Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве

В настоящем обзоре мы рассматриваем оператор метрического проектирования из вещественного гильбертова пространства на замкнутое подмножество. Мы обсуждаем вопрос: когда этот оператор непрерывен по Липшицу? Во-первых, мы рассматриваем класс сильно выпуклых множеств с радиусом $R$, т. е. каждое множество из этого класса есть непустое пересечение замкнутых шаров радиуса $R$. Мы доказываем, что сужение оператора метрического проектирования на дополнение к окрестности радиуса $r$ сильно выпуклого множества с радиусом $R$ непрерывно по Липшицу с константой Липшица $C=R/(r+R)\in (0,1)$. Наоборот, если для замкнутого выпуклого множества из вещественного гильбертова пространства оператор метрического проектирования непрерывен по Липшицу с константой Липшица $C\in (0,1)$ на дополнении к окрестности радиуса $r$ этого множества, то множество сильно выпукло с радиусом $R=Cr/(1-C)$.
Известно, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию в некоторой окрестности, то это множество проксимально гладкое. Мы показываем, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию на окрестности радиуса $r$ с константой Липшица $C>1$, то это множество проксимально гладкое с константой проксимальной гладкости $R=Cr/(C-1)$, также если константа $C$ наименьшая возможная, то константа $R$ наибольшая возможная.
Мы применяем полученные результаты к вопросу о сходимости метода проекции градиента.