Аннотация:
В настоящем обзоре мы рассматриваем оператор метрического проектирования из вещественного гильбертова пространства на замкнутое подмножество. Мы обсуждаем вопрос: когда этот оператор непрерывен по Липшицу? Во-первых, мы рассматриваем класс сильно выпуклых множеств с радиусом R, т. е. каждое множество из этого класса есть непустое пересечение замкнутых шаров радиуса R. Мы доказываем, что сужение оператора метрического проектирования на дополнение к окрестности радиуса r сильно выпуклого множества с радиусом R непрерывно по Липшицу с константой Липшица C=R/(r+R)∈(0,1). Наоборот, если для замкнутого выпуклого множества из вещественного гильбертова пространства оператор метрического проектирования непрерывен по Липшицу с константой Липшица C∈(0,1) на дополнении к окрестности радиуса r этого множества, то множество сильно выпукло с радиусом R=Cr/(1−C).
Известно, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию в некоторой окрестности, то это множество проксимально гладкое. Мы показываем, что если замкнутое подмножество вещественного гильбертова пространства имеет непрерывную по Липшицу метрическую проекцию на окрестности радиуса r с константой Липшица C>1, то это множество проксимально гладкое с константой проксимальной гладкости R=Cr/(C−1), также если константа C наименьшая возможная, то константа R наибольшая возможная.
Мы применяем полученные результаты к вопросу о сходимости метода проекции градиента.
Ключевые слова:
гильбертово пространство, функция расстояния, метрическая проекция, сильно выпуклое множество с радиусом R, опорный принцип, опорное условие, проксимальная гладкое (прокс-регулярное) множество, метод проекции градиента.
Образец цитирования:
М. В. Балашов, “Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве”, Фундамент. и прикл. матем., 22:1 (2018), 13–29; J. Math. Sci., 250:3 (2020), 391–403