Обратные задачи в интегральных формулах

Одним из мощных средств исследования в комплексном анализе являются интегральные представления.
Теория аналитических функций комплексного переменного построена в большей степени на основе интегральной формулы Коши [1].
Значительным классом некорректно поставленных задач, возникших в физике, технике и других областях знаний, являются так называемые обратные задачи [2–4].
Автором [5, 6] для функции $f(z)$, голоморфной в круге $K_R:\, |z|<R$, установлена интегральная формула (она в данной статье приведена во введении как формула (1)), являющаяся решением обратной задачи для интегральной формулы Коши в круге $K_R$. Формула (1), в отличие от формулы Коши, по значениям функции $f(z)$ на любой окружности $C_r: |z|=r \, (0<r<R)$, лежащей в круге $K_R$, или на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри окружности $C_R$ — границы круга $K_R$, выражает ее значения во всех остальных точках круга $K_R$. В [5] получены и решения обратных задач для формул Пуассона [1] и Шварца [7], а в [5, 6] — и для формул производных формулы Коши [1].
Обратная задача для интегральной формулы Пуассона использована [8] для обобщения формулы Пуассона–Иенсена [7], из которого формулы Пуассона–Иенсена и Иенсена вытекают как частные случаи.
Аналогично использована [9] и обратная задача для обобщения формулы Шварца–Иенсена [7].
В случае кольца $D$: $r<|z|<R$ установлено [10] интегральное представление (в [10] это формула (1)) для голоморфной в области $D$ функции $f(z)$, которая, в отличие от формулы Коши для кольца, по значениям $f(z)$ на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри кольца $D$, выражает её значения во всех остальных точках этого кольца, т.е. в [10] решена обратная задача для формулы Коши и в случае кольца $D$.
В статье [11] в случае круга $K_R$ найдено решение обратных задач для интегральных формул, приведённых в [12] (в [12] это формулы (3) и (4)), справедливые для функций, голоморфных в звёздной области относительно начала координат.
Формула Коши имеет место и в случае многих комплексных переменных (см., например, [13]).
В статье [14] в случае поликруга
$$E_R=E(R_1,\ldots,R_n)=\{z=(z_1,\ldots,z_n):\, |z_1|<R_1,\ldots,|z_n|<R_n\}$$
решены обратные задачи как для формулы Коши, так и для вытекающих из неё формул (аналогичные формулам Шварца и Пуассона в случае одного комплексного переменного).
Решены обратные задачи [15] и в случае интегральных формул Темлякова (об этих формулах см., например, [16]).
Наконец, в настоящей статье в случае выпуклой области и круга (соответственно теорема 2 и 3) установлены новые интегральные представления (3) и (5), из которых (3) есть интегральное представление для функций, голоморфных в выпуклой области, а (5) — решение обратной задачи для интегрального представления (3) в круге $K_R$.
Библиография: 16 названий.