Компьютерная разностная схема для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии

Для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции-диффузии с возмущающим параметром $\varepsilon$ (принимающим произвольные значения из полуинтервала $(0, 1]$) разрабатывается подход к построению численного метода на основе стандартной разностной схемы на равномерной сетке при наличии возмущения данных сеточной задачи, а также возмущений, возникающих при компьютерных вычислениях.
При отсутствии возмущений стандартная разностная схема сходится со скоростью $\mathcal{O}(\delta_{st})$, где $\delta_{st}=(\varepsilon+N^{-1})^{-1}N^{-1}$ и $N+1$ — число узлов сетки; схема не является $\varepsilon$-равномерно хорошо обусловленной и устойчивой к возмущению данных. В случае теоретически доказанной сходимости стандартной схемы актуальная точность вычисляемого решения при наличии возмущений падает с уменьшением параметра $\varepsilon$ до полной потери точности при малых значениях $\varepsilon$ (а именно при условии $\varepsilon=\mathcal{O}(\delta^{-2}\max_{i,j}|\delta a_i^j|+\delta^{-1}\max_{i,j}|\delta b_i^j|)$), где $\delta=\delta_{st}$ и $\delta a_i^j$, $\delta b_i^j$ — возмущения коэффициентов при второй и первой производной).
Для краевой задачи строится компьютерная разностная схема — вычислительная система, включающая стандартную схему на равномерной сетке при наличии контролируемых возмущений данных сеточной задачи и гипотетический компьютер с контролируемыми компьютерными возмущениями. Для компьютерной разностной схемы получены условия, накладываемые как на допустимые возмущения данных сеточной задачи, так и на допустимые компьютерные возмущения, при которых компьютерная разностная схема сходится в равномерной норме при $\varepsilon\in(0, 1]$ с такой же скоростью, что и стандартная схема при отсутствии возмущений. Библ. 19.