Уравнение Больцмана и $H$-теорема в функциональной формулировке классической механики

Предлагается процедура получения уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля в пределе, отличном от термодинамического. Она основывается на цепочках Боголюбова, функциональной формулировке классической механики и различении двух масштабов пространства-времени — макро- и микроскопического. В соответствии с функциональным подходом к механике начальное состояние системы частиц формируется на основе измерений, которые имеют погрешности. Следовательно, можно говорить о точности, с которой задана начальная функция плотности вероятности в уравнении Лиувилля. Допустим, измерительные приборы прослеживают изменения физических величин лишь на макромасштабе, много большем, чем характерный радиус взаимодействия частиц (микромасштаб). Тогда соответствующую начальную функцию плотности нельзя использовать в качестве начального данного для уравнения Лиувилля, поскольку последнее представляет собой описание динамики на микромасштабе и в него явно входит потенциал взаимодействия между частицами (с характерным радиусом взаимодействия). Тем не менее, для макроскопической начальной функции плотности можно получить уравнение Больцмана, воспользовавшись уравнением Лиувилля и идеологией цепочек Боголюбова, если предположить, что начальные условия для микроскопических функций плотности задаются макроскопической функцией. Показано, что для полученного уравнения верна $H$-теорема о возрастании энтропии.