О гомеоморфизме прямой Зоргефрея и ее модификации $S_{\mathcal{Q}}$

Доказывается негомеоморфность двух топологических пространств, а именно, прямой Зоргенфрея $S$ и ее модификации $S_{\mathcal{Q}}$, где $\mathcal{Q}$ — множество рациональных чисел на прямой. При доказательстве используется монотонность гомеоморфизма $\varphi: S\to S$ на некотором интервале $(a, b)\subset S$. Этот факт установил E. K. Van Douwen. Вопросы о гомеоморфизме прямой Зоргенфрея и ее модификаций рассматривались в работе V. A. Chatyrko, Y. Hattory, где топология «стрелки» на некотором множестве $A$ заменена на евклидову топологию, а также в работе Е. С. Сухачевой, Т. Е. Хмылевой, где доказывается гомеоморфность пространств $S$ и $S_A$, если $A$ — это подмножество счетного замкнутого множества на прямой $\mathbb{R}$ и пространство $S_A$ определяется аналогично пространству $S_{\mathcal{Q}}$.