Явление погранслоя в алгебро-дифференциальном уравнении первого порядка

Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка
\begin{equation*} A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon), \end{equation*}

\begin{equation*} u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1, \end{equation*}
где $A,B,C,D$ — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения, $u^0$ — голоморфная в точке $\varepsilon=0$ функция, $\varepsilon$ — малый параметр, $t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т. д. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя — это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве $\mathbb{R}^4.$