Эллипсоидальный биллиард с квадратичным потенциалом

Известно, что существует бесконечная иерархия интегрируемых обобщений геодезического потока на $n$-мерном эллипсоиде, описывающих движение материальной точки в силовом поле некоторых полиномиальных потенциалов. В пределе, когда одна из полуосей эллипсоида стремится к нулю, возникают интегрируемые отображения, описывающие биллиарды внутри $(n-1)$-мерного эллипсоида с полиномиальными потенциалами.
В данной статье впервые указываются явные формулы для биллиарда с квадратичным (гуковским) потенциалом, его представление в форме Лакса, решение в тэта-функциях, а также вычисляется производящая функция ограничения отображения на уровень интеграла типа энергии. Метод, с помощью которого были получены тэта-функциональные решения, отличается от использовавшихся ранее и основывается на вычислениях предельных значений мероморфных функций на обобщенных якобианах.