Об одной задаче М. А. Лаврентьева о представимости функций рядами полиномов в комплексной области

М. А. Лаврентьевым был построен пример компактного множества $E$ в $\mathbb C$ такое, что $E$ совпадает с границей области, содержащей $\infty$, и любая порция $E$ разбивает плоскость. Пусть $\{D_{n_k}\}$ и $\{D_{m_k}\}$ – две одпоследовательности ограниченных, дополнительных к $E$ областей таких, что любая окрестность каждой точки $E$ содержит области из обеих подпоследовательностей. Пусть функции $f_1(z)$ и $f_2(z)$ определены в круге $U$, содержащем $E$, регулярны вне $E$, совпадают во всех областях из $\{D_{n_k}\}$ и всюду в $U$ являются пределами точечно сходящихся последовательностей полиномов. Существуют ли всегда при этих условиях области из $\{D_{m_k}\}$, в которых $f_1$ и $f_2$ тождественно совпадают? На этот вопрос М. А. Лаврентьева в работе дается отрицательный ответ.
Библиография: 15 наименований.