, что для некоторых элементов $h_j\in H$ классы когомологий
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_{\Sigma_1,\Sigma_1}+h_1,\quad u_{\Sigma_1,\Sigma_2}+h_2,\quad u_{\Sigma_1,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}+h_3,\quad u_{\Sigma_1,H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_4, \\ u_{\Sigma_2,\Sigma_1}+h_5,\quad u_{\Sigma_2,\Sigma_2}+h_6,\quad u_{\Sigma_2,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}+h_7,\quad u_{\Sigma_2,H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_8, \\ u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_1}+h_9,\quad u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_2}+h_{10}, \\ u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}+h_{11},\quad u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_{12}, \\ u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_1}+h_{13},\quad u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_2}+h_{14}, \\ u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}+h_{15},\quad u_{H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_{16} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
алгебраические. 4.2.По определению прямого образа на когомологиях имеем [35; (1.2)]
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}_{2\ast}(H^i(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^\ast(X,\mathbb{Q}))=0 \quad\text{для всех} \quad i\neq 10.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому соответствия из $\mathbb{Q}$-пространства $H_\mathbb{Q}$ аннулируют $\mathbb{Q}$-пространство $H^6(X,\mathbb{Q})$. Сильная теорема Лефшеца для многообразия $X_{\delta i}$ обеспечивает существование вложения
$$
\begin{equation*}
H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\,\iota^\ast_{X_{\delta i}/X}\operatorname{cl}_X(H) \subset H^4(X_{\delta i},\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому формула проекции [2; п. 1.2.A] и (2.23) дают включение
$$
\begin{equation*}
\iota_{X_{\delta i}/X\ast}H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile} \operatorname{cl}_X(H)\subset \iota_{X_{\delta i}/X\ast}H^4(X_{\delta i},\mathbb{Q}) =H^4(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что из (2.22) следует существование канонического вложения
$$
\begin{equation}
(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\smile\,\operatorname{cl}_X(H)\subset \sum_{\delta,i} H^4(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
С другой стороны, из теоремы о локально инвариантных циклах, (2.22), (2.23) и (2.25) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\,(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q}) \\ &\qquad\subset H^1(C,j_\ast R^5\pi'_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\, \sum_{\delta,\,i}H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\,H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad=H^1(C,j_\ast R^5\pi'_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\,H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\subset H^1(C,j_\ast R^9\pi'_\ast\mathbb{Q})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, согласно (3.22) и лемме 3.11 алгебраическое соответствие
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_1}+h_9+u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_2}+h_{10} \\ &\qquad+u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}+h_{11} +u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_{12} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
задает алгебраический изоморфизм $H^1(C,R^5\pi_\ast\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})$. Кроме того, это соответствие аннулирует прямые слагаемые
$$
\begin{equation*}
\Sigma_1\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H), \quad \Sigma_2\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H), \quad H^0(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
в разложениях (3.26) $\mathbb{Q}$-пространства $H^6(X,\mathbb{Q})$, потому что в силу (2.22), (2.23) и (2.25) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H) \,{\smile}\,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\subset \sum_{\delta,\,i}H^2(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H) \,{\smile}\,H^1(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})=0, \\ &H^0(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\subset H^0(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q})\,{\smile}\,H^1(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\subset H^1(C,j_\ast R^9\pi'_\ast\mathbb{Q})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем равенство
$$
\begin{equation}
\bigl[[(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)]\oplus H^0(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr] \,{\smile}\,H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Из этих фактов и из невырожденности [2; п. 1.2A] билинейной формы
$$
\begin{equation*}
\Phi\colon H^4(X,\mathbb{Q})\times H^4(X,\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\,{\mapsto}\,x\,{\smile}\,y\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)} H^{10}(X,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}(-5)\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{(2\pi i)^5}}\mathbb{Q},
\end{equation*}
\notag
$$
а также из невырожденности [22; предложение 10.5] ее ограничения
$$
\begin{equation*}
\Psi_1 := \Phi|_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}\colon H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\times H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\xrightarrow{x\times y\,{\mapsto}\,\langle x\,{\smile}\,y\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)\rangle}\mathbb{Q}
\end{equation*}
\notag
$$
