Асимптотические и структурные теоремы для уравнения марковского восстановления

Рассматривается уравнение многомерного восстановления
$$\varphi(t)=g(t)+\int_0^t[dF(x)]\,\varphi(t-x).$$
Здесь $g\in L_1^n(0;\infty)$, $F(t)=(F_{ij}(t))_{i,j=1}^n$ $(n<\infty)$, $F(t)=0$ при $t\le 0$, $F(t)\uparrow$, $r(A)=1$, где $A=F(+\infty)$, $r(A)$ — спектральный радиус матрицы $A$. В частном случае уравнения марковского восстановления имеем $\int^{n}_{i=1} F_{ij}(+\infty)=1$.
Предполагается, что матрица $A$ неразложима и некоторая сверточная степень меры $dF$ обладает нетривиальной абсолютно непрерывной компонентой. Доказано, что тогда решение уравнения марковского восстановления имеет вид: $\varphi(t)=\mu+\rho(t)+\psi(t)$, $\rho\in C_0^n[0;\infty)$, $\psi\in L_1^n(0;\infty)$. Если мера $dF$ обладает конечным вторым моментом, то $\rho\in L_1^n(0;\infty)$. Получены явные формулы для $\mu$ и $\sigma=\int_0^\infty[\varphi(t)-\mu]\,dt$. Отсюда, в частности, следует асимптотическая формула для $\int_0^t\varphi(x)\,dx$.