Аннотация:
Исследуются условия, налагаемые на множество M в банаховом пространстве X, необходимые или достаточные для того, чтобы множество R(M) сумм x1+⋯+xn, xk∈M, было всюду плотно в X.
Выделяются условия, при которых замыкание ¯R(M) является аддитивной подгруппой в X, и условия, при которых эта аддитивная подгруппа плотна в X. Доказывается, в частности, что если M – замкнутая спрямляемая кривая в равномерно выпуклом и равномерно гладком пространстве X, не лежащая целиком ни в каком замкнутом полупространстве {x∈X:f(x)⩾0}, f∈X∗, и минимальная в том смысле, что всякая ее собственная поддуга лежит в некотором открытом полупространстве {x∈X:f(x)>0}, то ¯R(M)=X. Полученные результаты применяются к аппроксимациям в различных функциональных пространствах.
Библиография: 25 наименований.
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президента РФ «Поддержка ведущих научных школ России» (грант № НШ-3682.2014.1) и РФФИ (гранты № 14-01-00510, 14-01-91158).
Поступило в редакцию: 03.02.2014 Исправленный вариант: 21.04.2014