Метод полиэдральной аппроксимации шара с оптимальным порядком роста мощности гранной структуры

Рассматривается задача полиэдральной аппроксимации многомерного шара. Известно, что норма $f$-вектора (максимальное число граней различных размерностей) аппроксимирующего многогранника растет не медленнее, чем $O(\delta^{(1-d)/2})$, где $\delta$ — отклонениe в метрике Хаусдорфа и $d$ — размерность пространства. Рассматривается итерационный метод построения метрических сетей — метод “Глубоких Ям”, состоящий в данной задаче в последовательном пополнении множества вершин многогранника его глубокими ямами в метрике на поверхности шара (т.е. точками поверхности, наиболее удаленными от вершин многогранника). Показано, что мощность гранной структуры построенного многогранника будет иметь оптимальную скорость роста. Показано, что асимптотически, число граней всех размерностей аппроксимирующих многогранников, получаемых в методе, пропорционально числу их вершин. Получены явные выражения для констант, зависящие только от размерности пространства, в том числе при больших размерностях. Получены верхние оценки скорости роста числа граней всех размерностей в зависимости от точности аппроксимации для малых размерностей ($d$ от $3$ до $5$). Библ. 30.