О некоторых арифметических свойствах дробей Фарея

Рядом Фарея порядка $N$ называется множество рациональных несократимых дробей $a/b$ с условиями $1\leqslant a\leqslant b\leqslant N$, упорядоченных по возрастанию. Дроби Фарея возникают естественым образом в различных задачах аналитической теории чисел. Они представляют собой полезный инструмент исследования (как, скажем, в круговом методе) и одновременно являются интересным объектом для изучения. В частности, имеется большое число результатов о статистических и арифметических свойствах таких дробей. Пожалуй, самым известным из последних является “модулярное соотношение” $ad-bc = 1$, которое справедливо для любых двух соседних дробей Фарея $c/d < a/b$. В докладе мы расскажем о других, более тонких свойствах дробей, доказательства которых основаны на изучении одного геометрического преобразования половинки единичного квадрата в себя, именуемого преобразованием Бока–Кобели–Захареску.