Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальным краевым условием типа теплообмена излучением

Рассматривается нелинейная начально-краевая задача, которая, в частности, описывает нестационарный процесс теплообмена излучением в системе движущихся абсолютно черных тел:
$$\begin{gather} \rho D_tu-\operatorname{div}(A(x,t,u)\nabla u)=f,\quad(x,t)\in Q=G\times(0,T),\label{1}\\ (A(x,t,u)\nabla u,n(x))+h(u(x,t))=\int_{\partial G}h(u(\xi,t))\varphi(\xi,x,t)\,d\sigma(\xi)+g,\quad(x,t)\in S=\partial G\times(0,T),\label{2}\\u(x,0)=u^0(x),\quad x\in G.\label{3} \end{gather}$$
Здесь $G=\bigcup_{j=1}^J G_j$, где $G_j$– ограниченные области в $\mathbb R^N$ ($N\ge2$) такие, что $\bar G_i\cap\bar G_j=\varnothing$ при $i\ne j$. Искомая функция $u(x,t)$ имеет физический смысл абсолютной температуры; $h(u)$ – поверхностная плотность потока излучения ($h(u)=\kappa|u|^3u$ соответствует излучению по закону Стефана–Больцмана), $\int_{\partial G}h(u(\xi,t))\varphi(\xi,x,t)\,d\sigma(\xi)$ – плотность потока поглощаемого в точке $x$ излучения. Спецификой задачи $\eqref{1}$–$\eqref{3}$ является нелинейность и нелокальность краевого условия $\eqref{2}$.
Впервые получены результаты о глобальной по времени и данным разрешимости задачи $\eqref{1}$–$\eqref{3}$. В случае, когда матрица $A$ не зависит от $u$, установлена единственность слабого решения. Показано, что $u\ge0$, если $u^0\ge0$, $f\ge0$, $g\ge0$.
Библиогр. 7 назв.