Многомерная теорема Гекке о распределении дробных частей

Теорема Гекке о распределения дробных долей на окружности переносится на торы $\mathbb T^D=\mathbb R^D/L$ произвольной размерности $D$. Доказана теорема об ограниченности $|\delta_k(i)|\leq c_kn$ при $i=0,1,2,\dots$ отклонений $\delta_k(i)=r_k(i)-ia_k$ количества попаданий $r_k(i)$ за $i$ шагов точек $S_\beta$-орбиты в область $\mathbb T_k^D\subset\mathbb T^D$ от средней величины $a_k=\operatorname{vol}(\mathbb T_k^D)/\operatorname{vol}(\mathbb T^D)$, где через $\operatorname{vol}(\mathbb T_k^D)$ и $\operatorname{vol}(\mathbb T^D)$ обозначены объемы области $\mathbb T_k^D$ и всего тора $\mathbb T^D$. Рассматриваемые области $\mathbb T_k^D$ обладают следующим свойством: для тора $\mathbb T^D$ существует такая развертка $T^D\subset\mathbb R^D$, что сдвиг $S_\alpha$ тора $\mathbb T^D$ эквивалентен некоторому перекладыванию соответствующих областей $T_k^D$ из разбиения развертки $T^D=T_0^D\sqcup T_1^D\sqcup\dots\sqcup T_D^D$. При этом векторы сдвигов тора $S_\alpha$ и $S_\beta$ связаны условием $\alpha\equiv n\beta\mod L$, где $n$ – любое натуральное число, и константы в неравенствах $c_k$ явным образом выражаются через диаметр развертки $T^D$.