О роли множителей Лагранжа и двойственности в некорректных задачах на условный экстремум. К 60-летию метода регуляризации Тихонова

Обсуждается важная роль множителей Лагранжа и двойственности в теории некорректных задач на условный экстремум. Центральное внимание уделяется задаче устойчивого приближенного нахождения нормального (минимального по норме) решения операторного уравнения первого рода $Az=u,$ $z\in {\mathcal D}\subseteq Z,$ где $A:\,Z\to U$ — линейный ограниченный оператор, $u\in U$ — заданный элемент, ${\mathcal D}\subseteq Z$ — выпуклое замкнутое множество, $Z,U$ — гильбертовы пространства, являющейся классической для теории некорректных задач. Рассматриваются две эквивалентные ей задачи (с точки зрения одновременного существования их единственных решений) на условный экстремум, первая из которых — это задача ($CE1$) с функциональным ограничением-неравенством $\|z\|^2\to\min,$ $\|Az-u\|^2\leq 0,$ $z\in {\mathcal D},$ а вторая — задача ($CE2$) с операторным ограничением-равенством $\|z\|^2\to\min,$ $Az=u,$ $z\in {\mathcal D}.$ В работе последовательно: 1) показывается, что метод регуляризации Тихонова может естественным образом трактоваться как метод устойчивой аппроксимации точного решения экстремалями функционала Лагранжа для задачи ($CE1$) с одновременным построением в двойственной к ней задаче максимизирующей последовательности из множителей Лагранжа, при этом множитель Лагранжа является величиной обратной параметру регуляризации в методе Тихонова; другими словами, теореме сходимости метода регуляризации Тихонова придается вид утверждения в форме двойственности относительно задачи ($CE1$); 2) обсуждается роль стабилизации по Тихонову для выпуклых задач общего вида при решении задач на условный экстремум; 3) обсуждается основанный на стабилизации по Тихонову двойственной к ($CE2$) задачи устойчивый метод для решения исходного операторного уравнения, который может рассматриваться как метод регуляризации правила множителей Лагранжа для задачи ($CE2$); 4) обсуждаются особенности каждого из двух указанных выше подходов к регуляризации решения исходного операторного уравнения.