Цель семинара - быстрое введение в алгебраическую $K$-теорию с приложениями в алгебраической геометрии и алгебре. Планируется рассмотреть несколько подходов к алгебраическим $K$-группам, в основном в контексте точных категорий, а также разобрать понятия и конструкции в алгебраической геометрии, связанные с алгебраической $K$-теорией. Апофеозом семинара должен стать разбор доказательства знаменитой теоремы Меркурьева-Суслина о связи между $K$-группами Милнора и группой Брауэра полей.

Доклады будут делаться в основном студентами и аспирантам, участвующими в семинаре. В качестве предварительных сведений потребуются общее знакомство с алгеброй и алгебраической геометрий, гомотопической топологией, теорией категорий и немного с гомологической алгеброй.

В качестве основных источников будут использованы:
Дж. Милнор, Введение в алгебраическую K-теорию, М., Мир, 1974.
А.А. Суслин, Алгебраическая K-теория, Итоги науки и техн., Сер. Алгебра. Топол. Геом., М., ВИНИТИ, 20 (1982), 71-152.
А.А. Суслин, Алгебраическая К-теория и гомоморфизм норменного вычета, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., 25 (1984), 115-207.
Ph. Gille, T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 101, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
Ch. Weibel, The $K$-book: an introduction to algebraic $K$-theory, Graduate Studies in Math., 145, AMS, 2013.

Программа

1. Группы Гротендика, явное определение $K_0, K_1, K_2$ для колец.
2. $K$-группы Милнора, теорема Мура-Мацумото.
3. Плюс-конструкция, $Q$-конструкция, $S$-конструкция Вальдхаузена.
4. Сравнение различных определений высших $K$-групп.
5. Общие свойства алгебраических $K$-групп.
6. $K$-теория схем, $K$-когомологии.
7. Спектральная последовательность Брауна-Герстена, гипотеза Герстена.
8. Теорема Меркурьева-Суслина.

Программа семинара

Программа

Руководители семинара
Горчинский Сергей Олегович
Фонарёв Антон Вячеславович

Финансовая поддержка
Семинар проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение №  075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)