следует невырожденность ограничения $\Psi_2$ формы $\Phi$ на $\mathbb{Q}$-подпространство
$$
\begin{equation*}
(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}) =\Sigma_1\oplus \Sigma_2\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{Q}$-пространство $\Sigma_2 \oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$ порождается алгебраическими классами согласно определению (3.22), потому что для торического многообразия $Z_{\delta i}$ $\mathbb{Q}$-пространство $H^2(Z_{\delta i},\mathbb{Q})$ порождается алгебраическими классами [53; предложение 10.4] и в силу леммы 3.1 $\mathbb{Q}$-пространство $H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$ порождается образами классов пересечений дивизоров на многообразии $X$ относительно канонического сюръективного отображения $H^4(X,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$. 4.3.Рассматривая в случае необходимости замену базы $X\times_C\widetilde{C}\to \widetilde{C}$, определенную подходящим разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$ достаточно большой степени, неразветвленным над точками плохой редукции, и принимая во внимание, что каноническая проекция $X\times_C\widetilde{C}\to X$ является сюръективным морфизмом гладких проективных многообразий (и, следовательно, $B(X\times_C\widetilde{C})\Rightarrow B(X)$ [3; теорема 1.6]), мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\dim_\mathbb{Q}[\Sigma_2\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})]\geqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае из результатов [43; п. 1.2] следует, что корректно определены алгебраический класс Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp(\Sigma_2\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}))
\end{equation*}
\notag
$$
и (a priori необязательно алгебраический) класс Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
порождающий $1$-мерное пространство инвариантов диагонального действия группы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SO}\bigl(\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr),\Psi_2\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
на тензорном квадрате $\mathbb{Q}$-пространства $(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})$. По аналогичным причинам можно считать, что и поэтому корректно определен класс Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp(\Sigma_1)=\wp\biggl(\sum_{\delta\in\Delta,\, i} H^2(A_\delta,\mathbb{Q})\,{\smile}\, \operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
4.4.Поскольку класс Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp(\Sigma_1)\in\biggl(\sum_{\delta\in\Delta,\, i} H^2(A_\delta,\mathbb{Q})\,{\smile}\, \operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\biggr)\otimes_\mathbb{Q}\biggl(\sum_{\delta\in\Delta,\, i} H^2(A_\delta,\mathbb{Q})\,{\smile}\,\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
является циклом Ходжа [43; п. 1.2], то согласно условию теоремы об алгебраичности циклов Ходжа на произведениях вида $A_\delta\times A_{\delta'}$ он алгебраический. Используя стандартные аргументы [43; пп. 1.2, 3.5], можно считать, что имеется равенство классов Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr)=\wp(\Sigma_1)+\wp\bigl(\Sigma_2\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
так что все рассматриваемые классы Пуанкаре алгебраические. С другой стороны, разложения (3.23) и невырожденность симметрических билинейных форм $\Psi_1$, $\Psi_2$ дают каноническое вложение алгебраических групп
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{SO}\bigl(H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Psi_1\bigr) \times \operatorname{SO}\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}),\Psi_2\bigr) \\ &\qquad \hookrightarrow \operatorname{SO}\bigl(H^4(X,\mathbb{Q}),\Phi\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое, в свою очередь, дает включение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{Q}\cdot\wp\bigl(H^4(X,\mathbb{Q})\bigr)\subset H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \notag \\ &\qquad+\mathbb{Q}\cdot\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Поскольку соответствие $\wp(H^4(X,\mathbb{Q}))$ определяет изоморфизм [43; п. 1.2]
$$
\begin{equation*}
H^6(X,\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{x\,{\mapsto} \operatorname{pr}_{2\ast}(\operatorname{pr}_1^\ast(x)\,{\smile}\,\wp(H^4(X,\mathbb{Q})))}} H^4(X,\mathbb{Q}),
\end{equation*}
\notag
$$
то из (3.26), (4.2), (4.3) следует, что алгебраический класс Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
определяет алгебраический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\,{\smile}\operatorname{cl}_X(H)\oplus H^0(C,j_\ast R^6\pi'_\ast\mathbb{Q}) \\ &\qquad\widetilde{\to}\, (i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому алгебраическое соответствие
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_1}+h_9+u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),\Sigma_2}+h_{10} +u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})}+h_{11} \\ &\ +u_{H^1(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}),H^0(C',R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})}+h_{12} +\wp\bigl((i_\Delta f)_\ast H^2(Z,\mathbb{Q})\oplus H^0(C,j_\ast R^4\pi'_\ast\mathbb{Q})\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
дает алгебраический изоморфизм $H^6(X,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^4(X,\mathbb{Q})$. Теорема доказана. Автор благодарит рецензента, предложившего существенные улучшения первоначального текста.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tan22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|