В. И. Берник, А. Г. Гусакова, А. В. Устинов, “Распределение алгебраических точек в областях малой меры и вблизи поверхностей”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 78

Аннотация: Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных точек вблизи гладких кривых и поверхностей.
Пусть

$I=[a,b]\in\mathbb{R}$ – некоторый интервал,

$y=f(x)$ – дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при

$c_2>c_1>0$ удовлетворяет неравенству

$c_1<|f''(x)|<c_2$
для всех

$x\in I$ . Для произвольного

$\gamma$ ,

$0\leq\gamma< 1$ и достаточно большого

$Q$ обозначим через

$A_I(Q,\gamma)$ множество рациональных точек

$\Gamma=\left(\frac{p_1}{q},\frac{p_2}{q}\right)$ ,

$aq\leq p_1\leq bq$ ,

$1\leq q\leq Q$ , для которых выполняется неравенство

$\left|f\left(\frac{p_1}{q}\right)-\frac{p_2}{q}\right|<Q^{-1-\gamma}.$
Множество

$A_I(Q,\gamma)$ состоит из точек внутри полосы ширины

$2Q^{-\gamma}$ вдоль кривой

$y=f(x)$ ,

$x\in I$ . Естественно ожидать, что величина

$\#A_I(Q,\gamma)$ имеет порядок

$Q^{3-\gamma}$ , что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений.
Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек вида

$\bar{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2)\in\mathbb{R}^2$ , где

$\alpha_1, \alpha_2$ — сопряженные действительные алгебраические числа произвольной степени

$\deg\alpha_1=\deg\alpha_2=n$ и высоты

$H(\alpha_1)=H(\alpha_2)\leq Q$ , в полосе шириной

$c(n)Q^{-\gamma}$ ,

$0\leq\gamma\leq\frac12$ ,

$Q>Q_0(n)$ около любой гладкой кривой

$y=f(x)$ . В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях

$G$ малой меры

$\mu G<c_2(n)Q^{-\gamma_1}$ ,

$0\leq\gamma_1\leq\frac13$ .
Библиография: 16 названий.